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1、第五章 平面電磁波5.8平面正弦電磁波對理想介質(zhì)分界面的斜入射 5.1平面正弦電磁波在理想介質(zhì)中傳播1.波動方程及其求解方法 在4.2節(jié)已經(jīng)給出了在均勻、各向同性、無損耗媒質(zhì)的無源區(qū)域的波動方程(5.1.1)(5.1.2)在直角坐標(biāo)系中，電場強度E為(5.1.3)把式（5.1.3）代入到式（5.1.1）中得到三個形式完全相同的標(biāo)量偏微分方程把上述三個標(biāo)量偏微分方程求解后即得出電場強度E。2.平面電磁波（5.1.4）對于均勻平面電磁波，設(shè)電場只有Ex一個分量并隨z方向一維變化，則式（5.1.4）簡化為其通解為3.平面正弦電磁波 如果平面正弦電磁波沿z軸正向傳播，則 Ex（z,t）=Exmcos（
2、t-kz）如果平面電磁波沿z軸正向傳播，則考慮到傳播方向，磁場強度可寫成矢量形式，即例5.1在自由空間中，E（z,t）=ey103sin(t-z)（V/m）試求H（z,t）。解:很顯然 下面通過判斷給出H（z,t）的方向，由E（z,t）表達式可知，電磁波是沿著z軸正向傳播，電磁波的傳播方向即是坡印廷矢量S的方向，由S=EH，可以判斷磁場應(yīng)為-ex方向，所以4.平面正弦電磁波的特性（1）行波特性（2）橫波特性（3）特性參量 周期T、頻率f、角頻率 速度v、波長、波數(shù)k 例5.1.2 均勻平面正弦波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為r=4、r=1，=0。電磁波的頻率為100
3、MHz，電場強度的幅值為104V/m，電場沿x方向，且當(dāng)t=0，z=1/8m時，電場強度等于其幅值。試求：（1）波速、波數(shù)和波長；（2）電場強度矢量E（z,t）；（3）磁場強度矢量H（z，t）。解（1）（2）E（z,t）=exEx 式（5.1.15）是初相為0的表達式，如果初值不為0，其表達式為當(dāng)t=0,z=1/8m時，Ex=Exm，即所以（3）介質(zhì)的本征阻抗所以 5.2平面正弦電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中的傳播1.復(fù)介電常數(shù)引入復(fù)介電常數(shù)后，無源導(dǎo)電介質(zhì)的麥克斯韋方程為2.導(dǎo)電介質(zhì)中的電場強度電場強度的瞬時值表達式為導(dǎo)電媒質(zhì)電場強度的傳播規(guī)律：（1）導(dǎo)電介質(zhì)中電場強度是按照e-z衰減的，是表示單位距離
4、衰減程度的系數(shù)，稱為電磁波的衰減系數(shù)。電導(dǎo)率越大，就是越大，衰減就越快。（2）表示單位距離落后的相位，稱為電磁波的相位系數(shù)。與理想介質(zhì)不同，導(dǎo)電介質(zhì)的相位系數(shù)不再是常數(shù)，而是與、都有關(guān)系的一個系數(shù)。3.導(dǎo)電介質(zhì)中的磁場強度磁場強度的瞬時值表達式為 磁場強度除衰減系數(shù)和相位系數(shù)與電場強度有相同的規(guī)律外，還具有如下規(guī)律：（1）磁場強度的振幅與1/|c|有關(guān)，它不僅取決于 還取決于導(dǎo)電介質(zhì)電導(dǎo)率的大小。（2）磁場與電場不再是同相的，而是磁場比電場滯后 角。這一點通過圖5.2.1可以定性地看出。圖5.2.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中平面正弦波的電場和磁場4.關(guān)于導(dǎo)電介質(zhì)的討論（1）低損耗介質(zhì) 在/1情況下對式（5.
5、2.15）和式（5.2.16）進行估算復(fù)本征阻抗為例5.2.1 頻率為550kHz的平面波在有損媒質(zhì)中傳播，已知媒質(zhì)的損耗角正切tan=/=0.02，相對介電常數(shù)r=2.5。求平面波的衰減系數(shù)、相位系數(shù)和相速度。解:5.3良導(dǎo)體的趨膚效應(yīng)和表面阻抗良導(dǎo)體中電場強度和磁場強度的瞬時值 由于 很大，電磁波進入良導(dǎo)體很短的距離，場的幅值就很小，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。趨膚效應(yīng)可以用趨膚深度來描述，通常也稱為穿透深度，它定義為：場進入有損介質(zhì)后幅值衰減為原來的1/e的深度，即所以對于良導(dǎo)體有由于良導(dǎo)體=,而=2/，可以得出趨膚深度和波長的關(guān)系為 =/2 對于良導(dǎo)體而言，在直流或低頻下工作，整個導(dǎo)體截面都
6、有電流流過；但是在高頻下工作時，由于趨膚效應(yīng)，導(dǎo)體中的電流將集中在靠近表面的薄層上，隨著深度的增加，導(dǎo)體內(nèi)部的電流密度迅速減小，如圖5.3.1所示。把J=E代入到式（5.2.13）得 可見，在高頻情況下再沿用原來的電阻或阻抗的概念是不行的，于是定義導(dǎo)電媒質(zhì)的表面阻抗率為 式中Et是導(dǎo)電介質(zhì)表面的切向電場，即當(dāng)z=0時的Ex值，Ex=J0/。Js是導(dǎo)電介質(zhì)表面上單位寬度，深度為無限大（實際上良導(dǎo)體只在很小深度有趨膚電流）的截面上流過的電流，即所以式中，rs=/稱為表面電阻率；xs=/稱為表面電抗率。對于良導(dǎo)體例5.3.1 已知銅的電導(dǎo)率為=5.80107S/m，求半徑為2mm的銅導(dǎo)線當(dāng)f=1MH
7、z時單位長度的表面電阻。解:銅的表面電阻率為 表面電阻與表面電阻率的關(guān)系為 Rs=rsl/w式中，l為導(dǎo)體的長度，本題為1個單位長度；w為寬度，本題w=2r。所以下面再來計算一下直流電阻R0的大小可見，高頻時良導(dǎo)體的表面電阻遠(yuǎn)大于直流電阻，為了減小電阻只有增加導(dǎo)體的表面積。例5.3.2 頻率為10MHz的平面波在金屬銅里傳播，已知銅的參量為r1，r1，=5.8107（S/m）。已知金屬表面的磁場強度幅值為Hym0=0.1（A/m）。求:（1）金屬銅內(nèi)的衰減系數(shù)、相位系數(shù)以及相速度vp和波長；（2）金屬銅內(nèi)的復(fù)本征阻抗c及金屬表面的電場強度幅值Exmo；（3）趨膚深度及表面阻抗率zs；（4）金屬
8、銅的電場強度瞬時值、磁場強度瞬時值及進入導(dǎo)體的能流密度Sav。解:(1)可見，電磁波在良導(dǎo)體中的傳播速度是很慢的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速。=vp/f=1.313104（m）當(dāng)z=0時例5.3.3 平面波從自由空間入射到海水中，海水的參量為=4S/m,r=80，r=1。電磁波的頻率為：f=30Hz；f=30MHz。試求進入海水的深度h等于多少時，電場強度的幅值僅剩海水表面幅值的10%。解：（1）當(dāng)f=30Hz時顯然是良導(dǎo)體 所以海底廣泛使用低頻無線電通信（頻率通常為40Hz10kHz）或聲吶。（2）當(dāng)f=30MHz時，/30，仍然為良導(dǎo)體 由e-h=10%得h=-ln0.1/=0.1058（m）可見，f=
9、30MHz的高頻電磁波進入海水深度僅0.105m，其幅度只剩下10%，衰減極快。5.4電磁波的色散和群速度1.電磁波的色散 電磁波的相速度 可見，導(dǎo)電介質(zhì)的相速度隨頻率不同而有所改變。在低損耗介質(zhì)中 所以，由于頻率引而起的相速度差別不大。再來看良導(dǎo)體中的相速 可見，良導(dǎo)體中v與 成正比。因此良導(dǎo)體的色散非常嚴(yán)重。那么電磁波的色散對信號的傳輸有什么影響呢？前面幾節(jié)討論的是單一頻率的均勻平面電磁波。而信號是不同頻率的諧波疊加而成，單一頻率的均勻平面諧波不能攜帶任何信號。這樣信號在有損介質(zhì)中傳播，就會使某些頻率的諧波相速度增大，另一些頻率的諧波相速度減小。如果信號從z=0出發(fā)，就會使某些頻率的諧波先
10、到達距離z=L處，另一些頻率的諧波后到達z=L處。所以信號在有損介質(zhì)中傳輸，會引起色散失真，如圖5.4.1所示。從圖中可以看出，z=0處波形很窄，波形在傳輸?shù)絲=L處被展寬，這會產(chǎn)生信號的失真。失真較嚴(yán)重時，兩列脈沖交疊在一起，信號也就不能正常傳輸了。圖5.4.1 信號在有損介質(zhì)中傳輸?shù)纳⑹д?.電磁波的群速度 在有損介質(zhì)中電磁波信號的傳播速度，實際上就是多種頻率疊加而形成的波包的傳播速度，通常稱為群速度vg。群速度vg與相速度不同，相速度vp是電磁波等相面的傳播速度。通信信號在有損介質(zhì)中傳播時，相對于載波信號，信號的帶寬都很窄，是窄帶信號，設(shè)攜窄帶信號的平面電磁波，沿z軸正向傳播的載波頻率
11、為0，則可以用泰勒級數(shù)在0附近展開(5.4.4)現(xiàn)在討論一種最簡單的情況，在信號中，取0-和0+兩個分量，相應(yīng)的相位系數(shù)為0-和0+，因為是窄帶信號，所以0,0，則電場強度的表達式為則合成電磁波的場強表達式為信號可以看成是以角頻率0向z方向傳播的行波，而振幅按cos（t-z）緩慢變化，如圖5.4.2所示。(5.4.5)按照相速度和群速度的概念，載波的相速度為 (5.4.6)而包絡(luò)向前行進的速度是群速度vg，由（t-z)為常數(shù)得 vg=dz/dt=/(5.4.7)當(dāng)0時vg=d/d (5.4.8)對窄帶信號，信號包絡(luò)在傳播過程中畸變很小，群速度vg才有意義。圖5.4.2 合成電磁波的波形3.電磁
12、波群速度和相速度之間的關(guān)系 對于0為載波的窄帶信號，把式（5.4.4）取前兩項代入到式（5.4.8）中得并把=/vp代入上式得(5.4.9)從式（5.4.9）可知：當(dāng)dvp/d=0時，vg=vp，這是無色散情況；電磁波通過有損介質(zhì)總是要發(fā)生色散的，這必然導(dǎo)致信號發(fā)生失真，工程技術(shù)人員可以采取一些措施來補修。如光信號在光導(dǎo)纖維中傳播，要產(chǎn)生正常色散，那么工程技術(shù)人員可以設(shè)計出反常色散光纖進行補償，也可以采用對信號均衡補償?shù)姆椒ā?.5電磁波的極化 前幾節(jié)討論了均勻平面正弦平面波，在自由空間，如果電場的方向固定為x方向，電場強度矢量的瞬時值為 E=excos（t-kz）（5.5.1）這是一種特殊情
13、況，即電場強度矢量E的端點軌跡始終為保持在x方向的直線。通常場矢量隨時間變化時，端點的軌跡為直線的波稱為線極化波。如果場矢量端點的軌跡為圓的波稱為圓極化波；如果場矢量端點的軌跡為橢圓的波則稱為橢圓極化波。討論電磁波的極化是有實際意義的，它可以說明怎樣設(shè)置天線才能得到最有效的接收等問題。在現(xiàn)代通信中廣泛采用了圓極化空間電磁波，在鐵氧體器件中也是利用了圓極化的磁場。在一般情況下，對于沿z軸方向傳播的均勻平面波，電場強度矢量E有兩個分量Ex和Ey，它們的頻率傳播方向均是相同的，電場強度矢量的表達式為式中所以電場強度矢量的兩個分量的瞬時值為顯然，電磁波的極化形式與這個平面電磁波的兩個分量的振幅和相位有
14、關(guān)，下面分三種情況討論。（1）線極化波顯然，合成電磁波雖然電場強度的大小是隨時間位置變化的，但其矢量端點始終是一條直線，這條直線與x軸正向夾角是一個常數(shù)見圖5.5.1a）當(dāng)Ex和Ey反相時，即 時合成波也為線極化波，此時電磁波的電場強度矢量與x軸正向夾角也是一個常數(shù)見圖5.5.1（b）。(a)同相時 (b)反相時 圖5.5.1 線極化波（2）圓極化波 當(dāng)Exm=Eym=Em，時，則式（5.5.3）和式（5.5.4）變?yōu)橄得 這是一個圓的方程，即合成波的電場強度矢量E的端點的軌跡是一個圓。E的模和幅角分別為即 為了分析簡便令z=0，如果 ，則矢量E將以角速度在xoy平面上沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如
15、圖5.5.2（a）所示；如果 ，則E將以在xoy平面上沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖5.5.2（b）所示。(a)右旋圓極化 (b)左旋圓極化 圖5.5.2 圓極化波（3）橢圓極化波 更一般的情況是Ex和Ey及和為任意關(guān)系。對式（5.5.3）和式（5.4.4）消去t得 上式是以Ex和Ey為變量的橢圓方程。即電場強度矢量的端點是橢圓，所以稱為橢圓極化波。線極化波和圓極化波可以看做橢圓極化波的特例。例5.5.1判斷下列平面電磁波的極化形式。所以電磁波是沿著z軸負(fù)方向傳播，Ex和Ey的相差為，故為線極化波在二、四象限。（2）可得寫成瞬時值所以電磁波是沿z軸正方向傳播，Ex與Ey的相差為/2，故為右旋圓極化波。
16、5.6平面正弦電磁波對平面分界面的垂直入射1.對理想導(dǎo)體平面分界面的垂直入射 平面正弦電磁波垂直入射到理想導(dǎo)體的平面分界面上，如圖5.6.1（a）所示。設(shè)它的傳播方向是z軸方向，電場強度方向為x軸方向，則入射波的電場強度可表示為 （5.6.1）相應(yīng)的磁場強度為 (5.6.2)在理想導(dǎo)體分界面處發(fā)生反射，如圖5.6.1（b）所示，顯然反射波的傳播方向為z軸的負(fù)方向,設(shè)反射波 的電場強度方向仍為x軸方向，則反射波的電場強度可表示為 相應(yīng)的磁場強度為 反射波和入射波在理想介質(zhì)里形成合成波，合成的電磁場為圖5.6.1平面正弦波對理想導(dǎo)體分界面的垂直入射2.對理想介質(zhì)平面分界面的垂直入射 現(xiàn)有兩種理想介
17、質(zhì)，介質(zhì)1的參數(shù)為1、1，介質(zhì)2的參數(shù)為2、2。平面正弦電磁波從介質(zhì)1垂直入射到介質(zhì)2的平面分界面，如圖5.6.3所示。圖5.6.3平面正弦波垂直入射到兩種理想介質(zhì)的平面分界面在理想介質(zhì)1中的合成電場和磁場為在理想介質(zhì)2中合成波的電場和磁場的表達式為 例5.6.1 頻率為f=300MHz的線極化平面波，其電場強度幅值Em=2V/m，從空氣垂直入射到r=4，r=1的理想介質(zhì)平面上（坐標(biāo)設(shè)定與圖5.6.3相同）。求：（1）反射系數(shù)和透射系數(shù)；（2）入射波、反射波和透射波的電場和磁場的瞬時值表達式（取初相=0）；（3）入射功率、反射功率和折射功率。解（1）所以例5.6.2 一右旋極化波垂直入射到位于
18、z=0的理想導(dǎo)體板上，其電場強度的復(fù)數(shù)表達式為（1）求出反射波的表達式并確定其極化方式；（2）求板上的感應(yīng)面電流；（3）寫出合成波電場強度的瞬時表達式。解（1）設(shè)反射波的電場強度為利用邊界條件得Erx=-E0，Ery=jE0則Er=E0（-ex+jey）ejkz由于 ,所以它是左旋極化波。（2）先求出入射波和反射波的磁場強度所以合成波的磁場為H1=Hi+Hr導(dǎo)體面上的感應(yīng)面電流為合成波電場為所以其瞬時值為（E0為電場強度的有效值）5.7平面正弦電磁波對理想導(dǎo)體平面的斜入射1.波矢量k 在理想介質(zhì)中，如果電磁波向空間某一方向傳播，那么相移常數(shù)就是矢量，稱為波矢量k。電磁波在理想介質(zhì)中傳播的表達式
19、為 E=E0e-jkr （5.7.1）式中E0為復(fù)振幅。引入波矢量k,有時會給分析帶來方便，實際上波矢量k的方向就是波的傳播方向。在直角坐標(biāo)系中k和r分別表示為 所以有 （5.7.2）下面講解極化波的問題。因為極化波形式不同，其規(guī)律也不相同。線極化波和分界面的法線與入射波射線構(gòu)成的平面關(guān)系有兩種情況。一種情況是電場強度矢量平行于入射面，稱為平行極化波；另一種情況是電場強度矢量垂直于入射面，稱為垂直極化波。2.平行極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射圖5.7.1平行極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射 如圖5.12所示，分析平行極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射問題，建立直角坐標(biāo)系。入射線與分界面法線的夾角稱為入射角
20、，設(shè)入射角為i，則式中得相應(yīng)的磁場為 反射線與分界面法線的夾角稱為反射角，設(shè)反射角為r，則反射波表示為合成波的電場和磁場3.垂直極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射 利用圖5.7.2來分析垂直極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射問題，分析方法類似于平行極化波?？梢缘玫椒瓷涠扇匀怀闪D5.7.2 垂直極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射合成波的電場和磁場為例5.7.1 有一正弦均勻平面波從空氣斜入射到z=0的理想導(dǎo)體平面上，其電場強度的復(fù)數(shù)表達式為 Ei=ey10e-j（6x+8z）（V/m）求：（1）波長和頻率；（2）電場強度的瞬時值表達式Ei（t）和磁場 強度的瞬時值表達式Hi（t）；（3）入射角i；（4）反射波
21、的Er和Hr；（5）合成波的總電場E1和總磁場H1。解：得所以，5.8 平面正弦電磁波對理想介質(zhì)分界面的 斜入射1.相位匹配條件和斯奈爾折射定律 如圖5.8.1 所示，平面電磁波向理想介質(zhì)分界面z=0處斜入射，將產(chǎn)生反射波和透射波（折射波），則入射波、反射波和透射波的電場強度矢量分別表示為在分界面z=0處兩側(cè)電場強度的切向分量應(yīng)連續(xù),E1t=E2t故有又多加下角標(biāo)t表示切向分量不同的x和y都成立，所以這個結(jié)論稱為相位匹配條件圖 5.8.1斯奈爾折射定律2.平行極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射平行極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射，如圖5.8.2所示圖5.8.2平行極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射在圖5
22、.8.2所示的直角坐標(biāo)系中，入射波的電場和磁場為反射波的電場和磁場為（已經(jīng)考慮了反射定律）透射波的電場和磁場為平行極化波的菲涅爾公式3.垂直極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射垂直極化波理想介質(zhì)分界面的斜入射如圖5.8.3所示圖5.8.3垂直極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射 仿照水平極化波的求解方法，對圖5.8.3所示的直角坐標(biāo)系，寫出入射波、反射波和透射波的表達式，然后在z=0處應(yīng)用邊界條件，并利用反射定律和折射定律可得垂直極化波的反射系數(shù)R和透射系數(shù)T。以上兩式稱為垂直極化波的菲涅爾公式4.全反射和臨界角 從折射定律式（5.8.10）可知，當(dāng)理想介質(zhì)1的介電常數(shù)1大于理想介質(zhì)2的介電常數(shù)2時，就會
23、有折射角t大于入射角i 當(dāng)i為某個角度c時，t90，此時就不再有折射線了，這個角度稱為臨界角c當(dāng)滿足ic時，入射光線發(fā)生全反射。5.全折射和布儒斯特角 從式（5.8.21）可以看出，對于水平極化波，當(dāng)入射角為某個特定角B時，電磁波完全透射，沒有反射，即R=0時，i滿足求得即當(dāng)入射角為B時，沒有反射的電磁波，B稱為布儒斯特角。再來看垂直極化波，從式（5.8.24）只要12，無論入射角i是什么值，R都不會為零。因此以任何入射角向兩種理想介質(zhì)的分界面入射，都不會發(fā)生全折射。水平極化波全折射的性質(zhì)也很有用，如果一個任意方向的極化波，以布儒斯特角B入射，那么反射光線不會有平行極化波，只剩下垂直極化波分量
24、。利用這個原理可以實現(xiàn)極化濾波。例5.8.1 一個線極化平面波從自由空間投射到理想介質(zhì)（r=4，r=1）的分界面，如果入射波的電場與入射面夾角為40。試求：（1）入射角是多少度時，反射波只有垂直極化波。（2）此時反射波的平均功率流是入射波的百分之幾。解:（1）當(dāng)入射角i為布儒斯特角B時，反射波沒有水平極化波，只有垂直極化波。由題中給出的條件 自由空間1=0，1=0 理想介質(zhì)2=40，2=0 所以（2）入射波的電場與入射面的夾角為45，即入射波可分解為水平極化波分量和垂直極化波分量。設(shè)入射波的電場強度振幅有效值為Eio，則入射波的平均功率流為 Siav=ReEiH*i=E2io 反射波的垂直極化的反射系數(shù)R為反射波的平均功率流為 所以反射波的平均功率流是入射波的18%。例5.8.2 真空中波長為1.5m的遠(yuǎn)紅外電磁波以75的入射角從r=1.5、r=1的介質(zhì)斜入射到空氣中，求空氣界面上的電場強度與距離空氣界面一個波長處的電場強度的大小之比。解：理解介質(zhì)，1=1.50,1=0 理想介質(zhì)2為空氣，2=0,2=0 臨界角 顯然ic，斜入射的電磁波發(fā)生全反射。在空氣中透射波的電場強度式中所以空氣界面上電場強度與距離空氣界面一個波長處的電場強度大小之比為
第五章 平面電磁波
