EMF14靜態(tài)場邊值問題.ppt

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1、第 14講 靜態(tài)場邊值問題 授課內(nèi)容 唯一性定理 鏡像法 靜態(tài)場 ：靜電場、恒定電場和恒定磁場等不隨時間變化的場 場計算的兩大類問題 已知場量分布求與之相應(yīng)的場源分布 Dr 炎 v JH汛vv 已知場源分布求該源產(chǎn)生的場量分布 2 1 靜態(tài)場邊值問題的基本概念 2 0AJm?-v v 靜態(tài)場計算方法 直 接 積 分 法 對 稱 性 問 題 疊 加 原 理 的 應(yīng) 用 （ 均 勻 、 各 向 同 性 、 線 性 媒 質(zhì) ） 輔 助 位 函 數(shù) 法 （ 即 邊 值 問 題 B V P ， B o u n d a r y V a l u e C o

2、n d i t i o n ） （ 例 2 - 1 , 例 2 - 4 ） （ 例 4 - 1 ， 例 4 - 2 等 ） 高 斯 定 理 安 培 環(huán) 路 定 律 s D d S q c H d l I 電 場 （ 作 業(yè) 2 - 1 7 ） 磁 場 （ 作 業(yè) 4 - 5 ） 計 算 方 法 3 ( ) ( ) 4 V J r r r B r d V rr m p 3 ( ) 1 ( ) 4 V r r r E r d V rr r pe E r rf， B r H r A r， ， 2 在工程上常遇場源分布常較復(fù)雜，而 且場域往往是由某種邊界條件限制的、形狀 不一定規(guī)則的

3、有限區(qū)域。為此，在場論中引 入了輔助計算量 位函數(shù) 。 內(nèi) 已知 外 未知 邊界場已知 數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨 空間 和 時間 的變化規(guī)律。對于某一特定 的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的 初始值 與 邊界值 ，這些初始值和 邊界值分別稱為 初始條件 和 邊界條件 ，兩者又統(tǒng)稱為該方程的 定解條件 。 靜電場的場量與時間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的 解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件 求解場域的場（一定邊界條件 下微分方程的解）的問題，稱為 邊值問題 。 邊值問題 邊 值 問 題 微 分 方 程 邊 界 條 件 初 始 條 件 泊 松 方 程 拉 普

4、 拉 斯 方 程 場 域 邊 界 條 件 分 界 面 銜 接 條 件 自 然 邊 界 條 件 強(qiáng) 制 邊 界 條 件 2 /f r e 2 0f 12 12 12 12 12 12 11 ( ) ( ) sf mm t t S nn nn A A J ff e e r ff mm mm 12 12 mm AA ff ff lim r r f 有 限 值 0 lim r f 有 限 值 狄 里 赫 利 條 件 ， D i r i c h l e t 紐 曼 條 件 ， N e u m a n n 第 三 類 邊 界 條 件 邊 值 問 題 實 驗 法 計 算 法 模 擬 法 直 接 積

5、 分 法 數(shù) 值 （ 近 似 ） 法 分 離 變 量 法 直 接 求 解 間 接 求 解 鏡 像 法 、 電 軸 法 復(fù) 位 函 數(shù) 法 、 保 角 變 換 法 格 林 函 數(shù) 法 等 有 限 差 分 法 （ F D M ） 有 限 元 法 （ F E M ） 邊 界 元 法 （ B E M ） 模 擬 電 荷 法 （ C S M ） 矩 量 法 （ M O M ） 實 測 法 解 析 法 邊值問題求解方法 Analysis of Boundary-Value Problems 自然邊界條件 （ 無界空間 ） 周期邊界條件 銜接條件 不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件 ， 如 1

6、2 1 2 r S 2 靜態(tài)場問題可以歸結(jié)為求解滿足三類邊值的泊松方程（或拉普拉斯方程） 的所謂邊值問題，它們分別稱為 狄里赫利問題 ， 紐曼問題 和 混合問題 。 第一類邊值： 已知場域邊界上位函數(shù) 第二類邊值： 已知場域邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)（對 于靜電場，相當(dāng)于給出了電荷在導(dǎo)體表面的面電荷分布 密度。） 1 ()s fs 2 ()S fsn 第三類邊值： 已知場域一部分邊界上的位函數(shù)和其 余部分邊界上的位函數(shù)的法向?qū)?shù) 1 2 1 2 () () S S fs fsn 為什么說靜電場第二類邊界條件與導(dǎo)體上給定電荷分布的條件是等價的？ 內(nèi) 已知 例： （第一類邊值問

7、題） （第三類邊值問題） 例： 對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的 存在 、 穩(wěn)定 及 惟一性 問題 。 解的 存在 是指在給定的定解條件下 ， 方程是否有解 。 解的 穩(wěn)定性 是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時 ， 所求得的解是否會發(fā) 生很大的變化 。 解的 惟一性 是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一 。 靜電場是客觀存在的 ， 因此電位微分方程解的存在確信無疑 。 由于實際中定解條件是由實驗得到的 ， 不可能取得精確的真值 ， 因 此 ， 解的穩(wěn)定性具有重要的實際意義 。 泊松方程 及 拉普拉斯方程 解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明 。 可以 證明電位微分方程解也是惟一的 。

8、 【 唯一性定理 】 如果給定 V 中的電荷分布、邊界 S上的電位值 或 其方向?qū)?shù) 值 或 S中一部分面上給定 電位值 ，其余部分給定 電位法向?qū)?shù)值 ，則 V中的電 位唯一確定。 2212= - , = -rrffee蜒 證明 ：設(shè)場中任意一點有兩組解 ，都滿足 Possion方程 12, ff 0sf * = ( )2 2 2 21 2 1 2 =0f f f f f *? ? ? ? 則電位差 滿足 Laplace方程 12f f f* =- 0 sn f * = 1 2 0 , 0s sn ff ** == 電位差 滿足齊次邊界條件 f

9、* （第一類） （第二類） （第三類） vr 11sVV= 2 0s V un = 應(yīng)用 Green第一定理 ( )2 vS d V d Snff f f f f ** * * * * ? 炎 ? 蝌 ( )2 vS d V d Snjf j f j f ? 炎 ? 蝌 f j f *==令： 則 顯然，在給定三類邊界條件中任何一類的情況下，上式的 右邊 都為零。 左邊第一項也為零，得 0f *? 2 0 v f *? ( ) 12 2 kv S S S dV dS dS dSn n nf f ff f f f f f f* * ** * * * * * *抖 ?? 炎 ?

10、+ + +抖 ?蝌蝌 L蜒 ? 12 Cff = 2 0f *殉 若為 第一類邊界條件， 在既滿足場域，又滿足邊界條件的情況下， C 0。 若為 第二類邊界條件 ，當(dāng)選擇相同的電位參考點時， C 0. 對 第三類混合邊值問題 ，只要將閉合面積分寫成各部分表面的面積分之和， 對每一部分采用上述的方法處理，結(jié)論相同。 唯一性定理給出了 定解 的充分必要條件，雖然沒有給 出 具體的求解方法 ，但對于求解有著重要的指導(dǎo)意義： 【 唯一性定理的指導(dǎo)意義 】 一方面，我們在構(gòu)造求解方程時，可以依據(jù)唯一性定理 設(shè)置必要的 邊界條件 ； 另一方面，如果我們 利用某種方法獲得了解 ，則可以肯

11、定解是 唯一 的。即使采用不同的方法獲得了 不同形式的解 ， 也可以肯定這些解是 等價 的。 2. 鏡像法 實質(zhì) :是以一個或幾個 等效電荷（或電流） 代替邊界的影響， 將原來具有邊界的 非均勻 空間變成無限大的 均勻 自由空間，從而 使計算過程大為 簡化 。 依據(jù)： 惟一性定理。因此，等效電荷（或電流）的引入必須 維持原來的 邊界條件不變 ，從而保證原來區(qū)域中靜態(tài)場沒有改變， 這是確定等效電荷（或電流）的 大小 及其 位置 的依據(jù)。這些等效 電荷（電流）通常處于 鏡像位置（待求場域之外） ，因此稱為 鏡 像電荷 ，而這種方法稱為 鏡像法 。 關(guān)鍵： 確定鏡像電荷的個數(shù)、大小及

12、其位置。 局限性： 僅僅對于某些 特殊的邊界 以及特殊分布的電荷（或 電流）才有可能確定其鏡像電荷。 （ 1）點電荷與無限大的導(dǎo)體平面。 介質(zhì) 導(dǎo)體 q r P 介質(zhì) q r P h h r q 介質(zhì) 以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間 變成均勻的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點 P 的電位由 q 及 q 共同產(chǎn)生，即 4 4 qq r rf pe pe =+ 考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零 ，求得 qq 邊值問題 ： （導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處） （除 q 所在點外的區(qū)域） （ S 為包圍 q 的閉合面） 2 0 0 s D

13、d S q f f ? = ? 平面導(dǎo)體的鏡像 上半場域邊值問題 ： 2 00 0 044qqrr f f p e p e ? = - = （除 q 所在點外的區(qū)域） （導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處） （ S 為包圍 q 的閉合面） s D dS q? 電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的 上半 部分 完全相同。 由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體 表面吻合。 電場線 等位線 z 電荷守恒： 當(dāng)點電荷 q 位于無限大的導(dǎo)體平面附近時 ， 導(dǎo)體表 面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷 ， 因此 ， 上半空間的電場取決于原先的點 電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷 。 可見 ，

14、上述鏡像法的實質(zhì)是以一個 異性的 鏡像點電荷 代替導(dǎo)體表面上異性的 感應(yīng)電荷 的作用 。 根據(jù)電 荷守恒原理 ， 鏡像點電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量 ， 可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強(qiáng)度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論 。 半空間等效： 上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立 ， 因 為在上半空間中 ， 源及邊界條件未變 。 （ 方向指向地面 ） 整個地面上感應(yīng)電荷的總量為 pE E E+-=+ 202 c o s4p qE r qpe= 2 2 3 / 202 ( ) qh hxpe= + 0 2 2 3 / 22 ( )pp qhE hxse p= - = - + 2 2 3

15、/ 20 22 ( )pS qhdS x dx hxspp -=? +蝌 2 2 1 / 2 0 1 ()qh hx 輊犏 = 犏 +臌 q 【 例 19.1】 求空氣中一個點電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。 q 解 : 設(shè)點電荷 離地面高度為 h， 則 q 點電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷的分布 q q 僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角 = 180 /n(n為整數(shù) ） 時 ， 才可求出其鏡像 電荷 ， 鏡像電荷為 2n-1個 。 分布在半徑為 r0的圓上 （ r0為點電荷到角頂 點的距離 ） 。 鏡像的角度為 2m , m=1,2, 電荷量為 q， 為點 電荷與劈的一平面的夾角

16、。 /3 /3 q 連續(xù)分布的 線電荷 位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，根據(jù)疊加 原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。 （ 2）導(dǎo)體劈的鏡像法 a b q 0f = a b q a b -q a b -q a b q 直角形導(dǎo)體平面鏡像 0 1 0 2 0 3 0 44 4 4 4 q q q qr r r rf p e p e p e p e--= + + + r1 r2 r 3 r4 為整數(shù)nn /1 8 0 0 q q -q -q q -q 鏡像電荷加在區(qū)域外 只用于求區(qū)域內(nèi)的場 （ 3）電介質(zhì)分界面的鏡像 12ttEE= 12nnDD= 邊值問題

17、： 2 1 0f? 2 2 0f? (下半空間 ) (除 q點外的上半空間 ) 1 1 2 q q q q q q e e e+= -= 點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像 c o s c o s c o s 2 2 24 4 4 1 1 2 s in s in s in 2 2 24 4 4 q q q r r r q q q r r r q q q p e p e p e q q q p p p += -= 和 12 12qq eeee-= + 2 12 2qqeee= + 中的電場是由 決定，其有效區(qū)在下半空間， 是等效替代自由電荷與極化 電荷的作用。 2 qq 1 2 2 2 1 2 1 2 q q q q q qe e ee e e e-= - = - =++ 即 點電荷 位于不同介質(zhì)平面上方的場圖 q 中的電場是由 與 共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間， 是等效替代極化電 荷的影響。 qqq1 點電荷 與 分別置于 與 區(qū)域中 為求解圖示 與 區(qū)域的電 場，試確定鏡像電荷的個數(shù)、大小 與位置。 1 2 1q 2q 1 2 作 業(yè) Page205: 5-1， 5-4， 5-7， 5-10