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1、靜電場的邊值問題,一般情況下電位或場強滿足兩個方程 無源Laplaces Equation 有源Poissions Equation 邊值問題：在給定邊界條件下求解偏微分方程 Poissions Equation+邊界條件 Laplaces Equation +邊界條件,電場邊值問題的分類,第1類: 已知整個邊界上的電位（Dirichlet Problems） 第2類: 已知整個邊界上電位的法向導數(shù)Neumann Problems 第3類: 已知邊界上電位+邊界電位 法向導數(shù)的值 Hybrid Problems,5.3 一維場直接積分,例1. 求同軸線中的電場分布，已知內半徑a外半徑b，內導體
2、電位U，外導體為0。 在柱坐標系下，柱對稱下拉普拉斯方程,,r 0,代入邊界條件: r=a時y=U，r=b時y=0，C1=?, C2=?,得：,則：,（柱坐標下）,例 2已知：導體球，半徑a，球體電位U 。求：球外的電位？,分析： 球對稱球坐標系下，電位只與半徑有關,則：,直接積分得：,利用邊界條件確定兩個待定常數(shù),r=a時y=U，r=時y=0，得C1, C2,例3. 同軸電纜，填充兩種介質，內導體電位為U ,外導體接地。求電位。,由于對稱性，電位與j、z座標無關，僅與r相關 柱座標系下拉氏方程,解得：,利用邊界條件：,根據(jù)以上條件求出系數(shù)就得到介質中電位。,內容主要包括:,二維拉氏方程 直角
3、坐標系下 柱坐標系下 未包括： 二維球坐標系下拉氏方程 三維Laplace方程求解 泊松方程（非齊次方程）求解,5.4 分離變量法求解拉氏方程,分離變量法的主要思想,將方程中含有各個變量的項分離開來，從而原方程拆分成多個更簡單的只含1個自變量和參數(shù)的常微分方程； 運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易于求解的方程； 利用高數(shù)知識、級數(shù)求解知識、以及其他巧妙方法，求出各個方程的通解； 最后將這些通解“組裝”起來。,笛卡兒坐標系中分離變量法求解,令：,兩邊同時除以：,三項中每一項必須是常數(shù)！,令：,的求解,1. 如果,(k為正實數(shù)),2. 如果,3. 如果,(k為正實數(shù)),確定Y和Z通
4、解的步驟類似 最后再將X、Y、Z的通解“組裝”在一起 最后代入邊界條件確定待定常數(shù),P108頁,電勢滿足方程：,分離變量得：,解得：,腔內電勢解,由二維傅里葉變換得,一、求解矩形區(qū)域的Laplace方程,微波導和光波導器件的 橫截面常是矩形, 其中的電磁場模式多是橫電波或橫磁波, 即電場或磁場不沿著波導的長度方向改變，而只隨橫截面的坐標變化; 此時求解矩形區(qū)域的Laplace方程是研究波導中場量和模式的重要手段。,舉例. 如圖的波導中求解電位,求解v(x,y),設解為：,代入上面關于v的方程得：,先求解哪一個？？？,與齊次邊界有關的那個。,本征函數(shù)為：,本征值為：,,將本征值ln代入 Y 的方
5、程，可得通解：,于是由疊加原理得到v的通解為：,將另一對邊界條件代入方程的通解得：,上兩式實際上是u0和U0展開后的正弦級數(shù), 于是,聯(lián)立上兩式可得An和Bn, 從而原方程的解得以確定。,上題中邊界處的電位分布,探討一下邊界處分布函數(shù)的形狀：,求解步驟,正確寫出方程和邊界條件； 在齊次化邊界條件下利用分離變量法求解； 利用齊次邊界條件求特征值、特征函數(shù)； 寫出通解形式 代入邊界，求待定系數(shù)。,二、求解柱坐標系下的Laplace方程,此時求解圓形區(qū)域的Laplace方程是研究場量和模式的重要手段。 在最常見的微波傳輸線(銅軸線)和最常見的光傳輸線(光纖)中，橫截面都是圓形，其中的電磁場模式也大多
6、是橫電波或橫磁波，即電場或磁場不沿著波導的長度方向改變，而只隨橫截面的坐標變化；,求解柱坐標系下的Laplace方程,電位只與 r 有關 電位只與 r、z 有關 電位只與 r、j 有關,只與 r、z 有關的Laplace方程, 當=0時：, 當0時：,若要在圓柱上下底面滿足齊次邊界條件, 則 m不可能0.,求解圓柱內部問題(包含圓柱軸線r=0)時, 為了滿足自然邊界條件, Nn(.)項應舍去., 當m <0時：,R(r)沒有實的零點, 如果要求 u 在圓柱側面r=a 滿足齊次邊界條件，則應排除<0的可能。,求解圓柱內部問題(包含圓柱軸線r=0)時, 為了滿足自然邊界條件, Kn(.)項應舍去.
7、,一般解為： 1)如果考慮圓內問題則其解為 2)如果考慮圓外問題則其解為 3)如果考慮是圓環(huán)問題，則其解為一般解，其中的系數(shù)由邊界條件確定。,3. 電位只與 r、j 有關,3. 球坐標系下與j無關時（軸對稱情況）,球內電位取有限值（r=0電位有限）,球外電位取有限值（r取無窮大電位有限）,,例1. 解題時首先看能否化簡,已知：很長的同軸電纜，內導體半徑為a,維持電位V0，外導體半徑為b，接地。 求：導體區(qū)域內的電位分布？,分析：柱座標，電位對稱，僅與r有關,例2.,書p136例5.6,三. 球坐標系下的二維Laplace方程,自學內容,什么是“鏡像法”？,用適當?shù)溺R像電荷(Image-Char
8、ges)代替邊界，求解電位分布的方法。,“鏡像法”的依據(jù)“唯一性定理”,Uniqueness Theorem,“鏡像法”思路 用假想的鏡像電荷代替邊界上的感應電荷 保持求解區(qū)域中場方程和邊界條件不變,“鏡像法”使用范圍： 界面幾何形狀較規(guī)范， 電荷個數(shù)有限，或分布形式簡單,5.5 鏡像法,Method of Images,(1)將導體移走,在“對稱”點處放置一個“像”電荷q*,第一類鏡像法：平面鏡像,(2)仍然要滿足“導體板”存在時的條件, q*？,q*q,,邊界條件：,對稱性：,拉氏方程,q*q,“像點”q*：滿足“導體板”存在時的條件,滿足！,滿足！,滿足！,由唯一性定理知,第二類鏡像法：柱面鏡像,像？線電荷“電軸” 位置？柱內、與線電荷平行 分布？密度設為p*,假設：,導體圓柱面上任一點M,因為導體是等位體,若“三角形相似”,思考：復雜的第2類鏡像問題,已知：兩根無限長平行圓柱，半徑為a、b，軸心距離d 求：兩柱間單位長度上的電容,請參考：書P158 例5.13,第三類鏡像法：球面鏡像,例如：一個點電荷，位于接地導體球旁邊，球半徑為a 求：該電荷受到的靜電力?,導體球上任一點M,電介質中的鏡像,分界面上切向電場連續(xù),且一般情況下法向電位移連續(xù):,結論：,
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