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人教版八下數學 專題集訓三 一次函數與定點、面積問題
1. 已知一次函數 y=m+4x+m+2．無論 m 取何值時它的圖象恒經過的定點坐標為 ；若 m 為整數，又知它的圖象不經過第二象限，則此時 m= ．
2. 求證：無論 m 取何值，一次函數 y=mx-2m-1 的圖象必經過一個確定的點．
3. 已知一個正比例函數和一個一次函數的圖象交于點 P-2,2，且一次函數的圖象與 y 軸的交點 Q 的縱坐標為 4．
(1) 求這兩個函數的解析式．
(2) 根據已知條件，在同一坐標系（如圖）中，分別畫出這兩個函數的圖象；
(3) 求 △PQO 的
2、面積．
4. 如圖，直線 l1 過 A0,2，B2,0 兩點，直線 l2:y=mx+b 過點 C1,0，且把 △AOB 分成兩部分，其中靠近原點的部分是一個三角形，設此三角形的面積為 S，求 S 關于 m 的函數解析式及自變量 m 的取值范圍．
5. 如圖，直線 l1 的解析式為 y1=-3x+3．且 l1 與 x 軸交于點 D．直線 l2 經過點 A，B，直線 l1，l2 交于點 C．
(1) 求直線 l2 的解析式；
(2) 求直線 l1，l2 與 x 軸圍成圖形的面積；
(3) 在直線 l2 上存在異于點 C 的另一點 P，使得 △ADP 與 △ADC 的
3、面積相等，請直接寫出點 P 的坐標．
6. 如圖，直線 l1 在平面直角坐標系中，直線 l1 與 y 軸交于點 A，點 B-3,3 也在直線 l1 上，將點 B 先向右平移 1 個單位長度，再向下平移 2 個單位長度得到點 C，點 C 恰好也在直線 l1 上．
(1) 求點 C 的坐標和直線 l1 的解析式；
(2) 若將點 C 先向左平移 3 個單位長度，再向上平移 6 個單位長度得到點 D．請判斷點 D 是否在直線 l1 上；
(3) 已知直線 l2：y=x+b 經過點 B，與 y 軸交于點 E，求 △ABE 的面積．
答案
1. 【答案】 -1,-2 ； -2
4、 或 -3
2. 【答案】 ∵y=mx-2m-1=mx-2+2，
∴ 令 x-2=0，即 x=2，則 y=2，
∴ 當 x=2 時，y=2 恒成立，即函數圖象必過定點 2,2．
3. 【答案】
(1) 設正比例函數解析式為 y=k1xk1≠0，
一次函數解析式為 y=k2x+bk2≠0,b≠0，
將 P-2,2 代入 y=k1x，則 k1=1，
所以 y=-x．
將 P-2,2 代入 y=k2x+b，則 2=-2k2+b，
因為一次函數圖象與 y 軸的交點縱坐標為 4，
所以 b=2，
所以 2=-2k2+4，則 k2=1，
所以一次函數解析式為
5、y=x+4．
(2) 函數圖象如圖．
(3) 點 P 到 y 軸的距離為 P 的橫坐標的絕對值，△POQ 的底 OQ=4，高 h=2，
所以 △OPQ 的面積為 S=12×2×4=4．
4. 【答案】 ∵ 直線 l1 過點 A0,2，B2,0，直線 l2:y=mx+b 過點 C1,0 且把 △AOB 分成兩部分，其中靠近原點的部分是一個三角形，
∴ 可以推出直線 l2 過第一、二、四象限，
∴ 可以設直線 l2 交 y 軸于 D0,b，
∵l2 與坐標軸圍成的三角形面積為 S，根據三角形面積公式可得，S=b2，則 b=2S，
即點 D 坐標為 0,2S，
將
6、C，D 兩點坐標代入直線 l2 的解析式，可得 m+b=0,b=2S,
化簡得 m=-2S，
∴S 關于 m 的函數解析式為：S=-m2，
∵S>0 且 S 小于等于 △AOB 面積的一半，
∴0
7、方程組 y=-3x+3,y=32x-6, 得 x=2,y=-3,
所以 C2,-3，把 y=0 代入 y=-3x+3 得 x=1，
所以 D1,0，
因為 A4,0，
所以 AD=4-1=3，
所以 S△ADC=12×AD×∣-3∣=12×3×3=92．
(3) 點 P 的坐標為 6,3．
【解析】
(3) 因為點 P 與點 C 到 AD 的距離相等，
所以點 P 的縱坐標為 3，
當 y=3 時，32x-6=3，解得 x=6，
所以點 P 的坐標為 6,3．
6. 【答案】
(1) 因為 B-3,3，將點 B 先向右平移 1 個單位長度，再向下平移 2
8、 個單位長度得到點 C，
所以 -3+1=-2，3-2=1，
所以點 C 的坐標為 -2,1，
設直線 l1 的解析式為 y=kx+ck≠0，
因為點 B，C 在直線 l1 上，
所以 -3k+c=3,-2k+c=1, 解得 k=-2,c=-3,
所以直線 l1 的解析式為 y=-2x-3．
(2) 因為將點 C 先向左平移 3 個單位長度，再向上平移 6 個單位長度得到點 D，C-2,1，
所以 -2-3=-5，1+6=7，
所以點 D 的坐標為 -5,7，
將 -5,7 代入 y=-2x-3，左邊 = 右邊，即點 D 在直線 l1 上．
(3) 把點 B 的坐標代入 y=x+b 得 3=-3+b，解得 b=6，
所以 y=x+6，
所以點 E 的坐標為 0,6，
因為直線 y=-2x-3 與 y 軸交于點 A，
所以點 A 的坐標為 0,-3，
所以 AE=6+3=9，
因為 B-3,3，
所以 △ABE 的面積為 12×9×∣-3∣=13.5．
人教版八下數學 專題集訓三 一次函數與定點、面積問題
