《靜態(tài)場的邊值問題》PPT課件

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1、第五章 靜態(tài)場的邊值問題,,靜態(tài)場邊值問題的基本概念,分離變量法,有限差分法,5.1 靜態(tài)場邊值問題的基本概念,靜電場、恒定電場和恒電磁場都是時(shí)不變場，統(tǒng)稱靜態(tài)場。 靜態(tài)場的邊值問題：給定某一空間V，其邊界為S，已知空間V內(nèi)源的情況，以及邊界S上場的情況，求給定空間內(nèi)的場。 區(qū)域內(nèi)的場滿足帕松方程或拉普拉斯方程。,邊界上的場的情況可由邊界條件給出。 靜態(tài)場中的邊值問題，都可以歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。 根據(jù)唯一性定理，滿足給定邊值的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一確定的。 三類邊值：狄里赫利、紐曼和混合邊值。,,,已知場域邊界 上各點(diǎn)電位值,邊值問題框圖,,自然 邊

2、界條件,參考點(diǎn)電位 有限值,,,,,,邊值問題,微分方程,邊界條件,場域 邊界條件,分界面 銜接條件,第一類 邊界條件,第二類 邊界條件,第三類 邊界條件,已知場域邊界 上各點(diǎn)電位 的法向?qū)?shù),一、二類邊界條件的線性組合，即,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,求解靜態(tài)場的邊值問題方法有：解析法、數(shù)值算法和實(shí)驗(yàn)研究法。 解析法：用直接或間接方法求出待求位函數(shù)在整個(gè)域內(nèi)所滿足的函數(shù)表達(dá)式。如分離變量法、鏡像法、格林函數(shù)法等。 數(shù)值計(jì)算法：求出一組即滿足給定邊值、又滿足泊松（或拉普拉斯）方程、在各域內(nèi)各個(gè)離散點(diǎn)的函數(shù)值的方法。如有限差分法、有限元法等。 實(shí)驗(yàn)研究法：用實(shí)驗(yàn)裝置模擬實(shí)際的物

3、理場方程及給定邊值，并測量出相應(yīng)的待求函數(shù)的函數(shù)值的方法，如導(dǎo)電紙模擬法、電解槽模擬法等。,邊值問題 研究方法,計(jì)算法,實(shí)驗(yàn)法,作圖法,解析法,數(shù)值法,實(shí)測法,模擬法,定性,定量,積分法,分離變量法,鏡像法、電軸法,格林函數(shù)法,保角變換法,有限差分法,有限元法,邊界元法,矩量法,模擬電荷法,數(shù)學(xué)模擬法,物理模擬法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,邊值問題研究方法框圖,,,,,5.2 分離變量法,分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題 。一般情況下,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解，而只

4、有當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。,5.2.1 解題的一般步驟：, 根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)的邊值 問題（微分方程和邊界條件）；, 分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程；, 解常微分方程，并疊加各特解得到通解；, 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。,,,,,下面以拉氏方程在直解坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的分離變量法為例說明具體的計(jì)算過程。,5.2.2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法,如果待求場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時(shí)，可選擇直角坐標(biāo)系。,kx,ky,kz稱為分離常數(shù)。 上

5、述三個(gè)常系數(shù)微分方程的解的形式由分離常數(shù)的取值決定。,拉氏方程的通解是所有可能情況的線性組合。,雙曲函數(shù),解的形式:,例5-1,一長直金屬槽的長度方向上平行于Z軸，其橫截面如圖5-1所示。其側(cè)壁與底面電位均為0，而頂蓋電位 分別以（1） （2） 求槽內(nèi)電位 的解。 解 本例是一個(gè)矩形域的二維場問題。在直角坐標(biāo)系下，位函數(shù) 的邊值問題為,代入邊界條件,代入邊界條件,例5-2,代入可得,例5.2.1 圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。,解：選定直角坐標(biāo)系,（D域內(nèi)）,（1）,（2）,（3）,（

6、4）,(5）,,邊值問題,圖5.2.1 接地金屬槽的截面,,,,,2) 分離變量,代入式（1）有,根據(jù) 可能的取值，可有6個(gè)常微分方程：,設(shè),稱為分離常數(shù),可以取值,,,,,,3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。,4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。,,圖5.2.2 雙曲函數(shù),,,,,d）,比較系數(shù)法：,當(dāng) 時(shí)，,（D域內(nèi)）,當(dāng) 時(shí)，, 滿足拉普拉斯方程的通解有無數(shù)個(gè)，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。,,,,, 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)也可定性判斷通解中能否舍去 或 項(xiàng)。, 若 ，,,利用 sin 函數(shù)的正交性來確定 。等式兩端同乘 ，然后從 0到 a對 x積分,圖5

7、.2.3 接地金屬槽內(nèi) 的等位線分布,,,,,5.2.3 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,如果待求場域的邊界面與圓柱坐標(biāo)系中某一坐標(biāo)面一致時(shí)，應(yīng)選擇圓柱坐標(biāo)系。,分離出的三個(gè)常微分方程：,,對于軸對稱，B=0,,Jn(x)和Nn (x)是第一類及第二類貝塞爾函數(shù)，在0之間有無數(shù)多個(gè)零點(diǎn)； In (x)和Kn(x)是虛宗量（或修正）貝塞爾函數(shù)，沒有實(shí)數(shù)零點(diǎn)。 x0時(shí)， Nn (x)和Kn(x)均發(fā)散。,n階貝塞爾方程,,第一類貝塞爾函數(shù),第二類貝塞爾函數(shù),虛宗量貝塞爾函數(shù),虛宗量貝塞爾函數(shù),例5-3,代如系數(shù)得,例5-4,半徑為 a 的半無限長金屬圓筒，筒底與圓筒壁有很窄的絕緣，圓 筒側(cè)壁電位為 0，

8、筒底電位為 ，求圓筒內(nèi)電位分布。,對 z 軸的對稱性，位函數(shù) 不是坐標(biāo)變量 的函數(shù),解：將圓筒置于圓柱坐標(biāo)系中，其定解問題可表示為,且B 應(yīng)為 0,是零階貝塞爾函數(shù) 的第 m 個(gè)根,可得電位函數(shù)得通解,貝塞爾函數(shù)的正交性決定系數(shù)Am,據(jù)貝塞爾第一正交公式,應(yīng)用貝塞爾函數(shù)的積分公式,左邊只有m=i項(xiàng)不為0,可得,可得電位的解,5.2.3 圓球坐標(biāo)系中的分離變量法,如果待求場域的邊界是球面或錐面時(shí)，應(yīng)選擇圓球坐標(biāo)系。,上式的第三項(xiàng)可分離出:,上式的第一、二項(xiàng)可分離出:,連帶勒讓方程,歐拉方程,則各分離變量方程的通解為：,在電磁場的很多實(shí)際總是中，位函數(shù)與方位角無關(guān)，即m=0,這類場稱

9、為子午平面場。在子午平面場中,,x=cos,當(dāng)場域包括x=+1、-1即z軸, 有：,故在子午平面場中，當(dāng)場域包括z軸, 球坐標(biāo)系中的拉系方程的通解為：,第一類勒讓德多項(xiàng)式,例5-5,1）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,（6）,例1.5.2 在均勻電場 中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為 的無限長均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與 垂直。柱外是自由空間 。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù) 和電場強(qiáng)度 的分布。,根據(jù)場分布的對稱性,圖5.2.4 均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒,,,,,,3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,2）分離變量, 設(shè),代入式（1）得,或

10、,,,,,根據(jù),根據(jù) ， 比較系數(shù)得,當(dāng) 時(shí)，,4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。,根據(jù)場分布對稱性,當(dāng) 時(shí)，,通解中不含 的奇函數(shù)項(xiàng)，,,,,,解之，得,當(dāng) 時(shí)， ， 則最終解,,,c）由分界面 的銜接條件，得,,,,, 介質(zhì)柱內(nèi)的電場是均勻的，且與外加電場E0平行。 因 ， ，所以 。, 介質(zhì)柱外的電場非均勻變化，但遠(yuǎn)離介質(zhì)柱的區(qū)域，其電場趨近于均勻電場 。,圖5.2.5 均勻外電場中介質(zhì) 圓柱內(nèi)外的電場,,,,,5.3 有限差分法,有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一種數(shù)值計(jì)算法。其基本思想：將場域離散

11、為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù) 的泊松方程的問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上 的差分方程組的問題。通過求解差分方程組，求出每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的場值。,5.3.1 有限差分的網(wǎng)格分割,有限差分法步驟： 把求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格 得出網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)場值滿足的差分方程 求解場分方程組,有限差分法通常把求解區(qū)域劃為矩形網(wǎng)格,5.3.1 二維泊松方程的差分格式,通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線之間的距離為h ,節(jié)點(diǎn)0,1,2,3,4上的電位分別用 和 表示。,（3）,5.3.1 有限差分的網(wǎng)格分割,,,,,（8）,（4）,將 和 分別代入式(3),得,同理,（5）,由（4）（5）,由（4）+（5）,（6

12、）,（7）,（9）,將式（7）、（9）代入式（x0,y0)點(diǎn)的泊松方程， 得到泊松方程的五點(diǎn)差分格式,,,,,,5.3.1 有限差分的網(wǎng)格分割,上式即為泊松方程或拉氏方程的差分表達(dá)式，也叫差分格式， 場域中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)（也叫內(nèi)點(diǎn)）都有一個(gè)與上幾式相似的差分方程， 邊界上的點(diǎn)的電位值為已知值， 于是內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)便是差分方程組方程的個(gè)數(shù)，也是差分方程組未知函數(shù)的個(gè)數(shù)。 解這些聯(lián)立的線性代數(shù)方程便可求得內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的電位值。,5.3.2 邊界條件的離散化處理,3. 第二類邊界條件 邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式：,2. 對稱邊界條件,1. 第一類邊界條件 給邊界離散節(jié)點(diǎn)直接賦已知電位值。,4. 介質(zhì)分界

13、面銜接條件 的差分格式,合理減小計(jì)算場域，差分格式為,,其中,,圖5.3.2邊界條件的離散化處理,,,,,介質(zhì)分界面銜接條件 的差分格式推導(dǎo)：,先假設(shè)將媒質(zhì)b換成a ，即全部是均勻的媒質(zhì)a ,此時(shí)對0點(diǎn)應(yīng)用差分格式，有：,再將媒質(zhì)a換成b ，即全部是均勻的媒質(zhì)b ,此時(shí)對0點(diǎn)應(yīng)用差分格式，有：,根據(jù)分界面上矢量位的邊界條件，有：,其中,例56,圖59（a）是一很長的接地金屬凹槽，橫截面為正方形，上蓋與地絕緣且電位為40V，蓋與槽之間間隙處為20V。求槽內(nèi)電位值。,解,槽中心點(diǎn)電位,上兩網(wǎng)格中心點(diǎn) 電位為,下兩網(wǎng)格中心點(diǎn) 電位為,當(dāng)認(rèn)為內(nèi)節(jié)點(diǎn)足夠時(shí)重新計(jì)算各內(nèi)點(diǎn)電位,第2次、第1次計(jì)算的誤差為：

14、,5.3.3 差分方程組的求解方法,1. 高斯賽德爾迭代法,式中：, 開始計(jì)算時(shí)先假設(shè)各點(diǎn)電位為某一初始值。 迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)行。, 迭代過程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié) 點(diǎn)電位滿足 為止。,,,,, 該方法在網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目很大時(shí)，收斂很緩慢。,0,0,0,0,0,0,1.25,1.56,1.64,0.31,0.47,0.53,1.72,2.2,1.93,0.55,0.82,0.69,1.94,2.42,2.03,0.69,0.95,0.74,2.03,2.5,2.06,0.75,1.00,0.77,2.06,2.53,2.08,0.77,1.0

15、2,0.78,2.08,2.55,2.08,式中：,加速收斂因子,最佳因子的確定與具體總是有關(guān)，要憑借經(jīng)驗(yàn)取值，沒有一般規(guī)律。 根據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，正方形場域由正方形網(wǎng)絡(luò)劃分，每邊的節(jié)點(diǎn)數(shù)若為p+1，最佳收斂因子為：,2、超松弛迭代法,當(dāng)矩形域正方形網(wǎng)絡(luò)劃分時(shí)，若兩邊分別為ph和qh，且p,q很大，則最佳收斂因子為：,最佳收斂因子的經(jīng)驗(yàn)公式：,（正方形場域、正方形網(wǎng)格）,（矩形場域、正方形網(wǎng)格）, 迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網(wǎng)格剖分精細(xì)有關(guān)；, 迭代收斂的速度與工程精度要求有 。,借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其程序框圖如下：,,,,,啟動,賦邊界節(jié)點(diǎn)已知電位值,賦予場域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)電位初始值,累

16、計(jì)迭代次數(shù) N=0,N=N+1,按超松弛法進(jìn)行一 次迭代，求,所有內(nèi)點(diǎn) 相鄰二次迭代值的最大誤差 是否小于,打印,停機(jī),,,,,,,,,,,,,,,,N,Y,圖5.3.2 迭代解程序框圖,,,,,上機(jī)作業(yè)要求：,1. 試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內(nèi)電位的分布。,已知：,給定邊值：如圖示； 給定初值 誤差范圍 選取,計(jì)算：迭代次數(shù)N=? 分布。,已知：,給定邊值：如圖示； 給定初值 誤差范圍,計(jì)算：1.迭代次數(shù)N=? 分布； 2.按電位差 畫出槽中等位線分布圖。,2. 按對稱場差分格式求解電位的分布,圖5.3.4 接地金屬槽的網(wǎng)格剖分,圖5.3.5 接地金屬槽內(nèi)半場域的網(wǎng)格剖分,,,,,三.選做題,已知：無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體的橫截面如圖示，且給定參數(shù)為,,圖5.3.6 無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體的橫截面,要求: 1. 用超松弛選代法求解無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體周 圍的電位分布;,2. 畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍等位線分布;,3. 畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍電位分布曲面。,利用有限差分法能否計(jì)算上述問題電容近似值？,,,,,