【備考2014 志鴻優(yōu)化設(shè)計】2013版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)講練 第25講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（含答案點撥） 新人教版

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1、 第25講　與圓有關(guān)的位置關(guān)系 考綱要求 命題趨勢 1．探索并了解點和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系． 2．知道三角形的內(nèi)心和外心． 3．了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會過圓上一點畫圓的切線. 　　直線與圓位置關(guān)系的判定是中考考查的熱點，通常出現(xiàn)在選擇題中．中考考查的重點是切線的性質(zhì)和判定，題型多樣，常與三角形、四邊形、相似、函數(shù)等知識結(jié)合在一起綜合考查．圓與圓位置關(guān)系的判定一般借助兩圓公共點的個數(shù)或利用兩圓半徑與圓心距的關(guān)系來判定，通常出現(xiàn)在選擇題、填空題中. 知識梳理 一、點與圓的位置關(guān)系 1．點和圓的位置關(guān)系 點在圓______，點在圓_____

2、_，點在圓______． 2．點和圓的位置關(guān)系的判斷 如果圓的半徑是r，點到圓心的距離為d，那么點在圓外?________；點在圓上?________；點在圓內(nèi)?________. 3．過三點的圓 (1)經(jīng)過三點的圓：①經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓；②經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個圓． (2)三角形的外心：經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的________；這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形． 二、直線與圓的位置關(guān)系 1．直線和圓的位置關(guān)系 ________、________、________. 2．概念 (1)直線和圓有兩個交點，這時

3、我們就說這條直線和圓________，這條直線叫做圓的________；(2)直線和圓有唯一公共點，這時我們說這條直線和圓________，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點；(3)直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓________． 3．直線和圓的位置關(guān)系的判斷 如果圓的半徑是r，直線l到圓心的距離為d，那么直線l和⊙O相交?________；直線l和⊙O相切?________；直線l和⊙O相離?________. 三、切線的判定和性質(zhì) 1．切線的判定方法 (1)經(jīng)過半徑的________并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線； (2)到圓心的距離________半徑的直線

4、是圓的切線． 2．切線的性質(zhì) 圓的切線垂直于經(jīng)過________的半徑． 3．切線長定理 過圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角． 四、三角形(多邊形)的內(nèi)切圓 1．與三角形(多邊形)內(nèi)切圓有關(guān)的一些概念 (1)和三角形各邊都______的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的______，這個三角形叫做圓的______三角形； (2)和多邊形各邊都______的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形． 2．三角形的內(nèi)心的性質(zhì) 三角形的內(nèi)心是三角形三條________的交點，它到三邊的距離相等，且在三角形內(nèi)

5、部． 五、圓與圓的位置關(guān)系 1．概念 ①兩圓外離：兩個圓______公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的______；②兩圓外切：兩個圓有______的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的______；③兩圓相交：兩個圓有______公共點；④兩圓內(nèi)切：兩個圓有______的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的______；⑤兩圓內(nèi)含：兩個圓______公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的______． 2．圓與圓位置關(guān)系的判斷 設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為O1O2＝d.兩圓外離?d＞______；兩圓外切?d＝______；兩圓相

6、交?______＜d＜______(R≥r)；兩圓內(nèi)切?d＝______(R＞r)；兩圓內(nèi)含?______≤d＜______(R＞r)． 六、兩圓位置關(guān)系的相關(guān)性質(zhì) 1．兩圓相切、相交的有關(guān)性質(zhì) (1)相切兩圓的連心線必經(jīng)過________． (2)相交兩圓的連心線垂直平分________． 2．兩圓位置關(guān)系中常作的輔助線 (1)兩圓相交，可作公共弦． (2)兩圓相切，可作公切線． 自主測試 1．在數(shù)軸上，點A所表示的實數(shù)為3，點B所表示的實數(shù)為a，⊙A的半徑為2.下列說法中不正確的是(　　) A．當(dāng)a＜5時，點B在⊙A內(nèi) B．當(dāng)1＜a＜5時，點B在⊙A內(nèi) C．當(dāng)a＜1

7、時，點B在⊙A外 D．當(dāng)a＞5時，點B在⊙A外 2．已知⊙O的面積為9π cm2，若點O到直線l的距離為π cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是(　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定 3．如圖，CD切⊙O于點B，CO的延長線交⊙O于點A.若∠C＝36°，則∠ABD的度數(shù)是(　　) A．72° B．63° C．54° D．36° 4．如圖，國際奧委會會旗上的圖案由五個圓環(huán)組成，在這個圖案中反映出的兩圓位置關(guān)系有(　　) A．內(nèi)切、相交 B．外離、相交 C．外切、外離 D．外離、內(nèi)切 5．如圖，

8、正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個正三角形的邊長為__________． 6．如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝30°，延長OB到D使BD＝OB. (1)△OBC是否是等邊三角形？說明理由． (2)求證：DC是⊙O的切線． 考點一、點與圓的位置關(guān)系 【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是(　　) A．點B，C均在圓P外 B．點B在圓P外、點C在圓P內(nèi) C．點B在圓P內(nèi)、點C在圓P外 D．點B，C均在圓P內(nèi) 解析：畫出矩形后求解出DP的長度即圓的半徑，然后求出BP，CP的

9、長度與DP的長度作比較就可以發(fā)現(xiàn)答案．在Rt△ADP中，DP＝＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝＝9. ∵PC＞DP，BP＜DP， ∴點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外． 答案：C 方法總結(jié) 解答這類題目的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想，將點與圓的圖形位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為確定點到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系． 觸類旁通1 若⊙O的半徑為5 cm，點A到圓心O的距離為4 cm，那么點A與⊙O的位置關(guān)系是(　　) A．點A在圓外 B．點A在圓上 C．點A在圓內(nèi) D．不能確定 考點二、切線的性質(zhì)與判定 【例2】如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦

10、，直線PB交直線AC于點D，＝＝. (1)求證：直線PB是⊙O的切線； (2)求cos∠BCA的值． 分析：(1)連接OB，OP，由＝＝，且∠D＝∠D，根據(jù)三角形相似的判定定理得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO＝∠PAO＝90°； (2)設(shè)PB＝a，則BD＝2a，根據(jù)切線長定理得到PA＝PB＝a，根據(jù)勾股定理得到AD＝2a，又BC∥OP，得到DC＝2CO，得到DC＝CA＝×2a＝a，則OA＝a，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA＝cos∠POA的值． 解：(1)證明：連接OB，OP， ∵＝＝，且∠D

11、＝∠D， ∴△BDC∽△PDO， ∴∠DBC＝∠DPO， ∴BC∥OP， ∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠BOP. ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠CBO， ∴∠BOP＝∠POA. 又∵OB＝OA，OP＝OP， ∴△BOP≌△AOP，∴∠PBO＝∠PAO. 又∵PA⊥AC，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°， ∴直線PB是⊙O的切線． (2)由(1)知∠BCO＝∠POA， 設(shè)PB＝a，則BD＝2a， 又∵PA＝PB＝a， ∴AD＝＝2a. 又∵BC∥OP，∴DC＝2CO， ∴DC＝CA＝AD＝×2a＝a， ∴OA＝a， ∴OP＝＝＝a， ∴cos∠B

12、CA＝cos∠POA＝＝. 方法總結(jié) 1．切線的常用判定方法有兩種：一是用圓心到直線的距離等于圓的半徑來說明直線是圓的切線；二是用經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑來說明直線是圓的切線．當(dāng)被說明的直線與圓的公共點沒有給出時，用方法一；當(dāng)圓與直線的公共點已經(jīng)給出時，常用方法二說明． 2．利用切線的性質(zhì)時，常連接切點和圓心，構(gòu)造直角． 觸類旁通2 如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點C，∠DAB＝∠B＝30°. (1)直線BD是否與⊙O相切？為什么？ (2)連接CD，若CD＝5，求AB的長． 考點三、三角形的內(nèi)切圓 【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝

13、6，BC＝8.則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝__________. 解析：在Rt△ABC中，AB＝＝＝10. ∵S△ACB＝AC·BC＝×6×8＝24， ∴r＝＝＝2. 答案：2 方法總結(jié) 三角形的內(nèi)切圓半徑r＝，其中S是三角形面積，a，b，c是三角形三邊長． 觸類旁通3 如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D，E，F(xiàn)，已知∠A＝100°，∠C＝30°，則∠DFE的度數(shù)是(　　) A．55° B．60° C．65° D．70° 考點四、圓與圓的位置關(guān)系 【例4】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙

14、B的半徑分別為1 cm,4 cm，則⊙A，⊙B的位置關(guān)系是(　　) A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離 解析：如圖所示，由勾股定理可得AB＝＝＝5(cm)， ∵⊙A，⊙B的半徑分別為1 cm,4 cm， ∴圓心距d＝R＋r， ∴⊙A，⊙B的位置關(guān)系是外切． 答案：A 方法總結(jié) 圓和圓的位置關(guān)系按公共點的個數(shù)可分為相離、相切和相交；兩圓無公共點則相離，有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交．其中相離包括內(nèi)含和外離，相切包括外切和內(nèi)切，解答時，只要通過兩圓的半徑和或差與圓心距比較即可． 觸類旁通4 若兩圓相切，圓心距是7，其中一個圓的半徑為10

15、，則另一個圓的半徑為__________． 1．(2012江蘇無錫)已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO＝2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交 2．(2012湖北恩施)如圖，兩個同心圓的半徑分別為4 cm和5 cm，大圓的一條弦AB與小圓相切，則弦AB的長為(　　) A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 3．(2012四川樂山)⊙O1的半徑為3厘米，⊙O2的半徑為2厘米，圓心距O1O2＝5厘米，這兩圓的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)含

16、 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切 4．(2012山東菏澤)如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，若∠P＝46°，則∠BAC＝__________. (第4題圖) 5．(2012甘肅蘭州)如圖，兩個同心圓，大圓半徑為5 cm，小圓半徑為3 cm，若大圓的弦AB與小圓相交，則弦AB的取值范圍是__________． (第5題圖) 6．(2012山東濟寧)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AC于點D，過A作⊙O的切線AP，AP與OD的延長線交于點P，連接PC，BC. (1)猜想：線段OD與BC有何數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)

17、論； (2)求證：PC是⊙O的切線． 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是(　　) (第1題圖) A．點(0,3) B．點(2,3) C．點(5,1) D．點(6,1) 2．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于D，且CO＝CD，則∠PCA＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．67.5° (第2題圖) 3．如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是(　　)

18、 A． B． C．3 D．2 4．兩圓的半徑分別為3和7，圓心距為7，則兩圓的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離 5．兩圓的圓心坐標(biāo)分別是(，0)和(0,1)，它們的半徑分別是3和5，則這兩個圓的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 6．如圖，∠ACB＝60°，半徑為1 cm的⊙O切BC于點C，若將⊙O在CB上向右滾動，則當(dāng)滾動到⊙O與CA相切時，圓心O移動的水平距離是__________cm. (第6題圖) 7．如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切

19、于點C，D是⊙O上一點，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，則EF的長度為__________． (第7題圖) 8．如圖所示，AB是⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑的⊙O1與⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足為E. (1)求證：AD＝DC； (2)求證：DE是⊙O1的切線； (3)如果OE＝EC，請判斷四邊形O1OED是什么四邊形，并證明你的結(jié)論． 參考答案 導(dǎo)學(xué)必備知識 自主測試 1．A　2．C　3．B　4．B　5．2 6．解：(1)△OBC是等邊三角形． 理由：∵∠A＝30°，OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∴∠BOC＝2∠A＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC

20、是等邊三角形． (2)證明：∵△OBC是等邊三角形，且OB＝BD， ∴OB＝BD＝BC， ∴△OCD為直角三角形，∠OCD＝90°. 又∵點C在圓O上，∴DC是⊙O的切線． 探究考點方法 觸類旁通1．C 觸類旁通2．分析：(1)連接OD，證明∠ODB＝90°即可；(2)利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求得AC，再證BC＝CD＝5. 解：(1)直線BD與⊙O相切． 理由如下： 如圖，連接OD， ∵∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°， 即OD⊥BD. ∴直線BD與⊙O相切．

21、 (2)由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°， ∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°. 又∵OC＝OD，∴△DOC是等邊三角形． ∴OA＝OD＝CD＝5. 又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10. ∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15. 觸類旁通3．C　∵∠A＝100°，∠C＝30°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°. ∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠DOE＝180°－∠B＝130°. ∴∠DFE＝∠DOE＝65°. 觸類旁通4．3或17　由題意知兩圓相內(nèi)切，則兩圓半徑、圓心距的關(guān)系為d＝R－r，即|10－r|＝7，所以r＝3或17. 品鑒經(jīng)典考

22、題 1．D　因為⊙O的半徑為2，PO＝2，則直線l與⊙O至少有一個交點，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交． 2．C　設(shè)切點為E，連接OA，OE.在Rt△OAE中，AE＝＝3(cm)，所以AB＝6 cm. 3．D 4．23°　∵PA，PB是⊙O的切線， ∴PA＝PB.又∠P＝46°， ∴∠PAB＝∠PBA＝＝67°. 又PA是⊙O的切線，AO為半徑， ∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°， ∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°. 故答案為23°. 5．8cm＜AB≤10 cm　如圖，當(dāng)AB與小圓相切時有一個公共點D. 連接OA，OD，可得OD⊥A

23、B， ∴D為AB的中點，即AD＝BD. 在Rt△ADO中，OD＝3 cm，OA＝5 cm， ∴AD＝4 cm，∴AB＝2AD＝8(cm)． 當(dāng)AB經(jīng)過同心圓的圓心時，弦AB最大且與小圓相交有兩個公共點， 此時AB＝10 cm. ∴AB的取值范圍是8 cm＜AB≤10 cm. 故答案為8 cm＜AB≤10 cm. 6．解：(1)OD∥BC，OD＝BC. 證明：∵OD⊥AC， ∴AD＝DC. ∵AB是⊙O的直徑， ∴OA＝OB，BC⊥AC，∴OD是△ABC的中位線， ∴OD∥BC，OD＝BC. (2)證明：連接OC.設(shè)OP與⊙O交于點E，連接AE，CE. ∵OD⊥

24、AC，OD經(jīng)過圓心O， ∴，即∠AOE＝∠COE. 在△OAP和△OCP中， ∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP， ∴∠OCP＝∠OAP. ∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°， ∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.∴PC是⊙O的切線． 研習(xí)預(yù)測試題 1．C　2．D　3．B　4．B 5．D　因為由圓心的坐標(biāo)可知，兩圓心分別在x軸和y軸上，與坐標(biāo)原點構(gòu)成直角三角形， 所以圓心距為＝2. 而兩圓的半徑之差等于2，即d＝r1－r2(r1＞r2)． 所以兩圓內(nèi)切． 6． 7．2　如圖，連接OE，OC，OC與EF交于G點．∵AB是⊙O的切線， ∴OC⊥AB. ∵EF∥AB，∴OC⊥EF. ∴EG＝EF. ∵∠O＝2∠D＝60°， ∴EG＝OE·sin 60°＝.∴EF＝2. 8．解：(1)證明：如圖，連接OD， ∵AO是⊙O1的直徑， ∴∠ADO＝90°.∵AC為⊙O的弦，OD⊥AC，∴AD＝DC. (2)證明：∵D為AC中點，O1為AO中點，∴O1D∥OC. 又∵DE⊥OC，∴DE⊥O1D. ∴DE與⊙O1相切． (3)O1OED為正方形． 證明：∵OE＝EC，且D為AC中點， ∴DE∥O1O.又∵O1D∥OE， ∴四邊形O1OED為平行四邊形． 又∵∠DEO＝90°，O1O＝O1D， 11