江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題7 三角恒等變換與解三角形

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1、江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題7 三角恒等變換與解三角形 回顧2008～2012年的考題，在填空題中主要考查了三角公式的運用、正、余弦定理的運用.在解答題中有2008、2011年主要考查了三角化簡求值，2009年考查了向量與三角化簡的綜合問題，2012年考查角的恒等變換及正、余弦定理.在近五年的應(yīng)用題考查中，有兩年考查了與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題.,在近四年的考查中，同角三角函數(shù)關(guān)系與誘導(dǎo)公式?jīng)]有兩角和與差的公式考查力度大，但作為三角化簡的基本功還是要掌握的. 預(yù)測在2013年的高考題中： (1)填空題依然是考查簡單的三角函數(shù)化簡、解三角形，隨著題目設(shè)置的順序，

2、難度不一. (2)在解答題中，三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)的性質(zhì)與解三角形和平面向量的交匯問題仍是考查的重點. 1．(2012·南京名校4月階段性考試)若＝3，tan(α－β)＝2，則tan(β－2α)＝________. 解析：由題意得＝3.所以tan α＝2. 又tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2. 所以(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝. 答案： 2.－sin 10°(tan－15°－tan 5°)＝________. 解析：原式＝－sin 10° ＝－2cos 10°＝ ＝ ＝ ＝cos 30°＝. 答案： 3．在銳

3、角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則的值等于________，AC的取值范圍為________． 解析：設(shè)A＝θ，則B＝2θ.由正弦定理得＝， ∴＝1?＝2. 由銳角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°， 又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°，故30°<θ<45°?

4、2＋b2－c2)＝0，又4S＝4×absin∠C＝(a2＋b2－c2)，可得sin∠C＝×＝cos ∠C，即tan ∠C＝，故∠C＝. 答案： 5．在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2A＋C)＝－，sin B＝，則cos 2(B＋C)＝________. 解析：∵A為最小角， ∴2A＋C＝A＋A＋C

5、os 2(B＋C)＝2cos2(B＋C)－1＝. 答案： 　　 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－. (1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin 2α，cos 2α的值． [解]　(1)2α＝(α－β)＋(α＋β)． (2)因為<β<α<， 所以0<α－β<，π<α＋β<. 又因為cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－， 所以sin(α－β)＝＝，cos(α＋β)＝－＝－. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝×＋×＝－， cos 2α＝cos[

6、(α－β)＋(α＋β)] ＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) ＝×－×＝－. 三角函數(shù)式的化簡、求值，常從角的差異入手，尋求條件與結(jié)論之間的關(guān)系，通過三角恒等變換消除差異，使問題獲解． 　　 已知sin＝，則sin＋sin2的值為________． 解析：sin＋sin2＝sin ＋sin2＝sin＋sin2＝. 答案： 　　 (2012·南通第一次調(diào)研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c. (1)若2sin Acos C＝sin B，求的值； (2)若sin(2A＋B)＝3sin B，求的值． [解]　(1)由

7、正弦定理得＝. 從而2sin Acos C＝sin B可化為2acos C＝b. 由余弦定理得2a×＝b. 整理得a＝c，即＝1. (2)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π， 所以sin(2A＋B)＝3sin B可化為sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]， 即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)． 故－sin Acos C＋cos Asin C＝3(sin Acos C＋cos Asin C)． 整理得4sin Acos C＝－2cos Asin C， 因為△ABC是斜三角形，所以cos Acos C≠0， 所以＝－. 解三角形常用的工具是正弦定理和

8、余弦定理，要熟悉它們的使用的條件，合理選用．解三角形常與三角恒等變換、三角求值綜合考查，要注意三角形中角的限制條件． 　　 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若1＋＝，則角A的大小為________． 解析：由1＋＝，得＝， 即cos A＝，故A＝. 答案： 　　 (2012·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c；則下列命題正確的是________． ①若ab>c2，則C<； ②若a＋b>2c，則C<； ③若a3＋b3＝c3，則C<； ④若(a＋b)c<2ab，則C>； ⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，則C>. [解析]?、賏

9、b>c2?cos C＝>＝?C<； ②a＋b>2c?cos C＝>≥?C<； ③當(dāng)C≥時，c2≥a2＋b2?c3≥a2c＋b2c>a3＋b3與a3＋b3＝c3矛盾； ④取a＝b＝2，c＝1滿足(a＋b)c<2ab得C<； ⑤取a＝b＝2，c＝1滿足(a2＋b2)c2<2a2b2得C<. [答案]　①②③ 利用正、余弦定理可實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)化，常用方法是：①化邊為角結(jié)合內(nèi)角和定理求解；②化角為邊結(jié)合勾股定理、三邊關(guān)系求解． 　　 在△ABC中，sin A＝，判斷這個三角形的形狀． 解：應(yīng)用正弦定理、余弦定理，可得a＝，所以b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c

10、)． 所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)． 所以a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以a2＝b2＋c2. 所以△ABC是直角三角形． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)在三角化簡、求值、證明中，表達(dá)式往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補、互余的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中的角，使問題獲解．如角的變形： 15°＝45°－30°＝60°－45°＝，α＝(α＋β)－β＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝－. 特別地，＋α與－α為互余角，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化，在三角變形中使用頻率高． (2)兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的

11、重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的實例．另外，利用正弦定理解三角形時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解． 1．(2012·連云港調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2＝b2＋bc，sin C＝2sin B，則A＝________. 解析：由sin C＝2sin B，得c＝2b.又a2＝b2＋bc，所以cos A＝＝＝＝，所以A＝. 答案： 2．設(shè)α∈，β∈，cos＝，sin＝，則sin(α＋β)＝________. 解析：α

12、∈，α－∈， 又cos＝， ∴sin＝.∵β∈，∴＋β∈，sin＝，∴cos＝－. ∴sin(α＋β)＝sin ＝－cos ＝－cos·cos＋sin·sin＝－×＋×＝. 即sin(α＋β)＝. 答案： 3．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－2β)＝________. 解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－. 則tan α＝－.由tan(π－β)＝，可得tan β＝－， tan 2β＝＝＝－. tan(α－2β)＝＝＝. 答案： 4.如圖，l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三

13、角形ABC的三頂點分別在l1、l2、l3上，則△ABC的邊長是________． 解析：因為l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，所以過A作l2的垂線，交l2、l3分別于點D、E，如圖，則∠BAD＝∠BAC＋∠CAE，即∠BAD＝60°＋∠CAE，記正三角形ABC的邊長為a，兩邊取余弦得＝cos 60°·cos ∠CAE－sin 60°sin ∠CAE，即＝×－×整理得，＝1，解之得，a＝. 答案： 5．已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，則2α－β的值是________． 解析：tan α＝tan[(α

14、－β)＋β]＝＝，tan(2α－β)＝＝1. ∵tan β＝－，∴β∈， ∴2α－β∈. ∴2α－β＝－. 答案：－ 6．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為，那么b＝________. 解析：∵2b＝a＋c，∴a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝4b2－2ac.在△ABC中，B＝30°，△ABC的面積，所以acsin B＝，即ac＝6，于是a2＋c2＝4b2－12，由余弦定理得cos B＝＝，即＝，解得b2＝4＋2，于是b＝1＋. 答案：1＋ 7．△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tan C＝，s

15、in(B－A)＝cos C．則B＝________. 解析：因為tan C＝，即＝， 所以sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin B， 即sin Ccos A－cos Csin A＝cos Csin B－sin Ccos B， 得sin(C－A)＝sin(B－C)， 所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)． 即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝. 又因為sin(B－A)＝cos C＝， 則B－A＝或B－A＝(舍去)， 得A＝，B＝. 答案： 8．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4

16、，則四邊形ABCD的面積為________． 解析：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積 S＝S△ABD＋S△CDB＝·AB·ADsin A＋·BC·CD·sin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C. 故S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)·sin A＝16sin A. 由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝20－16cos A， 在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝52－48cos C， ∴20－16cos A＝52－48cos C．∵cos C＝－cos A， ∴6

17、4cos A＝－32，cos A＝－. 又0°

18、， 所以BP＝，從而＝， ∴x＝＝. ∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°＋2θ≤180°. ∴當(dāng)60°＋2θ＝90°，即θ＝15°時，sin(60°＋2θ)＝1， 此時x取得最小值＝(2－3)a，即AD最小， ∴AD∶DB＝2－3. 答案：2－3 10．(2012·江蘇高考)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為________． 解析：因為α為銳角，cos＝，所以sin＝，sin 2＝，cos 2＝，所以sin＝sin＝×＝. 答案： 11．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足A＋C＝2B. ＋＝－，求cos的值． 解：由題設(shè)條件知B＝60°，A＋C＝120°

19、設(shè)α＝，則A－C＝2α，可得A＝60°＋α，C＝60°－α， 所以＋＝＋ ＝＋ ＝＝， 依題設(shè)條件有＝， 又cos B＝，∴＝－2. 整理得4cos2α＋2cosα－3＝0， 即(2cos α－)(2cos α＋3)＝0. ∵2cos α＋3≠0， ∴2cos α－＝0.從而得cos＝. 12.(2012·蘇錫調(diào)研)如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50. (1)求cos ∠BAC的值； (2)求sin ∠CAD的值； (3)求△BAD的面積． 解：(1)因為·＝| || |cos ∠BAC， 所以cos ∠BAC＝＝＝. (2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝， 由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝. 因為∠CAD∈(0，π)， 所以sin ∠CAD＝ ＝ ＝. (3)由(1)知，cos ∠BAC＝＝. 因為∠BAC∈(0，π)， 所以sin ∠BAC＝ ＝ ＝. 從而sin ∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD) ＝sin ∠BAC·cos ∠CAD＋cos ∠BACsin ∠CAD ＝×＋×＝. 所以S△BAD＝AB·AD·sin ∠BAD＝×13×5×＝28.