人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題4 幾何探究問題

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1、 人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題4 幾何探究問題 1. 如圖所示,在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=42,點 D 是 AC 上一動點,連接 BD,以 AD 為直徑的圓交 BD 于點 E,則線段 CE 長度的最小值是 ?? A. 2 B. 4 C. 22-2 D. 25-2 2. 問題提出: 如圖(1)所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C 半徑為 2,P 為圓上一動點,連接 AP,BP,求 12BP 的最小值. (1) 嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路:如圖(2)所

2、示,連接 CP,在 CB 上取點 D,使 CD=1,則有 CDCP=CPCB=12,又 ∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴PDBP=12,∴PD=12BP,∴AP+12BP=AP+PD. 請你完成余下的思考,并直接寫出答案:AP+12BP 的最小值為 . (2) 自主探索:在“問題提出”的條件不變的情況下,13AP+BP 的最小值為 . (3) 拓展延伸:如圖(3)所示,已知扇形 COD 中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,點 P 是 CD 上一點,求 2PA+PB 的最小值. 3. 如圖所示,已知點 A3,4,點 B 為直線 x

3、=-2 上的動點,點 Cx,0 且 -2

4、B. 5-32 C. 2 D. 1 6. 如圖所示,在 △ABC 中,D 是 AC 邊上的中點,連接 BD,把 △BDC 沿 BD 翻折,得到 △BDC?,DC? 與 AB 交于點 E,連接 AC?,若 AD=AC?=2,BD=3,則點 D 到 BC? 的距離為 ?? A. 332 B. 3217 C. 7 D. 13 7. 如圖所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,點 D,F(xiàn) 分別是邊 AB,BC 上的動點,連接 CD,過點 A 作 AE⊥CD 交 BC 于點 E,垂足為 G,連接 GF,則 GF+12FB 的最小值是 ??

5、 A. 3-1 B. 3+1 C. 332-1 D. 332+1 8. 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù) y=2x-1 的圖象分別交 x 軸、 y 軸于點 A,B,將直線 AB 繞點 B 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 45°,交 x 軸于點 C,則直線 BC 的函數(shù)解析式是 . 9. 如圖所示,矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5,點 E,F(xiàn),G,H 分別在矩形 ABCD 各邊上,且 AE=CG,BF=DH,則四邊形 EFGH 周長的最小值為 . 10. 如圖所示,已知 △ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=23.D 為 BC 邊一

6、點,且 BD:DC=1:2.以 D 為一個點作等邊三角形 DEF,且 DE=DC,連接 AE,將等邊三角形 DEF 繞點 D 旋轉(zhuǎn)一周,在整個旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng) AE 取得最大值時,AF 的長為 . 11. 解答下列問題. (1) 初步思考: 如圖(1)所示,在 △PCB 中,已知 PB=2,BC=4,N 為 BC 上一點且 BN=1,試證明 PN=12PC. (2) 問題提出: 如圖(2)所示,已知正方形 ABCD 的邊長為 4,圓 B 的半徑為 2,點 P 是圓 B 上的一個動點,求 PD+12PC 的最小值. (3) 推廣運(yùn)用: 如圖(3)所示,已知

7、菱形 ABCD 的邊長為 4,∠B=60°,圓 B 的半徑為 2,點 P 是圓 B 上的一個動點,求 PD-12PC 的最大值. 12. 如圖所示,在 △ABC 中,分別以 AB,AC 為腰向外側(cè)作等腰直角三角形 ADB 與等腰直角三角形 AEC,∠DAB=∠EAC=90°,連接 DC,EB 相交于點 O. (1) 求證 BE⊥DC; (2) 若 BE=BC. ①如圖(1)所示,G,F(xiàn) 分別是 DB,EC 中點,求 GFBC 的值. ②如圖(2)所示,連接 OA,若 OA=2,求 △DOE 的面積. 13. 如圖(1)所示,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,A

8、B=4,BC=2,點 D,E 分別是邊 BC,AC 的中點,連接 DE.將 △CDE 繞點 C 逆時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為 α. (1) 問題發(fā)現(xiàn). ①當(dāng) α=0° 時,AEBD= ; ②當(dāng) α=180° 時,AEBD= . (2) 拓展探究. 試判斷:當(dāng) 0°≤α<360° 時,AEBD 的大小有無變化?請僅就圖(2)的情形給出證明. (3) 問題解決. △CDE 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn)至 A,B,E 三點在同一條直線上時,求線段 BD 的長. 答案 1. 【答案】D 【解析】如圖所示,以 AB 為直徑作 ⊙O,連接 OC,OE. ∵A

9、B=AC,∠BAC=90°,BC=42, ∴AB=AC=4,OA=OB=2,OC=AC2+AO2=25. ∵OE=OA=2,OE+EC≥OC, ∴O,E,C 共線時,EC 的值最小,最小值為 25-2. 2. 【答案】 (1) 37 (2) 2337 (3) 如圖(3)所示,延長 OC 到點 E,使 CE=6, ∴OE=OC+CE=12. 連接 PE,OP, ∵OA=3, ∴OAOP=OPOE=12. ∵∠AOP=∠EOP, ∴△OAP∽△OPE, ∴APEP=12, ∴EP=2PA, ∴2PA+PB=EP+PB,

10、 ∴ 當(dāng) E,P,B 三點共線時,2PA+PB 取得最小值等于 BE=OB2+OE2=13. 【解析】 (1) 如圖(1)所示,連接 AD, ∵AP+12BP=AP+PD,要使 AP+12BP 最小, ∴AP+PD 最小,當(dāng)點 A,P,D 在同一條直線時,AP+PD 最小, 即 AP+12BP 最小值為 AD 的長. 在 Rt△ACD 中,CD=1,AC=6, ∴AD=AC2+CD2=37, 即 AP+12BP 的最小值為 37. (2) 如圖(2)所示,連接 CP,在 CA 上取點 D,使 CD=23, ∴CDCP=CPCA=13. ∵∠PCD=∠A

11、CP, ∴△PCD∽△ACP, ∴PDAP=CPCA=13, ∴PD=13AP, ∴13AP+BP=BP+PD. 同(1)的方法得出 13AP+BP 的最小值等于 BD=BC2+CD2=2337. 3. 【答案】A 【解析】如圖所示,設(shè)直線 x=-2 與 x 軸交于 G,過 A 作 AH⊥ 直線 x=-2 于 H,AF⊥x 軸于 F, ∵BH∥y 軸, ∴∠ABH=α. 在 Rt△ABH 中,tanα=5BH, ∵tanα 隨 BH 的增大而減小, ∴ 當(dāng) BH 最小時 tanα 有最大值; 即 BG 最大時,tanα 有最大值. ∵∠B

12、GC=∠ACB=∠AFC=90°, ∴∠GBC+∠BCG=∠BCG+∠ACF=90°, ∴∠GBC=∠ACF, ∴△ACF∽△CBG, ∴BGCF=CGAF,即 y3-x=x+24, ∴y=14x+23-x=-14x-122+2516, 當(dāng) x=12 時,y 取最大值 2516. 故選A. 4. 【答案】 14 【解析】如圖所示,作點 A 關(guān)于 CM 的對稱點 A?,點 B 關(guān)于 DM 的對稱點 B?. ∵∠CMD=120°, ∴∠AMC+∠DMB=60°, ∴∠CMA?+∠DMB?=60°, ∴∠A?MB?=60°. ∵M(jìn)A?=MB

13、?, ∴△A?MB? 為等邊三角形. ∵CD≤CA?+A?B?+B?D=CA+AM+BD=2+4+8=14, ∴CD 的最大值為 14. 5. 【答案】A 【解析】如圖所示,將 △ADC 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90°,得到 △ABE. 則 CD=BE,連接 DE,△ADE 是等腰直角三角形,ED=52. ∵ED-BD≤BE, ∴BE≥52-3, ∴ 當(dāng) E,B,D 三點共線時,BE 最小,即 CD 最?。? 此時 BE 的最小值為 DE-BD=52-3. 6. 【答案】B 【解析】如圖所示,連接 CC?,交 BD 于點 M,過點 D 作 D

14、H⊥BC? 于點 H, ∵AD=AC?=2,D 是 AC 邊上的中點, ∴DC=AD=2. 由翻折知 △BDC≌△BDC?,BD 垂直平分 CC?, ∴DC=DC?=2,BC=BC?,CM=C?M, ∴AD=AC?=DC?=2, ∴△ADC? 為等邊三角形, ∴∠ADC?=∠AC?D=∠C?AC=60°, ∵DC=DC?, ∴∠DCC?=∠DC?C=12×60°=30°. 在 Rt△C?DM 中,∠DC?C=30°,DC?=2, ∴DM=1,C?M=3DM=3, ∴BM=BD-DM=3-1=2. 在 Rt△BMC? 中,BC?=BM2+C?M2=2

15、2+32=7, ∵S△BDC?=12BC??DH=12BD?C?M, ∴7DH=3×3, ∴DH=3217. 7. 【答案】C 【解析】如圖所示,延長 AC 到點 P,使 CP=AC,連接 BP,過點 F 作 FH⊥BP 于點 H,取 AC 中點 O,連接 OG,過點 O 作 OQ⊥BP 于點 Q, ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=4, ∴AC=CP=2,BP=AB=4, ∴△ABP 是等邊三角形, ∴∠FBH=30°. Rt△FHB 中,F(xiàn)H=12FB, ∴ 當(dāng) G,F(xiàn),H 在同一直線上時,GF+12FB=GF+FH=GH 取得最

16、小值. ∵AE⊥CD 于點 G, ∴∠AGC=90°. ∵O 為 AC 的中點, ∴OA=OC=OG=12AC, ∴A,C,G 三點共圓,圓心為 O,即點 G 在 ⊙O 上運(yùn)動, ∴ 當(dāng)點 G 運(yùn)動到 OQ 上時,GH 取得最小值. ∵Rt△OPQ 中,∠P=60°,OP=3,sinP=OQOP=32, ∴OQ=32OP=332, ∴GH 的最小值為 332-1. 8. 【答案】 y=13x-1 【解析】 ∵ 一次函數(shù) y=2x-1 的圖象分別交 x 軸、 y 軸于點 A,B, ∴ 令 x=0,得 y=-1,令 y=0,則 x=12,

17、 ∴A12,0,B0,-1, ∴OA=12,OB=1. 如圖所示,過 A 作 AF⊥AB 交 BC 于 F,過 F 作 FE⊥x 軸于 E, 由題意知 ∠ABC=45°, ∴△ABF 是等腰直角三角形, ∴AB=AF. ∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°, ∴∠ABO=∠EAF, ∴△ABO≌△FAE, ∴AE=OB=1,EF=OA=12, ∴F32,-12. 設(shè)直線 BC 的函數(shù)解析式為 y=kx+b,由 32k+b=-12,b=-1, 得 k=13,b=-1, ∴ 直線 BC 的函數(shù)解析式為 y=13x-1. 9. 【答

18、案】 105 【解析】作點 E 關(guān)于 BC 的對稱點 E?,連接 E?G 交 BC 于點 F,此時四邊形 EFGH 周長取最小值,過點 G 作 GG?⊥AB 于點 G?,如圖所示: ∵AE=CG,BE=BE?, ∴E?G?=AB=10. ∵GG?=AD=5, ∴E?G=E?G?2+GG?2=55, ∴C四邊形EFGH=2E?G=105. 10. 【答案】 27 【解析】如圖所示,點 E,F(xiàn) 在以 D 為圓心,DC 為半徑的圓上,當(dāng) A,D,E 在同一直線上時,AE 取最大值,過點 A 作 AH⊥BC 交 BC 于 H,連接 FC, ∴∠BAC=120

19、°,AB=AC=23, ∴∠B=∠ACB=30°,BH=CH, ∴ 在 Rt△ABH 中,AH=12AB=3,BH=3AH=3, ∴BC=2BH=6, ∵BD:DC=1:2, ∴BD=2,CD=4, ∴DH=BH-BD=1, 在 Rt△ADH 中,AH=3,DH=1, ∴tan∠DAH=DHAH=33, ∴∠DAH=30°,∠ADH=60°, ∵△DEF 是等邊三角形, ∴∠E=60°,DE=EF=DC, ∵∠ADC=∠E=60°, ∴DC∥EF, ∵DC=EF, ∴ 四邊形 DEFC 為平行四邊形, 又 ∵DE=DC, ∴ 平行

20、四邊形 DEFC 為菱形, ∴FC=DC=4,∠DCF=∠E=60°, ∴∠ACF=∠ACB+∠DCF=90°, 在 Rt△ACF 中,AF=AC2+CF2=232+42=27. 11. 【答案】 (1) 如圖(1)所示. ∵PB=2,BC=4,BN=1, ∴PB2=4,BN?BC=4, ∴PB2=BN?BC, ∴BNBP=BPBC. 又 ∵∠B=∠B, ∴△BPN∽△BCP, ∴PNPC=BNBP=12, ∴PN=12PC. (2) 如圖(2)所示,在 BC 上取一點 G,使得 BG=1,連接 BP. ∵PBBG=21=2,BC

21、PB=42=2, ∴PBBG=BCPB,∠PBG=∠PBC, ∴△PBG∽△CBP, ∴PGPC=BGPB=12, ∴PG=12PC, ∴PD+12PC=DP+PG, ∵DP+PG≥DG, ∴ 當(dāng) D,P,G 共線時,PD+12PC 的值最小,最小值為 DG=42+32=5. (3) 同(2)中證法,如圖(3)所示. 取 BG=1,PD-12PC=PD-PG≤DG, 當(dāng)點 P 在 DG 的延長線上時,PD-12PC 取最大值,最大值為 DG 的長 =37. 12. 【答案】 (1) ∵∠DAB=∠EAC=90°, ∴∠EAB=∠CAD.

22、在 △BAE 和 △DAC 中, AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC, ∴△BAE≌△DAC, ∴∠ABE=∠ADC. ∵∠BAD=90°, ∴∠DOB=90°,即 BE⊥DC. (2) ①如圖(1)所示,取 DE 的中點 H,連接 GH,F(xiàn)H. ∵ 點 G 是 BD 的中點, ∴GH∥BE,GH=12BE. 同理,F(xiàn)H∥CD,F(xiàn)H=12CD. ∵BE=CD,BE⊥DC, ∴GH=FH,GH⊥FH, ∴△HGF 為等腰直角三角形, ∴GF=2GH. ∵GH=12BE, ∴GF=22BE. ∵BE=BC, ∴GFBC=2

23、2. ②如圖(2)所示,作 AM⊥BE 于 M,AN⊥CD 于 N. 在 △BAE 和 △BAC 中, BE=BC,AE=AC,AB=AB, ∴△BAE≌△BAC, ∴∠BAE=∠BAC=135°, ∴∠DAE=135°-90°=45°, 即 ∠OAD+∠OAE=45°. ∵△BAE≌△DAC, ∴AM=AN. 又 AM⊥BE,AN⊥CD, ∴OA 平分 ∠BOC, ∴∠BOA=∠COA=45°, ∴∠DOA=∠EOA=135°, ∴∠ODA+∠OAD=45°, ∴∠OAE=∠ODA, ∴△ODA∽△OAE, ∴ODOA=OAOE,

24、 即 OD?OE=OA2=4, ∴△DOE 的面積 =12OD?OE=2. 13. 【答案】 (1) 5;5 (2) 如圖(2)所示, 當(dāng) 0°≤α<360° 時,AEBD 的大小沒有變化. 證明: 因為 ∠ECD=∠ACB, 所以 ∠ECA=∠DCB. 又因為 ECDC=ACBC=5, 所以 △ECA∽△DCB, 所以 AEBD=ECDC=5. (3) ①如圖(3)所示, 當(dāng)點 E 在 AB 的延長線上時,在 Rt△BCE 中,CE=5,BC=2, 所以 BE=EC2-BC2=5-4=1, 所以 AE=AB+BE=5, 因為 AEBD=5,

25、 所以 BD=55=5. ②如圖(4)所示, 當(dāng)點 E 在線段 AB 上時,易知 BE=1,AE=4-1=3, 因為 AEBD=5, 所以 BD=355. 綜上所述,滿足條件的 BD 的長為 355 或 5. 【解析】 (1) ①當(dāng) α=0° 時, 因為 Rt△ABC 中,∠B=90°, 所以 AC=AB2+BC2=22+42=25, 因為點 D,E 分別是邊 BC,AC 的中點, 所以 AE=12AC=5,BD=12BC=1, 所以 AEBD=5. ②如圖(1)所示, 當(dāng) α=180° 時,可得 AB∥DE, 因為 ACAE=BCBD, 所以 AEBD=ACBC=5.

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