古典概型與幾何概型.doc

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1、 概率(古典概型與幾何概型) 【教學目標】 1.了解隨機事件的含義，了解頻率與概率的區(qū)別． 2.理解古典概型，掌握其概率計算公式，會求一些隨機事件發(fā)生的概率． 3.了解幾何概型的意義及其概率的計算方法，會計算簡單幾何概型的概率． 【教學重點】 對概率含義的正確理解及其在實際中的應用；古典概型與幾何概型 【教學難點】 無限過渡到有限，實際背景轉化為長度、面積、體積等的問題 【知識點梳理】 1.隨機事件 （1）必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件叫做必然事件。 （2）不可能事件：在一定條件下，肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件． （3）隨機事件：在一定條件下，可

2、能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件。 2.頻率與概率的關系 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值. 3.概率的基本性質 （1）隨機事件A的概率：. （2）必然事件的概率為1. （3）不可能事件的概率為0. （4）如果事件A與事件B互斥，則. （5）如果事件A與事件B互為對立事件，那么，即. 4.古典概型 （1）特點：有限性，等可能性. （2）概率公式：. 5.幾何概型 （1）特點：無限性，等可能性. （2）概率公式：. 古典概型 題型一 隨機事件及概率 例1　某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩個同時在地鐵第1號車站(首車站)乘車。假設每人自第2號車站開始，

3、在每個車站下車是等可能的。約定用有序數對表示“甲在x號車站下車，乙在y號車站下車”。 （1）用有序數對把甲、乙兩人下車的所有可能的結果列舉出來； （2）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率； （3）求甲、乙兩人同在第4號車站下車的概率． 變式1 同時擲兩顆骰子一次 （1）“點數之和是13”是什么事件？其概率是多少？ （2）“點數之和在2～13范圍之內”是什么事件？其概率是多少？ （3）“點數之和是7”是什么事件？其概率是多少？ 題型二 互斥事件與對立事件 例題1：每一萬張有獎明信片中，有一等獎5張，二等獎10張，三等獎100張。某人買了1張，設事

4、件A“這張明信片獲一等獎”，事件B“這張明信片獲二等獎”，事件C“這張明信片獲三等獎”，事件D“這張明信片未獲獎”，事件E“這張明信片獲獎”，則在這些事件中 1． 與事件D互斥的有哪些事件？ 2． 與事件D對立的有哪些事件？ 3． 與事件A+B對立的有哪些事件？ 4． 與事件互斥的有哪些事件？ 例題2：某商場有獎銷售中，購滿100元商品得一張獎券，多購多得，每1000張獎券為一個開獎單位。設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個。設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求： ⑴． ⑵．1張獎券的中獎概率； ⑶．1張獎券不中特等獎或一等獎的概率。

5、 變式2：對立事件求概率 某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數及其概率如下： 醫(yī)生人數 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 求：①派出醫(yī)生至多是2人的概率；②派出醫(yī)生至少是2人的概率． 變式：（2010湖北，理）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是（ ） A. B. C. D. 題型三 簡單事件的古典概型 例題3：無放回抽取、擲骰子、有放回抽取、

6、排隊問題的古典概型 袋中裝有6個形狀完全相同的小球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率．①A：取出的兩球都是白球；②B：取出的兩球一個是白球，另一個是紅球． 變式3 同時拋擲兩枚骰子． (1)求“點數之和為6”的概率； (2)求“至少有一個5點或6點”的概率． 題型四 與統(tǒng)計相結合的古典概型 例題4 (2010福建卷)設平面向量，，其中． （1）請列出有序數組的所有可能結果； （2）記“使得成立的”為事件A，求事件A發(fā)生的概率． 2．(本題滿分12分)(08廣東文)某初級中學共有學生200

7、0名，各年級男、女生人數如下表： 初一年級 初二年級 初三年級 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19. (1)求x的值； (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在初三年級抽取多少名？ (3)已知y≥245，z≥245，求初三年級中女生比男生多的概率． 3．(本題滿分12分)某中學團委組織了“弘揚奧運精神，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，…

8、，[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問題： (1)求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖； (2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分； (3)從成績是[40,50)和[90,100]的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率． 幾何概型 題型一 與長度有關的幾何概型概率問題 例題1：在區(qū)間[1,3]上任取一數，則這個數大于等于1.5的概率（ ） A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 變式1：（2010湖南卷理）在區(qū)間[-1,2]上隨機取一個數

9、，則的概率為 . 題型二 與面積有關的幾何概型概率問題 例題2：如果所示，在一個邊長為的矩形內畫一個梯形，梯形上、下底分別為與，高為。向該矩形內隨機投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為 變式2：(2011福建卷)如圖1－1，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點．若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于( ) 圖1－1 A. B. C. D. 題型三 會面問題中的概率 例3：兩人約定在20:00到21:00之間相見，并且先到者必須等遲

10、到者40分鐘方可離去.如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20:00至21:00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內相見的概率. 分析：兩人不論誰先到都要等40分鐘，即2/3小時,設兩人到的時間分別為x、y,則當且僅當|x-y|≤2/3時，兩人才能見面，因而此問題轉化為面積性幾何概型 ， 變式3：在區(qū)間內任取兩個實數，則這兩個實數之和小于的概率是 ． 題型四 與體積有關的幾何概型概率問題 例題4：在400毫升自來水中有一個大腸桿菌,今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。 變式4：（2011山東臨沂

11、一中期末）已知正三棱錐的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內任取一點P，使得的概率是（ ） A. B. C. D. 【方法與技巧總結】 1. 互斥事件與對立事件的關系： （1）對立一定互斥，互斥未必對立； （2）可將所求事件化為互斥事件A、B的和，再利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)來求，也可通過對立事件公式來求P(A). 2.古典概型與幾何概型 古典概型 （1）特點：有限性，等可能性. （2）概率公式：. 幾何概型 （1）特點：無限性，等可能性. （2）概率公式： 課堂練習 一、選擇題 1．從12個同類產品中(其中有10個正品，

12、2個次品)，任意抽取3個，下列事件是必然事件的是(　　) A．3個都是正品　　　　　 B．至少有一個是次品 C．3個都是次品 D．至少有一個是正品 2．給出關于滿足AB的非空集合A、B的四個命題： ①若任取x∈A，則x∈B是必然事件； ②若任取x?A，則x∈B是不可能事件； ③若任取x∈B，則x∈A是隨機事件； ④若任取x?B，則x?A是必然事件． 其中正確的是命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．4張卡片上分別寫有數字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為(　　) A. B.

13、 C. D. 4．(2011威海模擬)一個袋子里裝有編號為1,2，…，12的12個相同大小的小球，其中1到6號球是紅色球，其余為黑色球．若從中任意摸出一個球，記錄它的顏色和號碼后再放回袋子里，然后再摸出一個球，記錄它的顏色和號碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個球的號碼是偶數的概率是(　　) A. B. C. D. 5．(2010江蘇卷，理)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________． 6.同時擲兩枚骰子,所得點數之和為5的概率為 ； 點數之和大于9的概率為

14、 。 7. 口袋里裝有兩個白球和兩個黑球，這四個球除顏色外完全相同，四個人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個人摸到白球”的概率。 9（2010湖南文數）在區(qū)間[-1,2]上隨即取一個數x，則x∈[0,1]的概率為 。 10取一根長度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是(　　)． A. B. C. D.　　　 11（2009遼寧卷文）ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點

15、，取到的點到O的距離大于1的概率為 （A） （B） （C） （D） 12（2009榮成模擬）設-1≤≤1,-1≤≤1,求關于的方程有實根的概率. 【課后作業(yè)】 1、在一個袋子中裝有分別標注數字1,2,3,4,5，的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是(　　) A. B. C. D. 2、將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率為(　　) A. B. C.

16、 D. 3、把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數，并記第一次出現(xiàn)的點數為a，第二次出現(xiàn)的點數為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是(　　) A. B. C. D. 4、有兩個質地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個玩具的各面上分別寫有數字1,2,3,4.把兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面所有數字之和能被5整除的概率為(　　) A. B. C. D. 5、若將一顆質地均勻的骰子(一種各面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數之和為4的概率是________． 6、

17、(09江蘇)現(xiàn)有5根竹稈，它們的長度(單位：m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為________． 7、我國已經正式加入WTO，包括汽車在內的進口商品將最多五年內把關稅全部降低到世貿組織所要求的水平，其中有21%的進口商品恰好5年關稅達到要求，18%的進口商品恰好4年達到要求，其余的進口商品將在3年或3年內達到要求，求進口汽車在不超過4年的時間內關稅達到要求的概率． 8（2009福建卷文）點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為

18、 。 9在長為10cm的線段AB上取一點G，并以AG為半徑作一個圓，求圓的面積介于36cm2 到64cm2 的概率 10(2011西安模擬)如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率為，則陰影區(qū)域的面積為(　　)． A. B. C. D．無法計算 11送報人每天早上6：30至7：30之間把劉師傅訂的報紙送到劉師傅家，若劉師傅離開家去上班的時間在7：00至8：00之間，問：劉師傅在離家前收到報紙的概率是多少？

19、 【參考答案】 1、鞏固練習答案 1.答案　D 解析　在基本事件空間中，每一個事件中正品的個數可能是1,2,3，而不可能沒有． 2.答案　C 3.答案　C 解析　從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數的情況有4種，∴P＝. 4、答案　B 解析　據題意由于是有放回地抽取，故共有1212＝144種取法，其中兩次取到紅球且至少有一次號碼是偶數的情況共有66－33＝27種可能，故其概率為＝. 5.答案　 解析　設3只白球為A，B，C,1只黑球為d，則從中隨機摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩

20、只球顏色不同的有3種，故所求概率為. 6答案：； 7．答案：把四人依次編號為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號1、2，把兩黑球也編上序號1、2，于是四個人按順序依次從袋內摸出一個球的所有可能結果，可用樹形圖直觀地表示出來如下： 白2 白1 黑1 黑2 黑1 黑2 黑2 黑2 黑1 黑1 白1 白1 白1 白1 黑1 黑2 甲 乙 丙 丁 白1 白2 黑1 黑2 黑1 黑2 黑2 黑2 黑1 黑1 白2 白2 白2 白2 黑1 黑2 甲 乙 丙 丁

21、 黑1 白1 白2 黑2 白2 黑2 黑2 黑2 白2 白1 白1 白2 白2 白1 白1 黑2 甲 乙 丙 丁 黑2 白1 白2 白2 黑1 黑1 黑1 白2 黑1 白1 白1 白2 白2 白1 白1 黑1 甲 乙 丙 丁 從上面的樹形圖可以看出，試驗的所有可能結果數為24，第二人摸到白球的結果有12種，記“第二個人摸到白球”為事件A，則。 8【答案】 9【解析】把繩子4等分，當剪斷點位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為 P＝＝. 【答案】

22、 C 10【解析】長方形面積為2,以O為圓心,1為半徑作圓,在矩形內部的部分(半圓)面積為 因此取到的點到O的距離小于1的概率為2＝，取到的點到O的距離大于1的概率為 【答案】B 11【解析】由題意知方程有實根滿足條件： -1≤≤1，-1≤≤1， ≥0，作平面區(qū)域如圖. 由圖知陰影面積為1，總的事件對應面積為正方形的面積4，故概率為 . 2、課后作業(yè)答案 1、答案　A 解析　從分別標注數字1,2,3,4,5的五個小球中隨機取出2個小球的基本事件數分別為：1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9

23、共10種不同情形；而其和為3或6的共3種情形，故取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是. 2、答案　A 解析　若方程有實根，則Δ＝b2－4c≥0，當有序實數對(b，c)的取值為(6,6)，(6,5)，…，(6,1)，(5,6)，(5,5)，…，(5,1)，(4,4)，…，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)時方程有實根，共19種情況，而(b，c)等可能的取值共有36種情況，所以，方程有實根的概率為P＝. 3、答案　B 解析　若m與n共線，則2a－b＝0，而(a，b)的可能性情況為66＝36個．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三個．故共線的概率是＝，從而不

24、共線的概率是1－＝. 4、答案　B 解析　“斜向上的所有數字之和能被5整除”，等價于：兩個底面數字之和能被5整除，而兩底數所有的情況有44＝16(種)，而兩底數和為5，包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4種情況，∴P＝＝. 5、答案　 解析　本題基本事件共66個，點數和為4的有3個事件為(1,3)、(2,2)、(3,1)，故P＝＝. 6、答案　0.2 解析　從5根竹竿中一次隨機抽取2根竹竿共有C＝10種抽取方法，而抽取的兩根竹竿長度恰好相差0.3 m的種數為2，∴P＝＝0.2. 7、解法一　設“進口汽車恰好4年關稅達到要求”為事件A，“不到4年達到要求”為事件B，

25、則“進口汽車不超過4年的時間內關稅達到要求”就是事件A＋B，顯然A與B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79. 解法二　設“進口汽車在不超過4年的時間內關稅達到要求”為事件M，則為“進口汽車5年關稅達到要求”，所以P(M)＝1－P()＝1－0.21＝0.79. 8【解析】如圖可設,則,根據幾何概率可知其整體事件是其周長，則其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 9【解析】圓的面積介于36cm2 到64cm2，則圓的半徑介于6cm 到8cm之間，所以 【答案】 10【解析】由幾何概型知，＝，故S陰＝22＝. 【答案】 B 11【解析】設“劉師傅在離家前收到報紙”為事件A，在平面直角坐標系內，以x和y分別表示報紙送到的時間和劉師傅離家的時間，則劉師傅能收到報紙的充要條件是x≤y，而（x,y）的所有可能結果是邊長為1的正方形，劉師傅在離家前收到報紙的可能結果為圖中的陰影部分. 【答案】 13