線性代數(shù)（第五版）課件：5-2 方陣的特征值與特征向量

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1、2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量引言引言n純量陣純量陣 l lE 與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即(l lEn)An=An(l lEn)=l lAn n矩陣乘法一般不滿足交換律，即矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB BA n數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即l l(AB)=(l lA)B=A(l lB)nAx=l l x?例：例：34003422,123002311l l 一、基本概念一、基本概念定義：定義：設設 A 是是 n 階矩陣，如果數(shù)階矩陣，如果數(shù) l l 和和 n 維維非零向量非零向量 x 滿足滿

2、足Ax=l l x，那么這樣的數(shù)那么這樣的數(shù) l l 稱為矩陣稱為矩陣 A 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 x 稱為稱為 A 對應于特征值對應于特征值 l l 的的特征向量特征向量例：例：則則 l l=1 為為 的特征值，的特征值，為對應于為對應于l l=1 的特征向量的特征向量.342212311 3423 21 一、基本概念一、基本概念定義：定義：設設 A 是是 n 階矩陣，如果數(shù)階矩陣，如果數(shù) l l 和和 n 維維非零向量非零向量 x 滿足滿足Ax=l l x，那么這樣的數(shù)那么這樣的數(shù) l l 稱為矩陣稱為矩陣 A 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 x 稱為稱為 A 對應于特

3、征值對應于特征值 l l 的的特征向量特征向量Ax=l l x=l lE x 非零向量非零向量 x 滿足滿足(Al lE)x=0（零向量）（零向量）齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組有非零解系數(shù)行列式系數(shù)行列式|Al lE|=0特征方程特征方程特征多項式特征多項式n特征方程特征方程|Al lE|=0n特征多項式特征多項式|Al lE|111212122212|0nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 二、基本性質(zhì)二、基本性質(zhì)n在復數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣階矩陣 A 有有 n 個特征值（重根按重數(shù)計個特征值（重根按重數(shù)計算）算）n設設 n 階矩陣階矩陣 A 的特征值

4、為的特征值為 l l1,l l2,l ln，則，則l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多項式為的特征多項式為所以所以 A 的特征值為的特征值為 l l1=2，l l2=4 當當 l l1=2 時，時，對應的特征向量應滿足對應的特征向量應滿足 ，即，即解得基礎解系解得基礎解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l1231012302xx 12110110 xx 111p k p1（k 0）就是對應的特征向量就是對應

5、的特征向量例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多項式為的特征多項式為所以所以 A 的特征值為的特征值為 l l1=2，l l2=4 當當 l l2=4 時，時，對應的特征向量應滿足對應的特征向量應滿足 ，即，即解得基礎解系解得基礎解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l1231014304xx 12110110 xx 211p k p2（k 0）就是對應的特征向量就是對應的特征向量例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值為的特征值為 l l1=1，l

6、l2=l l3=2 211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)AEl ll llllllll ll lllllllllll 例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（續(xù)）：解（續(xù)）：當當 l l1=1 時，因為時，因為解方程組解方程組(A+E)x=0解得基礎解系解得基礎解系 211020413A 1111101030 010414000rAEAEl l 1101p k p1（k 0）就是對應的特征向量就是對應的特征向量例：例：求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（續(xù)）：解（續(xù)）：當當 l l2=l l3=2 時，因為時

7、，因為解方程組解方程組(A2E)x=0解得基礎解系解得基礎解系 k2 p2+k3 p3（k2,k3 不同時為零）不同時為零）就是對應的特征向量就是對應的特征向量211020413A 4114112000 000411000rAE 23100,141pp 二、基本性質(zhì)二、基本性質(zhì)n在復數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣階矩陣 A 有有 n 個特征值（重根按重數(shù)計個特征值（重根按重數(shù)計算）算）n設設 n 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為 l l1,l l2,l ln，則，則l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|n若若 l l 是是 A 的一個

8、特征值，則齊次線性方程組的基礎解系的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎解系就是對應于特征值為就是對應于特征值為 l l 的全體特征向量的最大無關組的全體特征向量的最大無關組例：例：設設 l l 是方陣是方陣 A 的特征值，證明的特征值，證明(1)l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2)當當 A 可逆時，可逆時，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值結(jié)論：結(jié)論：若非零向量若非零向量 p 是是 A 對應于特征值對應于特征值 l l 的特征向量，則的特征向量，則pl l2 是是 A2 的特征值，對應的特征向量也是的特征值，對應的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，對應的特征

9、向量也是的特征值，對應的特征向量也是 p p當當 A 可逆時，可逆時，1/l l 是是 A1 的特征值，對應的特征向量仍然的特征值，對應的特征向量仍然是是 p 二、基本性質(zhì)二、基本性質(zhì)n在復數(shù)范圍內(nèi)在復數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣階矩陣 A 有有n 個特征值（重根按重數(shù)計個特征值（重根按重數(shù)計算）算）n設設 n 階矩陣階矩陣 A 的特征值為的特征值為 l l1,l l2,l ln，則，則l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|n若若 l l 是是 A 的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎解系的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎解系就是對應于特征值為就是

10、對應于特征值為 l l 的全體特征向量的最大無關組的全體特征向量的最大無關組n若若 l l 是是 A 的一個特征值，則的一個特征值，則 j j (l l)=a0+a1 l l+am l l m是矩陣多項式是矩陣多項式 j j (A)=a0+a1 A+am A m 的特征值的特征值例：例：設設3 階方陣階方陣 A 的特征值為的特征值為1,1,2，求，求A*+3A2E 的特征值的特征值解：解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j j (A)其中其中|A|=1(1)2=2 設設 l l 是是 A 的一個特征值，的一個特征值，p 是對應的特征向量令是對應的特征向量令則則2()32

11、j llj lll l 11()(232)2()3()2223232()A pAAE pA pApppppppj jllj lllj lllll 定理：定理：設設 l l1,l l2,l lm 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是與之對應的特征向量，如果次是與之對應的特征向量，如果l l1,l l2,l lm 各不相同，則各不相同，則p1,p2,pm 線性無關線性無關例：例：設設 l l1 和和 l l2 是方陣是方陣 A 的兩個不同的特征值，對應的特征的兩個不同的特征值，對應的特征向量依次為向量依次為 p1 和和 p2，證明證明 p1+p2不是不是 A 的特征向量的特征向量