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1、第3章 介質中的麥克斯韋方程,本章將討論一般介質中的麥克斯韋方程，這首先需要了解介質的電與磁的性能以及一些簡單概念。 通過分析發(fā)現(xiàn)，如果引入極化矢量 和磁化矢量 ，就可以很方便地來描述普通介質中麥克斯韋方程的一般形式。本章還將引入介質中相對介電常數(shù)的定義,而且會看到與介質折射率n 之間存在著直接的聯(lián)系。,真空中的麥克斯韋方程,或,介質中的麥克斯韋方程預測,極化電荷,極化電流,磁化電流,,,,1. 介質特性：電偶極矩 、分子極化率 、極化矢量,4. 一般媒質中的麥克斯韋方程,重點：,3. 磁偶極矩、磁化強度矢量 、,2. 介質的折射率、相對介電系數(shù),5. 介質中的三個物態(tài)方程,6. 場量的邊界
2、條件,3.1 電介質及其極化,1. 電介質,,一般來講電介質可分為兩大類：一類是無極分子電介質，當沒有外電場作用時，這類電介質中正負電荷的中心是重合的，處于電中性狀態(tài)，對外不顯電性，如2、2等氣體物質。第二類是有極分子電介質，如2O當沒有外電場作用時，這類電介質中的正負電荷中心不重合，每個分子可等效為一個電偶極子，但由于分子的無規(guī)則熱運動，使得電偶極子的分布排列是無規(guī)則的。因此，整體仍呈電中性，對外也不顯電性。,3、束縛電荷（bound charge）,不能離開電介質，也不能在電介質內部自由移動的電荷 。,2、電介質的極化,在外電場作用下，電介質中出現(xiàn)有序排列電偶極子以及表面上出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)
3、象 。,假設電場中分子內部的電荷q 在電場的作用下從它的平衡位置移動了一段距離x，如果被移動的電荷質量為m，其受到的恢復力與位移成正比，那么電荷的受力方程可以表示為,3.2 單個分子的分子偶極矩,,,式中： 為阻尼力， 為彈性恢復力 ， 為加速度。,在時諧電場中,因此有,則電荷位移,式中 虛部與 有關，這表明我們所討論模型的衰減使得位移與電場力不同相。,定義：分子內的電偶極矩,并且,若引入分子極化率,則電偶極矩為,,3.3 極化矢量,對介質中的一般分子模型所進行的討論，說明我們可以在兩組不同的條件下來描述介質中的電荷特性。根據電荷偏離其平衡位置時的位移,我們對分子中的電荷特性進行
4、過討論，雖然這時電荷能夠發(fā)生位移,然而它們的移動范圍卻是受到分子約束的。盡管很高的場強會使介質中的電荷擺脫這種約束而變成自由電荷并造成介質中產生“擊穿”現(xiàn)象,但對這種情況我們暫且不作討論。對屬于介質中分子的電荷來說（這種電荷又稱為“束縛電荷”），其它的電荷是被吸引進介質的例如自由離子或自由電子,其運動不受分子約束力限制,故被稱為“自由電荷”，于是我們可以將這兩種不同類型的電荷集中表示為,極化矢量的定義,與電荷密度,和電流密度,之間的關系，,與分子偶極矩,之間的聯(lián)系。,如圖所示，假設某介質的單位體積內包含有 個分子，設每個分子由相距為 的正負電荷 組成，考慮介質內某曲面 上的一個面 .當偶極子的
5、負電荷位于圖中的體積中時，其正電荷就穿出界面 外。穿出界面dS外的正電荷為,其中：,故有,上述結論與介質結構的情況無關,具有普遍意義。這樣,我們就可以對任何介質寫出其應滿足的麥克斯韋方程。,麥克斯韋方程的一般形式為,,對閉合面 積分，得到閉合體積內穿出的總的正電荷,用 表示單位體積中的極化電荷，則,,進一步有,在上式中令,又由于,故有,此式稱為反映介質極化的物態(tài)方程,相對介電常數(shù),,介電常數(shù),,3.5 高密度介質中的電場,當出現(xiàn)外加電場 時，介質中的每個分子都被極化，并產生一個電偶極矩，從而在周圍建立自己的電場出于庫侖作用是長程的，每個分子除了受到加電場的作用之外，還要受到其他分子的感應電矩
6、的電場的作用；這兩部分電場合起來記作 ，稱為局域場(local field) 為宏觀外加的電場；對于單個分子來說 才是真正的外電場，這里沒有計及來自這個分子本身內部電荷的電場，而這個分子以外的所有因素卻都考慮到了因此，極化強度 應寫成與 的線性關系( )而不是與 的線性關系,氣體中，由于分子的整體旋轉熱運動的結果，使內電場的取向隨著分于一起旋轉；因此其效應在作熱平均值時抵消了，在宏觀上就表現(xiàn)不出來這時，可以簡單地認為分子本身內部電荷的電場為零，對于晶體結論也是成立的。,考察一種介質,它是由呈氣態(tài)或液態(tài)的中性分子所組成。對于這種流體介質，一般可以認為它是各向同性的（isotropic）。
7、由于單個分子中的電荷是分離的，所以如果施加一個電場就會產生介質的極化，極化的方向與所施加電場的相同。比如，在靜電場的情況下，介質充斥于平行板電容器（parallel-plate Capacitor）的兩個極板之間，介質中任一點處的場與下列因素有關：,（i）金屬板上的電荷與介質極化面電荷所構成的介質外表面的電荷分布；,（ii）所考察的場點周圍分子偶極子所產生的附加影響。,3.5 高密度介質中的電場,前面一種因素的作用較為簡單，它可由單位面積上的自由電荷 來確定，其中包括了電解質的宏觀效應的貢獻，即,在對上述第二種因素的影響進行討論時,我們遵循的是洛倫茲的方法，即作一個包圍場點的半徑為R 的球面，
8、如圖所示，在球面的內部,可認為介質能夠體現(xiàn)出單個分子的特性,而在球面外部則認為介質是呈電中性的。,,球內的介質在球心產生的電場，且為零,球外的介質在球心產生的電場,,,E1歸結為電介質被挖去一個球體后，球腔內壁電荷在球心所產生的電場,洛倫茲有效場,3.5,由于全部分子偶極子在球體中心的總的場強矢量和的值為零， 因此,能在球體中心產生電場就只剩下兩個來源了： (i) 介質外表面極板上的電荷 (ii)球的內表面上的極化電荷。,因此,局部電場可以表示為,,即,此式說明，局部電場的影響可使電場增強,洛倫茲有效場,洛倫茲有效場修正,又因為,比較上面兩式可得,如果不可慮內部場加強效應，則成為前面的結果,3
9、.6 折射率與相對介電常數(shù),介質的折射率(refractive index) n定義為,其中c是電磁波在真空中的速度，v則是電磁波在折射率為n的介質中的速度。,前面我們已經定義了一個反映介質特性的量相對介電常數(shù),下面我們來尋求折射率n與 之間的關系：,令,則介質中的麥克斯韋方程變?yōu)?方程4則為,對方程4兩端取旋度，并代入 方程2和方程3，可得,,這是一個關于B的波動方程,波速為,因為,,所以,3.7 磁化的概念,介質的磁化（Magnetization）和介質的極化一樣，也是和物質的結構緊密相關的。根據原子的簡單模型，電子沿圓形軌道圍繞原子核旋轉，其就像一閉合的圓電流，具有一定的磁矩，電子和原子
10、核還在自旋，也存在磁效應。所有的磁效應可等效為一個圓電流，這個圓電流成為分子電流。即磁偶極子(magnetic dipole)。由于熱運動等原因，物質中的圓電流的磁場常常互相抵消，因而總體對外并不顯示磁性。 介質中的電子和原子核都是束縛電荷，它們進行的軌道運動和自旋運動都是微觀運動，由束縛電荷的微觀運動形成的電流，稱為束縛電流(bound current)，也稱磁化電流（Magnetization current）。在沒有外加磁場的作用下，絕大部分材料中所有原子的磁偶極矩(magnetic dipole moment)的取向是雜亂無章的，結果總的磁矩為，對外不呈現(xiàn)磁性。,在外磁場的作用下，物
11、質中的原子磁矩將受到一個力矩的作用，所有原子磁矩都趨于與外磁場方向一致的排列，彼此不再抵消，結果對外產生磁效應，影響磁場分布，這種現(xiàn)象稱為物質的磁化。,,可以證明，磁介質磁化后對磁場的影響，可用磁化電流密度 來等效,磁化電流不同于自由電流，其電荷運動是被束縛在媒質內部的，因而也叫束縛電流。,為了描述及衡量介質的磁化程度，我們定義磁化強度矢量,式中,是一個分子電流的磁矩，也稱磁偶極矩，,3.8 磁化電流與磁化矢量,可以證明，磁介質磁化后對磁場的影響，可用磁化電流密度 來等效,磁化電流不同于自由電流， 其電荷運動是被束縛在媒質內部的，因而也叫束縛電流。,3.9 磁場強度,引入磁化電流后，磁介質
12、中安培環(huán)路定律的微分形成可寫成,即,令,則,稱 為磁場強度，它也是描述磁場的一個物理量。,對于各向同性及線性磁介質，由實驗可證明,式中 為磁化率（Magnetic susceptibility），是一個 標量常數(shù)。,可得,稱此式為反映介質磁化的物態(tài)方程。,式中 為磁介質的磁導率，,為磁介質的相對磁導率。,3.10 磁介質,所謂磁介質，就是在外加磁場的作用下，能產生磁化現(xiàn)象，并能影響外磁場分布的物質。事實上，除了真空外，其它任何物質都是可磁化的磁介質，只不過磁化效應的強弱存在差別而已。根據物質的磁效應的不同，磁介質通?？煞譃椋嚎勾刨|、順磁質、鐵磁質、亞鐵磁質等。,抗磁質,主要是電子軌道磁矩產
13、生磁化現(xiàn)象引起的，自旋磁矩可忽略，在外磁場的作用下，電子軌道磁矩的方向和外磁場的方向相反。這時磁化率,，相對磁導率 ， 與 的方向相反，磁介質內 變小。,順磁質,主要是電子自旋磁矩引起的。軌道磁矩的抗磁效應不能完全抵消它，在外磁場作用下電子的自旋磁矩和外磁場方向一致, 這時磁化率,，相對磁導率 ， 與 的方向 相同。,鐵磁質,在外磁場的作用下，呈現(xiàn)強烈的磁化，能明顯地影響磁場的分布。在鐵磁材料中，存在許多天然小磁化區(qū)，即磁疇。每個磁疇由多個磁矩陣方向相同的原子組成，在無外磁場作用時，各磁疇排列混亂，總磁矩相互抵消，對外不顯示磁性。但在外磁場作用下，磁疇企圖轉向外磁場方向排列，形成強烈磁化。
14、因此，鐵磁性物質的磁化，是由于外磁場與磁疇作用的結果。撤去外磁場后，部分磁疇的取向仍保持一致，對外仍然呈現(xiàn)磁性，稱為剩余磁化。時間長了，或溫度升高，會消失。鐵磁材料是一種非線性磁介質，其曲線與磁化歷史有關，形成了一個磁滯回線。,亞鐵磁質,是指其中某些分子（或原子）的磁矩與磁疇平行，但方向相反。在外磁場作用下，這類材料也是呈現(xiàn)較大磁效應，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比鐵磁材料要小。在工程技術上用得較多的是鐵氧體，其最大特點是磁導率是各向異性的，而介電常數(shù)則呈各向同性。,3.11 介質中的麥克斯韋方程組,引入反映介質極化的物態(tài)方程,引入反映介質磁化的物態(tài)方程,可寫出一般媒質中的麥克斯韋方程,從
15、物理本質上看，E和B是場的基本物理量，D和H是輔助物理量,另外，還有電流連續(xù)性方程,可以證明:由麥克斯韋方程組中的兩個旋度方程及電流連續(xù)性方程，可導出麥克斯韋方程組中的兩個散度方程。也就是說，麥克斯韋方程組的四個方程，再加上電流連續(xù)性方程這5個方程，事實上只有三個方程是獨立的。為了獲得電磁場的解，還需要利用三個物態(tài)方程：,才可得到一般媒質中完整的麥克斯韋方程組的解。,3.12 電磁場的邊界條件,研究邊界條件的出發(fā)點仍然是麥克斯韋方程組，但在不同媒質的交界面處，由于媒質不均勻，媒質的性質發(fā)生了突變，使得場量也可能產生突變，因此，微分形式的方程可能不再適用，而只能從麥克斯韋方程組的積分形式出發(fā)，推
16、導出邊界條件。 電磁場的邊界條件通常包括 邊界面上場量的法向分量（Normal component） 切向分量（Tangential component）,1、一般媒質界面的邊界條件,如圖為兩種一般媒質的交界面，第一種媒質的介電常數(shù)、磁導率、電導率分別為 ， ， ；第二種媒質的分別為 , ,,（1）D 的邊界條件,如圖所示，在分界面上取一個小的柱形閉合面，其上下底面與分界面平行.,在柱形閉合面上應用高斯定律：,則,此式即為 的法向邊界條件，它表明： 的法向分量在分界面處產生了突變,或,,面電荷C/m2,同樣的道理可以得出P的邊界條件,或,與上圖類似，應用高斯定律得：,（2）B 的
17、邊界條件,即,此式即為 的法向邊界條件， 它表明： 的法向分量在分界面處 總是連續(xù)的。,或,與上圖類似，由電流連續(xù)性原理,故,說明：當分界面處電荷面密度發(fā)生變化時， 其電流密度的法向分量產生突變，突變量 為電荷面密度的變化率。,（3）J 的邊界條件,得,即,或,如圖，電場強度的邊界條件通常用電場的切向分量來表示，h為無限小量。,可得,說明：電場強度的切向分量是連續(xù)的。,由麥克斯韋第二個方程：,（4） E 的邊界條件,得,或,故可得,說明：當分界面處存在傳導電流時，磁場強度的切向方向將發(fā)生突變；當分界面處不存在傳導電流時，磁場強度的切向方向是連續(xù)的。,與上圖類似，由安培環(huán)路定律知,（5） H
18、 的邊界條件,左邊,右邊,或,說明：當分界面處存在傳導電流時，磁場強度的切向方向將發(fā)生突變；當分界面處不存在傳導電流時，磁場強度的切向方向是連續(xù)的。,（5） H 的邊界條件,在上式的兩邊同時叉乘 并注意到,可得,故,同樣的道理可以得出M的邊界條件,或,邊界條件總結,理解與記憶！,,,法向分量,切向分量,思考,2、幾種特殊介質的邊界條件 在研究電磁場問題時，下述分界面的討論經常出現(xiàn)： （1）兩種無損耗線性介質的分界面，也就是兩種理想介質的分界面 理想介質屬無損耗介質，其電導率,這時有,理想介質中沒有傳導電流。,對于無源的情況，因為,所以有,這說明：在無源空間，理想介質分界面上，各場量連續(xù)。,
19、（2）理想介質與理想導體的界面,理想介質的電導率,理想導體的電導率,可知：理想導體內部不存在電場。,根據,根據電場旋度方程可知，理想導體內部不存在電場，也不會存在 單獨的磁場；根據磁場旋度方程可知內部不存在時變電流密度；根據磁通連續(xù)性定律，理想導體表面外的法向磁場必然等于零，即磁場永遠切于理想導體表面，電流只集中于理想導體表面無窮薄的一層。,這時有,這說明：對于時變電磁場中的理想導體，電場總是與導體表面相垂直；而磁場總是與導體表面相切；導體內部既沒有電場，也沒有磁場。,（3）靜態(tài)電磁場的邊界條件,靜態(tài)電磁場是時變電磁場的特殊情況，在靜態(tài)場中，場量不隨時間發(fā)生變化，從上面所得到的結論中可得，靜態(tài)
20、電磁場的邊界條件為,靜電場,穩(wěn)恒磁場,例題1,例題2,例題3,本章要點,1、在介質中，電偶極矩,其中，分子極化率,2、極化矢量與電荷密度的關系為,極化矢量與電流密度的關系為,3、電介質的介電系數(shù)為,其中相對介電系數(shù)與折射率的關系為,4、洛倫茲局部電場的表達式為,5、介質的折射率定義為,6、磁化矢量定義為,磁化矢量與磁化電流密度的關系為,在各向同性及線性磁介質中,7、 反映介質磁化的物態(tài)方程為,8、綜合考慮介質極化與磁化效應時，可得一般媒質中的麥克斯韋方程組為,9、介質中的電流連續(xù)性方程,10、介質中的三個物態(tài)方程,11、五個場量的邊界條件,習題,1 . 有一個內外半徑分別為r1和r2的空心介質球，介質的介電常數(shù)為 ，使介質內均勻帶靜止自由電荷f ，求 （1）空間各點的電場 （2）極化體電荷和極化面電荷分布,習題,2 . 有一個內外半徑分別為r1和r2的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有穩(wěn)恒均勻自由電流 Jf,, 導體的磁導率為.求 （1）空間各點的磁感應強度 （2）磁化面電流和磁化線電流,
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