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1、1. 電場力、電場強度與電位,4. 電偶極子與磁偶極子,重點：,第2章 電場、磁場與麥克斯韋方程,5. 麥克斯韋方程的導出及意義,2. 磁場力、磁感應(yīng)強度與磁位,7. 電磁場的能量與坡印廷矢量,,,,,3. 洛倫茲力,6. 電磁場中的三種電流以及電流連續(xù)性原理,,,,,2.1 電場力、電場強度與電位,1. 電場力,庫侖定律,適用條件, 兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力;,,,,,,2. 電場強度,庫侖定律還可以換一種方式來闡述： 假定電荷q=1C，于是電場力 即為q1對單位電荷的作用 力,我們將這個特定大小的電場力 稱為電場強度矢量,由電場強度矢量可以得出兩個或多個彼此相對靜止的電
2、荷之間的作用力，所以電場強度表示了電場力。,結(jié)論,,,,,如果電荷是沿一曲線連續(xù)分布的線電荷,線電荷密度定義為,dq在空間產(chǎn)生的電場強度為,整個線電荷在空間產(chǎn)生的電場強度為,,,,,如果電荷是沿一曲面連續(xù)分布的面電荷,面電荷密度定義為,整個面電荷在空間產(chǎn)生的電場強度為,,,,,如果電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布,體電荷密度定義為,整個體電荷在空間產(chǎn)生的電場強度為,,,,,3. 電位,已知試驗電荷 q在電場中的受力為,在靜電場中欲使試驗電荷 q處于平衡狀態(tài)，應(yīng)有一外力與電場力大小相等，方向相反，即,于是，試驗電荷q在靜電場中由A點移動到B點時外力需做的功為,我們將靜電場內(nèi)單位正電荷從A點移動到B點時
3、外力所做的功稱為點B和點A之間的電位差,,,,,在自由空間，如果點電荷位于原點，原點到場點A的距離為RA,原點到場點B的距離為RB ，則B點和A點之間的電位差為,積分表明，空間兩點B和A之間的電位差只與場點所在位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。,因此，在靜電場中,,可將下列左式改寫成一個具有普遍意義的式子（右式）,得到空間一段線元上兩端點間的電位差為,,,,,若單位正電荷是從無窮遠處出發(fā)移到B點的，則電位差為,或?qū)懗?,可得電位與電場強度的關(guān)系為,,,,,,此式提供了求解靜電場中電場強度的一種方法，即把求解電場強度的問題變成先求解電位而后再通過微分關(guān)系求電場強度。一般情況下，用這種方法比直接求解電場
4、強度要簡便。,由式（1.95）可知,,,2.2 磁場力、磁感應(yīng)強度與磁位,,,,,1. 磁場力,當電荷之間存在相對運動，比如兩根載流導線，會發(fā)現(xiàn)另外一種力，它存在于這兩線之間，是運動的電荷即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力 。,假定一個電荷 q 以速度 在磁場中運動，則它所受到磁場力為,這表明：一個單位電流與另外一個電流的作用力可以用一個磁感應(yīng)強度 來描述。,,,,,2.磁感應(yīng)強度,磁場的特征是能對運動電荷施力，其施力的情況雖然比較復(fù)雜，但我們可以用一個磁感應(yīng)強度來描述它, 即將其定義為一個單位電流受到另外一個電流的作用力。,已知磁場力,考慮磁場中載流線元 的受力情況，由于,所以,,
5、,,,如圖：電流元 和 之間的作用力為,比較,可得,畢奧-薩伐爾定律,運用疊加原理，可得閉合回路1在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度,,,,,上式是計算線電流周圍磁感應(yīng)強度的公式。磁感應(yīng)強度的單位為牛頓/（安培米），在國際單位制中的單位為特斯拉。,,,,,3.矢量磁位,,,穿過某一曲面S的磁感應(yīng)強度 的通量稱之為穿過該曲面的磁通量,由畢奧-沙伐爾定律,根據(jù)梯度規(guī)則,上式中的被積函數(shù)變成,,根據(jù)高斯定律,即,利用矢量恒等式,可得,因為,,,,,根據(jù),,根據(jù)庫倫規(guī)范，有約束,可得矢量磁位,這表明整個積分為零，即,,,,,4.標量磁位,但在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)?這樣，在無源區(qū)
6、域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個標量函數(shù)， 即標量磁位函數(shù),注意：標量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。,即令,,,對于恒定磁場，安培環(huán)路定律 表明磁場是一個有旋場，在有電流處磁場的旋度不為零。,當一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。,我們也可以用這個表達式作為電場強度和磁場強度的定義式。,即,,,,,2.3 洛倫磁力,重要特性：電荷在電場中會受到力(稱電場力)的作用。,E 取決于源(帶電體)的電量、形狀及分布情況,它可以是時變的,點電荷產(chǎn)生的場及所受的力是計算其它復(fù)雜情況的基礎(chǔ),,,,,電場,實驗證明：
7、電場力大小與電荷所在位置的電場強度大小成正比，即：,重要特性：在磁場中運動的電荷(電流)會受到力(稱磁場力)的作用。,磁感應(yīng)強度矢量B:描述空間磁場的分布(大小和方向)。,B的方向由磁場力和速度的方向確定。,B 取決于源(帶電體)的電量、形狀及運動分布情況,,,,,,磁場,,,,,,2.4 電偶極子,兩個相距很近（距離為d）的等量異號點電荷 +q 與 -q 所組成的帶電系統(tǒng)。,式中 和 分別是兩電荷 到 P 點的距離。,電偶極子的定義,電偶極子在任意一點P的電位為,,,,,如果兩電荷沿z軸對稱分布并且距離P點很遠，于是,并且,所以，P點電位變成,當 時，電偶極子平分面上的任意點處電位都為零。
8、于是，在這個平面上如果將電荷從一點移動到另一點是沒有能量損耗的。,,,,,為了便于描述電偶極子，我們定義一個電偶極矩矢量 ， 該矢量的大小為,而其方向則由負電荷指向正電荷，即,我們可以得到電偶極子在空間任意一點的電位為,2.5 磁偶極子,,,,,在定義磁偶極子之前，首先來分析一個閉合電流回路在空間所產(chǎn)生的磁場。正如電偶極子是常見的電場源的存在形式一樣，閉合電流回路是磁場源的最常見形式。,如圖所示，在電流回路 所產(chǎn)生的磁場中，任取一閉合回路 , 設(shè)P是 回路上的一點，則電流回路 在P點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為,,,,,計算 在回路 上的閉合線積分有,角的積分 為 所張立體,因此，由上式可
9、得,根據(jù)勢函數(shù)與有勢場的對應(yīng)關(guān)系，可得到空間一點P處的 標量磁位與磁場強度的關(guān)系為,P0是標量磁位的參考點,,,,,當場源電流分布在有限區(qū)域內(nèi)時，一般將參考點選在無窮遠處， 此時P點的標量磁位為,可得空間任意點P的標量磁位為,因為,,,,,一般情況下，求任意點P對回路面積的立體角并不很容易， 但是當P點與回路 的距離比起電流回路的尺寸大得多的時候 立體角可以近似地表示為,其中 是 與 的夾角。,,,,,為了便于描述磁偶極子，我們定義一個磁偶極矩矢量,經(jīng)過整理,可見，磁偶極子是根據(jù)電磁對偶性派生出來的一種概念。 磁偶極子與電偶極子不同，它不能在物理上實現(xiàn)，在工程 上它是一個載有交變電流的小
10、圓環(huán)的等效模型。,即,2.6 由電通量與高斯定律導出麥克斯韋第一方程,,,,,凡是矢量場，均有通量可言。電力線的數(shù)目就稱為電通量 。,規(guī)定,一個電荷q所產(chǎn)生的力線條數(shù)（即電通量）等于用庫侖表示的電荷的大小。,用符號 表示球面上的電通量密度，即,于是，通過整個球面的電通量為,電通量密度與電場強度的關(guān)系為,,,,,根據(jù)高斯定律,可得麥克斯韋第一方程 ：,或,若閉合曲面所包圍的電荷多于一個以上，則電通量關(guān)系應(yīng)改寫為,并且,電場強度 穿出球面的電場強度通量為,2.7 由法拉第電磁感應(yīng)定律與斯托克斯定律 導出麥克斯韋第二方程,法拉第電磁感應(yīng)定律,可得麥克斯韋第二方程 ：,,感應(yīng)電動勢,,閉合路徑所包
11、圍的磁通,,根據(jù)斯托克斯定律,,,,,2.8 由磁通量與高斯定律導出麥克斯韋第三方程,磁通連續(xù)性原理,可得麥克斯韋第三方程 ：,,根據(jù)高斯定律,,,,,,1. 傳導電流、運流電流和位移電流,,自由電荷在導電媒質(zhì)中作有規(guī)則運動而形成,傳導電流,,,,,2.9 由安培環(huán)路定律與斯托克斯定律 導出麥克斯韋第四方程,,為電阻率，,此式說明傳導電流密度服從于歐姆定律(ohms law)，并且傳導電流為,傳導電流的電流密度 與電場強度 的關(guān)系為：,,,,,,,,,,形成運流電流的電荷在運動時并不受到碰撞阻滯作用，即使存在與其它粒子發(fā)生碰撞的機率，其作用也微乎其微，可忽略不計，因此運流電流不服從于歐姆定律
12、。,,電荷在無阻力空間作有規(guī)則運動而形成,運流電流,假設(shè)存在一個電荷體密度為 的區(qū)域，在電場作用下，電荷以平均速度v 運動，在dt 時間內(nèi)，電荷運動的距離為dl則,如果存在一個面積元 dS，當運動電荷垂直穿過面積元時， dt 時間內(nèi)穿過的總電量為,,,,,式中運流電流密度為,通常，傳導電流與運流電流并不同時存在。,則穿過的電流為,所以，運流電流為,,則穿過閉合面S的位移電流為：,,電介質(zhì)內(nèi)部的分子束縛電荷作微觀位移而形成,位移電流,作一個閉合面S，假定其中所包圍的電量為q，根據(jù)高斯定律可知,式中位移電流密度,,,,,2.電流連續(xù)性原理,麥克斯韋假設(shè)， S面內(nèi)自由電量q的增長應(yīng)與穿出的位移電流
13、相一致，并且若指定穿出S面的電流為正，則,在時變電磁場空間，圍繞著通電導體作一閉合面S，則穿入的傳導電流和運流電流應(yīng)等于S面內(nèi)自由電量q的增加率，即,于是可得,,即,,,,,此式稱為電流連續(xù)性原理,電流連續(xù)性原理表明：在時變場中，在傳導電流中斷處必有運流電流或位移電流接續(xù)。,其中,通常，又將電流連續(xù)性原理稱為全電流定律，該定理揭示了不僅傳導電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。,麥克斯韋由此預(yù)言電磁波,或,,,,,稱為全電流密度,傳導電流與位移電流,解： 忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場,位移電流密度,位移電流,例: 已知平板電容器的面積為 S ,
14、 相距為 d , 介質(zhì)的介電常數(shù) ,極板間電壓為 u(t)。試求位移電流 iD；傳導電流 iC 與 iD 的關(guān)系是什么?,電場,,,,,3.麥克斯韋第四方程,,靜電場的環(huán)流為零,穩(wěn)恒磁場的環(huán)流如何呢？,說明靜電場是保守場；,對任何矢量場基本性質(zhì)的研究，就是考察它的通量和環(huán)流。,對穩(wěn)恒磁場環(huán)流的研究形成了安培環(huán)路定理。,,,,,,與環(huán)路成右旋關(guān)系的電流取正。,在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中，磁感應(yīng)強度 沿任意閉合曲線的線積分（也稱 的環(huán)流）, 等于穿過該閉合曲線的所有電流強度 （即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強度）的代數(shù)和的0倍。,,,,,安培環(huán)路定理,磁感應(yīng)強度的環(huán)流只與環(huán)路內(nèi)的電流有關(guān)，
15、但環(huán)路上一點的磁感應(yīng)強度是由環(huán)路內(nèi)、外電流共同產(chǎn)生的。,安培環(huán)路定理揭示了磁場的基本性質(zhì)之一，磁場是有旋場，是非保守場，故磁場中不能引入勢能的概念。,,,討論,當電流呈面分布時,,,,,,定義自由空間用磁場強度 表示的磁通密度為,則安培環(huán)路定律可寫成,在時變場中，應(yīng)將安培環(huán)路定律中的電流拓廣為全電流，即,其中,,,,,麥克斯韋第四方程,由斯托克斯定律得,即,,,或,,,,,,2.10 微分形式的麥克斯韋方程組,將上面推導出的麥克斯韋方程列寫在一起，就得到了微分形式的麥克斯韋方程組 。,,,,,或,將電場與其場源電荷密度聯(lián)系了起來，實際上，它是庫侖定律的另一種形式。,第一方程,,,,,表明了隨時
16、間變化的磁場會產(chǎn)生電場 這是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式 。,第二方程,表明了在形成磁場的源中，不存在“點磁荷磁力線始終閉合 。,第三方程,表明了產(chǎn)生磁場的源是電流或變化的電場安培定律的另一種表現(xiàn)形式。,第四方程,2.11 麥克斯韋方程的積分形式,根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理，可將微分形式的麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為積分形式的麥克斯韋方程。,,,,,轉(zhuǎn)化為,,,,,其中引出了三個媒質(zhì)特性方程,以上即為麥克斯韋所總結(jié)的微分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）與積分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）的電磁場方程組，又稱為電磁場的完整方程組。其所以稱為“完整”方程組，是因為方程組全面地描述了作為統(tǒng)一的電磁場的兩個方面電場與
17、磁場的相互關(guān)系，以及電場、磁場本身所具有的規(guī)律，和電場、磁場與其所處空間的媒質(zhì)的關(guān)系。具體地說，第一方程表明，電場是有散度場，即電場可以由點源電荷所激發(fā)；第三方程表明，磁場為無散度場，即磁場不可能由單極磁荷所激發(fā)；而第二和第四方程則描述了電場與磁場相互依存、相互制約并且相互轉(zhuǎn)化。,,2.12 麥克斯韋方程的時諧形式,時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧場（time harmonic field）,簡稱時諧場。所謂時諧場即激勵源按照單一頻率隨時間作正弦變化時所激發(fā)的也隨時間按照正弦變化的場。在線性系統(tǒng)中，一個正弦變化的源在系統(tǒng)中所有的點都將產(chǎn)生隨時間按照同樣規(guī)律（正弦）變化的場。對于時諧場，我
18、們可以用相量分析獲得單頻率（單色）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,,,,,在直角坐標系中，電場強度矢量可用沿三個互為垂直的坐標軸的分量來表示，即,其中的三個分量可表示為,,,,,用復(fù)數(shù)的實部表示為,即,,運用上述規(guī)則，可將麥克斯韋方程改寫為時諧形式,,,,,微分形式的時諧表示,積分形式的時諧表示,2.13 電磁場的能量與坡印廷矢量,電磁能量符合自然界物質(zhì)運動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律坡印亭定理，坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。 由麥克斯韋方程組可以導出電磁場能量的守恒方程，該方程中包含了這樣一項，它可以用電磁場中任何一點處的能量流動速率來表示。,,,,,,,,,麥克斯韋方程組如下,兩式相減，可得,,,
19、,,,此式稱為 坡印廷定理,式中，令,上式也可寫成,,用 點乘方程（4）,用 點乘方程（2）,,,坡印廷矢量,,,,,因為,,即,,因為 這一項可以看作是某一點上的單位體積能量的變化率，所以如果要上式中的綱量統(tǒng)一的話，則該式中所有的項必須都具有相同的意義，,能量的變化率,為了更好地理解上式中各項的真實含義，將它寫成如下積分形式,,,,,式中,或者,式中第一項表示穿過包圍體積v的封閉面S的功率；第二項表示由場供給帶電粒子的功率，在導電媒質(zhì)中 ，此項表示功率損耗或歐姆功率損耗；第三項表示電場儲能的變化率；第四項表示磁場儲能的變化率 。,討論,通常將上式寫成,,,,,等式左邊的負號表示凈功率
20、流入體積v，以提供體積內(nèi)的熱損耗和電場與磁場的儲能增加。,具有電磁能量密度的量綱。即，瞬時坡印廷矢量表示了單位面積的瞬時功率流或功率密度。功率流的方向與電場和磁場的方向垂直 。,坡印廷矢量,對于正弦電磁場，計算一個周期內(nèi)的時間平均值更有實際意義，坡印廷矢量的時間平均值即平均坡印廷矢量定義為,例： 用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負載傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導體，內(nèi)外半徑分別為a和b。,解： 理想導體內(nèi)部電磁場為零。電磁場分布如圖所示。,電場強度,, 穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被負載吸收。, 電磁能量是通過導體周圍的介質(zhì)傳播的，導線只起導向作用。,單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導體間的橫截面A的總能量為,磁場強度,坡印亭矢量,圖 同軸電纜中的電磁能流,這表明,,,,,在時諧形式下,,,,,,于是可以定義在時諧形式下的復(fù)坡印廷矢量,積分后得,利用復(fù)坡印廷矢量可以方便地計算出平均坡印廷矢量,本章要點,1.電磁場中的三種力 及其表示,2.電通量 、電通密度與電場強度,3.電磁場中的三種電流,4.電流連續(xù)性原理 、全電流密度,6.微分形式的麥克斯韋方程組,5.電偶極子 與磁偶極子,7.積分形式的麥克斯韋方程組,8.時諧形式的麥克斯韋方程組,,,,,9.媒質(zhì)的三個特性方程,10.坡印廷定理 與坡印廷矢量,11.平均坡印廷矢量,
電磁場與電磁波基礎(chǔ)第2章
