電磁場(chǎng)與電磁波第二章課后答案.doc

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1、第二章 靜電場(chǎng) 重點(diǎn)和難點(diǎn) 電場(chǎng)強(qiáng)度及電場(chǎng)線等概念容易接受，重點(diǎn)講解如何由物理學(xué)中積分形式的靜電場(chǎng)方程導(dǎo)出微分形式的靜電場(chǎng)方程，即散度方程和旋度方程，并強(qiáng)調(diào)微分形式的場(chǎng)方程描述的是靜電場(chǎng)的微分特性或稱為點(diǎn)特性。 利用亥姆霍茲定理，直接導(dǎo)出真空中電場(chǎng)強(qiáng)度與電荷之間的關(guān)系。通過書中列舉的4個(gè)例子，總結(jié)歸納出根據(jù)電荷分布計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的三種方法。 至于媒質(zhì)的介電特性，應(yīng)著重說明均勻和非均勻、線性與非線性、各向同性與各向異性等概念。講解介質(zhì)中靜電場(chǎng)方程時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)電通密度僅與自由電荷有關(guān)。介紹邊界條件時(shí)，應(yīng)說明僅可依據(jù)積分形式的靜電場(chǎng)方程，由于邊界上場(chǎng)量不連續(xù)，因而微分形式的場(chǎng)方程不成

2、立。 關(guān)于靜電場(chǎng)的能量與力，應(yīng)總結(jié)出計(jì)算能量的三種方法，指出電場(chǎng)能量不符合迭加原理。介紹利用虛位移的概念計(jì)算電場(chǎng)力，常電荷系統(tǒng)和常電位系統(tǒng)，以及廣義力和廣義坐標(biāo)等概念。至于電容和部分電容一節(jié)可以從簡(jiǎn)。 重要公式 真空中靜電場(chǎng)方程： 積分形式： 微分形式： 已知電荷分布求解電場(chǎng)強(qiáng)度： 1，； 2， 3， 高斯定律 介質(zhì)中靜電場(chǎng)方程： 積分形式： 微分形式： 線性均勻各向同性介質(zhì)中靜電場(chǎng)方程： 積分形式： 微分形式： 靜電場(chǎng)邊界條件： 1，。對(duì)于兩種各向同性的線性介質(zhì)，則 2，。在兩種介質(zhì)

3、形成的邊界上，則 對(duì)于兩種各向同性的線性介質(zhì)，則 3，介質(zhì)與導(dǎo)體的邊界條件： ； 若導(dǎo)體周圍是各向同性的線性介質(zhì)，則 ； 靜電場(chǎng)的能量： 孤立帶電體的能量： 離散帶電體的能量： 分布電荷的能量： 靜電場(chǎng)的能量密度： 對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，則 電場(chǎng)力： 庫(kù)侖定律： 常電荷系統(tǒng)： 常電位系統(tǒng)： 題 解 2-1 若真空中相距為d的兩個(gè)電荷q1及q2的電量分別為q及4q，當(dāng)點(diǎn)電荷位于q1及q2的連線上時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求的大小及位置。 解 要使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，點(diǎn)電荷受到點(diǎn)電荷q1及q2的力應(yīng)該大小相等，方向相反，即。

4、那么，由，同時(shí)考慮到，求得 可見點(diǎn)電荷可以任意，但應(yīng)位于點(diǎn)電荷q1和q2的連線上，且與點(diǎn)電荷相距。 習(xí)題圖2-2 z x E3 E2 E1 2-2 已知真空中有三個(gè)點(diǎn)電荷，其電量及位置分別為： 試求位于點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 令分別為三個(gè)電電荷的位置到點(diǎn)的距離，則，，。 利用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，其中為點(diǎn)電荷q指向場(chǎng)點(diǎn)的單位矢量。那么， 在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向?yàn)椤? 在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向?yàn)椤? 在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向?yàn)? 則點(diǎn)的合成電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-3 直接利用式（2-2-14）計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 令點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)，

5、為點(diǎn)電荷至場(chǎng)點(diǎn)P的距離。再令點(diǎn)電荷位于+坐標(biāo)軸上，為點(diǎn)電荷至場(chǎng)點(diǎn)P的距離。兩個(gè)點(diǎn)電荷相距為，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（r,,f）。 根據(jù)疊加原理，電偶極子在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)為 考慮到r >> l，= er，，那么上式變?yōu)? 式中 以為變量，并將在零點(diǎn)作泰勒展開。由于，略去高階項(xiàng)后，得 利用球坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式，求出電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-4 已知真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量均為C，相距為2cm， 如習(xí)題圖2-4所示。試求：①P點(diǎn)的電位；②將電量為C的點(diǎn)電荷由無限遠(yuǎn)處緩慢地移至P點(diǎn)時(shí)，外力必須作的功。 1cm P 1cm q q 1cm 習(xí)題圖2-4

6、 解 根據(jù)疊加原理，點(diǎn)的合成電位為 因此，將電量為的點(diǎn)電荷由無限遠(yuǎn)處緩慢地移到點(diǎn)，外力必須做的功為 2-5 通過電位計(jì)算有限長(zhǎng)線電荷 的電場(chǎng)強(qiáng)度。 習(xí)題圖2-5 r0 P z o dl l q1 q2 y 解 建立圓柱坐標(biāo)系。 令先電 荷沿z軸放置，由于結(jié)構(gòu)以z軸對(duì)稱，場(chǎng)強(qiáng)與無關(guān)。為了簡(jiǎn)單起見，令場(chǎng)點(diǎn)位于yz平面。 設(shè)線電荷的長(zhǎng)度為，密度為 ，線電荷的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原 點(diǎn)，場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。 利用電位疊加原理，求得場(chǎng)點(diǎn) 的電位為 式中。故 因，可知電場(chǎng)強(qiáng)度的z分量為 電場(chǎng)強(qiáng)度的r分

7、量為 式中，那么，合成電強(qiáng)為 當(dāng)L時(shí)，，則合成電場(chǎng)強(qiáng)度為 可見，這些結(jié)果與教材2-2節(jié)例4完全相同。 2-6 已知分布在半徑為a的半圓周上的電荷線密度，試求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。 習(xí)題圖2-6 a y x o E 解 建立直角坐標(biāo)，令線電荷位于xy平面，且以y軸為對(duì)稱，如習(xí)題圖2-6所示。那么，點(diǎn)電荷在圓心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度具有兩個(gè)分量Ex和Ey。由于電荷分布以y軸為對(duì)稱，因此，僅需考慮電場(chǎng)強(qiáng)度的分量，即 考慮到，代入上式求得合成電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-7 已知真空中半徑為a的圓

8、環(huán)上均勻地分布的線電荷密度為，試求通過圓心的軸線上任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度。 習(xí)題圖2-7 x y z P r o a dl y 解 建立直角坐標(biāo)，令圓環(huán)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，如習(xí)題圖2-7所示。那么，點(diǎn)電荷在z軸上點(diǎn)產(chǎn)生的電位為 根據(jù)疊加原理，圓環(huán)線電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的合成電位為 因電場(chǎng)強(qiáng)度，則圓環(huán)線電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-8 設(shè)寬度為W，面密度為的帶狀電荷位于真空中， 試求空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 習(xí)題圖2-8 x y z o r y x dx x (a) (b) P(x,y)

9、 解 建立直角坐標(biāo)，且令帶狀電荷位于xz平面內(nèi)，如習(xí)題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很多條寬度為的無限長(zhǎng)線電荷，其線密度為。那么，該無限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度與坐標(biāo)變量z無關(guān)，即 式中 得 那么 2-9 已知均勻分布的帶電圓盤半徑為a，面電荷密度 為，位于z = 0平面，且盤心與原點(diǎn)重合，試求圓盤 軸線上任一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度。 習(xí)題圖2-9 o x y z r dr P(0,0,z) 解 如圖 2-9所示，在圓盤上取一半徑為，寬度為的圓環(huán)，該圓環(huán)具有的電荷量為。

10、由于對(duì)稱性，該圓環(huán)電荷在z軸上任一點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度僅的有分量。根據(jù)習(xí)題2-7結(jié)果，獲知該圓環(huán)電荷在P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的分量為 那么，整個(gè)圓盤電荷在P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-10 已知電荷密度為及的兩塊無限大面電荷分別位于x = 0及x = 1平面，試求及區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 無限大平面電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布一定是均勻的，其電場(chǎng)方向垂直于無限大平面，且分別指向兩側(cè)。因此，位于x = 0平面內(nèi)的無限大面電荷，在x < 0區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，在x > 0區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。位于x = 1平面內(nèi)的無限大面電荷，在x < 1區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，在x > 1區(qū)域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。 由電場(chǎng)

11、強(qiáng)度法向邊界條件獲知， 即 由此求得 根據(jù)疊加定理，各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為 2-11 若在球坐標(biāo)系中，電荷分布函數(shù)為 試求及區(qū)域中的電通密度。 解 作一個(gè)半徑為r的球面為高斯面，由對(duì)稱性可知 式中q為閉合面S包圍的電荷。那么 在區(qū)域中，由于q = 0，因此D = 0。 在區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為 因此， 在區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為 因此， 2-12 若帶電球的內(nèi)外區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 試求球內(nèi)外各點(diǎn)的電位。 解 在區(qū)域中，電位為 在區(qū)域中， 2-13 已知

12、圓球坐標(biāo)系中空間電場(chǎng)分布函數(shù)為 試求空間的電荷密度。 解 利用高斯定理的微分形式，得知在球坐標(biāo)系中 那么，在區(qū)域中電荷密度為 在區(qū)域中電荷密度為 2-14 已知真空中的電荷分布函數(shù)為 式中r為球坐標(biāo)系中的半徑，試求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，取球面為高斯面，那么根據(jù)高斯定理 在區(qū)域中 在區(qū)域中 2-15 已知空間電場(chǎng)強(qiáng)度，試求（0,0,0）與（1,1,2）兩點(diǎn)間的電位差。 解 設(shè)P1點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0,0,）, P2點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1,2,），那么，兩點(diǎn)間的電位差為 式中 ，因此電位差為 2-1

13、6 已知同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b。若填充介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。試求在外導(dǎo)體尺寸不變的情況下，為了獲得最高耐壓，內(nèi)外導(dǎo)體半徑之比。 解 已知若同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電荷量為q1，則同軸線內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度。為了使同軸線獲得最高耐壓，應(yīng)在保持內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差V不變的情況下，使同軸線內(nèi)最大的電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到最小值，即應(yīng)使內(nèi)導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到最小值。因?yàn)橥S線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電容為 則同軸線內(nèi)導(dǎo)體表面處電場(chǎng)強(qiáng)度為 令b不變，以比值為變量，對(duì)上式求極值，獲知當(dāng)比值時(shí)，取得最小值，即同軸線獲得最高耐壓。 2-17 若在一個(gè)電荷密度為，半徑為a的均勻帶電球中，存在一個(gè)半

14、徑為b的球形空腔，空腔中心與帶電球中心的間距為d，試求空腔中的電場(chǎng)強(qiáng)度。 習(xí)題圖2-17 o b a P r d r o 解 此題可利用高斯定理和疊加原理求解。首先設(shè)半徑為的整個(gè)球內(nèi)充滿電荷密度為的電荷，則球內(nèi)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 式中是由球心o點(diǎn)指向點(diǎn)的位置矢量， 再設(shè)半徑為的球腔內(nèi)充滿電荷密度為的電荷，則其在球內(nèi)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 式中是由腔心點(diǎn)指向點(diǎn)的位置矢量。 那么，合成電場(chǎng)強(qiáng)度即是原先空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，即 式中是由球心o點(diǎn)指向腔心點(diǎn)的位置矢量?？梢?，空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的。 2-18 已知介質(zhì)圓柱體的半徑為a，

15、長(zhǎng)度為l，當(dāng)沿軸線方向發(fā)生均勻極化時(shí)，極化強(qiáng)度為，試求介質(zhì)中束縛x y z a 習(xí)題圖2-18 P l y 電荷在圓柱內(nèi)外軸線上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 建立圓柱坐標(biāo)，且令圓柱的下端面位于xy平面。由于是均勻極化，故只考慮面束縛電荷。而且該束縛電荷僅存在圓柱上下端面。已知面束縛電荷密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系為 式中en為表面的外法線方向上單位矢量。由此求得圓柱體上端面的束縛電荷面密度為，圓柱體下端面的束縛面電荷密度為。 由習(xí)題2-9獲知，位于xy平面，面電荷為的圓盤在其軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為 因此，圓柱下端面束縛電荷在z軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 而圓柱上端面束縛電荷

16、在z軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 那么，上下端面束縛電荷在z軸上任一點(diǎn)產(chǎn)生的合成電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-19 已知內(nèi)半徑為a，外半徑為b的均勻介質(zhì)球殼的介電常數(shù)為，若在球心放置一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷，試求：①介質(zhì)殼內(nèi)外表面上的束縛電荷；②各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。 解 先求各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。根據(jù)介質(zhì)中高斯定理 在區(qū)域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為 在區(qū)域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為 在區(qū)域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為 再求介質(zhì)殼內(nèi)外表面上的束縛電荷。 由于，則介質(zhì)殼內(nèi)表面上束縛電荷面密度為 外表面上束縛電荷面密度為 2-20 將一塊無限大的厚度為d的介質(zhì)板放在均勻電場(chǎng)中，周圍媒質(zhì)為真空。已知介質(zhì)板的

17、介電常數(shù)為，均勻電場(chǎng)的方向與介質(zhì)板法線的夾角為，如習(xí)題圖2-20所示。當(dāng)介質(zhì)板中的電場(chǎng)線方向時(shí)，試求角度及介質(zhì)表面的束縛電荷面密度。 E e d q1 q 1 q2 q2 e0 e0 E 習(xí)題圖2-20 E2 en2 en1 解 根據(jù)兩種介質(zhì)的邊界條件獲知，邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量和電通密度的法向分量連續(xù)。因此可得 ； 已知，那么由上式求得 已知介質(zhì)表面的束縛電荷， 那么，介質(zhì)左表面上束縛電荷面密度為 介質(zhì)右表面上束縛電荷面密度為 2-21 已知兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑分別為6cm及12cm，電量均為C，相距很遠(yuǎn)。若以

18、導(dǎo)線相連后，試求：①電荷移動(dòng)的方向及電量；②兩球最終的電位及電量。 解 設(shè)兩球相距為d，考慮到d >> a, d >> b，兩個(gè)帶電球的電位為 ； 兩球以導(dǎo)線相連后，兩球電位相等，電荷重新分布，但總電荷量應(yīng)該守恒，即及， 求得兩球最終的電量分別為 可見，電荷由半徑小的導(dǎo)體球轉(zhuǎn)移到半徑大的導(dǎo)體球，移動(dòng)的電荷量為。 兩球最終電位分別為 2-22 已知兩個(gè)導(dǎo)體球的重量分別為m1=5g，m2=10g，電量均為C，以無重量的絕緣線相連。若絕緣線的長(zhǎng)度l = 1m，且遠(yuǎn)大于兩球的半徑，試求；①絕緣線切斷的瞬時(shí)，每球的加速度；②絕緣線切斷很久以后，兩球的速度。 解 ① 絕緣線

19、切斷的瞬時(shí)，每球受到的力為 因此，兩球獲得的加速度分別為 ② 當(dāng)兩球相距為l時(shí)，兩球的電位分別為 ； 此時(shí)，系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為 絕緣線切斷很久以后，兩球相距很遠(yuǎn)(l>>a, l>>b)，那么，兩球的電位分別為 ; 由此可見，絕緣線切斷很久的前后，系統(tǒng)電場(chǎng)能量的變化為 這部分電場(chǎng)能量的變化轉(zhuǎn)變?yōu)閮汕虻膭?dòng)能，根據(jù)能量守恒原理及動(dòng)量守恒定理可得下列方程： ， 由此即可求出絕緣線切斷很久以后兩球的速度v1和v2： ； 2-23 如習(xí)題圖2-23所示，半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個(gè)較小的球形空腔。若在空腔中心分別放置兩個(gè)點(diǎn)電荷q1及q2，在距離處放置

20、另一個(gè)點(diǎn)電荷q3，試求三個(gè)點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力。 q1 q2 r q3 a 習(xí)題圖2-23 解 根據(jù)原書2-7節(jié)所述，封閉導(dǎo)體空腔具有靜電屏蔽特性。因此，q1與q2之間沒有作用力，q3對(duì)于q1及q2也沒有作用力。但是q1及q2在導(dǎo)體外表面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷-q1及-q2，對(duì)于q3有作用力。考慮到r>>a，根據(jù)庫(kù)侖定律獲知該作用力為 2-24 證明位于無源區(qū)中任一球面上電位的平均值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布特性無關(guān)。 解 已知電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為，又知，由此獲知電位滿足下列泊松方程 利用格林函數(shù)求得泊松方程的解為 式中?？紤]到

21、，代入上式得 若閉合面內(nèi)為無源區(qū)，即，那么 若閉合面S為一個(gè)球面，其半徑為a，球心為場(chǎng)點(diǎn)，則，那么上式變?yōu)? 考慮到差矢量的方向?yàn)樵撉蛎娴陌霃椒较?，即與 的方向恰好相反，又,則上式變?yōu)? 由于在面內(nèi)無電荷，則，那么 由此式可見，位于無源區(qū)中任一球面上的電位的平均值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布無關(guān)。 2-25 已知可變電容器的最大電容量，最小電容量，外加直流電壓為300V，試求使電容器由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中外力必須作的功。 解 在可變電容器的電容量由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)儲(chǔ)能的增量，即 式中 因此，外力必須作

22、的功為 2-26 若使兩個(gè)電容器均為C的真空電容器充以電壓V后，斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿介電常數(shù)為的理想介質(zhì)，試求：①兩個(gè)電容器的最終電位；②轉(zhuǎn)移的電量。 解 兩電容器斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿相對(duì)介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，兩電容器的電容量分別為 兩電容器的電量分別為，且 由于兩個(gè)電容器的電壓相等，因此 聯(lián)立上述兩式，求得 ， 因此，兩電容器的最終電位為 考慮到，轉(zhuǎn)移的電量為 e2 a e1 b 習(xí)題圖2-27 2-27 同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體 半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，其 內(nèi)一半填充介電常數(shù)為的介 質(zhì)，另一半填充介質(zhì)

23、的介電常 數(shù)為，如習(xí)題圖2-27所示。 當(dāng)外加電壓為V時(shí)，試求：①電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度； ②各邊界上的電荷密度；③電容及儲(chǔ)能。 解 ① 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的外表面上單位長(zhǎng)度的電量為，外導(dǎo)體的內(nèi)表面上單位長(zhǎng)度的電量為。取內(nèi)外導(dǎo)體之間一個(gè)同軸的單位長(zhǎng)度圓柱面作為高斯面，由高斯定理 求得 已知，在兩種介質(zhì)的分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必須連續(xù)，即，求得 內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差為 即單位長(zhǎng)度內(nèi)的電荷量為 故同軸電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 ② 由于電場(chǎng)強(qiáng)度在兩種介質(zhì)的分界面上無法向分量，故此邊界上的電荷密度為零。 內(nèi)導(dǎo)體的外表面上的電荷面密度為 ； 外導(dǎo)體的內(nèi)表面上

24、的電荷面密度為 ； ③單位長(zhǎng)度的電容為 電容器中的儲(chǔ)能密度為 2-28 一平板電容器的結(jié)構(gòu)如習(xí)題圖2-28所示，間距為d，極板面積為。試求： ① 接上電壓V時(shí)，移去介質(zhì)前后電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度、電通密度、各邊界上的電荷密度、電容及儲(chǔ)能； ② 斷開電源后，再計(jì)算介質(zhì)移去前后以上各個(gè)參數(shù)。 d l/2 K V l/2 e e 0 習(xí)題圖2-28 解 ①接上電源，介質(zhì)存在時(shí)，介質(zhì)邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量必須連續(xù)，因此，介質(zhì)內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度是相等的，即電場(chǎng)強(qiáng)度為。但是介質(zhì)內(nèi)外的電通密度不等，介質(zhì)內(nèi)，介質(zhì)外。 兩部分極板表面自由電荷面密度分別為

25、 ， 電容器的電量 電容量為 電容器儲(chǔ)能為 若接上電壓時(shí)，移去介質(zhì)，那么電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 電通密度為 極板表面自由電荷面密度為 電容器的電量為 電容量為 電容器的儲(chǔ)能為 ②斷開電源后，移去介質(zhì)前，各個(gè)參數(shù)不變。但是若移去介質(zhì)，由于極板上的電量不變，電場(chǎng)強(qiáng)度為 電通密度為 極板表面自由電荷面密度為 兩極板之間的電位差為 電容量為 電容器的儲(chǔ)能為 2-29 若平板電容器的結(jié)構(gòu)如習(xí)題圖2-29所示，尺寸同上題，計(jì)算上題中各種情況下的參數(shù)。 d/2 d/2 e l e 0 習(xí)題圖2-29

26、 解 ①接上電壓，介質(zhì)存在時(shí)，介質(zhì)內(nèi)外的電通密度均為，因此，介質(zhì)內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 ； 兩極板之間的電位差為。 則 則電位移矢量為 ； 極板表面自由電荷面密度為 ； 介電常數(shù)為的介質(zhì)在靠近極板一側(cè)表面上束縛電荷面密度為 介電常數(shù)為與介電常數(shù)為的兩種介質(zhì)邊界上的束縛電荷面密度為 此電容器的電量 則電容量為 電容器的儲(chǔ)能為 接上電壓時(shí)，移去介質(zhì)后： 電場(chǎng)強(qiáng)度為 電位移矢量為 極板表面自由電荷面密度為 電容器的電量 電容量為 電容器的儲(chǔ)能為 (2) 斷開電源后，介質(zhì)存在時(shí)，各個(gè)參數(shù)與接上

27、電源時(shí)完全相同。但是，移去介質(zhì)后，由于極板上的電量不變，電容器中電場(chǎng)強(qiáng)度為，電通密度為 極板表面自由電荷面密度為 兩極板之間的電位差為 電容量為 電容器的儲(chǔ)能為 2-30 已知兩個(gè)電容器C1及C2的電量分別為q1及q2，試求兩者并聯(lián)后的總儲(chǔ)能。若要求并聯(lián)前后的總儲(chǔ)能不變，則兩個(gè)電容器的電容及電量應(yīng)滿足什么條件？ 解 并聯(lián)前兩個(gè)電容器總儲(chǔ)能為 并聯(lián)后總電容為，總電量為，則總儲(chǔ)能為 要使，即要求 方程兩邊同乘，整理后得 方程兩邊再同乘，可得 即 由此獲知兩個(gè)電容器的電容量及電荷量應(yīng)該滿足的條件為 2-31 若

28、平板電容器中介電 e (x) A d X 0 習(xí)題圖2-31 A 常數(shù)為 平板面積為A，間距為d，如 習(xí)題2-31所示。試求平板電 容器的電容。 解 設(shè)極板上的電荷密度分別為，則由高斯定理，可得電通密度，因此電場(chǎng)強(qiáng)度為 那么，兩極板的電位差為 則電容量為 d V t e 0 e 0 習(xí)題圖2-32 A 2-32 若平板空氣電容器的 電壓為V，極板面積為A， 間距為d，如習(xí)題圖2-32所 示。若將一塊厚度為 的導(dǎo)體板平行地插入該平板 電容器中，試求外力必須作 的功。 解 未插入導(dǎo)體板之前，電容量。插

29、入導(dǎo)體板后，可看作兩個(gè)電容串聯(lián)，其中一個(gè)電容器的電容，另一個(gè)電容器的電容，那么總電容量為 根據(jù)能量守恒原理，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能的增量，即 式中 則 2-33 已知線密度的無限長(zhǎng)線電荷位于（1,0, z）處，另一面密度的無限大面電荷分布在x = 0平面。試求位于處電量的點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力。 x z 1 P o 0.55 y 習(xí)題圖2-33 解 根據(jù)題意，兩種電荷的位置如圖2-33所示。由習(xí)題 2-10知，無限大面電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 無限長(zhǎng)線電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為 因此，P點(diǎn)的總電場(chǎng)

30、強(qiáng)度為 所以位于P點(diǎn)的點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力為 2-34 已知平板電容器的極板尺寸為，間距為d，兩板間插入介質(zhì)塊的介電常數(shù)為，如習(xí)題圖2-34所示。試求：①當(dāng)接上電壓V時(shí)，插入介質(zhì)塊受的力；②電源斷開后，再插入介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)塊的受力。 d a b S U e e 0 習(xí)題圖2-34 解 ①此時(shí)為常電位系統(tǒng)，因此介質(zhì)塊受到的電場(chǎng)力為 式中x為沿介質(zhì)塊寬邊b的位移。介質(zhì)塊插入后，引起電容改變。設(shè)插入深度x，則電容器的電容為 電容器的電場(chǎng)能量可表示為 那么介質(zhì)塊受到的x方向的電場(chǎng)力為 ② 此時(shí)為常電荷系統(tǒng)，因此介質(zhì)塊受到的電場(chǎng)力為 式中x為沿介質(zhì)塊寬邊b的位移。 介質(zhì)塊插入后，極板電量不變，只有電容改變。此時(shí)電容器的電場(chǎng)能量可表示為 因此介質(zhì)塊受到的x方向的電場(chǎng)力為 29