湖南省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)及解三角形第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 文

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1、專題三　三角函數(shù)及解三角形第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 真題試做 1．(2012·大綱全國(guó)高考，文3)若函數(shù)f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝(　　)． A. B. C. D. 2．(2012·福建高考，文8)函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一條對(duì)稱軸是(　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 3．(2012·天津高考，文7)將函數(shù)f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)，則ω的最小值是(　　)． A. B．1 C. D．2 4．(2012·

2、湖南高考，文18)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)g(x)＝f－f的單調(diào)遞增區(qū)間． 考向分析 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)及熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行考查： 1．三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式，主要以選擇、填空題的形式為主． 2．三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定函數(shù)解析式問題，主要以選擇、填空題的形式考查，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)大題． 3．三角函數(shù)的性質(zhì)，通常是給出函數(shù)解析式，先進(jìn)行三角變換，將其轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性質(zhì)，或知道某三角函數(shù)的圖象或性質(zhì)求其解析式，再研

3、究其他性質(zhì)，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題． 熱點(diǎn)例析 熱點(diǎn)一　三角函數(shù)的概念 【例1】已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 規(guī)律方法 當(dāng)已知角的終邊所經(jīng)過的點(diǎn)或角的終邊所在的直線固定時(shí)，通常先根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求這個(gè)角的三角函數(shù)． 特別提醒：(1)當(dāng)角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)不固定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，特別是當(dāng)角的終邊在過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線上時(shí)，根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，要把這條直線看做兩條射線，分別求解． (2)在利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)，一定要

4、特別注意符號(hào)．一定要理解“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的意思；同角三角函數(shù)的平方關(guān)系中，開方后的符號(hào)要根據(jù)角所在的象限確定． 變式訓(xùn)練1 (2012·福建莆田高三質(zhì)檢，11)已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，若α∈(0，π)，則tan α＝__________. 熱點(diǎn)二　三角函數(shù)圖象及解析式 【例2】如圖，根據(jù)函數(shù)的圖象，求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式． 規(guī)律方法 由部分圖象確定函數(shù)解析式問題解決的關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，ω，φ，其基本方法是在觀察圖象的基礎(chǔ)上，利用待定系數(shù)法求解．若設(shè)所求解析式為y＝A

5、sin(ωx＋φ)，則在觀察圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ.(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|，或代入點(diǎn)的坐標(biāo)解關(guān)于A的方程；(2)因?yàn)門＝，所以往往通過求周期T來確定ω.可通過已知曲線與x軸的交點(diǎn)確定周期T，或者相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T；(3)從尋找五點(diǎn)法中的第一零點(diǎn)(也叫初始點(diǎn))作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的位置，或者在五點(diǎn)中找兩個(gè)特殊點(diǎn)列方程組解出φ；(4)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，通過解三角方程，再結(jié)合圖象確定ω，φ. 特別提醒：求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，最難的是求φ，第一零點(diǎn)常常用來求φ，

6、只要找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的橫坐標(biāo)，列方程就能求出φ.若對(duì)A，ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸?，可用誘導(dǎo)公式變換，使其符合要求． 變式訓(xùn)練2 (2012·福建泉州質(zhì)檢，8)下圖所示的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是(　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 熱點(diǎn)三　三角函數(shù)圖象變換 【例3】(2012·四川綿陽(yáng)高三三診，10)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝cos x的圖象(縱坐標(biāo)不變)(　　)． A．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，

7、再向左平移個(gè)單位 B．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個(gè)單位 C．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位 D．先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向右平移個(gè)單位 規(guī)律方法 圖象變換理論： (1)平移變換 ①沿x軸平移，按“左加右減”法則； ②沿y軸平移，按“上加下減”法則； (2)伸縮變換 ①沿x軸伸縮時(shí)，橫坐標(biāo)x伸長(zhǎng)(0＜ω＜1)或縮短(ω＞1)為原來的(縱坐標(biāo)y不變)； ②沿y軸伸縮時(shí)，縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)(A＞1)或縮短(0＜A＜1)為原來的A倍(橫坐標(biāo)x不變)． 特別提醒：對(duì)于圖象的平移和伸縮變換都要注意對(duì)應(yīng)解析式是在x或在y的基礎(chǔ)上改變了多少，尤

8、其當(dāng)x與y前的系數(shù)不為1時(shí)一定要將系數(shù)提出來再判斷． 變式訓(xùn)練3 要得到y(tǒng)＝cos的圖象，只需將y＝sin 2x的圖象(　　)． A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 熱點(diǎn)四　三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用 【例4】(2012·上海浦東新區(qū)模擬，19)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求方程g(x)＝1的解． 規(guī)律方法 求解三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期、最值、單調(diào)區(qū)間等問題時(shí)，通

9、常要運(yùn)用各種三角函數(shù)公式，通過恒等變換(降冪、輔助角公式應(yīng)用)將其解析式化為y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各種性質(zhì)． 有關(guān)常用結(jié)論與技巧： (1)我們往往運(yùn)用整體換元法來求解單調(diào)性與對(duì)稱性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω≠0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要注意ω的取值情況，若ω＜0，則最好用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為－ω＞0后再去求解，否則極易出錯(cuò)． (2)①函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)φ＝kπ(k∈Z)，是偶函數(shù)φ＝kπ＋(k∈Z)； ②函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)

10、，x∈R是奇函數(shù)φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函數(shù)φ＝kπ(k∈Z)； ③函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)φ＝kπ(k∈Z)． (3)對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)結(jié)合函數(shù)圖象可觀察出如下幾點(diǎn)： ①函數(shù)圖象的對(duì)稱軸都經(jīng)過函數(shù)的最值點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是函數(shù)的零點(diǎn)； ②相鄰兩對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)間的距離都是半個(gè)周期； ③圖象上相鄰兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之間的距離恰好等于一個(gè)周期． 變式訓(xùn)練4 (2012·重慶高三模擬，17)已知函數(shù)f(x)＝4sin ωxsin2＋cos 2ωx，其中ω＞0. (1)當(dāng)ω＝1時(shí)，求函

11、數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求ω的取值范圍． 思想滲透 整體代換思想——三角函數(shù)性質(zhì)問題 (1)求函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心； (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 求解時(shí)主要方法為： (1)關(guān)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱性，一般可利用正弦、余弦曲線的對(duì)稱性，把ωx＋φ看成x，整體代換求得． (2)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，且A＞0，ω≠0)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下： ①若ω＞0，把ωx＋φ看成一個(gè)整體，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋

12、2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得區(qū)間即為減區(qū)間． ②若ω＜0，可先用誘導(dǎo)公式變?yōu)閥＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間． 【典型例題】已知函數(shù)f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x. (1)設(shè)x＝x0是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，求g(x0)的值； (2)求函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． 解：(1)由題設(shè)知f(x)＝. 因?yàn)閤＝x0是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸， 所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z)． 所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin

13、. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g(x0)＝1＋sin＝1－＝； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin 2x ＝＋ ＝＋ ＝sin＋. 當(dāng)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)時(shí)， 函數(shù)h(x)＝sin＋是增函數(shù)． 故函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． 1．(2012·山東青島一模，8)將函數(shù)y＝cos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是(　　)． A．x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝ 2．(2012

14、·湖北孝感二模，8)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·＝0，則A·ω＝(　　)． A.π B.π C. D.π 3．(2012·天津?qū)氎尜|(zhì)檢，4)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(x)－f(－x)＝0，則(　　)． A．f(x)在上是增函數(shù) B．f(x)在上是減函數(shù) C．f(x)在上是增函數(shù) D．f(x)在上是減函數(shù) 4．(2012·湖北武漢4月調(diào)研，7)已知函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分圖象如圖所示，則

15、f(0)＝(　　)． A．－ B．－1 C．－ D．－ 5．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，點(diǎn)P(－4m,3m)(m＜0)是角α終邊上一點(diǎn)，則2sin α＋cos α＝________. 6．(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，則f(x)的值域是__________． 7．已知函數(shù)y＝a－bcos 3x(b＞0)的最大值為，最小值為－，求函數(shù)y＝－4asin 3bx的最大值和最小值． 8．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分如圖所示． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2

16、)當(dāng)x∈時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．C　解析：∵f(x)＝sin是偶函數(shù)，∴f(0)＝±1. ∴sin＝±1. ∴＝kπ＋(k∈Z)． ∴φ＝3kπ＋(k∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝.故選C. 2．C　解析：函數(shù)f(x)＝sin的圖象的對(duì)稱軸是x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z.當(dāng)k＝－1時(shí)x＝－π＋＝－.故選C. 3．D　解析：f(x)＝sin ωx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得： y＝sin. 又所得圖象過點(diǎn)，∴sin＝0. ∴sin＝0.∴＝kπ(k∈

17、Z)．∴ω＝2k(k∈Z)． ∵ω＞0，∴ω的最小值為2. 4．解：(1)由題中圖象知，周期T＝2＝π， 所以ω＝＝2， 因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上， 所以Asin＝0，即sin＝0. 又因?yàn)?＜φ＜，所以＜＋φ＜， 從而＋φ＝π，即φ＝. 又點(diǎn)(0,1)在函數(shù)圖象上， 所以Asin ＝1，得A＝2. 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x ＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)g(x)的單

18、調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 精要例析·聚焦熱點(diǎn) 熱點(diǎn)例析 【例1】 B　解析：(方法1)在角θ終邊上任取一點(diǎn)P(a,2a)(a≠0)， 則r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2， ∴cos 2θ＝＝， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－1＝－. (方法2)由方法1知 tan θ＝＝2，cos 2θ＝＝＝－. 【變式訓(xùn)練1】 －　解析：由三角函數(shù)定義可知cos α＝－， 又α∈(0，π)，sin α＝＝， 所以tan α＝＝－. 【例2】 解：由圖象可知A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，即＝16， ∴ω＝.∴y＝2sin. 又∵點(diǎn)(2，－2)在曲線上，代入得

19、2sin＝－2， ∴sin＝－1. ∴＋φ＝2kπ－. ∴φ＝2kπ－，k∈Z. 又∵|φ|＜π，∴k＝0時(shí)，φ＝－. ∴函數(shù)解析式為y＝2sin. 【變式訓(xùn)練2】 A　解析：由圖象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝2π.∴ω＝＝1. 又可看做“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)， ∴＋φ＝. ∴φ＝.∴y＝sin. 【例3】 B　解析：由題中圖象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2. 又可看做“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)， ∴＋φ＝.∴φ＝. ∴y＝sin. 由函數(shù)y＝cos x的圖象(縱坐標(biāo)不變)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，可得y＝cos 2x的圖象，再向右平移個(gè)單位可得

20、y＝cos2＝cos＝cos＝sin＝sin的圖象． 【變式訓(xùn)練3】 A　解析：y＝cos＝sin＝sin2，故需將y＝sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度． 【例4】 解：(1)f(x)＝sin＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得： f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． (2)由已知，g(x)＝sin＋1， 由g(x)＝1，得sin＝0， ∴x＝＋(k∈Z)． 【變式訓(xùn)練4】 解：(1)由題可知： f(x)＝4sin ωx·＋cos 2ωx＝2sin ωx＋1. 當(dāng)ω＝1時(shí)，f(x)＝2sin x＋1，則函數(shù)f(x)的最小正周期為2π. (2)由(1)知：f

21、(x)＝2sin ωx＋1，欲使f(x)在上單調(diào)遞增，結(jié)合y＝2sin ωx＋1的圖象， 則有，于是ω∈. 創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練 1．D　解析：函數(shù)y＝cos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝cos的圖象，再向左平移個(gè)單位，得函數(shù)y＝cos＝cos的圖象，令x－＝kπ，即x＝2kπ＋，k∈Z. 令k＝0，則x＝. 2．A　解析：由圖象可知＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2. 又M，N，·＝0， ∴×－A2＝0. ∴A＝.∴A·ω＝. 3．B　解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) ＝sin(ωx＋φ＋)，又最小正周期為π，∴ω＝＝2.

22、 f(x)＝sin(2x＋φ＋)． ∵f(－x)＝f(x)， ∴φ＋＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z. 由題意φ＝. f(x)＝sin＝cos 2x. 當(dāng)0＜2x＜π，即0＜x＜時(shí)，f(x)單調(diào)遞減． 當(dāng)－π＜2x＜0，即－＜x＜0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增． 4．B　解析：由圖象可知A＝2，圖象過點(diǎn)，可看做“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)，故2×＋φ＝，φ＝－， ∴f(x)＝2sin. 故f(0)＝2sin＝－1. 5．－　解析：∵P(－4m,3m)(m＜0)， ∴r＝＝5|m|， 由m＜0得r＝－5m， ∴sin α＝＝－，cos α＝＝. ∴2sin α＋cos α＝

23、－. 6.　解析：當(dāng)sin x≥cos x時(shí)，f(x)＝cos x，當(dāng)sin x＜cos x時(shí)，f(x)＝sin x．同時(shí)畫出y＝sin x與y＝cos x在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象始終取y＝sin x與y＝cos x兩者下方的圖象，結(jié)合圖象可得f(x)∈. 7．解：y＝a－bcos 3x(b＞0)． 當(dāng)cos 3x＝－1時(shí)，ymax＝a＋b＝，① 當(dāng)cos 3x＝1時(shí)，ymin＝a－b＝－，② 由①②得 ∴y＝－4×·sin 3x＝－2sin 3x. ∴當(dāng)sin 3x＝－1時(shí)，ymax＝2，當(dāng)sin 3x＝1時(shí)，ymin＝－2. 8．解：(1)由圖象知A＝2，＝2T＝8＝， ∴ω＝，得f(x)＝2sin. 由×1＋φ＝φ＝. ∴f(x)＝2sin. (2)y＝2sin＋2sin ＝2sin＋2cos ＝2sin＝2cosx. ∵x∈， ∴x∈. ∴當(dāng)x＝－，即x＝－時(shí)，y取最大值；當(dāng)x＝－π，即x＝－4時(shí)，y取最小值－2.