靜態(tài)電磁場及邊值問題的解.ppt

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1、1,第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解,2,本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法,靜態(tài)電磁場：場量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場,時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立,3,3.1 靜電場分析,學(xué)習(xí)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量 3.1.5 靜電力,4,2. 邊界條件,微分形式：,本構(gòu)關(guān)系

2、：,1. 基本方程,積分形式：,或,若分界面上不存在面電荷，即S0，則,或,3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件,5,在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為,或,場矢量的折射關(guān)系,導(dǎo)體表面的邊界條件,介質(zhì)1,,,,,導(dǎo)體,6,由,即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù) 稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。,1. 電位函數(shù)的定義,,3.1.2 電位函數(shù),7,2. 電位的表達(dá)式,對于連續(xù)的體分布電荷，由,面電荷的電位：,故得,點(diǎn)電荷的電位：,,線電荷的電位：,,8,3. 電位差,上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得,關(guān)于電位差的說明,P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于

3、電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q 點(diǎn) 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用U 表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。,9,靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即,選參考點(diǎn),,令參考點(diǎn)電位為零,電位確定值(電位差),兩點(diǎn)間電位差有定值,,,選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義； 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)； 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。,4. 電位參考點(diǎn),為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位

4、也就具有確定值，即,10,在均勻介質(zhì)中，有,5. 電位的微分方程,在無源區(qū)域，,,,,,11,6. 靜電位的邊界條件,設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí),若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即,導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：,由 和,,常數(shù)，,,,12,例 3.1.1 求電偶極子的電位.,解 在球坐標(biāo)系中,用二項(xiàng)式展開，由于，得,代入上式，得,表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。,13,將 和 代入上式，解得E線方程為,由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度,,電場線微分方程：,等位線方程：,14,解 選定均勻電場空間中的一點(diǎn)o為坐標(biāo)

5、原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的位置矢量為r，則,若選擇點(diǎn)o為電位參考點(diǎn)，即 ，則,在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有,,在圓柱面坐標(biāo)系中，取 與x軸方向一致，即 ，而 ，故,例3.1.2 求均勻電場的電位分布。,15,解 采用圓柱面坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對稱性，電位與 無關(guān)。 在帶電線上位于 處的線元 ，它 到點(diǎn) 的距離 ， 則,例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。,16,在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為,當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o

6、窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有,并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇= a 的點(diǎn)為電位參 考點(diǎn)，則有,,17,例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x = 0和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。,解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程,方程的解為,18,利用邊界條件，有,處，,最后得,處，,處，,所以,由此解得,19,電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備

7、的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路； 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率；,,3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容,20,電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲存電荷能力的物理量。,孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位 的比值，即,1. 電容,孤立導(dǎo)體的電容,兩個(gè)帶等量異號電荷（q）的導(dǎo) 體組成的電容器，其電容為,電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)

8、。,21,(1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和 -q ； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；,計(jì)算電容的步驟：,(4) 求比值 ，即得出所求電容。,(3) 由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；,22,解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場,同心導(dǎo)體間的電壓,,球形電容器的電容,當(dāng) 時(shí)，,例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。,23,例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D a，求傳輸線單位長度的電容。,解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和 。由于

9、 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩 導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原 理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn) P 的電場強(qiáng)度為,兩導(dǎo)線間的電位差,故單位長度的電容為,24,例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。,內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差,解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為,故得同軸線單位長度的電容為,25,2 部份電容,在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓都要受到其余導(dǎo)體 上的電荷的影響。因此，研究多導(dǎo)體系統(tǒng)時(shí)，必須把電容的 概念加以推廣，引入部

10、分電容的概念。,在由N個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導(dǎo)體所帶的電荷之間成線性關(guān)系，所以，各導(dǎo)體的電位為,,式中：, 自電位系數(shù), 互電位系數(shù),（1） 電位系數(shù),26,i j 在數(shù)值上等于第i 個(gè)導(dǎo)體上的總電量為一個(gè)單位、而其余 導(dǎo)體上的總電量都為零時(shí)，第 j 個(gè)導(dǎo)體上的電位，即,i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；,具有對稱性，即i j = j i 。,i j 0 ；,電位系數(shù)的特點(diǎn)：,27,若已知各導(dǎo)體的電位，則各導(dǎo)體的電量可表示為,,式中：, 自電容系數(shù)或自感應(yīng)系數(shù), 互電容系數(shù)或互感應(yīng)系數(shù),（2） 電容系數(shù),,,28,

11、,i j 在數(shù)值上等于第 j個(gè)導(dǎo)體上的電位為一個(gè)單位、而其余導(dǎo) 體接地時(shí)，第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量，即,i j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；,具有對稱性，即i j = j i 。,,,i i 0 、 ；,電容系數(shù)的特點(diǎn)：,29,將各導(dǎo)體的電量表示為,,式中：,（3） 部分電容,,, 導(dǎo)體 i 與導(dǎo)體 j 之間的部分電容,, 導(dǎo)體 i 與地之間的部分電容,30,Ci i 在數(shù)值上等于全部導(dǎo)體的電位都為一個(gè)單位時(shí)，第 i 個(gè)導(dǎo) 體上的電量；,Ci j 只與各導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì) 參數(shù)有關(guān)，而與

12、各導(dǎo)體的電位和帶電量無關(guān)；,具有對稱性，即Ci j = Cj i 。,Ci j 0 ；,Ci j 在數(shù)值上等于第 j 個(gè)導(dǎo)體的電位為一個(gè)單位、其余 導(dǎo)體都接地時(shí)，第 i 個(gè)導(dǎo)體上的電量；,部分電容的特點(diǎn)：,31,,,,在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在這兩個(gè)電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為 ，則比值 稱為這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。,（4）等效電容,如圖所示，有三個(gè)部分電容,導(dǎo)線 1 和 2 間的等效電容為,導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為,導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為,32,,如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總

13、功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。,靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量,靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。,任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。,3.1.4 靜電場的能量,33,,1. 靜電場的能量,設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 。 充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為q、電位為 。 (01) 當(dāng)增加為(+ d)時(shí)，外電源做功為: (q d)。 對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總

14、功為,根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量We ，即,對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元dV中的電荷dV具有的電場能量為,34,故體分布電荷的電場能量為,對于面分布電荷，電場能量為,對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有, 第i個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷, 第i個(gè)導(dǎo)體的電位,式中：,35,2. 電場能量密度,從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。,電場能量密度：,電場的總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，則有,36,由于體積V外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有,故,推證：,,,,,37

15、,例3.1.7 半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。,解： 方法一，利用 計(jì)算,根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度,故,38,方法二：利用 計(jì)算,先求出電位分布,故,39,已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復(fù)雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計(jì)算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計(jì)算靜電力。,虛位移法：假設(shè)第i個(gè)帶電導(dǎo)體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dAFidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為,其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。,具體

16、計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。,,3.1.5 靜電力,40,1. 各帶電導(dǎo)體的電位不變,此時(shí)，各帶電導(dǎo)體應(yīng)分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量,系統(tǒng)所改變的靜電能量,即,此時(shí)，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此,2. 各帶電導(dǎo)體的電荷不變,式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實(shí)現(xiàn)的。,,41,例3.1.8 有一平行金屬板電容器，極板面積為lb，板間距離為d，用一塊介質(zhì)片（寬度為b、厚度為d，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。,所以電容器內(nèi)的電場能量為,由

17、 可求得介質(zhì)片受到的靜電力為,解 平行板電容器的電容為,42,此題也可用式 來計(jì)算,q不變,設(shè)極板上保持總電荷q不變，則,由此可得,由于,同樣得到,43,3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析,由JE 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。,恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （1）恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。 （2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。,恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有

18、相同的性質(zhì)。,44,3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件,1. 基本方程,恒定電場的基本方程為,微分形式：,積分形式：,恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度,線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系,恒定電場的電位函數(shù),,,由,,,若媒質(zhì)是均勻的，則,45,2. 恒定電場的邊界條件,,,場矢量的邊界條件,即,即,導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度,場矢量的折射關(guān)系,46,電位的邊界條件,恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因 而導(dǎo)體表面不是等位面；,說明：,47,如21、且290，則10， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。

19、 此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；,若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即10，則 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即導(dǎo)體中 的電流和電場與分界面平行。,48,3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬,如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。,49,恒定電場與靜電場的比擬,50,例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導(dǎo)體，

20、為等位面，電流沿z方向。,51,例3.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2 、電導(dǎo)率為 1和2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。,,,,外導(dǎo)體,內(nèi)導(dǎo)體,介質(zhì)2,,,,,,,介質(zhì)1,,,,,,,,52,（1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,則由 可得電流密度,介質(zhì)中的電場：,解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出 和 ，再由

21、 確定出電流 I。,53,故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為,由于,于是得到,54,（2）由 可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為,介質(zhì)2外表面的電荷面密度為,兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為,55,工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U 時(shí)，必定會有微小的漏電流 J 存在。,漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即,其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即,3.2.3 漏電導(dǎo),56,(1) 假定兩電極間的電流為I； 計(jì)算兩電極間的電流密度 矢量J； 由J = E 得到 E ;

22、 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差； (5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。,計(jì)算電導(dǎo)的方法一：,計(jì)算電導(dǎo)的方法二：,(1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E; (4) 由 J = E 得到J; (5) 由 ，求出兩導(dǎo)體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導(dǎo)。,,,計(jì)算電導(dǎo)的方法三：,靜電比擬法：,57,例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為。,解：直接用恒定電場的計(jì)算方法,電導(dǎo),絕緣電阻,,,設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。,58,方

23、程通解為,例3.2.4 在一塊厚度h 的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑為r1和r2的圓弧和夾角為 0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為。,解： 設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨變化的。但容易判定電位 只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程,代入邊界條件,可以得到,59,電流密度,兩電極之間的電流,故沿方向的兩電極之間的電阻為,所以,60,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感 3.3.4 恒定磁場的能量 3.3.5 磁場力,3.

24、3 恒定磁場分析,61,微分形式:,1. 基本方程,2. 邊界條件,本構(gòu)關(guān)系：,或,若分界面上不存在面電流，即JS0，則,積分形式:,或,3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件,62,矢量磁位的定義,磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即,由,,即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。,磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。,,1. 恒定磁場的矢量磁位,3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位,63,磁矢位的微分方程,

25、在無源區(qū)：,,,,磁矢位的表達(dá)式,,,64,磁矢位的邊界條件,由此可得出,（可以證明滿足 ）,對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為,面電流：,細(xì)線電流：,利用磁矢位計(jì)算磁通量：,,,,,,,,65,例 3.3.1 求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I 。,解 如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與無關(guān)，計(jì)算xz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。,66,對于遠(yuǎn)區(qū)，有r a ，所以,由于在 =0面上 ，所以上式可寫成,于是得到,67,式中S =a2是小圓環(huán)的面積。,載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則

26、,或,68,解：先長度為2L的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn) 的距離 。則,例 3.3.2 求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿+z方向流動。,與計(jì)算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位,69,2. 恒定磁場的標(biāo)量磁位,一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間 中，則有,即在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。,標(biāo)量磁位的引入,,磁標(biāo)位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì),,,70,標(biāo)量磁位的邊界條件,,在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中,和,71,靜電位 磁標(biāo)位,磁標(biāo)位與靜電位的比較,,,,,靜電

27、位 ,磁標(biāo)位 m ,72,當(dāng)r l 時(shí)，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有,解：M為常數(shù)，m= 0，柱內(nèi)沒有磁荷。在柱的兩個(gè)端面上，磁化磁荷為,例3.3.3半徑為a、長為l的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強(qiáng)度為 。求遠(yuǎn)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。,73,1. 磁通與磁鏈,,3.3.3 電感,單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量,多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和,粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o ；另一部分是磁力線穿過 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)

28、線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。,74,設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為，則磁鏈 與回路 C 中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值,稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。, 外自感,2. 自感, 內(nèi)自感；,粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo,自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。,自感的特點(diǎn)：,75,解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理,穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS =d的磁通為,例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。,得,與di交鏈的電流為,則與di相應(yīng)的磁

29、鏈為,76,因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為,故單位長度的內(nèi)自感為,再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。,,則,故單位長度的外自感為,單位長度的總自感為,77,例3.3.5 計(jì)算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為0 。,穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為,解 設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I 。由于D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為,78,于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感,兩根導(dǎo)線單位的長度的內(nèi)自感為,故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為

30、,79,對兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2 ，當(dāng)回路C1中通過電流 I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù),稱為回路C1 對回路C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。,3. 互感,同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為,80,互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。,滿足互易關(guān)系，即M12= M21,互感的特點(diǎn)：,81,4. 紐曼公式,如圖所示的兩個(gè)回路C1和回路C2 ， 回路C1中的電流 I1在回路C2上的任一點(diǎn) 產(chǎn)生的矢量磁位,,,,,,,,,,,,,,,,,,回路C1中的電流 I1產(chǎn)生的

31、磁場與回路C2交鏈的磁鏈為,故得,同理,82,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,由圖中可知,穿過三角形回路面積的磁通為,解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù) 安培環(huán)路定律，得到,例3.3.6 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角 形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。,83,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,因此,故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為,84,例3.3.7 如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。,于是有,解 利用紐曼公式來計(jì)算，則有,式中=21為 與 之間的夾角，dl1=a1d1、 dl2=a1d2，且,8

32、5,若d a1，則,于是,一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d a1或d a2時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。,86,3.3.4 恒定磁場的能量,1. 磁場能量,在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。,電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動，表明恒定 磁場具有能量。,磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從 零開始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。,假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒有熱損耗。,假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。,87,,設(shè)回路從零開始

33、充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為。 在時(shí)刻t 的電流為i =I、磁鏈為 = 。 (01),根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為 I 的載流回路具有的磁場能量Wm，即,對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為,外加電壓應(yīng)為,所做的功,當(dāng)增加為(+ d)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動勢:,88,對于多個(gè)載流回路，則有,對于體分布電流，則有,例如，兩個(gè)電流回路C1和回路C2,89,2. 磁場能量密度,從場的觀點(diǎn)來看，磁場能量分布于磁場所在的整個(gè)空間。,磁場能量密度：,磁場的總能量：,對于線性、各向同性介質(zhì)，則有,90,若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無限擴(kuò)大時(shí)，則有,故,推證：,,,,,91,例3

34、.3.8 同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。,解：由安培環(huán)路定律，得,92,三個(gè)區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為,93,單位長度內(nèi)總的磁場能量為,單位長度的總自感,94,3.3.5 磁場力,,假定第i 個(gè)回路在磁場力的作用下產(chǎn)生一個(gè)虛位移dgi 。此時(shí)，磁場力做功dAFidgi，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，有,式中dWS是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。,具體計(jì)算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。,虛位移原理,95,1 . 各回路電流維持不變,

35、若假定各回路中電流不改變，則回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個(gè)回路都有感應(yīng)電動勢。此時(shí)，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動勢以保持各回路中電流不變。此時(shí)，電源所源提供的能量,,,即,于是有,故得到,不變,系統(tǒng)增加的磁能,96,2. 各回路的磁通不變,故得到,式中的“”號表示磁場力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場能量來實(shí)現(xiàn)的 。,若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應(yīng)電動勢，故與回路相連接的電源不對回路輸入能量，即 dWS0，因此,不變,對兩個(gè)電流回路,,97,,,,,,,例3.3.9 如圖所示的一個(gè)電磁鐵，由鐵軛（繞有N 匝線圈的鐵芯）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛

36、和銜鐵的橫截面積均為S ，平均長度分別為 l1 和 l2 。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為x 。設(shè)線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為 。若忽略漏磁和邊緣效應(yīng)，求鐵軛對銜鐵的吸引力。,解 在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通不變，則B和H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁 場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則 要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為,98,若采用式 計(jì)算，由儲存在系統(tǒng)中的磁場能量,由于 和 ，考慮到 ，可得到,同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為,根據(jù)安培環(huán)路定律，有,,99,3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理,3.4.1 邊值問題的類型,已知場域邊

37、界面上的位函數(shù)值，即,邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函 數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,第二類邊值問題（或紐曼問題）,100,自然邊界條件 （無界空間）,周期邊界條件,銜接條件,不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如,101,例：,（第一類邊值問題）,（第三類邊值問題）,例：,102,在場域V 的邊界面S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具有惟一值。,3.4.2 惟一性定理,惟一

38、性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件,為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),惟一性定理的表述,103,惟一性定理的證明,反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個(gè)位函數(shù) 和 在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即,且在邊界面S 上有,令 ，則在場域V內(nèi),且在邊界面S 上滿足同樣的邊界條件。,或,或,104,由格林第一恒等式,可得到,,,,對于第一類邊界條件：,,,,,對于第二類邊界條件：若 和 取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn) ，則,對于第三類邊界條件：,,,105,,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化

39、電荷將影響場的分布。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,1. 問題的提出,幾個(gè)實(shí)例 接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。,,q,q,非均勻感應(yīng)電荷,等效電荷,,3.5 鏡像法,106,接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。,,,q,非均勻感應(yīng)電荷,,q,等效電荷,,,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。,問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,107,2. 鏡像法的原理,用位于場域邊界外虛設(shè)

40、的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。,在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法,3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)解的惟一性定理,108,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小“三要素” ；,4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn),5. 確定鏡像電荷的兩條原則,

41、等效求解的“有效場域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；,像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定。,109,1. 點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,,滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。,3.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像電荷,電位函數(shù),因z = 0時(shí)，,,,q,,有效區(qū)域,,,,,,,q,,110,上半空間( z0 ）的電位函數(shù),,q,,,導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,111,2. 線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),原問題,當(dāng)z=0

42、時(shí)，,,112,3. 點(diǎn)電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q 位于(d1, d2 )處。,顯然，q1 對平面 2 以及q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。,對于平面1，有鏡像電荷q1=q，位于(d1, d2 ),對于平面2，有鏡像電荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )處再設(shè)置一 鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能 得到滿足。,電位函數(shù),,,,,q,,d1,d2,1,2,,,,R,,R1,,R2,,R3,113,例3.5.1 一個(gè)點(diǎn)電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。,解

43、：移動電荷q時(shí)，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂 移至無窮遠(yuǎn)時(shí)電場力所做的功。,,,由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以 用像電荷qq 替代。當(dāng)電荷q 移 至x時(shí)，像電荷q應(yīng)位于x，則有,114,3.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像,1. 點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷 q來等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然 不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球 心的連線上，距球心為d。則有,如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑 為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和q。,問題：,,P,,,q,,,,,,,,a,r,R,d,115,令

44、ra，由球面上電位為零， 即 0，得,,此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。,,條件：若,,,116,可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,117,點(diǎn)電荷對接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為b，點(diǎn)電荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d < a )。,由于球殼接地，感應(yīng)電荷分布在球殼的內(nèi)表面上。與鏡像電荷q 應(yīng)位于導(dǎo)體球殼外，且在點(diǎn)電荷q與球心的連線的延長線上。與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到,| q||q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量 像電荷的位置和電量與

45、外半徑 b 無關(guān)（為什么？）,118,球殼內(nèi)的電位,感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為,導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上上的總感應(yīng)電荷為,可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。,119,2 . 點(diǎn)電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：,導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面,球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零,采用疊加原理來確定鏡像電荷,點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,120,然后斷開接地線，并將電荷q加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位

46、面，所加的電荷q 可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q來替代，即,球外任意點(diǎn)的電位為,,,,q,P,,,,,,,,,,a,q,r,R,R,d,,d,,,q,121,3.5.2 導(dǎo)體圓柱面的鏡像,,,,,,,,,,,,,,,,,,問題：如圖 1 所示，一根電荷線密度為 的無限長線電荷位于半徑為a 的 無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。,特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷， 圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共 同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與 軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。,1. 線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,122,由于上式對任意的都成立，因此，將上式對求導(dǎo)，可以得到

47、,由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即,所以有,設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù),,123,導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：,由 時(shí)，,故,導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為,導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,,124,2. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為2b 的兩根無限長帶電細(xì)線來等效替代，如圖 2所示。,問題：如圖1所示，兩平行

48、導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷 和 。,125,通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。,由,,,利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。,思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？,126,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3.5.3 點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像,特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面

49、，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h 。,分析方法：計(jì)算電介質(zhì) 1 中的電位時(shí)，用位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,127,介質(zhì)1中的電位為,計(jì)算電介質(zhì) 2 中的電位時(shí)，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)2中的電位為,128,可得到,說明：對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為,,利用電位滿足的邊界條件,129,特點(diǎn)：在直線電流I 產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界

50、面上有磁化電流分布，空間中的磁場由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。,問題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為 和 的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。,分析方法：在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,3.5.4 線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像,130,因?yàn)殡娏餮剌S方向流動，所以矢量磁位只有分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點(diǎn)的矢量磁位分別為,在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率

51、為 的均勻介質(zhì)，如圖3所示。,131,相應(yīng)的磁場可由 求得。,,可得到,故,利用矢量磁位滿足的邊界條件,132,3.6 分離變量法,將偏微分方程中含有n個(gè)自變量的待求函數(shù)表示成n個(gè)各自只含一個(gè)變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個(gè)常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。,分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法,分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理,分離變量法解題的基本思路：,133,在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無關(guān)，則拉普拉斯方程為,3.6.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法,將 (x,y)表示為兩個(gè)一維函數(shù)X(x)和Y(y)的

52、乘積，即,將其代入拉普拉斯方程，得,再除以X(x) Y(y) ，有,134,若取k2 ，則有,,當(dāng),,,當(dāng),,135,將所有可能的 (x,y)線性疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即,若取k2 ，同理可得到,通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。,136,例3.6.1 無限長的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計(jì)算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。,解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為,,因 (0,y)0、 (a,y)0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為,137,,確定待定系數(shù),,,,,,,,138,,,,,將U0 在（0，a）上按 展開為傅立葉級數(shù)

53、，即,其中,139,,由,故得到,140,3.6.2 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,令其解為,代入方程，可得到,由此可將拉普拉斯方程分離為兩個(gè)常微分方程,在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無關(guān)，則拉普拉斯方程為,通常 (, )隨變量 的變化是以 2 為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù) k 應(yīng)為整數(shù)，即k n ( n0,1,2,)。,141,當(dāng)n = 0時(shí),考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式,,當(dāng)n 0時(shí),,142,解 選取圓柱坐標(biāo)系，令 z 軸為圓柱軸線，電場強(qiáng)度的方向與x 軸一致，即,當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時(shí)，圓柱內(nèi)的電場強(qiáng)度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電

54、位分布函數(shù)應(yīng)與z 無關(guān)。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個(gè)邊界條件：,例 3.6.2 均勻外電場 中，有一半徑為 a、介電常數(shù)為的無限長均勻介質(zhì)圓柱，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣，如圖所示。試求介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)和電場強(qiáng)度。,,,,,x,y,a,E0,,o,,,P(, ),143, 由于圓柱表面電場強(qiáng)度的切向分量為零，即, 無限遠(yuǎn)處的電場未受到擾動，因此電位應(yīng)為,此式表明，無限遠(yuǎn)處電位函數(shù)僅為cos 的函數(shù)，可見系數(shù) ，且 m = 0。因此電位函數(shù)為,那么，根據(jù)應(yīng)滿足的邊界條件即可求得系數(shù) B1，D1 應(yīng)為,,144,代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為,則柱外電場強(qiáng)

55、度為,圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如圖所示。,145,3.6.3 球坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開式為,令,代入上式，得,與前同理， 的解應(yīng)為,且,146,上式中第一項(xiàng)僅為 r 的函數(shù)，第二項(xiàng)與 r 無關(guān)。因此，與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解，令,式中n 為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為,且,令 ，則上式變?yōu)?上式為連帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù) 與第二類連帶勒讓德函數(shù) 之和，這里 m < n 。,147,根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng) 時(shí)， 因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括 或 時(shí)， ，此時(shí)只能取第一類連帶

56、勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以，通常令,那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合,若靜電場與變量 無關(guān)，則 m = 0 。那么 稱為勒讓德多項(xiàng)式。此時(shí)，電位微分方程的通解為,148,例 3.6.3 設(shè)半徑為a，介電常數(shù)為 的介質(zhì)球放在無限大的真空中，受到其內(nèi)均勻電場 E0 的作用，如 圖所示。試求介質(zhì)球內(nèi)的電場強(qiáng)度。,解 取球坐標(biāo)系，令 E0 的方向與 z 軸一致，即 。顯然，此時(shí)場分布以 z 軸為旋轉(zhuǎn)對稱，因此與 無關(guān)。這樣，球內(nèi)外的電位分布函數(shù)可取為,則球內(nèi)外電位分別為,149,球內(nèi)外電位函數(shù)應(yīng)該滿足下列邊界條件：, 無限遠(yuǎn)處電場未受干擾，因此電位應(yīng)為, 球內(nèi)電位與球外

57、電位在球面上應(yīng)該連續(xù)，即, 根據(jù)邊界上電位移法向分量的連續(xù)性，獲知球面上內(nèi)外電位的法向?qū)?shù)應(yīng)滿足, 球心電位 應(yīng)為有限值；,150,考慮到邊界條件，系數(shù) Dn 應(yīng)為零，即,為了滿足邊界條件，除了A1 以外的系數(shù) An 0，且 ，即,再考慮到邊界條件，得,為了進(jìn)一步滿足邊界條件，得,式中,151,由于上兩式對于所有的 值均應(yīng)滿足，因此等式兩邊對應(yīng)的各項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等。由此獲知各系數(shù)分別為,代入前式，求得球內(nèi)外電位分別為,152,值得注意的是球內(nèi)的電場分布。已知 ，求得球內(nèi)的電場為,可見，球內(nèi)電場仍然為均勻電場，而且球內(nèi)場強(qiáng)低于球外場強(qiáng)。球內(nèi)外的電場線如圖示。,如果在無限大的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)中存在球形氣泡，那么當(dāng)外加均勻電場時(shí)，氣泡內(nèi)的電場強(qiáng)度應(yīng)為,那么，泡內(nèi)的場強(qiáng)高于泡外的場強(qiáng)。,