電磁場與電磁波第1章.ppt

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1、Fundamentals of ElectromagneticFields and Waves,電磁場與電磁波基礎(chǔ) （第2版）,電子工業(yè)出版社,前 言 電磁場與電磁波理論是近代自然科學(xué)中，理論相對(duì)最完整、應(yīng)用最廣泛的支柱學(xué)科之一。電磁場與電磁波技術(shù)已遍及人類的科學(xué)技術(shù)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、文化以及日常生活的各個(gè)領(lǐng)域。 人類對(duì)電磁現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)源遠(yuǎn)流長，但其知識(shí)與應(yīng)用開始形成系統(tǒng)化和理論化則始于18世紀(jì)，伽伐尼、伏打、高斯、富蘭克林、卡文迪什、庫侖等著名科學(xué)家對(duì)電磁現(xiàn)象所作的卓有成效的研究啟動(dòng)了電磁世界這一巨輪的運(yùn)轉(zhuǎn)。 19世紀(jì)是電磁研究蓬勃開展的時(shí)代，法拉第、歐姆、傅立葉、基爾霍夫、奧斯特、安

2、培、畢奧、薩伐爾、麥克斯韋、斯托克斯、湯姆森、赫茲、楞次、雅可比、西門，單單從這些名字和科學(xué)家的陣容，你就可以感受到這一時(shí)期的電磁科學(xué)取得了多么輝煌的成就。,,,,,伽利略、尤其是牛頓在引力方面所獲得的成果曾經(jīng)幾乎覆蓋了整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，它對(duì)人類科學(xué)技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響和推動(dòng)。然而，這種并不直接接觸、也不需要媒質(zhì)而瞬時(shí)就能產(chǎn)生作用的牛頓引力的背后還隱藏著什么呢？19世紀(jì)的許多科學(xué)家在被迫接受和承認(rèn)牛頓引力的超距作用的同時(shí)，卻拒不接受電力和磁力也是如此。于是，法拉第和麥克斯韋提出了場的概念，即場是以有限速度傳播的能夠作為物體間相互作用的媒介。由此而出現(xiàn)的場論，看似毀壞了牛頓物理的根基，實(shí)則是開

3、辟了通向電磁學(xué)、而后是相對(duì)論的道路。,19世紀(jì)，科學(xué)界將物質(zhì)間的作用力歸結(jié)為三大類：,引力、電力 和 磁力,,,,,麥克斯韋的電磁理論這時(shí)就成為了電磁世界的理論核心，他的偉大理論簡明扼要并嚴(yán)格地統(tǒng)一了電與磁的關(guān)系，這看起來好像是簡化了物理學(xué)的理論，但實(shí)際上卻使問題變得更加復(fù)雜了，因?yàn)樗官だ院团ｎD所構(gòu)筑的宇宙圖像“頓起禍端”。,20世紀(jì)以來，在對(duì)電磁場的理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深入研究的過程中，人們所提出的兩個(gè)看似簡單的問題使得電磁學(xué)理論沿著兩個(gè)方向開始發(fā)展。,麥克斯韋的理論將電磁輻射作為純粹的波來處理，但許多實(shí)驗(yàn)卻表明輻射并不連續(xù)。于是，普朗克假設(shè)，電磁波只能是以一種能量包的形式被發(fā)射或吸收，他由此

4、創(chuàng)立了量子力學(xué)，這種能量包就被稱為能量子。1905年，愛因斯坦用光量子理論成功地解釋了光電效應(yīng)，并指出所有物質(zhì)和輻射都具有波粒二象性。這一結(jié)論隨后即從物理學(xué)家們的理論分析和精密實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)，這個(gè)結(jié)論復(fù)活了牛頓的光微粒論，同時(shí)也使力學(xué)與電磁學(xué)近二十年的明顯對(duì)立消除了。,對(duì)于這個(gè)問題的研究產(chǎn)生了愛因斯坦的相對(duì)論。,第一個(gè)問題,電磁輻射的本質(zhì)是什么？,第二個(gè)問題,電磁波在什么媒質(zhì)中傳播？,,,,,由此看來，在任何意義上，我們都不能輕視一個(gè)多世紀(jì)來電磁場理論對(duì)科學(xué)技術(shù)以及人類社會(huì)所做出的巨大貢獻(xiàn)?？梢院敛豢鋸埖卣f，沒有電磁場理論的發(fā)展，就不可能有現(xiàn)代信息化社會(huì)的出現(xiàn)。由于電磁場理論對(duì)整個(gè)電子和信息

5、技術(shù)的發(fā)展所起到的如此強(qiáng)大的推動(dòng)力，迫使人們必須去了解并解決各種復(fù)雜條件下的電磁工程中的技術(shù)和設(shè)計(jì)問題，從這個(gè)意義上來說，學(xué)習(xí)電磁場理論就成為了整個(gè)行動(dòng)的第一步。,,,,,麥克斯韋是繼法拉第之后，集電磁學(xué)大成的偉大科學(xué)家。他依據(jù)庫侖、高斯、歐姆、安培、畢奧、薩伐爾、法拉第等前人的一系列發(fā)現(xiàn)和實(shí)驗(yàn)成果，建立了第一個(gè)完整的電磁理論體系，不僅科學(xué)地預(yù)言了電磁波的存在，而且揭示了光、電、磁現(xiàn)象的本質(zhì)的統(tǒng)一性，完成了物理學(xué)的又一次大綜合。這一理論自然科學(xué)的成果，奠定了現(xiàn)代的電力工業(yè)、電子工業(yè)和無線電工業(yè)的基礎(chǔ)。,科學(xué)家小傳,英國科學(xué)家 詹姆斯.克拉克.麥克斯韋 （James Clerk Maxwe

6、ll 1831-1879）,,,,,電學(xué)是物理學(xué)的一個(gè)重要分枝，在它的發(fā)展過程中，很多物理學(xué)巨匠都曾作出過杰出的貢獻(xiàn)。法國物理學(xué)家查利奧古斯丁庫侖就是其中影響力非常巨大的一員。 1785年，庫侖用自己發(fā)明的扭秤建立了靜電學(xué)中著名的庫侖定律。同年，他在給法國科學(xué)院的電力定律的論文中詳細(xì)地介紹了他的實(shí)驗(yàn)裝置，測試經(jīng)過和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。,法國物理學(xué)家 查利奧古斯丁庫侖 （Charles Augustin de Coulomb 17361806）,,,,,法拉第1791年9月22日生在一個(gè)手工工人家庭，父親是一個(gè)鐵匠，家里人沒有特別的文化，而且頗為貧窮。 但由于他的勤學(xué)好問，1812年成為了倫敦皇家學(xué)院

7、院長戴維的助手，他的科學(xué)研究道路由此而展開 。 法拉第所研究的課題廣泛多樣，按編年順序排列,有如下各方面：鐵合金研究（18181824）；氯和碳的化合物（1820）；電磁轉(zhuǎn)動(dòng)（1821）；氣體液化（1823，1845）；光學(xué)玻璃（18251831）；苯的發(fā)明（1825）；電磁感應(yīng)現(xiàn)象（1831）；不同來源的電的同一性（1832）；電化學(xué)分解（1832年起）；靜電學(xué)，電介質(zhì)（1835年起）；氣體放電（1835年）；光、電和磁（1845年起）；抗磁性（1845年起）；射線振動(dòng)思想（1846年起）；重力和電（1849年起）；時(shí)間和磁性（1857年起）。,英國科學(xué)家 邁克爾法拉第

8、 (Michael Faraday 17911867),,,,,安培1775年1月22日生于里昂一個(gè)富商家庭。年少時(shí)就顯出數(shù)學(xué)才能。 安培最主要的成就是18201827年對(duì)電磁作用的研究：發(fā)現(xiàn)了安培定則 發(fā)現(xiàn)電流的相互作用規(guī)律 發(fā)明了電流計(jì) 提出分子電流假說 總結(jié)了電流元之間的作用規(guī)律安培定律,法國物理學(xué)家 安培 (Andr Marie Amp 17751836年),,,,,赫茲生于漢堡，早在少年時(shí)代就被光學(xué)和力學(xué)實(shí)驗(yàn)所吸引。十九歲入德累斯頓工學(xué)院學(xué)工程，由于對(duì)自然科學(xué)的愛好，次年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，在物理學(xué)教授亥姆霍茲指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。1885年任卡爾魯厄大學(xué)物理學(xué)教授。18

9、89年，接替克勞修斯擔(dān)任波恩大學(xué)物理學(xué)教授，直到逝世。赫茲對(duì)人類最偉大的貢獻(xiàn)是用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電磁波的存在。,德國物理學(xué)家 赫茲 （(HeinrichRudolfHertz, 18571894),,,,,,,,靜態(tài)場 時(shí)變場 空間 傳播 介質(zhì),課程的性質(zhì)和地位,電氣信息類專業(yè)的 技術(shù)基礎(chǔ)課,學(xué)習(xí)內(nèi)容 學(xué)習(xí)方法,,,,,教材：電磁場與電磁波基礎(chǔ)（第2版） 劉嵐 黃秋元 程莉 胡耀祖 編著 電子工業(yè)出版社 2010,參考書：,1.電磁場與電磁波理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答 劉嵐、黃秋元、胡耀祖、程莉編. 武漢理工大學(xué)出版社，2009 2.電磁場與電磁波謝處方，饒克謹(jǐn)編.

10、 高等教育出版社，2002 3.電磁場與電磁波典型題解析及自測試題 趙家升主編,西北工業(yè)大學(xué)出版社,2002 4.電磁波理論(影印版,英文),J.A.Kong編 高等教育出版社，2002,,,,,第1章 矢量分析與場論,重點(diǎn)：,1. 標(biāo)量、矢量，標(biāo)量場、矢量場,3. 通量與散度,2. 矢量的運(yùn)算，坐標(biāo)系,4. 環(huán)量與旋度,5. 方向?qū)?shù)與梯度,7. 斯托克斯定理,6. 高斯散度定理,8. 亥姆霍茲定理,序：場與矢量,我們周圍的物理世界中存在著各種各樣的場，例如自由落體現(xiàn)象，說明存在一個(gè)重力場；指南針在地球磁場中的偏轉(zhuǎn)，說明存在一個(gè)磁場；人們對(duì)冷暖的感覺說明空間分布

11、著一個(gè)溫度場等等。,,,,,場是一種特殊的物質(zhì)，它是具有能量的，場中的每一點(diǎn)的某一種物理特性，都可以用一個(gè)確定的物理量來描述。,當(dāng)對(duì)這些物理量的描述與空間坐標(biāo)或方向性有關(guān)時(shí)，通常需要使用矢量來描述它們，這些矢量在空間的分布就構(gòu)成了所謂的矢量場。分析矢量場在空間的分布和變化情況，需要應(yīng)用矢量的分析方法和場論的基本概念。,,,,,1.1 矢量的表示和運(yùn)算,1.標(biāo)量,只有大小，不包含方向的物理量叫做標(biāo)量(Scalar) 。如：溫度、電位、能量、長度、時(shí)間等。,既有大小，同時(shí)又包含方向的物理量稱為矢量(Vector) 。如：力、速度、加速度等。,2. 矢量,,根據(jù)國家有關(guān)符號(hào)使用標(biāo)準(zhǔn)，印刷時(shí)使用黑斜體

12、字母來表示矢量。書寫時(shí)，矢量表示為 。,矢量的大小,,稱為矢量的模,矢量的方向,,稱為單位矢量,矢量的表示,,3.矢量的表示,在三維空間中,,,,,在一維坐標(biāo)系中矢量表示為,矢量的模,表示矢量的方向,,,,,,,4.矢量的代數(shù)運(yùn)算,,,矢量的加法和減法 （平行四邊形法則）,,,,,,,,,,,,5.標(biāo)量與矢量相乘,,,,,,設(shè),兩矢量進(jìn)行標(biāo)積后的結(jié)果變成了無方向性的,6.矢量的標(biāo)積 （Scalar Product）,則,數(shù)量值 !,為矢量 與矢量 之間的夾角,,,,,物理意義,,,,設(shè),兩矢量進(jìn)行矢積后的結(jié)果仍為矢量,7.矢量的矢積 （Vector Product）,則,為矢量 與矢量

13、 之間的夾角,,,,,上式可記為,注,,,,,物理意義,矢積的幾何意義,以兩矢量為鄰邊所圍成的平行四邊形的面積為矢積的大小，以該平行四邊形的法向?yàn)槭阜e的方向。,,,常借助于畫出其一系列等值間隔的等值面來直觀地表現(xiàn)標(biāo)量場的空間分布情況。 常借助于畫出其場線（力線）的方法來形象和直觀地描述矢量場在空間的分布情形或沿空間坐標(biāo)的變化情況。,,8.標(biāo)量場與矢量場,場線（力線）,,,,,場既然是某種物理量的空間分布，就應(yīng)服從因果律。其因，稱之為場源，場都是由場源產(chǎn)生的。 其果，就是空間某種分布形式的場。,分析討論一個(gè)場的時(shí)候，要注意場、場源和場的環(huán)境這三者之間的關(guān)聯(lián)性。如果能用一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系來描述電磁

14、場，那么這樣的數(shù)學(xué)關(guān)系中一定包含了體現(xiàn)場、場源和場的環(huán)境的相關(guān)因素。,,,,,在直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)M的位置可以用三個(gè)相互獨(dú)立的變量,,表示,記為(x,y,z). 它們的變化范圍分別是： 。,1.2 正交坐標(biāo)系 (Quadrature Coordinate system）,考慮到被研究的物理量的空間分布及其變化規(guī)律不同，或物體的幾何形狀不同等等，可采用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，這是最常用的三種正交坐標(biāo)系。,1.直角坐標(biāo)系(笛卡兒坐標(biāo)系),,,,,任意一點(diǎn)的單位矢量亦即三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，因?yàn)樗鼈兲幱谡蛔鴺?biāo)系中，因此，它們相互垂直并遵循右手螺旋法則，即,,,,,在直角坐標(biāo)系中

15、，空間任一點(diǎn) M 的位置可用一矢量來表示，即,,,,,在直角坐標(biāo)系下，任意矢量的線元可表示為,在直角坐標(biāo)系下，任意曲面上的面元可表示為,在直角坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為,,,,,在圓柱坐標(biāo)系中，空間任一點(diǎn)可用r, ,z三個(gè)坐標(biāo)變量來表示，點(diǎn)的位置在圓柱坐標(biāo)系下可寫為（r, ,z）。三個(gè)變量r, ,z的變化范圍分別是： 0 r 0 2 ,2.圓柱坐標(biāo)系,,,,,圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是,它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即,空間任一點(diǎn)的位置可用單位矢量表示為,,,,,圓柱坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系的關(guān)系是,rcos rsin ,在圓柱坐標(biāo)系下，任意矢量的線元可表示為,在圓柱

16、坐標(biāo)系下，任意曲面上的面元可表示為,在圓柱坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為,,,,,3.球坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系中，三個(gè)坐標(biāo)變量分別為：R,， 這三個(gè)變量的變化范圍是： 0R 0 0 2,,,,,球坐標(biāo)系的三個(gè)變量的單位矢量分別是,它們始終保持相互正交，且符合右手螺旋法則，即,空間任一點(diǎn)的位置可用單位矢量表示為,,,,,球坐標(biāo)系變量與直角坐標(biāo)系變量的關(guān)系為,Rsincos Rsinsin Rcos,球坐標(biāo)系變量與圓柱坐標(biāo)系變量的關(guān)系為,rRsin zRcos,,,,,在球坐標(biāo)系下，任意矢量的線元可表示為,在球坐標(biāo)系下，六個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)組成的六面體的面積元可表示為,在球坐標(biāo)系下，任意體積元可表示為,,

17、,,,圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間單位矢量的關(guān)系,,,,,圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間單位矢量的關(guān)系,球坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)系之間單位矢量的關(guān)系,,,,,,,,,,,在球坐標(biāo)系中，單位矢量均不是常量,在圓柱坐標(biāo)系中，單位矢量 、 不是常量,因?yàn)?因?yàn)?1.3 矢量函數(shù)的通量與散度 (Flux and Divergence of Vector function）,1.矢量的通量,為了研究矢量場的空間變化情況，我們需要引入矢量場的散度的概念。矢量函數(shù)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它表示矢量場中任意一點(diǎn)處，通量對(duì)體積的變化率，即描述了通量源的強(qiáng)度。,在研究電場、磁場時(shí)，可用一組曲線來形象地表示矢量場的空間分布，如

18、電場的電力線、磁場中的磁力線等，它們都是帶有方向的線，線上每一點(diǎn)的切線方向代表了這一點(diǎn)處矢量場的方向，這樣的一些有方向的曲線叫矢量線。矢量場中每一點(diǎn)都有唯一的一條矢量線通過，線的疏密表示該點(diǎn)矢量場的大小。,,,,,矢量線,借用矢量線的概念，通量可以認(rèn)為是矢量穿過曲面的矢量線總數(shù)，矢量線也叫通量線，穿出的為正，穿入的為負(fù)。矢量場也可稱為通量面密度矢量。,通量的物理意義,,,,,,矢量 E 沿有向曲面S 的面積分, 0 (有正源), < 0 (有負(fù)源), = 0 (無源),若S 為閉合曲面 ，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):,,,,,如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方式縮小為點(diǎn)

19、P時(shí), 通量與體積之比的極限存在，即,2、散度,計(jì)算公式,如果此極限存在，則稱此極限為矢量場在空間點(diǎn)處的散度（divergence），記作：div,,稱為哈密頓算子，它是一個(gè)矢性微分算子，即,式中,,,,,,,,,在圓柱坐標(biāo)系下,,在球坐標(biāo)系下,,,,在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為(通量)源密度；若矢量場中處處 A=0，稱之為無源場。,散度代表矢量場的通量源的分布特性,矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù),散度的物理意義,,,,,,,該公式表明了區(qū)域V 中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。,矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。,由于 是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通

20、量，對(duì) 體積分后，穿出閉合面S的通量,3、高斯公式(散度定理),高斯公式,,,,,,,,1.4 矢量函數(shù)的環(huán)量與旋度 (Circulation and rotation of Vector function）,1.矢量的環(huán)量,通量和散度是針對(duì)具有通量源的矢量場，并用來描述場中的通量源與場點(diǎn)的關(guān)系的。而能夠產(chǎn)生矢量場的源除了通量源外，還有一類源，叫旋渦源。要討論旋渦源所形成的場，就需要討論矢量場的旋度(rotation)，而要討論矢量函數(shù)的旋度，必須先引入環(huán)量的概念。,矢量 A 沿空間有向閉合曲線 C 的線積分,稱為矢量A的環(huán)量,,該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。,環(huán)量的計(jì)算,,,,,水流沿平行

21、于水管軸線方向流動(dòng) C=0，無渦旋運(yùn)動(dòng),流體做渦旋運(yùn)動(dòng) C0，有產(chǎn)生渦旋的源,例：流速場,流速場,環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量（標(biāo)量），其大小和正負(fù)與矢量場的分布有關(guān)，而且與所取積分環(huán)繞方向有關(guān)。,,,,,過點(diǎn)P作一微小曲面S,它的邊界曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度,取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。,旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。,2.矢量的旋度,(1) 環(huán)量密度,(2) 旋度,它與環(huán)量密度的關(guān)系為,,,,,,在直角坐標(biāo)系下,,,,,,在圓柱坐標(biāo)系下,,,,,,在球坐標(biāo)系下,,,,,,矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

22、,點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。,在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)， J 稱為旋度源(或渦旋源)；,點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。,若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。,(3)旋度的物理意義,旋度的重要性質(zhì)：任何一個(gè)矢量的旋度的散度恒等于0,,,,,,A 是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為,在電磁場理論中，Gauss定理和 Stockes定理是兩個(gè)非常重要的定理。,矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換,該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系,(4)斯托克斯(Stockes)定理,Stockes定理,,,,,,,1.5 標(biāo)量

23、函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度 (Directivity derivative and gradient of Scalar function）,在一定條件下，矢量場是可以用標(biāo)量（標(biāo)量函數(shù)）來描述的，這樣就可以簡化運(yùn)算。由矢量和標(biāo)量的定義可知，二者之間的差別就是，矢量有大小有方向，而標(biāo)量有大小卻無方向。那么，如果要用標(biāo)量來描述矢量場，勢必就需要給標(biāo)量添加上方向因素后，這種描述才成立。但如何給標(biāo)量添加上方向因素呢？在標(biāo)量場中，空間每一點(diǎn)都只能對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值是用標(biāo)量函數(shù)來描述的。在研究標(biāo)量場時(shí)，我們常常關(guān)心的是標(biāo)量函數(shù)值隨空間位置的變化規(guī)律，即標(biāo)量函數(shù)最大變化率及其方向。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)在空間中的最大

24、變化率和最大變化率的方向正是我們所需要的方向因素。,,,,,1.標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù),（1）標(biāo)量場--等值線(面),其方程為,等值線,標(biāo)量場中每一點(diǎn)都有一個(gè)等值面通過，且只有一個(gè)。也就是說，等值面充滿整個(gè)標(biāo)量場所在的空間，且互不相交。,等值面的性質(zhì),,,,,（2）方向?qū)?shù),方向?qū)?shù)表示函數(shù)(x,y,z)在一給定點(diǎn)處沿某一方向的標(biāo)量函數(shù)的變化率。,式中,,稱為 方向余弦,,,,,(3)標(biāo)量場的梯度,設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(x,y,z),若函數(shù) 在點(diǎn)P可微,則 在點(diǎn)P沿任意方向 的方向?qū)?shù)為:,則有:,式中 分別是與x,y,z軸的夾角,設(shè),當(dāng) ,即 與 方向一致時(shí), 為最大.,哈密頓算子,式中,

25、則可定義梯度 (gradient),,,標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);,梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.,梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最 大方向?qū)?shù);,梯度的物理意義,,,,,例1 三維高度場的梯度,例2 電位場的梯度,高度場的梯度,與過該點(diǎn)的等高線垂直；,數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；,指向地勢升高的方向。,電位場的梯度,與過該點(diǎn)的等位線垂直；,指向電位增加的方向。,數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；,梯度的重要性質(zhì)：梯度的旋度恒等于0,,,,,1.6 格林公式 （Greens theorem）,格林公式又稱

26、格林定理，是矢量分析中的重要公式。在電磁場理論中，在研究解的唯一性和電磁輻射及電磁波傳播等問題中經(jīng)常用到。,,,,,令,則,根據(jù)散度定理,第一格林公式,,,,,,第二格林公式,,將上式 中的 和 互換,則,,將其與第一格林公式相減，就得到,1.7 亥姆霍茲定理 (Helmholtz s Theorem),1.矢量場的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，而矢量場的旋度卻是一個(gè)矢量函數(shù) 。,散度和旋度的比較,,,,,2.散度表示場中某點(diǎn)的通量密度，它是場中任一點(diǎn)通量源強(qiáng)度的量度；而旋度表示場中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度，它是場中任一點(diǎn)處旋渦源強(qiáng)度的量度。,3.散度由各場分量沿各自方向上的變化率來決定。 而旋度則由各場

27、分量在與之正交方向上的變化率來決定。,通過比較說明,,,,,散度表示矢量場中各點(diǎn)的場與通量源的關(guān)系，而旋度表示場中各點(diǎn)場與旋渦源的關(guān)系。因此，場的散度和旋度一旦給定，就意味著場的通量源和旋渦源就確定了。既然場總是由源所激發(fā)的，通量源和旋渦源的確定便意味著場已確定，因而可得出下述亥姆霍茲定理給出的結(jié)論。,在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。,亥姆霍茲定理,,,,,矢量場可以根據(jù)散度和旋度分為：無旋場、無源場和有旋有源場。,（1）無旋場,,（2）無源場,,（3）有旋有源場,,,,,1.8 矢量場的分類,1. 平行平面場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族平行平面上，場

28、F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，則稱這個(gè)場為平行平面場。,2. 軸對(duì)稱場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為 Z 軸)的一族子午面上，場 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，則稱這個(gè)場為軸對(duì)稱場。,3. 球面對(duì)稱場：如果在一族同心球面上(設(shè)球心在原點(diǎn))，場 F 的分布都相同，即 F=f(r)，則稱這個(gè)場為球面對(duì)稱場。,三種特殊形式的場,,,,,本章要點(diǎn),1. 標(biāo)量與矢量,2. 通量與散度,3. 環(huán)量與旋度,4. 方向?qū)?shù)與梯度,6. 斯托克斯定理,5. 高斯定理,7. 亥姆霍茲定理,8. 場量在直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、以及球坐標(biāo)下的表示和相互轉(zhuǎn)換,,,,,作業(yè),1.2 1.3 1.8 1.16 1.19 1.27,