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1、第四章 靜態(tài)場中的邊值問題,解邊界值問題的方法： 1、理論計算方法 解析法 近似計算法 數值計算法 圖解法 2、場的實驗研究方法： 直接測量法 電模擬法,4.1 問題的分類,一、分布型問題 (1) 已知場源分布，求解電場或磁場。 (2) 已知電場（或電位）、磁場分布，反推場源。 二、邊值型問題 邊值型問題究竟是什么？ 邊值型問題都有哪些類型？ 怎樣保證邊值型問題有且僅有惟一解？ （惟一性定理 ）,靜態(tài)場邊值型問題：已知場量（或其位函數）在場域邊界上的值（含法向導數），求解場域內部任一點的場量。 定解條件=泛定方程+邊界條件+初始條件。 銜接條件：在場域內，媒質參數
2、必須是已知的，但允許它們突變（即存在不同媒質的分界面）或漸變（是空間坐標的函數）。 在不同媒質分界面的兩側，場量（或其位函數）應滿足邊值關系，在偏微分方程定解問題中常被稱為銜接條件。,靜態(tài)場邊值問題解滿足3個條件： (1) 對于場域的內點（既非邊界點又不在媒質分界面上的點）泛定方程成立； (2) 在不同媒質分界面的兩側，場量（或位函數）邊值關系（銜接條件）成立； (3) 對于場域的邊界點，場量（或其位函數）符合給定的邊界條件。,邊值型問題的分類方法 （以電位函數的泊松方程為例） 第一類邊值問題的特征：已知全部邊界上任一點的電位。為狄里赫利問題（Dirichlet）。 第二類邊值問題的特征：已知
3、全部邊界上任一點的電位的法向導數。稱為諾埃曼問題(Neumann)。 第三類邊值問題的特征是：已知部分邊界上任一點的電位和另一部分邊界上任一點的電位的法向導數。稱為混合邊值問題(Robbin)。,4.2 惟一性定理,惟一性定理：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一 【反證法】 假如存在兩個滿足相同邊界條件的不同解 和 令 在場域 內，u滿足拉普拉斯方程 在邊界上，要么 （第一類邊值問題），要么 （第二類邊值問題）。 令格林第一恒等式（1-157）中的 ，即,,,,,,,,因為 ，并且u（或u的法向導數）沿 處處等于0，上式簡化為 即u梯度等于0。故在場域內，u=常數
4、。對于第一類邊值型問題，電位不可躍變，故在場域內，u=0，從而 。 故對于第一類邊值問題，電位的解惟一 對于第二類邊值型問題，u未必是0，可以是任一常數，但對于電場強度和電位移矢量來說，解仍然是惟一的，因為常數的梯度恒等于0。,,,,,,說明： 第一、二、三類邊值問題是適定的 因為它們對邊界條件提出的要求既是充分的也是必要的。 求解時先判斷問題的邊界條件是否足夠，當滿足必要條件時，則可斷定解是唯一的。 用不同方法得到的形式上不同的解是等價的。 定理說明：只要能夠找一個滿足邊界條件的位函數，且這個位函數又滿足拉普拉斯方程，則這就是所求的解。,4.2 直角坐標中的分離變量法,分離變量法：通過
5、偏微分方程求解邊值問題。 基本思想： 1.要求給定邊界與一個適當坐標系的坐標面相合，或者至少分段地與坐標面相合； 2.在坐標系中，待求偏微分方程的解可表示為三個函數的乘積，其中的每個函數分別僅是一個坐標的函數。 3.通過分離變量將偏微分方程化為常微分方程求解。, 二維問題的分離變量過程： 若邊界面形狀適合用直角坐標表示，則在直角坐標系中求解，以二維的拉普拉斯方程為例，求解電位函數，設 ，電位函數滿足 （4-1） 待求的電位函數用二個函數的乘積表示為 （4-2） 將式（4-2）代入式（4-1），得,,,,,用 除上式，得
6、 （4-3） 上式成立的唯一條件是二項中每項都是常數，故有 （4-4） （4-5） 為分離常數，是待定的常數，須滿足 （4-6 ）,,,,,,,,,1.當 時 方程（4-4）和(4-5)的解為 方程（4-1）的解為 (4-7) 2.當 , 時, 方程（4-5）和(4-6)的解為 (4-8) (4-9a） 或,,,,,,,,,,所以
7、 (4-10a) 或 (4-10b) 3.當 , 時， 同理可得 （4-11a） （4-11b） 綜上所述： a：當 時，偏微分方程（4-1）的通解 為,,,,,,,,(4-12a） 或 （4-12b） b.當 時，偏微分方程（4-1）的通解為 （4-13a）,,,,,,,,或 （4-13b） 拉普拉斯方程的解： 然后根據所給定的邊界條件定
8、出滿足所有邊界條件的具體問題的解 （包括待定常數和分離常數）。,,,,4.3 圓柱坐標系中的分離變量法,對二維平面場，即 與 無關的情形，拉普拉斯方程變?yōu)? （4-25） 設解具有 ，代入上式化簡 （4-26） 要上式對所有的r、 值成立，須每項都等于常數。令第一項等于（ ），得,,,,,,,,（4-27） （4-28） 1.當 時，（4-27）的解為 2.當 時，（4-27）的解為 如果所討論的空間包含 從02，因為 必須是單值的，即， （4-2
9、9）,,,,,,,,,,,（4-28）式變?yōu)? （4-30） 即 （4-31） 式（4-31）為歐拉方程，場 與 無關。 1.當 時，（4-31）式的解為 2.當 時，（4-31）式的解為 （4-32）,,,,,,,,,圓柱坐標中二維場的的通解 （4-33） 由于 （K為整數），所以（4-33）式中的,,,,4.4 球坐標系中的分離變量法,討論場問題與坐標 無關時：與坐標 無關的拉普拉斯方程為 （4-47） 令
10、 ，代入上式得,,,,,,得到關于 和 的常微分方程： （4-48） （4-49） 引入一個新的自變量 ，有 式（4-49）可變?yōu)? （4-50） 這是勒讓德方程。,,,,,,,,,對于x的變化范圍從1到-1的情況，勒讓德方程有一個有界解 （4-51） 稱為勒讓德多項式。 方程（4-48）是歐拉方程，其解為 方程（4-47）的通解為 （4-52） 該式的系數由問題的邊界條件確定。,,,,,勒讓德多項式的前幾項 ：
11、 勒讓德多項式具有正交性,,,,4.5 鏡像法, 鏡像法的基本思想： 1.電場區(qū)域外某個位置上，有一假想鏡像電荷。 2.電荷的引入不改變所求電場區(qū)域的場方程，鏡像電荷產生的電場與導體面(或介質面)上的感應電荷(或極化電荷)產生的電場等效。 3.鏡像電荷代替導體面(或介質面)上的感應電荷(或極化電荷)后： 首先所求電場區(qū)域內的場方程不變， 其次給定的邊界條件仍滿足，,由靜電場的惟一性定理：用鏡像電荷代替后所解得 的電場必是唯一正確的解。 鏡像法的實質： 將靜電場的邊值問題轉化為無界空間中計算電荷分布的電場問題。 在區(qū)域外的假象電荷（或電流）稱為鏡像電荷（或電流），大多是一些點電荷
12、或線電荷（二維平面場情況）。 鏡像法往往比分離變量法簡單，容易寫出所求問題的解，但它只能用于一些特殊的邊界情況。,應用鏡像法求解的關鍵： 如何確定像電荷 鏡像電荷的確定應應遵循以下兩條原則： （根據唯一性定理） (1) 所有的鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中。 (2) 鏡像電荷的個數、位置及電荷量的大小由滿足場域邊界上的邊界條件來確定。,一、 靜電場中的鏡像法 1. 平面邊界的鏡像法 【例4-6】 設在無限大導體平面( )附近有一點電荷，與平面距離為 ，導體平面是等位面，假設其電位為零，如圖4-6所示。求上半空間中的電場。 （a） （b）
13、 圖4-6 平面邊界的鏡像法,,,,【解】 1.在 的上半空間內，除點電荷外，電位滿足拉普拉斯方程； 2.由于導體接地，所以在 處， 。 3.設導體平面不存在，在 平面與點電荷對稱地放置一點電荷(相反電荷)，則平面仍為零電位面。 4.在 的上半空間內，圖4-6（a）和圖4-6（b）具有相同的電荷分布。根據唯一性定理，圖4-6（a）中上半空間的電位分布與圖4-6（b）的上半空間電位分布相同?？捎煤推湎耠姾?)構成的系統(tǒng)來代替原來的邊值問題。上半空間內任意點的電位為,,,,,,（4-66） 由（4-66）式，可求出平面導體上的感應電荷密度為 （4
14、-67） 導體平面上總的感應電荷為 （4-68） 可見：導體平面上總的感應電荷恰好等于所設置的鏡像電荷。,,,,,【例4-7】 如圖4-7所示， 為無限大接地的導電（ 平面（電壁），在 處有一無限長均勻帶電的細直導線，導線與y軸平行且經過直角坐標（0，0，h）點，求上半空間（ ）場的電位函數。 圖4-7 線電荷的平面鏡像,,,,,,【解】 電壁的作用可以等效為：鏡像位置 處的鏡像線電荷（線電荷密度不變，但極性相反）。設細直導線的電荷密度為 ，則鏡像線電荷密度為 。這時，帶電體系在空間的電位為 式中 不能選為無窮遠點。同樣
15、,,,,,,,式中， 所以,,,,2. 角形區(qū)域的鏡像法 圖4-9所示為相交成直角的兩個導體平面AOB附近的一個點電荷的情形，也可以用鏡像法求解。 圖4-9 點電荷對角形區(qū)域的鏡像,,q在OA面的鏡像為在 點的-q，又q在OB面的鏡像為在 點的-q，這樣并不能使OA和OB平面成為等位面。若在 點處再設置一個電荷q，則一個原點電荷和三個像電荷共同的作用將OA和OB保持相等電位能滿足原來的邊界條件，故所求區(qū)域內任一點的電位函數 不僅相交成直角的兩個導體平面間的場可用鏡像法求解，所有相互成 的兩塊半無限大接地導體平面間的場都可用鏡像法求解，像電荷個數為 。例如，兩塊半無限大接
16、地導體平面角域內點電荷的像電荷，如圖4-10所示。,,,,,,,圖4-10 夾角為兩塊半無限大接地導板的鏡象,3. 球面邊界的鏡像法 基本思想： 當一個電荷位于導體球面附近時，導體球面上會出現感應電荷，球外任一點的電位由點電荷和感應電荷共同產生。 這類問題仍用鏡像電荷來代替分界面的感應電荷對電位的貢獻，出發(fā)點仍是在所求解區(qū)域內，電位函數滿足方程和邊界條件。,【例4-9】 設一點電荷與半徑為a的接地導體球心相距，如圖4-11所示。試推導球外的電位函數。 圖4-11 點電荷對接地導體球的鏡像,,【解】: 接地后，球上只剩下同 異號的感應電荷。球面上感應電荷分布
17、在面對 的一側密度較大， 設想在 點有一個鏡像電荷 ， 點是在OP1線上偏離球心的一點，設與球心距離為 。 根據鏡像法，將原導體球移去， 及像電荷 在原球面上任一點處產生的電位應為零。即 在球面上取兩特殊點，上式轉化為,,,,,,,,,,,由以上兩個方程解得 球外任意點的電位為 式中，,,,,,這樣可求得電場的分量為 時，球面上的感應電荷密度為,,,,,,球面上總感應電量為 導體上總的感應電荷量等于像電荷的電荷量。 在上述問題中，若導體球不接地，球面上除了分布有感應負電荷外，還分布有感應正電荷，且球面的凈電荷為零，此時導體球的電位不為零，為保持球面是等位面還需在球上再加上一個鏡像電荷
18、 ；且此 必須放在球心處，如圖4-12所示。,,,,,圖4-12 點電荷對不接地導體球的鏡像 這種情況下球外任意點的電位為 此時球的電位等于 在球面上產生的電位 它等于球不存在時 在O點時產生的電位。,,,,,,4. 柱面邊界的鏡像法 【例4-10】線電荷密度為 的無限長帶電直線與半徑為a的接地無限長導體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為 ，如圖4-13所示。求圓柱外空間的電位函數。 圖4-13 線電荷對接地導體球的鏡像,,,,【解】導體圓柱在線電荷的電場作用下，柱面上會出現感應電荷。柱外空間任一點的電位等于線電荷和感應電荷分別產生的電位的迭加。顯然，柱面上感應電荷
19、在離線電荷近的一側多，離線電荷遠的一側少，且其分布具有對稱性。假設在與圓柱軸線的距離為 ，且平行于軸線方向上放置一條鏡像線電荷，密度為 ，可由邊界條件確定之。 圓柱外空間一點電位為 由于圓柱接地，圓柱面上電位為零，設圖4-13中的 ，則,,,,,,上式對任意 值均成立，在上式兩端對 求導可得 比較等式兩端相應 項的系數，可得 聯(lián)解以上兩式可得 后一組解不合理，應舍去。,,,,,,,,圓柱外任一點的電位為 由 時，可求得 圓柱面上的感應電荷密度為 圓柱面上單位長度的感應面電荷為,,,,,,二、靜磁場中的鏡像法 靜磁場的邊值問題也可用鏡像法求解。 【例4-11】設分界面為平面的兩
20、個半無限大空間中，分別充滿磁導率為 和 的兩種均勻介質，在介質1中存在一平行于分界面的長直線電流I，與分界面的距離為d，試求空間的磁場。 【解】采用直角坐標系，取分界面為 平面，電流沿y方向流動，如圖4-14(a)所示。 求解上半空間的磁場時，以分界面為對稱面，在原電流的對稱位置上用一鏡像電流代替分界面上的磁化電流。這樣，可以為整個空間充滿磁導率為 的,,,,,均勻介質，如圖4-14(b)所示。因此，區(qū)域1內任一點P的矢量磁位為 圖4-14 電流的鏡像,,,求解上半空間的磁場時，也可用鏡像電流來等效地代替分界面上的磁化電流。根據鏡像法，鏡像電流只能在區(qū)域1內，如圖4-14 (c )所示。區(qū)域2內任一點P的矢量磁位為 鏡像電流和可由邊界條件確定，在分界面（ ）上 從而得到,,,,,,聯(lián)立求解可得 由上式可知，鏡像電流 和 的方向由 和 決定，若 ， 與原電流的方向一致，而 則相反；反之也然。則可得,,,,,,,,,,,,,,相應的磁場為,,,
靜態(tài)場中的邊值問題
