電磁場與電磁波-第4章.ppt

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1、,第4章 靜態(tài)場及其邊值問題求解 主要內(nèi)容 靜態(tài)場特性、泊松方程和拉普拉斯方程、 靜態(tài)場的重要原理和定理 鏡像法、分離變量法、有限差分法,4.1 靜態(tài)場特性,1、靜態(tài)場基本概念 靜態(tài)場是指電磁場中的源量和場量都不隨時間發(fā)生變化的場。 靜態(tài)場包括靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。 靜電場是指由靜止的且其電荷量不隨時間變化的電荷產(chǎn)生的電場；恒定電場是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場；恒定磁場是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場，亦稱為靜磁場。,2、靜態(tài)場的麥克斯韋方程組 靜態(tài)場與時變場的最本質(zhì)區(qū)別：靜態(tài)場中的電場和磁場是彼此獨立存在的。,1、靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程,

2、4.2、泊松方程和拉普拉斯方程,,,,靜電場基本方程,靜電場是有散(有源)無旋場，是保守場。,泊松方程,拉普拉斯方程,無源區(qū)域,2、恒定電場的拉普拉斯方程,,,恒定電場基本方程,導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場具有無散、無旋場的特征，是保守場,拉普拉斯方程,3、恒定磁場的矢量泊松方程,,洛侖茲規(guī)范,矢量泊松方程,恒定磁場基本方程,恒定磁場是無散有旋場。,,,矢量拉普拉斯方程,注意： 標(biāo)量磁位只有在無源區(qū)才能應(yīng)用，而矢量磁位則無此限制。,,,分解,,在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，引入標(biāo)量磁位 來表示磁場強度。即,,,標(biāo)量拉普拉斯方程,4.3、靜態(tài)場的重要原理和定理,對偶原理 (

3、1)概念：如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具有對應(yīng)的邊界條件，那么它們解的數(shù)學(xué)形式也將是相同的，這就是對偶原理，亦稱為二重性原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個方程稱為對偶方程，在對偶方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。,(2)靜電場與恒定電場 對偶方程 對偶量,(3)靜電場與恒定磁場 對偶方程 對偶量,(4)有源情況下的對偶關(guān)系 對偶關(guān)系存在 不像上述兩種情況那樣一目了然,(5)應(yīng)用 電偶極子和磁偶極子輻射的對偶關(guān)系， 某些波導(dǎo)中橫電波(TE波)和橫磁波(TM波)間的對偶關(guān)系,例1: 已知無限長同軸電纜內(nèi)、外半徑分別為 和 ，如圖所 示，電纜中填充均勻介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差為 ，外

4、導(dǎo)體接地。求其間各點的電位和電場強度。,解：根據(jù)軸對稱的特點和無限長的假設(shè)，可確定電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程，采用圓柱坐標(biāo)系,,積分,由邊界條件,,,則：,,解: (1)由于內(nèi)、外導(dǎo)體的電導(dǎo)率很高，可以認(rèn)為電力線仍和導(dǎo)體表面垂直，和靜電場的邊界條件一致，利用對偶原理，可以立即得到,,(2)單位長度同軸線漏電流密度為,例2: 如圖所示，在電纜中填充電導(dǎo)媒質(zhì)，其他條件同“例1”，求: (1)內(nèi)外導(dǎo)體間的電位及電場強度。(2)單位長度上該同軸線的漏電流。,則漏電流為,,2. 疊加定理,若 和 分別滿足拉普拉斯方程，則 和 的線性組合 必然滿足拉普拉斯方程。 證明： 已知 和 滿足拉

5、普拉斯方程 所以：,利用疊加定理，可以把比較復(fù)雜的場問題分解為較簡單問題的組合，便于求解。,3. 惟一性定理,邊值問題的分類 狄利克雷問題：給定整個場域邊界上的位函數(shù)值 紐曼問題：給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 混合邊值問題：給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合 惟一性定理：在給定邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。 用反證法可以證明。,惟一性定理為某些復(fù)雜電磁問題求解方法的建立提供了理論根據(jù)。鏡像法就是惟一性定理的直接應(yīng)用。,4.4、靜態(tài)場邊值問題的解法, 靜電場和恒定電場的邊值問題，可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。, 常用的方法有, 解析法中將介紹

6、分離變量法；數(shù)值法中將介紹有限差分法；而間接法中將介紹鏡像法。,1、 靜態(tài)電磁場的方程與邊界條件,2、鏡像法,在靜電場中，當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布，一般情況下，直接求解這類問題是困難的，這是因為感應(yīng)電荷或極化電荷也是未知量，它也取決于總電場。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,（1）問題的提出,幾個實例 接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖所示。,,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,,接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體

7、柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。,,,q,非均勻感應(yīng)電荷,,q,等效電荷,,,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。,鏡像法概念：在一定條件下，可以用一個或多個位于待求場域邊界以外虛設(shè)的等效電荷來代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，空間電場可由原來的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場疊加得到。這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。 理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。

8、這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，因而這種方法稱為鏡像法。,像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小“三要素” ；,鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點,確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；,像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。,局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布 的電荷才有可能確定其鏡像電荷。,(2)、接地導(dǎo)體平面的鏡像,點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,待求場域：上半空間 邊界： 無限大導(dǎo)體平面 邊界條件：,在空間的電位為點電荷q 和鏡像電荷 ( =-q)所產(chǎn)生的電位疊加，即,電位滿足邊

9、界條件,導(dǎo)體平面邊界上：,,,上半空間( z0 ）的電位函數(shù),導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,可見，導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷恰好與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,將無限長的線電荷看作無數(shù)個點電荷的集合。根據(jù)點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體表面的線電荷，其電荷密度為 待求場域 中的電位 上半空間的電場,,,,,q,,d1,d2,1,2,,,,R,,R1,,R2,,R3,點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點電荷q 位于( d1 ,d2 )處。,對于平

10、面1，有鏡像電荷q1=q， 位于(d1, d2),對于平面2，有鏡像電荷q2=q， 位于(d1, d2),顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。,只有在(d1, d2 )處再設(shè)置一鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能得到滿足。,電位函數(shù),如果兩導(dǎo)體平面不是相互垂直，而是相交成 角，只要 ，這里的 為整數(shù)，就能用鏡像法求解，其鏡像電荷數(shù)為有限的 個。,角域外有5個鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負(fù)交替地分布在同一個圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點，半徑為點電荷到頂點的距離。,n不為整數(shù)時，鏡像電荷將有無數(shù)個，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不

11、適用。,(3)、導(dǎo)體球面的鏡像,.點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點電荷q與球心的連線上，距球心為d。則有,如圖所示，點電荷q 位于半徑為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,問題：,,,在球面上任取一點c，則,,,,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定q和d 。,球外任意一點P 的電位：,因為,于是球外任意點的電位,若球外任意點坐標(biāo)為 ：,則,所以,點電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖,.點電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為 的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時的特點：,導(dǎo)體球面是電位不為零的

12、等位面,球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的 感應(yīng)電荷為零,采用疊加原理來確定鏡像電荷,點電荷q 位于一個半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,然后斷開接地線，這樣導(dǎo)體球上帶電量為 ，根據(jù)電荷守恒定律，原來導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷代數(shù)和應(yīng)為零。所以，必須在導(dǎo)體球內(nèi)再附加另一鏡像電荷 ，為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的鏡像電荷應(yīng)位于球心處。,球外任意點的電位為：,所以，不接地導(dǎo)體球鏡像電荷：,點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖,例3： 有一接地導(dǎo)體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各 有一點電荷q1和q2 ，與球心距離分別為d1和d2 ，如圖所示。 求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的

13、電位分布。,球殼外：邊界為r = a2的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為 球殼外區(qū)域任一點電位為,解：,球殼內(nèi)：邊界為r = a1的導(dǎo)體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為 球殼內(nèi)區(qū)域任一點電位為,球殼中：球殼中為導(dǎo)體區(qū)域，導(dǎo)體為等位體，球殼中的電位為零。,用鏡像法解題時，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對邊界以外的情況不予考慮。,(4)、導(dǎo)體圓柱面的鏡像,,,,,,,,,,,,,,,,,問題：如圖 1 所示，一根電荷線密度為 的無限長線電荷位于半徑為a 的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d 。,特點：

14、在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓柱外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。,. 線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,邊界條件：柱面上電位為零 設(shè)想鏡像線電荷 位于對稱面上，且與圓柱軸線距離為 ，則導(dǎo)體柱面上任一點的電位表示為 其中：,兩平行線電荷的電位分布,在柱面上取兩個特殊點M和N，則,,空間電位為：,其中：,. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為2b的兩根無限長帶電細(xì)線來等效

15、替代，如圖2所示。,問題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷 和 。,通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。,由,,,利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。,,導(dǎo)體圓柱外空間任意一點的電位函數(shù)就等于線電荷密度分別是 和 的兩平行雙線產(chǎn)生的電位疊加,例題4:試求圖示兩帶電長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場及電位分布。,( 以y軸為電位為參考點 ),解：,例5：設(shè)兩平行長直導(dǎo)體圓柱半徑分別為a和b，且分別帶有等量異號電荷，兩圓柱幾何軸線相距為d，試求電軸的位置。,設(shè)想將兩導(dǎo)體圓柱面上的電荷用兩根平行的線電荷等效，線電荷密

16、度分別為 和 ，其位置如圖所示。,其等位面是許多圓柱面，若讓其中兩個等位面分別與兩圓柱面重合，即滿足兩導(dǎo)體柱面為等位面的邊界條件。根據(jù)惟一性定理，待求區(qū)域中的場就由這兩個等效線電荷產(chǎn)生。,,,兩電軸在空間產(chǎn)生的電位為 等位面方程為,,,,,例6：圖為一偏心電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，兩幾何軸線間距離為d，求兩等效電軸的位置。,只要能求出假想電軸的位置，使兩個導(dǎo)體圓柱面分別和電場中兩個等位面重合，就滿足了導(dǎo)電圓柱面為等位面的邊界條件。 根據(jù)電軸法,兩等效電軸的位置分別位于（c，0）和（c，0）處。,,(5)、介質(zhì)平面的鏡像,,點電荷對無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像,,,,,,,,,,,,

17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,特點：在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點的電場由點電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì)1中有一個點電荷q，距分界平面為h 。,分析方法：計算電介質(zhì)1中的電位時，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,介質(zhì)1中的電位為,計算電介質(zhì)2中的電位時，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2

18、中的電位為,可得到,說明：對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷，其鏡像電荷為,,利用電位滿足的邊界條件,電介質(zhì)中的電場分布：,,線電流對磁介質(zhì)分界面的鏡像,當(dāng)計算上半空間的磁場時 可認(rèn)為整個空間充滿磁導(dǎo)率為1的磁介質(zhì)，在下半空間有一鏡像電流I，與I關(guān)于分界面對稱(如圖所示)。上半空間任一點的磁場為,設(shè)想用鏡像電流代替磁化電流的作用，并在界面上保持原有邊界條件不變,當(dāng)計算下半空間磁場時 可認(rèn)為整個空間充滿磁導(dǎo)率為2的磁介質(zhì)，在上半空間有一鏡像電流I，與電流I 位置重合(如圖)。下半空間任一點的磁場為 在分界面(r = r= r)上，磁場滿足邊界條件：,,討論：,(1)

19、當(dāng) 時 ， ，說明 與 方向相同， 與 方向相反。,(2) 當(dāng) 時 ， ，說明 與 方向相反， 與 方向相同。,(3) 當(dāng) 有限 時 ， ，此時鐵磁質(zhì)中 但 。,(4) 當(dāng) 有限 時 ， ，此時 中磁場 為原來的兩倍。,,磁壁,3、分離變量法,理論基礎(chǔ)：惟一性定理,基本思想：把待求的位函數(shù)表示為幾個未知函數(shù)的乘積，其中每一個未知函數(shù)僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)，代入偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微分方程分離為幾個常微分方程，然后分別求解這些常微分方程并利用邊界條件確定其中的待定常數(shù)，從而得到位函數(shù)的解。應(yīng)用分離變

20、量法求解時，所求場域的邊界面應(yīng)與某一正交曲面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合。,分離變量法的主要步驟： 1、根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫出該坐標(biāo)系下拉普拉斯的表達(dá)式，及給定的邊界條件。 2、經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。 3、利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。,（1）直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程分離變量法,在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無關(guān)，則拉普拉斯方程為,將(x,y)表示為兩個一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以X(x)Y(y) ，有,對于x,y取任意值時，上式恒等。所以，

21、式中的每一項都須為常數(shù)。將此常數(shù)寫成k2(分離常數(shù)) ，即,則有,,,.當(dāng) 時,.當(dāng) 時（即 為不為0的任意常數(shù)），設(shè),由,,,或,,則：,則方程的解為,雙曲正弦,雙曲余弦,,或,,則：,方程的解為,.當(dāng) 時，即 為虛數(shù)設(shè),由,,應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解,三種解的特點： 第一種解中，X(x)和Y(y)為常數(shù)或線性函數(shù)，說明它們最多只有一個零點； 第二種解中， X(x)為三角函數(shù)，有多個零點， Y(y)為雙曲函數(shù)，最多只有一個零點； 第三種解中， X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個零點，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個零點。,解: 選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯

22、方程 邊界條件：,例7：一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為U0，求槽內(nèi)電位分布。,,設(shè) 代入式(1) 中得:,,,根據(jù)邊界條件(2)與(3)可知，函數(shù)X(x)沿x方向有兩個零點，因此X(x)應(yīng)為三角函數(shù)形式，又因為X(0) =0，所以X(x)應(yīng)選取正弦函數(shù)，即,由邊界條件(3)得：,對應(yīng)的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為,此時，電位可表示為 由邊界條件(5)知 其中：,,,對上式兩邊同乘以 ，再對x從0到a進(jìn)行積分，即,,,滿足邊界條件的特解為：,（2）、直角坐標(biāo)系中三維拉普拉斯方程分離變量法,根據(jù)

23、本征值的不同取值，可以得到類似于二維情況的解的形式。,,,,,4. 有限差分法,有限差分法是求解電磁場問題的數(shù)值法。數(shù)值法的基本思想是將所要求的整個連續(xù)分布的場域空間的場轉(zhuǎn)換為所求解的場域空間中各個離散點上場的集合。顯然，離散點取得越多，對場分布的描述就越精確，但是計算量也越大。,對于邊界條件過于復(fù)雜的電磁場問題，無法求得解析解。,有限差分法是將求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場分布用求解網(wǎng)格節(jié)點上的離散的數(shù)值解代替，即用網(wǎng)格節(jié)點的差分方程近似代替場域內(nèi)的偏微分方程來求解。,網(wǎng)格的劃分有不同的方法，我們只討論正方形網(wǎng)格劃分。,故點1的電位,點3的電位,,,,,設(shè)x軸上鄰近O點的一點的電位

24、為 ，用泰勒公式展開為,于是,同理,將以上二式相加,得,若所求區(qū)域電荷分布為零，則, 上式表示任意一點的電位等于圍繞它的4個點的電位的平均值。,對每一網(wǎng)格點寫出類似的式子，得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)格點數(shù)相等的線性方程組。,將邊界條件離散化，作為邊界上節(jié)點的已知電位。,式中,已知一正方形截面的無限長金屬盒。盒子兩側(cè)及底部電位為零，頂部電位為100V，求盒內(nèi)的電位分布。,根據(jù)二維拉氏方程的有限差分形式得點5的電位為,一、簡單迭代法, 對每一網(wǎng)格點賦初值:,點1、3電位為,點7、9電位為,點4、6電位為,點2電位為,點8電位為,初值給定后，按一固定順序（點的順序是從左到右，從下到上），利用拉氏方程的差分形式，用圍繞它的4個點的電位的平均值作為其新值，依次計算每點的電位。當(dāng)所有點計算完后，用新值代替舊值，即完成一次迭代。然后再進(jìn)行下一次，直到每一點計算的新值和舊值之差小于指定的范圍。,二、超松馳法,為使計算時收斂速度更快，常采用超松馳法。點 的電位由下式計算,為了加快收斂，可引進(jìn)一個松馳因子 ，上式變?yōu)?有一個最優(yōu)值，如果選擇恰當(dāng)，將大大地提高收斂速度。,兩個重大改進(jìn)： 1、計算每一個網(wǎng)格點時，把剛才計算得到的鄰近點的電位新值代如 2、引入松弛因子，加快收斂速度。,