江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題10 數(shù)列(Ⅱ)

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1、江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題10 數(shù)__列(Ⅱ) 回顧2008～2012年的高考題，數(shù)列是每一年必考的內(nèi)容之一.其中在填空題中，會(huì)出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的基本量的求解問題.在解答題中主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)論證問題，只有2009年難度為中檔題，其余四年皆為難題. 預(yù)測(cè)在2013年的高考題中，數(shù)列的考查變化不大： (1)填空題依然是考查等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì). (2)在解答題中，依然是考查等差、等比數(shù)列的綜合問題，可能會(huì)涉及恒等關(guān)系論證和不等關(guān)系的論證. 1．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝，前100項(xiàng)的和S100＝45，則a1＋

2、a3＋a5＋…＋a99＝________. 解析：S100＝(a1＋a100)＝45，a1＋a100＝， a1＋a99＝a1＋a100－d＝. a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10. 答案：10 2．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝________. 解析：由已知得a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－30. 答案：－30 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，令Tn＝，稱Tn為數(shù)列a1，a2，…，an的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，…，a500的“理想數(shù)”為2 00

3、4，那么數(shù)列12，a1，a2，…，a500的“理想數(shù)”為________． 解析：根據(jù)理想數(shù)的意義有， 2 004＝， ∴ ＝＝2 012. 答案：2 012 4．函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak，a)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，k為正整數(shù)，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________. 解析：函數(shù)y＝x2(x>0)在點(diǎn)(16,256)處的切線方程為y－256＝32(x－16)．令y＝0得a2＝8；同理函數(shù)y＝x2(x>0)在點(diǎn)(8,64)處的切線方程為y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4；依次同理求得a4＝2，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.

4、 答案：21 5．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為________． 解析：前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為. 答案： 　　 (1)已知正數(shù)數(shù)列{an}對(duì)任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，則an＝________. (2)數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，若a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，則此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝________. [解析]　(1)由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝a＝4?a1

5、＝2，所以ap＋1＝ap·a1，即＝a1＝2，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n. (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由an＋an＋1＝6an－1知，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＋a3＝6a1.再由a2＝1，得1＋q＝，化簡(jiǎn)得q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.∵q>0， ∴q＝2，∴a1＝，∴Sn＝＝2n－1－. [答案]　(1)2n　(2)2n－1－ 這兩題分別是由“ap＋q＝ap·aq”和“an＋an＋1＝6an－1”推出其他條件來確定基本量，不過第(1)小題中首先要確定該數(shù)列的特征，而第(2)小題已經(jīng)明確是等比數(shù)列，代入公式列方程求解即可． 　　

6、已知{an}是等差數(shù)列，a10＝10，前10項(xiàng)和S10＝70，則其公差d＝________. 解析：法一：因?yàn)镾10＝70，所以＝70，即a1＋a10＝14.又a10＝10，所以a1＝4，故9d＝10－4＝6，所以d＝. 法二：由題意得解得 答案： 　　 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an＋(－1)n，n≥1. (1)寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a3； (2)求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分別令n＝1,2,3得 解得 (2)由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1，得Sn－1＝2an－1＋(－

7、1)n－1，n≥2. 兩式相減得an＝2an＋(－1)n－2an－1－(－1)n－1，n≥2. 即an＝2an－1－2(－1)n，n≥2. an＝2an－1－×(－1)n－×(－1)n＝2an－1＋×(－1)n－1－×(－1)n， an＋×(－1)n＝2(an－1＋×(－1)n－1)(n≥2)， 故數(shù)列是以a1－＝為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． 所以an＋×(－1)n＝×2n－1， 即an＝×2n－1－×(－1)n. 1．求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法：(1)公式法；(2)根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式有：①疊加法；②疊乘法；③轉(zhuǎn)化法；(3)已知前n項(xiàng)和公式用an＝求解． 2．?dāng)?shù)列求和的基本

8、方法：(1)公式法；(2)分組法；(3)裂項(xiàng)相消法；(4)錯(cuò)位相減法；(5)倒序相加法． 　　 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝pan－2n，n∈N*，其中常數(shù)p>2. (1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列； (2)若a2＝3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)對(duì)于(2)中數(shù)列{an}，若數(shù)列{bn}滿足bn＝log2(an＋1)(n∈N*)，在bk與bk＋1之間插入2k－1(k∈N*)個(gè)2，得到一個(gè)新的數(shù)列{cn}，試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)的和Tm＝2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由． 解：(1)證明：因?yàn)?Sn＝pa

9、n－2n， 所以2Sn＋1＝pan＋1－2(n＋1)， 所以2an＋1＝pan＋1－pan－2， 所以an＋1＝an＋，所以an＋1＋1＝(an＋1)． 因?yàn)?a1＝pa1－2，且p>2，所以a1＝>0. 所以a1＋1＝>0. 所以＝≠0. 所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列． (2)由(1)知an＋1＝n， 所以an＝n－1. 又因?yàn)閍2＝3，所以2－1＝3. 所以p＝4，an＝2n－1. (3)由(2)得bn＝log22n＝n(n∈N*)，數(shù)列{cn}中，bk(含bk項(xiàng))前的所有項(xiàng)的和是(1＋2＋3＋…＋k)＋(20＋21＋22＋…＋2k－2)×2＝＋2k－2， 當(dāng)k

10、＝10時(shí)，其和是55＋210－2＝1 077<2 011， 當(dāng)k＝11時(shí)，其和是66＋211－2＝2 112>2 011， 又因?yàn)? 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍數(shù)， 所以當(dāng)m＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988時(shí)， Tm＝2 011，所以存在m＝988使得Tm＝2 011. 　　 將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： 已知表中的第一列數(shù)a1，a2，a5，…構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為{bn}，且b2＝4，b5＝10.表中每一行正中間一個(gè)數(shù)a1，a3，a7，…構(gòu)成數(shù)列{cn}，其前n項(xiàng)和為Sn. (1)求數(shù)列{bn}

11、的通項(xiàng)公式； (2)若上表中，從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，公比為同一個(gè)正數(shù)，且a13＝1. ①求Sn； ②記M＝{n|(n＋1)cn≥λ，n∈N*}，若集合M的元素個(gè)數(shù)為3，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． [解]　(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d， 則解得所以bn＝2n. (2)①設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q. 由于前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2個(gè)數(shù)，且32<13<42， 所以a10＝b4＝8. 所以a13＝a10q3＝8q3.又a13＝1，解得q＝. 因此cn＝2n·n－1＝. 所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn＝＋＋…＋＋，Sn

12、＝＋＋…＋＋. 因此Sn＝＋＋＋…＋－＝4－－＝4－， 解得Sn＝8－. ②由①知cn＝，不等式(n＋1)cn≥λ，可化為≥λ. 設(shè)f(n)＝， 計(jì)算得f(1)＝4，f(2)＝f(3)＝6，f(4)＝5，f(5)＝， 因?yàn)閒(n＋1)－f(n)＝， 所以當(dāng)n≥3時(shí)，f(n＋1)

13、(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)． (1)請(qǐng)寫出cn的一個(gè)表達(dá)式，cn＝________； (2)若數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Mn，則M10＝________.(用數(shù)字作答) 解析：由1,2,3,4,5，…猜想an＝n； 由2,4,8,16,32，…猜想bn＝2n； 由每組數(shù)都是“前兩個(gè)之和等于第三個(gè)”猜想cn＝n＋2n.從而M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝＋＝2 101. 答案：(1)n＋2n　(2)2 101 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．?dāng)?shù)列的遞推關(guān)系是相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，高考

14、對(duì)遞推關(guān)系的考查不多，填空題中出現(xiàn)復(fù)雜遞推關(guān)系時(shí)，可以用不完全歸納法研究．在解答題中主要是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的基本量來求解． 2．?dāng)?shù)列求和問題，主要考查利用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，再論證和的性質(zhì)，故不過多涉及求和的技巧以及項(xiàng)的變形． 3．?dāng)?shù)列中an或Sn的最值問題與函數(shù)處理方法類似，首先研究數(shù)列an或Sn的特征，再進(jìn)一步判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得到最值．要注意的細(xì)節(jié)是n只能取正整數(shù)． 4．?dāng)?shù)列中大小比較與不等式中大小比較方法類似，同類型的多項(xiàng)式比較可以作差作商或用基本不等式，不同類型的比較一般要構(gòu)造函數(shù)來解決． 5．?dāng)?shù)列中的參數(shù)取值范圍問題在處理時(shí)，首選還是參數(shù)分離，分離后根據(jù)新數(shù)列的

15、單調(diào)性確定最值或范圍． 1．已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12的值為________． 解析：由a7＋a9＝16，得a8＝8， 由a4＋a12＝2a8，得a12＝15. 答案：15 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a20＝________. 解析：由a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，得a2＝－，a3＝，a4＝0，……由此可知：數(shù)列{an}是周期變化的，且循環(huán)周期為3，所以可得a20＝a2＝－. 答案：－ 3．已知a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，且0

16、__． 解析：由題意得即解得 由08. 答案：(8，＋∞) 4．等差數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則n＝________. 解析：由＝＝， 得n＝10. 答案：10 5．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________． 解析：由題意可知q≠1，∴可得2(1－qn)＝(1－qn＋1)＋(1－qn＋2)，即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(不合題意，舍去)，∴q＝－2. 答案：－2 6．所有正奇數(shù)如下數(shù)表排列(表中下一行中的數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中

17、數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍)： 第一行　1 第二行　3　5 第三行　7　9　11　13 …… 則第6行中的第3個(gè)數(shù)是________． 解析：由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得第六行第三個(gè)數(shù)為第34個(gè)正奇數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是2×34－1＝67. 答案：67 7．設(shè)1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________． 解析：記a2＝m，則1≤m≤q≤m＋1≤q2≤m＋2≤q3，要q取最小值，則m必定為1，于是有1≤q≤2,2≤q2≤3，3≤q3，所以q≥. 答案： 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，

18、an＋1＝(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和為________． 解析：由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，得a2＝＝3，a3＝＝1，a4＝＝2，則{an}是周期為3的數(shù)列，所以S100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200. 答案：200 9．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)i＋j＝k＋l時(shí)，都有ai＋bj＝ak＋bl，則 (ai＋bi)的值是________． 解析：由題意得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝2，b2＝3，b3＝4，b4＝5，b5＝6.歸納得an＝n，bn＝n＋1；設(shè)cn＝an＋

19、bn，cn＝an＋bn＝n＋n＋1＝2n＋1，則數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為c1＝3，公差為2的等差數(shù)列，所以 (ai＋bi)＝×＝2 012. 答案：2 012 10．對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列的前n項(xiàng)和是________． 解析：y′＝nxn－1－(n＋1)xn，曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線的斜率為k＝n·2n－1－(n＋1)·2n，切點(diǎn)為(2，－2n)，所以切線方程為y＋2n＝k(x－2)，令x＝0得an＝(n＋1)·2n，令bn＝＝2n，數(shù)列的前n項(xiàng)和為2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 1

20、1．已知數(shù)列{an}滿足an>0且對(duì)一切n∈N*，有a＋a＋…＋a＝S，a1＋a2＋…＋an＝Sn. (1)求證：對(duì)一切n∈N*有a－an＋1＝2Sn； (2)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式． 解：(1)證明：∵a＋a＋…＋a＝S，① ∴a＋a＋…＋a＋a＝S.② ②－①得S－S＝a， 即(Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn)＝a， an＋1(2Sn＋an＋1)＝a. ∵an＋1≠0， ∴a－an＋1＝2Sn(n∈N*)． (2)由a－an＋1＝2Sn及a－an＝2Sn－1(n≥2) 兩式相減，得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an. ∵an＋1＋an>0，∴an

21、＋1－an＝1(n≥2)． 當(dāng)n＝1,2時(shí)，易得a1＝1，a2＝2也適合an＋1－an＝1， ∴{an}是等差數(shù)列，且an＝n. 12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知＋＋…＋＝(n∈N*)． (1)求S1，S2及Sn； (2)設(shè)bn＝an，若對(duì)一切n∈N*，均有bk∈，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：依題意，n＝1時(shí)，S1＝2；n＝2時(shí)，S2＝6. 因?yàn)椋?n∈N*)， n≥2時(shí)，＋＋…＋＝， 所以＝－，所以Sn＝n(n＋1)． 上式對(duì)n＝1也成立，所以Sn＝n(n＋1)(n∈N*)． (2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n， 所以an＝2n(n∈N*)，bn＝n，＝. 所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列． 則bk＝＝. 因?yàn)殡Sn的增大而增大， 所以≤bk<， 由得 所以m<0或m≥5，即m的取值范圍為(－∞，0)∪[5，＋∞)．