高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題五 立體幾何 15_1 空間幾何體的三視圖、表面積及體積課件 理 新人教版

《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題五 立體幾何 15_1 空間幾何體的三視圖、表面積及體積課件 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題五 立體幾何 15_1 空間幾何體的三視圖、表面積及體積課件 理 新人教版（113頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積,【知識(shí)回顧】 1.空間幾何體的三視圖 (1)空間幾何體三視圖的畫(huà)法規(guī)則: 長(zhǎng)對(duì)正,即正(主)視圖和_______的長(zhǎng)相等; 高平齊,即正(主)視圖和___________的高相等;,俯視圖,側(cè)(左)視圖,寬相等,即側(cè)(左)視圖和_______的寬相等; 看不見(jiàn)的輪廓線要用虛線表示.,俯視圖,(2)空間幾何體三視圖的擺放規(guī)則: 俯視圖放在正(主)視圖的下面;側(cè)(左)視圖放在正視圖的右面.,2.空間幾何體的表面積 (1)多面體的表面積為各個(gè)面的_________. (2)圓柱的表面積公式:S=___________=__________(其 中,__為底面

2、半徑,__為圓柱的高).,面積的和,2r2+2rl,2r(r+l),r,l,(3)圓錐的表面積公式:S=_________=________(其中圓 錐的底面半徑為_(kāi)_,母線長(zhǎng)為_(kāi)). (4)圓臺(tái)的表面積公式:S= __________________(其中 圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為_(kāi)___和__,母線長(zhǎng)為_(kāi)). (5)球的表面積公式:S=_____(其中球的半徑為_(kāi)_).,r2+rl,r(r+l),r,l,(r2+r2+rl+rl),r,r,l,4R2,R,3.空間幾何體的體積 (1)V柱體=___(__為底面面積,__為高). (2)V錐體=____(__為底面面積,__為高). (3)

3、V球=_____(其中__為球的半徑).,Sh,S,h,S,h,R,【易錯(cuò)提醒】 1.畫(huà)三視圖時(shí)對(duì)輪廓線把握不準(zhǔn)致誤:畫(huà)三視圖的輪廓線時(shí),可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見(jiàn)輪廓線為虛線.,2.對(duì)三視圖的理解或空間幾何體的認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確致誤:將三視圖還原為其對(duì)應(yīng)的幾何體時(shí),一定要準(zhǔn)確理解所給的三視圖,才能準(zhǔn)確還原出其對(duì)應(yīng)的幾何體.,3.不能根據(jù)三視圖的有關(guān)數(shù)據(jù)正確得到空間幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)致誤:對(duì)由三視圖計(jì)算其對(duì)應(yīng)幾何體的表面積或體積時(shí),一定要正確找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)幾何體中的相關(guān)數(shù)據(jù). 4.不能準(zhǔn)確把握組合體的構(gòu)成而致誤:對(duì)所給組合體求其表面積、體積時(shí),易弄錯(cuò)其構(gòu)成,導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.,【考題回訪】 1.(2016

4、全國(guó)卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為() A.20B.24C.28D.32,【解析】選C.幾何體是圓錐與圓柱的組合體,設(shè)圓柱底 面圓半徑為r,周長(zhǎng)為c,圓錐母線長(zhǎng)為l,圓柱高為h.由 圖得r=2,c=2r=4,h=4,由勾股定理得: l S表=r2+ch+ cl=4+16+8 =28.,2.(2016全國(guó)卷)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表 面積為() A.18+36 B.54+18 C.90 D.81,【解析】選B.根據(jù)三視圖可知原幾何體是一個(gè)斜四棱 柱,上下底面為邊長(zhǎng)為3的正方形,左右為

5、底邊長(zhǎng)為3,側(cè) 棱為3 的矩形,前后為底邊為3,側(cè)棱為3 的平行四 邊形,且底邊上的高為6,所以S=9+9+18+18+9 +9 =54+18 .,3.(2015全國(guó)卷)九章算術(shù)是 我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著, 書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi) 角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思 為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四 分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有 () A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛,【解析】選B.設(shè)圓錐底面半徑為r,則 23r

6、=8,所 以r= ,所以米堆的體積為 故堆放的米約為 1.6222(斛).,4.(2015全國(guó)卷)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(),【解析】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 截去四面體A-A1B1D1,如圖所示, 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a, 則 故剩余幾何體體積為 所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為 .,5.(2015全國(guó)卷)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn), AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為() A.36B.64C.144D.256,【解析】選C

7、.如圖所示, 當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí), 三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑 為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB= 故R=6,則球O的表面積為S=4R2=144.,熱點(diǎn)考向一空間幾何體的三視圖與直觀圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 命題解讀:主要考查利用三視圖的畫(huà)法規(guī)則及擺放規(guī)則,根據(jù)空間幾何體確定其三視圖或根據(jù)三視圖還原其對(duì)應(yīng)直觀圖或根據(jù)三視圖的其中兩個(gè)確定另一個(gè),以選擇題、填空題形式出現(xiàn).,【典例1】(1)(2016長(zhǎng)春一模)若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(),(2)(2016鄭州一模)如圖所示,四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形,起輔助

8、作用),則四面體ABCD的三視圖是(用代表圖形)() A.B.C.D.,(3)(2016石家莊二模)“牟合方蓋”是 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的 過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體. 它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成,相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一 個(gè)圓柱的側(cè)面上,好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘 (方蓋).其直觀圖如圖,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性 所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí),,它的俯視圖可能是(),【解題導(dǎo)引】(1)由選項(xiàng)中的直觀圖逐個(gè)驗(yàn)證其三視圖是否符合已知三視圖. (2)根據(jù)三視圖的定義、畫(huà)法規(guī)則、擺放規(guī)則判斷. (3)根據(jù)幾何體形狀及輪廓線的虛、實(shí)情況判斷.,【規(guī)范解答】(1)選

9、B.由已知三視圖知,選項(xiàng)A,C中所給幾何體的正(主)視圖、俯視圖不符合要求,選項(xiàng)D中所給幾何體的側(cè)(左)視圖不符合要求,而B(niǎo)中的幾何體均符合.,(2)選B.正(主)視圖應(yīng)該是相鄰兩邊長(zhǎng)為3和4的矩形,其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線,左上到右下是虛線,因此正(主)視圖是;側(cè)(左)視圖應(yīng)該是相鄰兩邊長(zhǎng)為5和4的矩形,其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線,左下到右上是虛線,因此側(cè)(左)視圖是;俯視圖應(yīng)該是相鄰兩邊長(zhǎng)為3和5的矩形,其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線,左下到右上是虛線,因此俯視圖是.,(3)選B.由直觀圖可知俯視圖應(yīng)為正方形,排除A,C,又上半部分相鄰兩曲面的交線看得見(jiàn),在俯視圖中應(yīng)為實(shí)線.,【規(guī)律方法】 1.由

10、直觀圖確認(rèn)三視圖的方法 根據(jù)空間幾何體三視圖的定義及畫(huà)法規(guī)則和擺放規(guī)則確認(rèn).,2.由三視圖還原到直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面. (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置. (3)確定幾何體的直觀圖形狀.,【題組過(guò)關(guān)】 1.(2016太原一模)已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個(gè)視圖都是直角三角形,則在該三棱錐的四個(gè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為() A.1 B.2C.3 D.4,【解析】選D.由題意可知,幾何體是三棱錐,其放置在長(zhǎng)方體中形狀如圖中三棱錐A-BCD,利用長(zhǎng)方體模型可知,此三棱錐的四個(gè)面,全部是直角三角形.

11、,2.(2016蘭州一模)如圖,正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為6cm,側(cè)棱長(zhǎng)為5cm,則它的側(cè)(左)視圖的周長(zhǎng)等于 () A.17cmB.( +5)cm C.16cmD.14cm,【解析】選D.由題意可知,側(cè)(左)視圖是一個(gè)三角形, 底邊長(zhǎng)等于正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng),高為正四棱錐 的高的一個(gè)等腰三角形.因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)5cm,所以斜高為h= =4(cm),又正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為6cm, 所以側(cè)(左)視圖的周長(zhǎng)為6+4+4=14(cm).,3.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn),Q為CC1的中點(diǎn),則四面體A1PQD的正(主)視圖,側(cè)(左)視圖和俯視圖的面

12、積之和為_(kāi)_______.,【解析】由圖易知四面體A1PQD的正(主)視圖為直角梯 形,如圖1所示,其面積為 四面體A1PQD的側(cè)(左)視圖為四邊形,如圖2所示,其面 積為 四面體A1PQD的俯視圖為直角 梯形,如圖3所示,其面積為,故四面體A1PQD的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖和俯視圖的 面積之和為 答案:2,【加固訓(xùn)練】 1.已知以下三視圖中有三個(gè)同時(shí)表示某一個(gè)三棱錐,則不是該三棱錐的三視圖的是(),【解析】選D.三棱錐的三視圖均為三角形,四個(gè)選項(xiàng)均 滿足;且四個(gè)三視圖均表示一個(gè)高為3,底面為兩直角邊 分別為1,2的棱錐;A與C中俯視圖正好旋轉(zhuǎn)180,故應(yīng)是 從相反方向進(jìn)行觀察,而其

13、正(主)視圖和側(cè)(左)視圖中三 角形斜邊傾斜方向相反,滿足實(shí)際情況,故A,C表示同一,棱錐;設(shè)A中觀察的正方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正方向,所以C表示從后面觀察該棱錐;B與D中俯視圖正好旋轉(zhuǎn)180,故應(yīng)是從相反方向進(jìn)行觀察,但側(cè)(左)視圖中三角形斜邊傾斜方向相同,不滿足實(shí)際情況,故B,D中有一個(gè)不與其他三個(gè)一樣表示同一個(gè)棱錐,根據(jù)B中正(主)視圖與A中側(cè)(左)視圖相同,側(cè)(左)視圖與C中正(主)視圖相同,可判斷B是從左邊觀察該棱錐.,2.(2016石家莊二模)如圖所示是一個(gè)物體的三視圖,則此三視圖所描述物體的直觀圖是(),【解析】選D.先觀察俯視圖,由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確,由正(主)視圖和側(cè)(左)

14、視圖可知選項(xiàng)D正確.,3.(2014全國(guó)卷)如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是 () A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱,【解析】選B.由題知,該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形,兩個(gè)四邊形,經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱,如圖所示.,4.一個(gè)三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示,則該三棱錐的側(cè)(左)視圖可能為(),【解析】選D.分析三視圖可知,該幾何體為如圖所示的三棱錐,其中平面ACD平面BCD,故其側(cè)(左)視圖應(yīng)為D.,熱點(diǎn)考向二空間幾何體表面積與體積的計(jì)算 命題解讀:主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積公式,三種題型都有可能出現(xiàn),如果出現(xiàn)

15、在解答題中常與線面的平行、垂直關(guān)系交匯考查.,命題角度一:根據(jù)三視圖計(jì)算其空間幾何體的表面積 與體積 【典例2】(1)(2016南昌一模)如圖網(wǎng)格紙 上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾 何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的體積為() A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2016浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是________cm2,體積是________cm3.,【解題導(dǎo)引】(1)利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積. (2)先由三視圖還原幾何體再進(jìn)行求解.,【規(guī)范解答】(1)選D.該幾何體的直觀圖如圖,則該幾 何體的體積V=

16、 (2)由三視圖知該組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面放置了一個(gè) 小正方體,S表=622+242+424- 222=80(cm2),V=23+442=40(cm3). 答案:8040,命題角度二:根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算其表面 積、體積 【典例3】(1)(2016武漢二模)已知圓錐的底面直徑 為 ,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,則圓錐的表面 積為() A.1B.2C.3D.4,(2)(2016長(zhǎng)沙一模)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, 側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形,ACC1=CC1B1= 60,AC=2. 求證:AB1CC1; 若AB1= ,求四棱錐A-BB1C1C的體積.,【解

17、題導(dǎo)引】(1)通過(guò)圓錐的底面直徑為 ,且它的 側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,求出圓錐的底面半徑、母線, 即可求出圓錐的表面積.,【題目拆解】(2)解答本題問(wèn),可拆解成三個(gè)小題. ()找過(guò)點(diǎn)A與底面BB1C1C相交且垂直的直線并證明; ()求 的值; ()求四棱錐A-BB1C1C的體積.,【規(guī)范解答】(1)選A.圓錐的底面直徑為 ,且它的 側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓, 所以圓錐的底面半徑為 ,周長(zhǎng)為 ,圓錐的母 線長(zhǎng)為 ,所以圓錐的表面積為,(2)連接AC1,CB1, 則ACC1和B1CC1皆為正三角形. 取CC1中點(diǎn)O,連接OA,OB1,則 CC1OA,CC1OB1, 又AOB1O=O,所以CC

18、1平面OAB1, 所以CC1AB1.,由知,OA=OB1= ,又AB1= . 所以O(shè)A2+B1O2= ,所以O(shè)AOB1. 又OACC1,OB1CC1=O, 所以O(shè)A平面BB1C1C. 故,【母題變式】 1.在本題(2)的條件下,若A1B1= ,求斜三棱柱 ABC-A1B1C1的表面積.,【解析】在ABC中,AB=A1B1= ,AC=BC=2, cosACB= 所以sinACB= 所以SABC=,而 又 有 所以AB1AA1, 所以 因此該三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為:,2.在本題(2)的條件下,求三棱錐B-A1B1C1的體積. 【解析】由(2)解析知OA平面BB1C1C

19、, 又AA1平面BB1C1C,所以點(diǎn)A1到平面BB1C1C的距離h等于 點(diǎn)A到平面BB1C1C的距離OA,即h=OA= , 又 所以,3.在本題(2)的條件下,求點(diǎn)C到平面AB1C1的距離. 【解析】由題(2)知OA平面CB1C1, 所以 在AB1C1中,AB1= ,AC1=2,B1C1=2. cosAC1B1= 所以sinAC1B1=,故 設(shè)點(diǎn)C到平面AB1C1的距離為d, 則由 得 點(diǎn)C到平面AB1C1的距離為,【規(guī)律方法】 1.求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求三棱錐的體積:等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上.,(2)求不規(guī)則幾何體的體積

20、:常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解. (3)求表面積:其關(guān)鍵思想是空間問(wèn)題平面化.,2.根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖還原該幾何體的直觀圖. (2)由三視圖中的大小標(biāo)識(shí)確定該幾何體的各個(gè)度量. (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解.,【題組過(guò)關(guān)】 1.(2016昆明一模)如圖是底面半徑為1,高為2的圓柱被削掉一部分后剩下的幾何體的三視圖,則被削掉的那部分的體積為(),【解析】選B.由三視圖可知,剩下部分的幾何體由半個(gè) 圓錐和一個(gè)三棱錐組成,其體積 所以被削掉的那部分的體積為,2.(2016衡水一模)如圖,斜三棱柱ABC-

21、ABC中,底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為b,側(cè)棱AA與底面相鄰兩邊AB,AC都成45角. (1)求此斜三棱柱的表面積. (2)求三棱錐A-BBC的體積.,【解析】(1)如圖,過(guò)A作AD平面ABC于點(diǎn)D, 過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,DFAC于點(diǎn)F. 連接AE,AF,AD,可得AFAC,AEAB.,由題意可知AAE=AAF=45,AA=AA, 于是RtAAERtAAF. 因此AE=AF,從而可得DE=DF. 故AD平分BAC. 又因?yàn)锳B=AC,所以BCAD.故BCAA.,因?yàn)锳ABB,所以BCBB. 因此四邊形BCCB是矩形,故斜三棱柱的側(cè)面積為 2absin45+ab=( +1)ab. 又因

22、為斜三棱柱的底面積為 所以斜三棱柱的表面積為,(2)由(1)得 所以VA-BBC=VB-ABC=,【加固訓(xùn)練】 1.(2015湖南高考)某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過(guò)切割,加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為(),【解析】選A.分析題意可知,問(wèn)題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體積的最大值,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為a,b,h,長(zhǎng)方體上底面截圓錐的截面半徑為x,對(duì)角面截面圖如圖所示,,則有 所以長(zhǎng)方體的體積為 當(dāng)且僅當(dāng)x=2-2x即x= 時(shí),等號(hào)成立,所以利用率為,2.(2016長(zhǎng)春一模)如圖,已知AF平面ABCD,四邊形 AB

23、EF為矩形,四邊形ABCD為直角梯形,DAB=90, ABCD,AD=AF=CD=2,AB=4. (1)求證:AC平面BCE. (2)求三棱錐E-BCF的體積.,【解析】(1)過(guò)C作CMAB,垂足為點(diǎn)M, 因?yàn)锳DDC,DAB=90,所以四邊形ADCM為矩形, 所以AM=MB=2. 因?yàn)锳D=2,AB=4, 所以AC=2 ,CM=2,BC=2 , 所以AB2=AC2+BC2,即ACBC,,因?yàn)锳F平面ABCD,AFBE, 所以EB平面ABCD, 因?yàn)锳C平面ABCD,所以ACEB, 因?yàn)镋BBC=B,所以AC平面BCE.,(2)因?yàn)锳F平面ABCD,所以AFCM, 因?yàn)镃MAB,ABAF=A,

24、 所以CM平面ABEF,VE-BCF=VC-BEF=,熱點(diǎn)考向三與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題 命題解讀:主要考查多面體、旋轉(zhuǎn)體與球接、切構(gòu)成的簡(jiǎn)單組合體中球半徑有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題,常以選擇題、填空題形式出現(xiàn).,【典例4】(1)(2016全國(guó)卷)如圖,某幾何體的三視 圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半 徑.若該幾何體的體積是 ,則它的表面積是() A.17B.18C.20D.28,(2)若球與棱長(zhǎng)均為3的三棱錐各條棱都相切,則該球的表面積為_(kāi)_______.,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)三視圖還原為空間幾何體,利用該幾何體的體積公式構(gòu)建以該幾何體關(guān)鍵量為之的方程并求解,再利用其表面積公式求解.,

25、(2)將三棱錐放入正方體,可得正方體的內(nèi)切球恰好是 與三棱錐各條棱都相切的球,根據(jù)三棱錐棱長(zhǎng)算出正方 體的棱長(zhǎng)為 ,由此算出內(nèi)切球半徑,用公式即可得到 該球的表面積.,【規(guī)范解答】(1)選A.該幾何體是一個(gè)球體挖掉 剩下 的部分,如圖所示, 依題意得 解得R=2, 所以該幾何體的表面積為422 22=17.,(2)將棱長(zhǎng)均為3的三棱錐放入正方體,如圖,因?yàn)榍蚺c三棱錐各條棱都相切,所以該球是正方體的內(nèi)切球,切正方體的各個(gè)面于中心,,而這此切點(diǎn)恰好是三棱錐各條棱與球的切點(diǎn),由此可得 正方體的棱長(zhǎng)為 ,即該球的直徑為 ,半徑 r= , 所以該球的表面積為S=4r2= . 答案: ,【母題變

26、式】 1.若把本例題(2)條件“與棱長(zhǎng)均為3的三棱錐各條棱都相切”變?yōu)椤芭c棱長(zhǎng)均為3的三棱錐各面都相切”,則結(jié)果如何?,【解析】設(shè)該球的球心為O,三棱錐為A-BCD,依題意可 知:VA-BCD=VO-ABC+VO-BCD+VO-CDA+VO-DAB, 即 SBCDh= SABCr+ SBCDr+ SCDAr+ SDABr.,所以 解得:r= 所以該球的表面積為,2.在本例題(2)中的條件不變,求該球體內(nèi)接正方體的體積? 【解析】將棱長(zhǎng)均為3的三棱錐放入正方體,如圖,因?yàn)榍蚺c三棱錐各條棱都相切,所以該球是正方體的內(nèi)切球,切正方體的各個(gè)面于中心,,而這些切點(diǎn)恰好是三棱錐各條棱與球的切點(diǎn),由

27、此可得 該球的直徑為 ,半徑r= .設(shè)內(nèi)接正方體的棱 長(zhǎng)為a,則該內(nèi)接正方體的體對(duì)角線為 a=2r= . 解得a= ,所以該球的內(nèi)接正方體的體積為,【規(guī)律方法】多面體、旋轉(zhuǎn)體與球接、切問(wèn)題的求解策略 (1)過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.,(2)利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.,(3)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接

28、長(zhǎng)方體,用4R2=a2+b2+c2求解.,【題組過(guò)關(guān)】 1.(2016鄭州一模)三棱錐P-ABC中,AB=BC= , AC=6,PC平面ABC,PC=2,則該三棱錐的外接球表面積 為() B. C. D.,【解析】選D.由題可知,ABC中AC邊上的高為 球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D, 設(shè)DA=DB=DC=x,所以x2=32+( -x)2,解得x= ,所 以R2=x2+ (其中R為三棱錐外接球的半 徑), 所以外接球的表面積S=4R2= .,2.(2016唐山二模)如圖所示,用一邊長(zhǎng)為 的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四 個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將表面

29、積為4的雞蛋(視 為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心 (球心)與蛋巢底面的距離為 (),【解析】選D.蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,所以過(guò) 四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1.因?yàn)殡u蛋的 表面積為4,所以球的半徑為1,所以球心到截面的距 離d= 而截面到底面的距離即為三角形的高 為 ,所以球心到底面的距離為,3.(2016南昌二模)已知兩個(gè)圓錐有公共底面,且兩圓 錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上.若圓錐底面 面積是這個(gè)球表面積的 ,則這兩個(gè)圓錐中,體積較 小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)_______.,【解析】設(shè)球心為O1,球半徑為r1,圓錐底面圓圓心為O2, 半徑為

30、r2,則有 即 所以O(shè)1O2= 設(shè)兩個(gè)圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高分別 為h1,h2,則 答案:,【加固訓(xùn)練】 1.(2016襄陽(yáng)一模)四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,AB平面BCD,BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.若AB=2,則球O的表面積為() A.4B.12C.16D.32,【解析】選C.取CD的中點(diǎn)E,連接AE,BE, 因?yàn)樵谒拿骟wABCD中,AB平面BCD, BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.所以 RtABCRtABD,ACD是等腰三角形,BCD的中心 為G,作OGAB交AB的中垂線HO于點(diǎn)O,則O為外接球的中 心,,設(shè)球的半徑為R,則R=2.故四面體ABCD外接

31、球的表面積為4R2=16.,2.(2016汕頭二模)某幾何體的三視圖如圖所示,則該 幾何體外接球的表面積為() C.4 D.16,【解析】選D.由三視圖知:幾何體為圓錐,圓錐的高為1, 底面半徑為 ,設(shè)外接球的半徑為R,則(R-1)2+3= R2R=2.所以外接球的表面積S=422=16.,3.(2016昆明二模)已知E,F分別是矩形ABCD的邊BC與 AD的中點(diǎn),且BC=2AB=2,現(xiàn)沿EF將平面ABEF折起,使平面 ABEF平面EFDC,則三棱錐A-FEC外接球的體積為() A. B. C. D.,【解析】選B.由題意,三棱錐A-FEC外接球是正方體AC 的外接球,所以三棱錐A-FEC外接球的半徑是 ,所以 三棱錐A-FEC外接球的體積為,