2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講座 第二十五講 與圓有關(guān)的計(jì)算
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1、2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第二十五講 與圓有關(guān)的計(jì)算 【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 正多邊形和圓: 1、各邊相等, 也相等的多邊形是正多邊形 2、每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓,外接圓的圓心叫正多邊形的 外接圓的半徑叫正多邊形的 一般用字母R表示,每邊所對(duì)的圓心角叫 用α表示,中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的 用r表示 3、每一個(gè)正幾邊形都被它的半徑分成一個(gè)全等的 三角形,被它的半徑和邊心距分成一個(gè)全等的 三角形 【名師提醒:正多邊形的有關(guān)計(jì)算,一般是放在一個(gè)等腰三角形或一個(gè)直角三角形中進(jìn)行,根據(jù)半徑、
2、邊心距、邊長(zhǎng)、中心角等之間的邊角關(guān)系作計(jì)算,以正三角形、正方形和正方邊形為主】 弧長(zhǎng)與扇形面積計(jì)算: Qo的半徑為R,弧長(zhǎng)為l,圓心角為n2,扇形的面積為s扇,則有如下公式: L= S扇= = 【名師提醒:1、以上幾個(gè)公式都可進(jìn)行變形, 2、原公式中涉及的角都不帶學(xué)位 3、扇形的兩個(gè)公式可根據(jù)已知條件靈活進(jìn)行選擇 4、圓中的面積計(jì)算常見的是求陰影部分的面積,常用的方法有:⑴則圖形面積的和與差 ⑵割補(bǔ)法 ⑶等積變形法 ⑷平移法 ⑸旋轉(zhuǎn)法等】 三、圓柱和圓錐: 1、如圖:設(shè)圓柱的高為l,底
3、面半徑為R 則有:⑴S圓柱側(cè)= ⑵S圓柱全= ⑶V圓柱= 2、如圖:設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R 高位h,則有: ⑴S圓柱側(cè)= 、 ⑵S圓柱全= ⑶V圓柱= 【名師提醒:1、圓柱的高有 條,圓錐的高有 條 2、圓錐的高h(yuǎn),母線長(zhǎng)l,底高半徑R滿足關(guān)系 3、注意圓錐的側(cè)面展開圓中扇形的半徑l是圓錐的 扇形的弧長(zhǎng)是圓錐的 4、圓錐的母線為l,
4、底面半徑為R,側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù)為n若l=2r,則n= c=3r,則n= c=4r則n= 】 【典型例題解析】 考點(diǎn)一:正多邊形和圓 例1 (2012?咸寧)如圖,⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,則圖中陰影部分的面積為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):正多邊形和圓. 分析:由于六邊形ABCDEF是正六邊形,所以∠AOB=60°,故△OAB是等邊三角形,OA=OB=AB=2,設(shè)點(diǎn)G為AB與⊙O的切點(diǎn),連接OG,則OG⊥AB,OG=OA?sin60°,再根據(jù)S陰影=S△OAB-S扇
5、形OMN,進(jìn)而可得出結(jié)論. 解答:解:∵六邊形ABCDEF是正六邊形, ∴∠AOB=60°, ∴△OAB是等邊三角形,OA=OB=AB=2, 設(shè)點(diǎn)G為AB與⊙O的切點(diǎn),連接OG,則OG⊥AB, ∴OG=OA?sin60°=2×=, ∴S陰影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-. 故選A. 點(diǎn)評(píng):本題考查的是正多邊形和圓,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1.(2012?安徽)為增加綠化面積,某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚,更換后,圖中陰影部分為植草區(qū)域,設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為a,則陰影部分的面積為
6、( ?。? A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2 考點(diǎn):正多邊形和圓;等腰直角三角形;正方形的性質(zhì). 分析:根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出∠CAB=∠CBA=45°,進(jìn)而得出AC=BC= a,再利用正八邊形周圍四個(gè)三角形的特殊性得出陰影部分面積即可. 解答:解:∵某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚,設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為a, ∴AB=a,且∠CAB=∠CBA=45°, ∴sin45°===, ∴AC=BC=a, ∴S△ABC=×a×a=, ∴正八邊形周圍是四個(gè)全等三角形,面積和為:×4=a2. 正八邊形中間是邊長(zhǎng)為a的正方形, ∴陰
7、影部分的面積為:a2+a2=2a2, 故選:A. 點(diǎn)評(píng):此題主要考查了正八邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì),根據(jù)已知得出S△ABC的值是解題關(guān)鍵. 考點(diǎn)二:圓周長(zhǎng)與弧長(zhǎng) 例2 (2012?北海)如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為( ?。? A.10π B. C. D.π 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算;勾股定理. 專題:網(wǎng)格型. 分析:由題意可知點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑為以C為圓心,CA長(zhǎng)為半徑,圓心角為60°的弧長(zhǎng),故在直角三角形ACD中,由AD及DC的長(zhǎng),利用
8、勾股定理求出AC的長(zhǎng),然后利用弧長(zhǎng)公式即可求出. 解答:解:如圖所示: 在Rt△ACD中,AD=3,DC=1, 根據(jù)勾股定理得:AC==, 又將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°, 則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為l=π. 故選C 點(diǎn)評(píng):此題考查了弧長(zhǎng)公式,以及勾股定理,解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑為以C為圓心,CA長(zhǎng)為半徑,圓心角為60°的弧長(zhǎng). 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3.(2012?廣安)如圖,Rt△ABC的邊BC位于直線l上,AC=,∠ACB=90°,∠A=30°.若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右滑動(dòng)地旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí),點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)為 )
9、π (結(jié)果用含有π的式子表示) 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 分析:根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=1,AB=2BC=2,∠ABC=60°;點(diǎn)A先是以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到A1,再以點(diǎn)C1為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到A2,然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算兩段弧長(zhǎng),從而得到點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí),點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長(zhǎng). 解答:解:∵Rt△ABC中,AC=,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴BC=1,AB=2BC=2,∠ABC=60°; ∵Rt△ABC在直線l上無滑動(dòng)的翻轉(zhuǎn),且點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí),有3個(gè)的長(zhǎng),2個(gè)的長(zhǎng), ∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線長(zhǎng)=×3+×2=
10、(4+)π. 故答案為:(4+)π. 點(diǎn)評(píng):本題考查了弧長(zhǎng)公式:l= (其中n為圓心角的度數(shù),R為半徑);也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系. 考點(diǎn)三:扇形面積與陰影部分面積 例3 (2012?畢節(jié)地區(qū))如圖,在正方形ABCD中,以A為頂點(diǎn)作等邊△AEF,交BC邊于E,交DC邊于F;又以A為圓心,AE的長(zhǎng)為半徑作 .若△AEF的邊長(zhǎng)為2,則陰影部分的面積約是( ?。? (參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732,π取3.14) A.0.64 B.1.64 C.1.68 D.0.36 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的
11、性質(zhì);等腰直角三角形;正方形的性質(zhì). 專題:探究型. 分析:先根據(jù)直角邊和斜邊相等,證出△ABE≌△ADF,得到△ECF為等腰直角三角形,求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面積,S△ECF-S弓形EGF即可得到陰影部分面積. 解答:解:∵AE=AF,AB=AD, ∴△ABE≌△ADF(Hl), ∴BE=DF, ∴EC=CF, 又∵∠C=90°, ∴△ECF是等腰直角三角形, ∴EC=EFcos45°=2×=, ∴S△ECF=××=1, 又∵S扇形AEF=π22=π,S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=, 又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-
12、, ∴S陰影=S△ECF-S弓形EGF=1-(π-)≈0.64. 故選A. 點(diǎn)評(píng):本題考查了扇形面積的計(jì)算,全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形、正方形的性質(zhì),將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為S△ECF-S弓形EGF是解題的關(guān)鍵. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3.(2012?內(nèi)江)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,則陰影部分圖形的面積為( ?。? A.4π B.2π C.π D. 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;垂徑定理;圓周角定理;解直角三角形. 專題:數(shù)形結(jié)合. 分析:連接OD,則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE,繼而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的
13、面積,代入扇形的面積公式求解即可. 解答:解:連接OD. ∵CD⊥AB, ∴CE=DE=CD=(垂徑定理), 故S△OCE=S△CDE, 即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積, 又∵∠CDB=30°, ∴∠COB=60°(圓周角定理), ∴OC=2, 故S扇形OBD==,即陰影部分的面積為. 故選D. 點(diǎn)評(píng):此題考查了扇形的面積計(jì)算、垂徑定理及圓周角定理,解答本題關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分的面積等于扇形OBD的面積,另外要熟記扇形的面積公式. 考點(diǎn)四:圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖 例4 (2012?永州)如圖,已知圓O的半徑為4,∠A=45°,若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開
14、圖與扇形OBC能完全重合,則該圓錐的底面圓的半徑為 1 . 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算;圓周角定理. 分析:首先求得扇形的圓心角BOC的度數(shù),然后求得扇形的弧長(zhǎng),利用弧長(zhǎng)等于圓的底面周長(zhǎng)求得圓錐的底面圓的半徑即可. 解答:解:∵∠A=45°, ∴∠BOC=90° ∴扇形BOC的弧長(zhǎng)為=2π, 設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2πr=2π 解得r=1, 故答案為1. 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓錐的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是正確的進(jìn)行圓錐的有關(guān)元素和扇形的有關(guān)元素之間的轉(zhuǎn)化. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 7.(2012?襄陽(yáng))如圖,從一個(gè)直徑為4 dm的圓形鐵皮中剪出一個(gè)圓心角為60°的扇形ABC,
15、并將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐,則圓錐的底面半徑為 1 dm. 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算. 分析:圓的半徑為2 ,那么過圓心向AC引垂線,利用相應(yīng)的三角函數(shù)可得AC的一半的長(zhǎng)度,進(jìn)而求得AC的長(zhǎng)度,利用弧長(zhǎng)公式可求得弧BC的長(zhǎng)度,圓錐的底面圓的半徑=圓錐的弧長(zhǎng)÷2π. 解答:解:作OD⊥AC于點(diǎn)D,連接OA, ∴∠OAD=30°,AC=2AD, ∴AC=2OA×cos30°=6 ∴=2π ∴圓錐的底面圓的半徑=2π÷(2π)=1. 故答案為:1. 點(diǎn)評(píng):考查圓錐的計(jì)算;用的知識(shí)點(diǎn)為:圓錐的側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng);難點(diǎn)是得到扇形的半徑.
16、 【聚焦山東中考】 1.(2012?日照)如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,若將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′,則 的長(zhǎng)為( ?。? A.π B. C.7π D.6π 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 專題:網(wǎng)格型. 分析:根據(jù)圖示知∠BAB′=45°,所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式l= 求得的長(zhǎng). 解答:解:根據(jù)圖示知,∠BAB′=45°, ∴的長(zhǎng)為:=π. 故選A. 點(diǎn)評(píng):本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).解答此題時(shí)采用了“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)思想. 2.(2012?臨沂)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),AB=4,∠BED=12
17、0°,則圖中陰影部分的面積之和為( ?。? A.1 B. C. D.2 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;等邊三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理. 專題:探究型. 分析:首先證明△ABC是等邊三角形.則△EDC是等邊三角形,邊長(zhǎng)是2.而和弦BE圍成的部分的面積= 和弦DE圍成的部分的面積.據(jù)此即可求解. 解答:解:連接AE, ∵AB是直徑, ∴∠AEB=90°, 又∵∠BED=120°, ∴∠AED=30°, ∴∠AOD=2∠AED=60°. ∵OA=OD ∴△AOD是等邊三角形, ∴∠A=60°, ∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),∠AEB=90°, ∴
18、AB=AC, ∴△ABC是等邊三角形,邊長(zhǎng)是4.△EDC是等邊三角形,邊長(zhǎng)是2. ∴∠BOE=∠EOD=60°, ∴和弦BE圍成的部分的面積=和弦DE圍成的部分的面積. ∴陰影部分的面積=S△EDC=×22=. 故選C. 點(diǎn)評(píng):本題考查了等邊三角形的面積的計(jì)算,證明△EDC是等邊三角形,邊長(zhǎng)是4.理解和弦BE圍成的部分的面積= 和弦DE圍成的部分的面積是關(guān)鍵. 3.(2012?德州)如圖,“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點(diǎn)為圓心,以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成.已知正三角形的邊長(zhǎng)為1,則凸輪的周長(zhǎng)等于 π . 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算;等邊三角形的
19、性質(zhì). 專題:計(jì)算題. 分析:由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點(diǎn)為圓心,以正三角形的邊長(zhǎng)為半徑的三段等弧組成,得到∠A=∠B=∠C=60°,AB=AC=BC=1,然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出三段弧長(zhǎng),三段弧長(zhǎng)之和即為凸輪的周長(zhǎng). 解答: 解:∵△ABC為正三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=AC=BC=1, ∴====, 根據(jù)題意可知凸輪的周長(zhǎng)為三個(gè)弧長(zhǎng)的和, 即凸輪的周長(zhǎng)=++=3×=π. 故答案為:π. 點(diǎn)評(píng):此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及等邊三角形的性質(zhì),熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解本題的關(guān)鍵. 4.(2012?煙臺(tái))如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,A
20、B=2.將△ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△AB′C′的位置,B,A,C′三點(diǎn)共線,則線段BC掃過的區(qū)域面積為 . 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì). 專題:探究型. 分析:先根據(jù)Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2求出BC及AC的長(zhǎng),再根據(jù)題意得出S陰影=AB掃過的扇形面積-AC掃過的扇形面積. 解答:解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2, ∴BC=AB=×2=1,AC=2×=, ∴∠BAB′=150°, ∴S陰影=AB掃過的扇形面積-AC掃過的扇形面積=-=. 故答案為:. 點(diǎn)評(píng):本題考查的是扇形的面積公式,根據(jù)題
21、意得出S陰影=AB掃過的扇形面積-BC掃過的扇形面積是解答此題的關(guān)鍵. 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1.(2012?湛江)一個(gè)扇形的圓心角為60°,它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm,則這個(gè)扇形的半徑為( ) A.6cm B.12cm C.2cm D.6cm 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算. 專題:計(jì)算題. 分析:由已知的扇形的圓心角為60°,它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm,代入弧長(zhǎng)公式即可求出半徑R. 解答:解:由扇形的圓心角為60°,它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm, 即n=60°,l=2π, 根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=,得2π=, 即R=6cm. 故選A. 點(diǎn)評(píng):此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算,解題的關(guān)鍵
22、是熟練掌握弧長(zhǎng)公式,理解弧長(zhǎng)公式中各個(gè)量所代表的意義. 2.(2012?漳州)如圖,一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周,圓心移動(dòng)的距離是( ) A.2πcm B.4πcm C.8πcm D.16πcm 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算. 專題:計(jì)算題. 分析:由于直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周,則圓心移動(dòng)的距離等于圓的周長(zhǎng),然后利用圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可. 解答:解:∵一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動(dòng)一周, ∴圓心移動(dòng)的距離等于圓的周長(zhǎng),即2π×=4π. 故選B. 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的周長(zhǎng)公式:圓的周長(zhǎng)=2πR(R為圓的半徑). 3.(2012?
23、珠海)如果一個(gè)扇形的半徑是1,弧長(zhǎng)是 ,那么此扇形的圓心角的大小為( ?。? A.30° B.45° C.60° D.90° 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算. 分析:根據(jù)弧長(zhǎng)公式l=,即可求解. 解答:解:設(shè)圓心角是n度,根據(jù)題意得 =, 解得:n=60. 故選C. 點(diǎn)評(píng):本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式,是一個(gè)基礎(chǔ)題. 4.(2012?鄂州)如圖,四邊形OABC為菱形,點(diǎn)A,B在以O(shè)為圓心的弧上,若OA=2,∠1=∠2,則扇形ODE的面積為( ?。? A. B. C.2π D.3π 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;菱形的性質(zhì). 專題:計(jì)算題. 分析:連接OB,根據(jù)等邊三角形的
24、性質(zhì)可以求得∠AOC=120°,再結(jié)合∠1=∠2,即可求得扇形所在的圓心角的度數(shù),從而根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行求解. 解答:解:連接OB, ∵OA=OB=OC=AB=BC, ∴∠AOB+∠BOC=120°. 又∵∠1=∠2, ∴∠DOE=120°. ∴扇形ODE的面積為==3π. 故選D. 點(diǎn)評(píng):本題考查扇形面積的計(jì)算,同時(shí)綜合運(yùn)用了菱形和等邊三角形的性質(zhì).要求掌握扇形的面積公式:(1)利用圓心角和半徑:S=;(2)利用弧長(zhǎng)和半徑:S= lr,并學(xué)會(huì)針對(duì)不同的題型選擇合適的方法. 5.(2012?黑河)如圖,在△ABC中,BC=4,以點(diǎn)A為圓心,2為半徑的⊙A與BC
25、相切于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn),且∠EPF=45°,則圖中陰影部分的面積為( ?。? A.4-π B.4-2π C.8+π D.8-2π 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;切線的性質(zhì). 分析:根據(jù)圓周角定理可以求得∠A的度數(shù),即可求得扇形EAF的面積,根據(jù)陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形EAF的面積即可求解. 解答:解:△ABC的面積是: BC?AD=×4×2=4, ∠A=2∠EPF=90°. 則扇形EAF的面積是:=π. 故陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形EAF的面積=4-π. 故選A. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查了扇形面積的計(jì)算,正確求得扇形的圓心
26、角是解題的關(guān)鍵. 6.(2012?黃石)如圖所示,扇形AOB的圓心角為120°,半徑為2,則圖中陰影部分的面積為( ?。? A. B. C. D. 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算. 專題:探究型. 分析:過點(diǎn)O作OD⊥AB,先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAD的度數(shù),由直角三角形的性質(zhì)得出OD的長(zhǎng),再根據(jù)S陰影=S扇形OAB-S△AOB進(jìn)行計(jì)算即可. 解答:解:過點(diǎn)O作OD⊥AB, ∵∠AOB=120°,OA=2, ∴∠OAD==30°, ∴OD=OA=×2=1,AD==, ∴AB=2AD=2, ∴S陰影=S扇形OAB-S△AOB=-×2×1=. 故選A.
27、 點(diǎn)評(píng):本題考查的是扇形面積的計(jì)算及三角形的面積,根據(jù)題意得出S陰影=S扇形OAB-S△AOB是解答此題的關(guān)鍵. 7. (2012?婁底)如圖,正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上,小圓與正方形各邊都相切,AB與CD是大圓的直徑,AB⊥CD,CD⊥MN,則圖中陰影部分的面積是( ?。? A.4π B.3π C.2π D.π 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;軸對(duì)稱的性質(zhì). 專題:探究型. 分析:由AB⊥CD,CD⊥MN可知陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的,再根據(jù)圓的面積公式進(jìn)行解答即可. 解答:解:∵AB⊥CD,CD⊥MN, ∴陰影部分
28、的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的, ∵正方形MNEF的四個(gè)頂點(diǎn)在直徑為4的大圓上, ∴S陰影=π×()2=π. 故選D. 點(diǎn)評(píng):本題考查的是扇形的面積及軸對(duì)稱的性質(zhì),根據(jù)題意得出陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的是解答此題的關(guān)鍵. 8.(2012?連云港)用半徑為2cm的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,這個(gè)圓錐的底面半徑為( ?。? A.1cm B.2cm C.πcm D.2πcm 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算. 分析:由于半圓的弧長(zhǎng)=圓錐的底面周長(zhǎng),那么圓錐的底面周長(zhǎng)=2π,底面半徑=2π÷2π得出即可. 解答:解:由題意知:底面周長(zhǎng)=2πcm,底面半徑=2π÷2π=1cm.
29、 故選A. 點(diǎn)評(píng):此題主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關(guān)系,圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形,此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng),解決本題的關(guān)鍵是應(yīng)用半圓的弧長(zhǎng)=圓錐的底面周長(zhǎng). 9.(2012?南充)若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍,則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為( ?。? A.120° B.180° C.240° D.300° 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算. 分析:根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍可得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系,利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)即可得到該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角度數(shù). 解答:解:設(shè)母線長(zhǎng)為R,底面半徑為r, ∴底面周長(zhǎng)=2πr
30、,底面面積=πr2,側(cè)面面積=πrR, ∵側(cè)面積是底面積的2倍, ∴2πr2=πrR, ∴R=2r, 設(shè)圓心角為n,有=2πr=πR, ∴n=180°. 故選:B. 點(diǎn)評(píng):本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算.解題思路:解決此類問題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系:(1)圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形半徑;(2)圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng),以及利用扇形面積公式求出是解題的關(guān)鍵. 10. (2012?寧波)如圖,用鄰邊分別為a,b(a<b)的矩形硬紙板裁出以a為直徑的兩個(gè)半圓,再裁出與矩形的較長(zhǎng)邊、兩個(gè)半圓均相切的兩個(gè)小圓.把半圓作為圓錐形圣誕帽的側(cè)面,小圓恰好能
31、作為底面,從而做成兩個(gè)圣誕帽(拼接處材料忽略不計(jì)),則a與b滿足的關(guān)系式是( ?。? A.b= a B.b=a C.b=a D.b= a 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算. 分析:首先利用圓錐形圣誕帽的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面的弧長(zhǎng)求得小圓的半徑,然后利用兩圓外切的性質(zhì)求得a、b之間的關(guān)系即可. 解答:解:∵半圓的直徑為a, ∴半圓的弧長(zhǎng)為 ∵把半圓作為圓錐形圣誕帽的側(cè)面,小圓恰好能作為底面, ∴設(shè)小圓的半徑為r,則:2πr= 解得:r= 如圖小圓的圓心為B,半圓的圓心為C,作BA⊥CA于A點(diǎn), 則:AC2+AB2=BC2 即:()2+()2=()2 整理得:b=a 故選D.
32、 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓錐的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是利用兩圓相外切的性質(zhì)得到兩圓的圓心距,從而利用勾股定理得到a、b之間的關(guān)系. 11.(2012?寧夏)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,那么下列選項(xiàng)中最接近這個(gè)幾何體的側(cè)面積的是( ?。? A.24.0 B.62.8 C.74.2 D.113.0 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算;由三視圖判斷幾何體. 分析:由題意可知,幾何體是圓錐,根據(jù)公式直接求解即可. 解答:解:幾何體為圓錐,母線長(zhǎng)為5,底面半徑為4, 則側(cè)面積為πrl=π×4×5=20π≈62.8, 故選B. 點(diǎn)評(píng):本題考查三視圖求側(cè)面積問題,考查空間想象能力,
33、是基礎(chǔ)題.首先判定該立體圖形是圓錐是解決此題的關(guān)鍵. 12.(2012?龍巖)如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,把矩形ABCD繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積為( ?。? A.10π B.4π C.2π D.2 考點(diǎn):圓柱的計(jì)算;點(diǎn)、線、面、體;矩形的性質(zhì). 分析:根據(jù)圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高即可計(jì)算圓柱的側(cè)面積. 解答:解:圓柱的側(cè)面面積=π×2×2×1=4π. 故選B. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式.側(cè)面展開圖形的一邊長(zhǎng)為半徑為2的圓的周長(zhǎng). 二、填空題 13.(2012?巴中)已知一個(gè)圓的半徑為5cm,則它的
34、內(nèi)接六邊形的邊長(zhǎng)為 5cm . 考點(diǎn):正多邊形和圓. 分析:首先根據(jù)題意畫出圖形,六邊形ABCDEF是正六邊形,易得△OAB是等邊三角形,又由圓的半徑為5cm,即可求得它的內(nèi)接六邊形的邊長(zhǎng). 解答:解:如圖,連接OA,OB, ∵六邊形ABCDEF是正六邊形, ∴∠AOB=×360°=60°, ∴△OAB是等邊三角形, ∴AB=OA=OB=5cm, 即它的內(nèi)接六邊形的邊長(zhǎng)為:5cm. 故答案為:5cm. 點(diǎn)評(píng):此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì).此題難度不大,注意根據(jù)題意得到△OAB是等邊三角形是解此題的關(guān)鍵,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
35、14.(2012?天津)若一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為24,則該六邊形的面積為 . 考點(diǎn):正多邊形和圓. 分析:首先根據(jù)題意畫出圖形,即可得△OBC是等邊三角形,又由正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為24,即可求得BC的長(zhǎng),繼而求得△OBC的面積,則可求得該六邊形的面積. 解答:解:如圖,連接OB,OC,過O作OM⊥BC于M, ∴∠AOB=×360°=60°, ∵OA=OB, ∴△OBC是等邊三角形, ∵正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為24, ∴BC=24÷6=4, ∴OB=BC=4, ∴BM=BC=2, ∴OM==2, ∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4,
36、 ∴該六邊形的面積為:4×6=24. 故答案為:24. 點(diǎn)評(píng):此題考查了圓的內(nèi)接六邊形的性質(zhì)與等邊三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 15.(2012?長(zhǎng)沙)在半徑為1cm的圓中,圓心角為120°的扇形的弧長(zhǎng)是 π cm. 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算. 分析:知道半徑,圓心角,直接代入弧長(zhǎng)公式L=即可求得扇形的弧長(zhǎng). 解答:解:扇形的弧長(zhǎng)L==πcm. 故答案為:πcm. 點(diǎn)評(píng):考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算,要掌握弧長(zhǎng)公式:L= 才能準(zhǔn)確的解題. 16.(2012?衡陽(yáng))如圖,⊙O的半徑為6cm,直線AB是⊙O的切線,切點(diǎn)為點(diǎn)B
37、,弦BC∥AO,若∠A=30°,則劣弧 的長(zhǎng)為 2π cm. 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算;等邊三角形的判定與性質(zhì);切線的性質(zhì). 專題:數(shù)形結(jié)合. 分析:根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OB⊥AB,繼而求出∠BOA的度數(shù),利用弦BC∥AO,及OB=OC可得出∠BOC的度數(shù),代入弧長(zhǎng)公式即可得出答案. 解答:解:∵直線AB是⊙O的切線, ∴OB⊥AB, 又∵∠A=30°, ∴∠BOA=60°, ∵弦BC∥AO,OB=OC, ∴△OBC是等邊三角形, 即可得∠BOC=60°, ∴劣弧的長(zhǎng)==2πcm. 故答案為:2π. 點(diǎn)評(píng):此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、切線的性質(zhì),
38、根據(jù)切線的性質(zhì)及圓的性質(zhì)得出△OBC是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵,另外要熟練記憶弧長(zhǎng)的計(jì)算公式. 17. (2012?莆田)若扇形的圓心角為60°,弧長(zhǎng)為2π,則扇形的半徑為 6 . 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算. 專題:計(jì)算題. 分析:利用扇形的弧長(zhǎng)公式表示出扇形的弧長(zhǎng),將已知的圓心角及弧長(zhǎng)代入,即可求出扇形的半徑. 解答:解:∵扇形的圓心角為60°,弧長(zhǎng)為2π, ∴l(xiāng)=,即2π=, 則扇形的半徑r=6. 故答案為:6 點(diǎn)評(píng):此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,扇形的弧長(zhǎng)公式為l= (n為扇形的圓心角度數(shù),R為扇形的半徑),熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解本題的關(guān)鍵. 18. (
39、2012?蘇州)已知扇形的圓心角為45°,弧長(zhǎng)等于,則該扇形的半徑為 2 . 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算. 分析:根據(jù)弧長(zhǎng)公式l= 可以求得該扇形的半徑的長(zhǎng)度. 解答:解:根據(jù)弧長(zhǎng)的公式l=,知 r===2,即該扇形的半徑為2. 故答案是:2. 點(diǎn)評(píng):本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算.解題時(shí),主要是根據(jù)弧長(zhǎng)公式列出關(guān)于半徑r的方程,通過解方程即可求得r的值. 19. (2012?廈門)如圖,已知∠ABC=90°,AB=πr,BC= ,半徑為r的⊙O從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.請(qǐng)你根據(jù)題意,在圖上畫出圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的示意圖;圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是 2πr
40、 . 考點(diǎn):弧長(zhǎng)的計(jì)算. 專題:作圖題. 分析:根據(jù)題意畫出圖形,將運(yùn)動(dòng)路徑分為三部分:OO1, ,O2O3,分別計(jì)算出各部分的長(zhǎng)再相加即可. 解答:解:圓心O運(yùn)動(dòng)路徑如圖: ∵OO1=AB=πr; =; O2O3=BC=; ∴圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是πr++=2πr. 故答案為2πr. 點(diǎn)評(píng):本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算,找到運(yùn)動(dòng)軌跡,將運(yùn)動(dòng)軌跡劃分為三部分進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵. 20. (2012?常州)已知扇形的半徑為3cm,圓心角為120°,則此扇形的弧長(zhǎng)為 2π cm,扇形的面積是 3π cm2.(結(jié)果保留π)
41、 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;弧長(zhǎng)的計(jì)算. 專題:計(jì)算題. 分析:分別根據(jù)弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可. 解答:解:由題意得,扇形的半徑為3cm,圓心角為120°, 故此扇形的弧長(zhǎng)為:=2π,扇形的面積==3π. 故答案為:2π,3π. 點(diǎn)評(píng):此題考查了扇形的面積計(jì)算及弧長(zhǎng)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長(zhǎng)及扇形的面積計(jì)算公式,難度一般. 21.(2012?廣東)如圖,在?ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以點(diǎn)A為圓心,AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E,連接CE,則陰影部分的面積是 π (結(jié)果保留π). 考點(diǎn):扇形面積
42、的計(jì)算;平行四邊形的性質(zhì). 分析:過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F.可求?ABCD和△BCE的高,觀察圖形可知陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積,計(jì)算即可求解. 解答:解:過D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F. ∵AD=2,AB=4,∠A=30°, ∴DF=AD?sin30°=1,EB=AB-AE=2, ∴陰影部分的面積: 4×1--2×1÷2 =4-π-1 =3-π. 故答案為:3-π. 點(diǎn)評(píng):考查了平行四邊形的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算,本題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積. 22. (2012?貴港)如圖,
43、在△ABC中,∠A=50°,BC=6,以BC為直徑的半圓O與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E,則圖中陰影部分面積之和等于 π. (結(jié)果保留π). 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;三角形內(nèi)角和定理. 分析:根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C=180°-∠A=130°,利用半徑相等得到OB=OD,OC=OE,則∠B=∠ODB,∠C=∠OEC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOD=180°-2∠B,∠COE=180°-2∠C, 則∠BOD+∠COE=360°-2(∠B+∠C)=360°-2×130°=100°,圖中陰影部分由兩個(gè)扇形組成,它們的圓心角的和為100°,半徑為3,然后根據(jù)
44、扇形的面積公式計(jì)算即可. 解答:解:∵∠A=50°, ∴∠B+∠C=180°-∠A=130°, 而OB=OD,OC=OE, ∴∠B=∠ODB,∠C=∠OEC, ∴∠BOD=180°-2∠B,∠COE=180°-2∠C, ∴∠BOD+∠COE=360°-2(∠B+∠C)=360°-2×130°=100°, 而OB=BC=3, ∴S陰影部分==π. 故答案為π. 點(diǎn)評(píng):本題考查了扇形面積的計(jì)算:扇形的面積= (n為圓心角的度數(shù),R為半徑).也考查了三角形內(nèi)角和定理. 23.(2012?涼山州)如圖,小正方形構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中,半徑為1的⊙O在格點(diǎn)上,則圖中陰影部分兩個(gè)小扇形的面
45、積之和為 (結(jié)果保留π). 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算. 分析:先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC+∠BAC的值,再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行解答即可. 解答:解:∵△ABC是直角三角形, ∴∠ABC+∠BAC=90°, ∵兩個(gè)陰影部分扇形的半徑均為1, ∴S陰影==. 故答案為:. 點(diǎn)評(píng):本題考查的是扇形的面積及直角三角形的性質(zhì),熟知扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵. 24.(2012?攀枝花)底面半徑為1,高為 的圓錐的側(cè)面積等于 2π . 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算. 分析:由于高線,底面的半徑,母線正好組成直角三角形,故母線長(zhǎng)可由勾股定理求得
46、,再由圓錐側(cè)面積= 底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)計(jì)算. 解答:解:∵高線長(zhǎng)為,底面的半徑是1, ∴由勾股定理知:母線長(zhǎng)==2, ∴圓錐側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)=×2π×2=2π. 故答案為:2π. 點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐的側(cè)面積表達(dá)公式應(yīng)用,需注意應(yīng)先算出母線長(zhǎng). 25.(2012?黔西南州)已知圓錐的底面半徑為10cm,它的展開圖的扇形的半徑為30cm,則這個(gè)扇形圓心角的度數(shù)是 120° . 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算. 分析:先計(jì)算出圓錐的底面圓的周長(zhǎng)=2π?10=20π,再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓的周長(zhǎng),扇形的半徑為圓錐的母線長(zhǎng)得到弧
47、長(zhǎng)為20π,半徑為30,然后利用弧長(zhǎng)公式得到方程,解方程即可. 解答:解:∵底面半徑為10cm, ∴圓錐的底面圓的周長(zhǎng)=2π?10=20π, ∴20π=, ∴α=120°. 故答案為120°. 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓錐的計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,扇形的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓的周長(zhǎng),扇形的半徑為圓錐的母線長(zhǎng). 26.(2012?宿遷)如圖,SO,SA分別是圓錐的高和母線,若SA=12cm,∠ASO=30°,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是 72π cm2. 考點(diǎn):圓錐的計(jì)算. 分析:首先根據(jù)SA=12cm,∠ASO=30°求得圓錐的底面半徑OA,然后利用圓錐的
48、側(cè)面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可. 解答:解:∵SA=12cm,∠ASO=30°, ∴AO=SA=6cm ∴圓錐的底面周長(zhǎng)=2πr=2×6π=12π, ∴側(cè)面面積=×12π×12=72πcm2. 故答案為72π. 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓錐的計(jì)算,利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解. 27.(2012?孝感)把如圖所示的長(zhǎng)方體材料切割成一個(gè)體積最大的圓柱,則這個(gè)圓柱的體積為 3000π cm3(結(jié)果不作近似計(jì)算). 考點(diǎn):圓柱的計(jì)算. 分析:首先求得其底面內(nèi)切圓的半徑,然后計(jì)算其面積,利用底面積乘以高等于體積計(jì)算體積即可. 解答:解:∵底面是邊長(zhǎng)為20cm的
49、圓, ∴其內(nèi)切圓的半徑為10cm, ∴其底面積為100πcm2, ∴其體積為100π×30=3000π(cm3). 故答案為3000π. 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓柱的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是知道如何切割成一個(gè)體積最大的圓柱. 三、解答題 28.(2012?岳陽(yáng))如圖所示,在⊙O中, ,弦AB與弦AC交于點(diǎn)A,弦CD與AB交于點(diǎn)F,連接BC. (1)求證:AC2=AB?AF; (2)若⊙O的半徑長(zhǎng)為2cm,∠B=60°,求圖中陰影部分面積. 考點(diǎn):扇形面積的計(jì)算;圓心角、弧、弦的關(guān)系;圓周角定理;相似三角形的判定與性質(zhì). 專題:幾何綜合題. 分析:(1
50、)由,利用等弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等,再由一對(duì)公共角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似,根據(jù)相似得比例可得證; (2)連接OA,OC,利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍,由∠B為60°,求出∠AOC為120°,過O作OE垂直于AC,垂足為點(diǎn)E,由OA=OC,利用三線合一得到OE為角平分線,可得出∠AOE為60°,在Rt△AOE中,由OA及cos60°的值,利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長(zhǎng),在Rt△AOE中,利用勾股定理求出AE的長(zhǎng),進(jìn)而求出AC的長(zhǎng),由扇形AOC的面積-△AOC的面積表示出陰影部分的面積,利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰
51、影部分的面積. 解答:(1)證明:∵, ∴∠ACD=∠ABC,又∠BAC=∠CAF, ∴△ACF∽△ABC, ∴=,即AC2=AB?AF; (2)解:連接OA,OC,過O作OE⊥AC,垂足為點(diǎn)E, 如圖所示: ∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°, 又OA=OC,∴∠AOE=∠COE=×120°=60°, 在Rt△AOE中,OA=2cm, ∴OE=OAcos60°=1cm, ∴AE==cm, ∴AC=2AE=2cm, 則S陰影=S扇形OAC-S△AOC=-×2×1=(-)cm2. 點(diǎn)評(píng):此題考查了扇形面積的求法,涉及的知識(shí)有:相似三角形的判定與性質(zhì),弧、圓心角及弦之間的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,以及銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
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