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1、第10講 邊值問(wèn)題初步（續(xù)）、分界面邊界條件,導(dǎo)體內(nèi)部 導(dǎo)體表面,復(fù) 習(xí),靜電場(chǎng)中的電介質(zhì) 什么是電偶極子？ 電偶極矩的大小？方向？ 如何解釋電介質(zhì)對(duì)靜電場(chǎng)的影響？ 極化電荷面密度 極化電荷體密度,,各向同性？線性？均勻電介質(zhì)？ 電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量之間的本構(gòu)關(guān)系是？ 高斯通量定理的積分形式？微分形式？ 高斯通量定理適用于任何電荷發(fā)布的情況？ 為何引入電位 ？,(),【微分形式】,A) 靜電場(chǎng)的基本方程,10.1 邊值問(wèn)題初步,【積分形式】,【本構(gòu)關(guān)系】,（線性，各向同性媒質(zhì)）,靜電場(chǎng)是有源無(wú)旋場(chǎng)，靜止電荷是靜電場(chǎng)的源。,B) Possion方程和Laplace方程,【Laplace方程】,
2、,,在直角坐標(biāo)系中：,【Possion方程】,在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：,計(jì)算方法,C) 一維泊松方程的解,在靜電場(chǎng)中，一般求解以下各類問(wèn)題：,1） 給定電場(chǎng)分布，要求電荷分布。, 在許多實(shí)際問(wèn)題中，只有那些電荷分布具有某種對(duì)稱性，并且沒(méi)有邊界或有邊界，邊界也具有相似的對(duì)稱性的簡(jiǎn)單問(wèn)題才可用直接積分或高斯通量定理求解。,在工程應(yīng)用中，許多電場(chǎng)總是要用間接方法求解。常遇場(chǎng)區(qū)域有限，在區(qū)域內(nèi)可能有電荷分布，也可能沒(méi)有電荷分布，而在區(qū)域的邊界上場(chǎng)量要受到某種邊界條件限制的問(wèn)題。像這一類在給定邊界條件下求解場(chǎng)域內(nèi)的場(chǎng)（一定邊界條件下微分方程的解）的問(wèn)題，稱為邊值問(wèn)題。,2） 給定在有限區(qū)域內(nèi)的電荷分布，
3、場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大內(nèi)，且電介質(zhì)是均勻、線性和各向同性的，要求電場(chǎng)強(qiáng)度。,,邊值問(wèn)題,邊值問(wèn)題求解方法,泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。,【例3】列出求解區(qū)域的微分方程,圖1.4.1 三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場(chǎng),【例2-9】 已知導(dǎo)體球的電位為（無(wú)窮遠(yuǎn)處的電位為0) U，球的半徑為a，求球外的電位函數(shù)。,,解,球外的電位滿足拉普拉斯方程，且電場(chǎng)具有球面對(duì)稱性，,,,,,,【例2-10】 兩無(wú)限大平行板電極，板間距離為d，電壓為U0 ，并充滿密度為 0 x/d 的體電荷。求板間電場(chǎng)強(qiáng)度和極板面上的電荷面密度。,解 據(jù)題意，已知條件可表述為,,,比較例2-7,,10.2 靜電場(chǎng)的邊界
4、條件(B.C.，Boundary Condition),當(dāng)靜電場(chǎng)中有媒質(zhì)存在時(shí)，媒質(zhì)與電場(chǎng)相互作用（如極化等），使在介質(zhì)（dielectric）中的不均勻處出現(xiàn)束縛電荷，在導(dǎo)體（conductor）表面出現(xiàn)感應(yīng)電荷。這些束縛電荷及感應(yīng)電荷又產(chǎn)生電場(chǎng)，從而改變了原來(lái)電場(chǎng)的分布。,在兩種不同媒質(zhì)的分界面上，束縛電荷和感應(yīng)電荷使分界面兩側(cè)的電場(chǎng)出現(xiàn)不連續(xù)。 由于媒質(zhì)的特性不同，引起場(chǎng)量在兩種媒質(zhì)的交界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場(chǎng)的邊界條件。,,微分方程反映了空間點(diǎn)上靜電場(chǎng)的特性。但是，它們只適合于場(chǎng)函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)的情形。對(duì)于有媒質(zhì)突變的問(wèn)題，場(chǎng)函數(shù)不再是連續(xù)可導(dǎo)，因此場(chǎng)方程的微分形式不再適用。
5、有時(shí)研究的問(wèn)題是有界的，在邊界上，場(chǎng)方程的微分形式也不再適用,研究邊界問(wèn)題的方法是從場(chǎng)方程的積分形式出發(fā)，因?yàn)榉e分形式的方程不受邊界約束。,以分界面上點(diǎn) P 作為觀察點(diǎn)，作一 小扁圓柱高斯面（ ）。,1)、 電位移矢量D的邊界條件,分界面兩側(cè)的 D 的法向分量不連續(xù)。當(dāng) 時(shí)，D 的法向分量連續(xù)。,則有,根據(jù),是分界面上的自由電荷，an為分界面的法線方向單位矢量由介質(zhì) 2指向介質(zhì) 1。,對(duì)于分界面兩側(cè)，得,,P,對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得,此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)的。,還可導(dǎo)出邊界上束縛電荷與電場(chǎng)強(qiáng)度法向分量的關(guān)系為,可見，在介質(zhì)分界面上法
6、向電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度之所以不連續(xù)是因?yàn)樵诜纸缑嫔戏植加斜砻骐姾伞?2）、電場(chǎng)強(qiáng)度E的邊界條件,以點(diǎn)P 作為觀察點(diǎn)，作一小矩形 回路（ ）。,分界面兩側(cè) E 的切向分量連續(xù)。,在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律,根據(jù) 則有,對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得,利用矢量恒等式求解See p68,表明：（1）理想導(dǎo)體(電壁，PEW, Perfect Electric Wall)是等位體，導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場(chǎng)僅有法向分量；,當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的邊界條件為：,,,,,,,,,,導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時(shí),（2）當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上;
7、,（3）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D 就等于該點(diǎn)的自由電荷密度 。,理想介質(zhì)分界面上的邊界條件：,,矢量代數(shù)簡(jiǎn)潔了復(fù)雜語(yǔ)言的描述,？,因此,表明: 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。,3）、用電位函數(shù) 表示分界面上的邊界條件,設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d， ,則,表明: 一般情況下 ,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。,圖1.3.4 電位的銜接條件,對(duì)于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位 表示的邊界條件應(yīng)是如何呢？,在交界面上不存在 時(shí)，E、D滿足折射定律。,折射定律,圖1.3.3 分界面上E線的折射,4）、理想介質(zhì)分界面上電場(chǎng)的方向關(guān)系,解：忽略邊緣效應(yīng),,【例4】 如圖(a)與圖(b)所示平行板電
8、容器,已知 和 ,圖(a)已知極板間電壓U0 , 圖(b)已知極板上總電荷 ,試分別求其中的電場(chǎng)強(qiáng)度。,,【例2-12】 在聚苯乙烯( )與空氣的分界面兩邊，聚苯乙烯中的電場(chǎng)強(qiáng)度為2500V/m，電場(chǎng)方向與分界面法線的夾角是20，如圖所示。試求：（1）空氣中電場(chǎng)強(qiáng)度與分界面法線的夾角；（2）空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移。,（2）由 ，即 ，可得,解：,【例5】已知半徑為r1 的導(dǎo)體球攜帶的正電量為q，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為 r2 的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為1 ，球殼的外半徑為 r3 ，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4 ，介電常數(shù)為
9、2 ，外部區(qū)域?yàn)檎婵?，如左下圖示。,試求：各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度； 各個(gè)表面上的自由電荷和 束縛電荷。,解 由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場(chǎng)也是球?qū)ΨQ的，應(yīng)用高斯定理求解十分方便。取球面作為高斯面，由于電場(chǎng)必須垂直于導(dǎo)體表面，因而也垂直于高斯面。,,在 r < r1及 r2
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