【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第14講 三角形與全等三角形（含答案點(diǎn)撥） 新人教版

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1、 第14講　三角形與全等三角形 考綱要求 命題趨勢(shì) 1．了解三角形和全等三角形有關(guān)的概念，知道三角形的穩(wěn)定性，掌握三角形的三邊關(guān)系． 2．理解三角形內(nèi)角和定理及推論． 3．理解三角形的角平分線、中線、高的概念及畫法和性質(zhì)． 4．掌握三角形全等的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的證明. 　　中考中多以填空題、選擇題的形式考查三角形的邊角關(guān)系，通過(guò)解答題來(lái)考查全等三角形的性質(zhì)及判定．全等三角形在中考中常與平行四邊形、二次函數(shù)、圓等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力. 知識(shí)梳理 一、三角形的概念及性質(zhì) 1．概念 (1)由三條線段________順次相接組成的圖形，叫

2、做三角形．(2)三角形按邊可分為：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分為：銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形． 2．性質(zhì) (1)三角形的內(nèi)角和是______；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的____________；三角形的一個(gè)外角大于與它________的任何一個(gè)內(nèi)角．(2)三角形的任意兩邊之和______第三邊；三角形任意兩邊之差________第三邊． 二、三角形中的重要線段 1．三角形的角平分線 三角形一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．特性：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的________． 2．三角形的高線

3、 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作______，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱高．特性：三角形的三條高線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的______． 3．三角形的中線 在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊______的線段叫做三角形的中線．特性：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的______． 4．三角形的中位線 連接三角形兩邊______的線段叫做三角形的中位線．定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于它的________． 三、全等三角形的性質(zhì)與判定 1．概念 能夠________的兩個(gè)三角形叫做全等三角形． 2．性質(zhì) 全等三角形的_______

4、___、__________分別相等． 3．判定 (1)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(SSS)；(2)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(SAS)；(3)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(ASA)；(4)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為(AAS)；(5)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)記為(HL)． 四、定義、命題、定理、公理 1．定義 對(duì)一個(gè)概念的特征、性質(zhì)的描述叫做這個(gè)概念的定義． 2．命題 判斷一件事情的語(yǔ)句． (1)命題由________和________兩部分組成．命題通常寫成“如果…

5、…，那么……”的形式，“如果”后面是題設(shè)，“那么”后面是結(jié)論． (2)命題的真假：正確的命題稱為________；錯(cuò)誤的命題稱為________． (3)互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的________，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的________，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題．每一個(gè)命題都有逆命題． 3．定理 經(jīng)過(guò)證明的真命題叫做定理．因?yàn)槎ɡ淼哪婷}不一定都是真命題．所以不是所有的定理都有逆定理． 4．公理 有一類命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑家罁?jù)，這樣的真命題叫做公理． 五、證明 1．證明 從一

6、個(gè)命題的條件出發(fā)，根據(jù)定義、公理及定理，經(jīng)過(guò)________，得出它的結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過(guò)程叫做證明． 2．證明的一般步驟 (1)審題，找出命題的題設(shè)和結(jié)論；(2)由題意畫出圖形，具有一般性；(3)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫出已知、求證；(4)分析證明的思路；(5)寫出證明過(guò)程，每一步應(yīng)有根據(jù)，要推理嚴(yán)密． 3．反證法 先假設(shè)命題中結(jié)論的反面成立，推出與已知條件或是定義、定理等相矛盾，從而結(jié)論的反面不可能成立，借此證明原命題結(jié)論是成立的．這種證明的方法叫做反證法． 自主測(cè)試 1．△ABC的內(nèi)角和為(　　) A．180° B．360° C．540° D．72

7、0° 2．下列長(zhǎng)度的三條線段，不能組成三角形的是(　　) A．3,8,4 B．4,9,6 C．15,20,8 D．9,15,8 3．如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是(　　) A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 4．下面的命題中，真命題是(　　) A．有一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 B．有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C．有一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等 D．有一條高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等 5．如圖，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AB＝AC

8、，AD＝AE.求證：∠B＝∠C. 考點(diǎn)一、三角形的邊角關(guān)系 【例1】若某三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則下列長(zhǎng)度的線段能作為其第三邊的是(　　) A．1 B．5 C．7 D．9 解析：設(shè)第三邊為x，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7. 答案：B 方法總結(jié) 1．在具體判斷時(shí)，可用較小的兩條線段的和與最長(zhǎng)的線段進(jìn)行比較．若這兩條線段的和大于最長(zhǎng)的那條線段，則這三條線段能組成三角形．否則就不能組成三角形． 2．三角形邊的關(guān)系的應(yīng)用：(1)判定三條線段是否構(gòu)成三角形；(2)已知兩邊的長(zhǎng)，確定第三邊的取值范圍；(3)可證明線段之間的

9、不等關(guān)系． 觸類旁通1 已知三角形三邊長(zhǎng)分別為2，x,13，若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．5 D．13 考點(diǎn)二、全等三角形的性質(zhì)與判定 【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的直角三角板AED如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A，D重合，連接BE，EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC.證明如下： ∵AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AB＝AD＝CD. ∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠

10、EDC＝135°. 又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC. 方法總結(jié) 1．判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用下面的思路：有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)找?jiàn)A邊或任一邊對(duì)應(yīng)相等；有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)找?jiàn)A角或另一邊對(duì)應(yīng)相等．在具體的證明中，要根據(jù)已知條件靈活選擇證明方法． 2．全等三角形的性質(zhì)主要是指全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、周長(zhǎng)、面積等之間的等量關(guān)系． 觸類旁通2 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D. 求證：△BEC≌△CDA. 考

11、點(diǎn)三、真假命題的判斷 【例3】下列命題，正確的是(　　) A．如果|a|＝|b|，那么a＝b B．等腰梯形的對(duì)角線互相垂直 C．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是平行四邊形 D．相等的圓周角所對(duì)的弧相等 解析：A項(xiàng)錯(cuò)誤，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B項(xiàng)錯(cuò)誤，等腰梯形的對(duì)角線可能垂直，但并不是所有的等腰梯形對(duì)角線都垂直；C項(xiàng)正確，可以根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定得到；D項(xiàng)錯(cuò)誤，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，必須是在同圓或等圓中． 答案：C 方法總結(jié) 對(duì)命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，判定命題不成立時(shí)，有時(shí)可以舉反例說(shuō)明道理；命題有正、誤，錯(cuò)誤的命題也是命題． 觸

12、類旁通3 已知三條不同的直線a，b，c在同一平面內(nèi)，下列四個(gè)命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中為真命題的是__________．(填寫所有真命題的序號(hào)) 考點(diǎn)四、證明的方法 【例4】如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E. 求證：(1)△BFC≌△DFC； (2)AD＝DE. 證明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF. 在△BFC和△DFC中， ∴△BFC≌△DFC. (2)如圖，連接

13、BD. ∵△BFC≌△DFC， ∴BF＝DF.∴∠FBD＝∠FDB. ∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB. ∴∠ABD＝∠FBD. ∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC. ∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC. ∴∠BDA＝∠BDC. 又BD是公共邊，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE. 方法總結(jié) 1．證明問(wèn)題時(shí)，首先要理清證明的思路，做到證明過(guò)程的每一步都有理有據(jù)，推理嚴(yán)密．要證明線段、角相等時(shí)，證全等是常用的方法． 2．證明的基本方法：(1)綜合法，從已知條件入手，探索解題途徑的方法； (2)分析法，從結(jié)論出發(fā)，用倒推來(lái)尋求證題思路的方法； (3)兩頭“湊”的方法

14、，綜合應(yīng)用以上兩種方法找證明思路的方法． 觸類旁通4 如圖，在△ABC中，AD是中線，分別過(guò)點(diǎn)B，C作AD及其延長(zhǎng)線的垂線BE，CF，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn).求證：BE＝CF. 1．(2012浙江嘉興)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，則∠A等于(　　) A．40° B．60° C．80° D．90° 2．(2012貴陽(yáng))如圖，已知點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，還需要添加一個(gè)條件是(　　) A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．

15、∠A＝∠EDF 3．(2012四川雅安)在△ADB和△ADC中，下列條件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出△ADB≌△ADC的序號(hào)是__________． 4．(2012廣東廣州)如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BE＝CD. 5．(2012江蘇蘇州)如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延長(zhǎng)線段CB到E，使BE＝AD，連接AE，AC. (1)求證：△ABE≌△CDA； (2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度數(shù)． 1．如圖，為估計(jì)池

16、塘兩岸A，B間的距離，楊陽(yáng)在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P，測(cè)得PA＝16 m，PB＝12 m，那么AB間的距離不可能是(　　) A．5 m B．15 m C．20 m D．28 m 2．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD＝4，則線段DF的長(zhǎng)度為(　　) A．2 B．4 C．3 D．4 3．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ACD＝150°，則∠B＝__________. 4．如圖，在△ABC中，BC邊不動(dòng)，點(diǎn)A豎直向上運(yùn)動(dòng)，∠A越來(lái)越小，∠B，∠C越來(lái)越大，若∠A減少α度，∠B增

17、加β度，∠C增加γ度，則α，β，γ三者之間的等量關(guān)系是__________． 5．如圖所示，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為__________． 6．如圖，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E在同一直線上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是”或“不是”)∠2的對(duì)頂角，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是__________(只需寫出一個(gè))． 7．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CE＝BC，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

18、F.求證：AB＝FC. 8．如圖，點(diǎn)A，B，D，E在同一直線上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求證：AC＝EF. 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識(shí) 自主測(cè)試 1．A　2．A　3．B　4．D 5．證明：在△ABE和△ACD中， ∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD. ∴∠B＝∠C. 探究考點(diǎn)方法 觸類旁通1．B　由三角形三邊的關(guān)系可得13－2＜x＜13＋2，即11＜x＜15，∵x為正整數(shù)，∴x為12,13,14，故選B. 觸類旁通2．證明：∵BE⊥CF于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°. 在Rt△BEC中，∠BCE＋∠

19、CBE＝90°， 在Rt△BCA中，∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD. 在△BEC和△CDA中， ∵ ∴△BEC≌△CDA. 觸類旁通3．①②④ 觸類旁通4．證明：∵在△ABC中，AD是中線，∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BED與△CFD中， ∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF. 品鑒經(jīng)典考題 1．A　設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝x＋20°，則x＋2x＋x＋20°＝180°，解得x＝40°，即∠A＝40°. 2．B　由已知可得兩個(gè)三角形已有兩

20、組邊對(duì)應(yīng)相等，還需要另一組邊對(duì)應(yīng)相等或夾角對(duì)應(yīng)相等，只有B能滿足條件． 3．①②④　由題意知AD＝AD，條件①可組成三邊對(duì)應(yīng)相等，條件②可組成兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，條件④可組成兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，這三個(gè)條件都可得出△ADB≌△ADC，條件③組成的是兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能得出△ADB≌△ADC. 4．證明：∵在△ABE和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴BE＝CD. 5．(1)證明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA. ∴∠ABE＝∠CDA. 在△ABE和△CDA中

21、， ∴△ABE≌△CDA. (2)解：由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE. ∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°. ∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°. 研習(xí)預(yù)測(cè)試題 1．D　由三角形三邊關(guān)系知16－12＜AB＜16＋12，故選D. 2．B　因?yàn)橛梢阎勺C明△BDF≌△ADC，所以DF＝CD. 3．70°　4．α＝β＋γ 5．60°　∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED. ∴∠A＋∠B＋∠CDE＋∠CED＝2(∠A＋∠B)＝280°. ∵∠1＋∠2＋∠CD

22、E＋∠CED＋∠A＋∠B＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°. 又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°. 6．不是　∠B＝∠E(答案不唯一) 7．證明：∵FE⊥AC于點(diǎn)E，∠ACB＝90°， ∴∠FEC＝∠ACB＝90°. ∴∠F＋∠ECF＝90°. 又∵CD⊥AB于點(diǎn)D， ∴∠A＋∠ECF＝90°. ∴∠A＝∠F. 在△ABC和△FCE中， ∴△ABC≌△FCE.∴AB＝FC. 8．證明：∵AD＝EB， ∴AD－BD＝EB－BD，即AB＝ED. 又∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB. ∴∠ABC＝∠EDF. 又∵∠C＝∠F， ∴△ABC≌△EDF. ∴AC＝EF. 8