江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題17 附加題21題

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1、江蘇省2013屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題17 附加題21題 回顧2009～2012年的高考考題，附加題選做(四選二)中分別考查幾何證明選講、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、矩陣與變換、不等式選講這四個(gè)內(nèi)容，要求考生從中選擇兩個(gè)來完成，每題10分，難度不是很大，但是要求考生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)熟練掌握. 　　(2012·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD＝DC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：∠E＝∠C. [解]　證明：如圖，連結(jié)AD. ∵AB是圓O的直徑， ∴∠ADB＝90°. ∴AD⊥BD. 又∵BD

2、＝DC， ∴AD是線段BC的中垂線． ∴AB＝AC. ∴∠B＝∠C. 又∵D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)， ∴∠B＝∠E. ∴∠E＝∠C. (1)本題利用中間量代換的方法證明∠E＝∠C，一方面考慮到∠B和∠E是同弧所對(duì)圓周角相等；另一方面根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到∠B＝∠C. (2)本題還可連結(jié)OD，利用三角形中位線來證明∠B＝∠C. 　　 (2012·泰州期末)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)C. (1)求證：FB＝FC； (2)若AB是△A

3、BC外接圓的直徑，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的長(zhǎng)． 解：(1)證明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC. ∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，∴∠DAC＝∠FBC. ∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC. (2)∵AB是圓的直徑，∴∠ACD＝90°. ∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°. 在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3. 又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6. 　　 (2012·江蘇高考)已知矩陣A的逆矩陣A－1＝，求矩陣A的特征值． [解]　∵A－1A＝E，

4、∴A＝(A－1)－1. ∵A－1＝，∴A＝(A－1)－1＝. ∴矩陣A的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A，從而可求出矩陣A的特征值． 　　 (2012·泰州期末)已知矩陣A＝，B＝，求滿足AX＝B的二階矩陣X. 解：由題意得A－1＝， ∵AX＝B， ∴X＝A－1B＝＝. 　　 (2012·江蘇高考)在極坐標(biāo)中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P，圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程． [解]　∵圓C圓心為直線ρsin＝－與極軸的交點(diǎn)，∴在ρsin＝－中令θ＝

5、0，得ρ＝1. ∴圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)． ∵圓C經(jīng)過點(diǎn)P， ∴圓C的半徑為PC＝＝1. ∴圓C經(jīng)過極點(diǎn)， ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 求圓的方程的關(guān)鍵是求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑． 　　 (2012·南通二模)在極坐標(biāo)系中，圓C1的方程為ρ＝4cos，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，若圓C1與圓C2相切，求實(shí)數(shù)a的值． 解：C1：(x－2)2＋(y－2)2＝8， 圓心C1(2,2)，半徑r1＝2. C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2， 圓心C2(－1，－1)，半徑r2＝|a|. ∴圓心距C1C

6、2＝3. 兩圓外切時(shí)，C1C2＝r1＋r2＝2＋|a|＝3，a＝±； 兩圓內(nèi)切時(shí)，C1C2＝|r1－r2|＝|2－|a||＝3， a＝±5. 綜上，a＝±或a＝±5. 　　 (2012·江蘇高考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|x＋y|<，|2x－y|<，求證：|y|<. [證明]　∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|， 由題設(shè)知|x＋y|<，|2x－y|<， ∴3|y|<＋＝.∴|y|<. 解決本題的關(guān)鍵是用(x＋y)和(2x－y)表示y. 　　 (2012·南通二模)已知x，y，z均為正數(shù)．求證：＋＋≥＋＋. 證明：因?yàn)閤，y

7、，z都為正數(shù)， 所以＋＝≥. 同理，可得＋≥，＋≥. 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)幾何證明選講主要考查直線與圓的相切關(guān)系，弦切角定理是溝通角的橋梁，解決與圓有關(guān)的線段問題常利用相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理，并結(jié)合三角形相似等知識(shí)； (2)矩陣與變換主要考查變換、矩陣的特征值與特征向量、逆矩陣、二階矩陣的乘法； (3)極坐標(biāo)與參數(shù)方程主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化及應(yīng)用參數(shù)方程求最值、范圍等問題； (4)解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào)化為不含絕對(duì)值的不等式，其過程體現(xiàn)了分類討論思想的

8、應(yīng)用． 1.(2012·蘇北四市三模)如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝2，過C作圓O的切線l，過A作l的垂線AD分別與直線l，圓O交于點(diǎn)D，E，求線段AE的長(zhǎng)． 解：在Rt△ABC中，因?yàn)锳B＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°， 因?yàn)閘為過C的切線，所以∠DCA＝∠CBA， 所以∠DCA＝∠ABC＝60°. 又因?yàn)锳D⊥DC，所以∠DAC＝30°. 在△AOE中，因?yàn)椤螮AO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA， 所以AE＝AO＝AB＝2. 2.如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE＝AC，求證：∠PDE＝∠

9、POC. 證明：因AE＝AC，AB為直徑， 故∠OAC＝∠OAE. 所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA ＝∠OAE＋∠OAC＝∠EAC. 又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC. 3．(2012·揚(yáng)州期末)求矩陣M＝的特征值和特征向量． 解：f(λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 由f(λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2. 由 可得屬于λ1＝7的一個(gè)特征向量為. 由 可得屬于λ1＝－2的一個(gè)特征向量為. 4．(2012·南通二模)已知M＝，β＝，計(jì)算M5β. 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝＝λ2－2λ－3. 令f(λ)

10、＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，從而求得它們對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為 α1＝，α2＝. 令β＝mα1＋nα2，所以求得m＝4，n＝－3. M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2) ＝4(λα1)－3(λα2) ＝4·35－3(－1)5＝. 5．已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. 解：∵A＝，∴A2＝＝. 設(shè)α＝，則A2α＝β?＝ ?＝. ∴∴∴α＝. 6．已知P(x，y)是橢圓＋y2＝1上的點(diǎn)，求M＝x＋2y的取值范圍． 解：∵＋y2＝1的參數(shù)方程(θ為參數(shù)) ∴設(shè)P(2cos θ，sin θ)． ∴M＝x＋2y＝2cos θ＋

11、2sin θ＝2sin. ∴M＝x＋2y的取值范圍是[－2，2 ]． 7．(2012·泰州期末)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)度． 解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9， 它表示以(0,3)為圓心，3為半徑的圓． 直線方程l的普通方程為y＝x＋1， 圓C的圓心到直線l的距離d＝＝1， 故直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)度為2＝4. 8．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系x

12、Oy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox為極軸，且長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos. (1)求直線l的傾斜角； (2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求AB. 解：(1)設(shè)直線l的傾斜角為θ，則且θ∈[0，π)， ∴θ＝，即直線l的傾斜角為. (2)l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋， ρ＝2cos的直角坐標(biāo)方程為 2＋2＝1， ∴圓心到直線l的距離d＝， ∴AB＝. 9．對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最大值． 解：法一：|x－y＋1|＝|(x－1)－(y－2)|≤|x－1|＋|y－2|≤2. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝3或x＝0，y＝1時(shí)，取等號(hào)． ∴|x－y＋1|的最大值為2. 法二：∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2. ∵|y－2|≤1，∴1≤y≤3. ∴－3≤－y≤－1. ∴－2≤x－y＋1≤2. ∴|x－y＋1|的最大值為2. 10．若正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值． 解：因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1， 所以[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥(1＋1＋1)2， 即＋＋≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)3a＋2＝3b＋2＝3c＋2，即a＝b＝c＝時(shí)，原式取最小值1.