中考數(shù)學(xué) 第一部分 教材梳理 第五章 四邊形 第21講 矩形、菱形、正方形復(fù)習(xí)課件 新人教版.ppt

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1、第 21講 矩形、菱形、正方形 考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)和判定 矩形的定 義 有一個(gè)角是 直角 的平行四邊形 叫做矩形 矩形的 性質(zhì) ( 1) 矩形具有平行四邊形所有的性質(zhì); ( 2) 矩形的四個(gè)角都是 直角 ,對(duì)角線(xiàn)互 相平分且 相等 ; ( 3) 矩形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形 , 又是中心對(duì)稱(chēng) 圖形它有兩條對(duì)稱(chēng)軸 , 它的對(duì)稱(chēng)中心 就是 對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn) 矩形的 判定 ( 1) 定義法; ( 2) 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形; ( 3) 對(duì)角線(xiàn)相等 的平行四邊形是矩形 考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)和判定 菱形的 定義 有一組 鄰邊相等 的平行四邊形叫 做菱形 菱形的

2、 性質(zhì) ( 1) 菱形具有平行四邊形所有的性質(zhì); ( 2) 菱形的四 條邊 相等 , 對(duì)角線(xiàn)互相 垂直 平分 , 并且每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角; ( 3) 菱形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形 , 又是中心對(duì)稱(chēng)圖 形兩條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸 , 它的對(duì)稱(chēng)中心就是 對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn) ; ( 4) 菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的 一半 菱形的 判定 ( 1) 定義法; ( 2) 四 條邊 相等 的四邊形是菱形; ( 3) 對(duì)角線(xiàn) 互相垂直 的平行四邊形 是 菱形 考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)和判定 正方形 的定義 有一組鄰邊 相等 , 并且有一 個(gè)角是 直角 的平行四邊形叫 做正方形

3、正方形 的性質(zhì) ( 1) 正方形的四條邊 相等 , 四個(gè)角都 是 直角 , 對(duì)角線(xiàn)互相 垂直平分 且 相等 , 并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組 對(duì)角 , 具有矩形和菱形的所有性質(zhì); ( 2) 正方形既是軸對(duì)稱(chēng) 圖形又是中 心 對(duì)稱(chēng)圖形 , 有 四 條對(duì)稱(chēng)軸 , 對(duì)稱(chēng)中 心是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn) 正方形 的判定 ( 1) 有一組鄰邊相等的 矩形 是 正方形; ( 2) 有一個(gè)角是直角的 菱形 是 正方形; ( 3) 對(duì)角線(xiàn) 互相垂直平分且相等 的四邊形是正方形 溫馨提示: 1 正方形的判定: ( 1 )先證明四邊形是矩形 , 再證 明有一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)垂直; ( 2) 先證明四

4、邊形是 菱形 , 再證明有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等 2 矩形的面積: S ab ( a , b 表示長(zhǎng)和寬 );菱形 的面積等于邊長(zhǎng)與高的乘積或兩條對(duì)角線(xiàn)乘積 的一 半;正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方或?qū)蔷€(xiàn)乘積的一 半 考點(diǎn)四 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系 考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)與判定 例 1 ( 2 0 1 6 臺(tái)州 )如圖 , 點(diǎn) P 在矩形 ABCD 的對(duì) 角線(xiàn) AC 上 , 且不與點(diǎn) A , C 重合 , 過(guò)點(diǎn) P 分別作邊 AB , AD 的平行線(xiàn) , 交兩組對(duì)邊于點(diǎn) E , F 和 G , H . ( 1) 求證: P H C CFP ;

5、 ( 2) 證明四邊形 P E D H 和四邊形 P F B G 都是矩形 , 并直接寫(xiě)出它們面積之間的關(guān)系 【點(diǎn)撥】 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的 判定與性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì) ( 1) 證明: 四邊形 ABCD 為矩形 , AB CD , AD B C PF AB , P F CD , C P F P C H . PH AD , PH BC , P C F C P H . 在 P H C 和 CFP 中 , C P F P C H , PC CP , P C F C P H , P H C CF

6、P ( A S A ) ( 2 ) 證明: 四邊形 ABCD 為矩形 , D B 90 . 又 EF AB CD , GH AD BC , 四邊形 P E D H 和四邊形 P F B G 都是矩形 解: S 矩形 PE D H S 矩形 P FB G . 證明如下: EF AB , C P F CA B 在 Rt A G P 中 , A G P 90 , PG AG t an CA B 在 Rt CFP 中 , CFP 90 , CF PF t an C P F . S 矩形 P ED H D

7、E EP CF EP PF EP t an C P F , S 矩形 P FB G PG PF AG PF t an CAB EP PF t an CA B t an C P F t a n CAB , S 矩形 P ED H S 矩形 P FB G . 方法總結(jié): 矩形是特殊的平行四邊形 , 證明矩形的常用方法 就是先證明四邊形是平行四邊形 , 然后證明有一個(gè)角 是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等 考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)與判定 例 2 ( 20 16 聊城 ) 如圖,在 Rt ABC 中, B 90 ,點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn), A

8、C 2 AB , BAC 的平分線(xiàn) AD 交 BC 于 點(diǎn) D ,作 AF BC ,連接 DE 并 延長(zhǎng)交 AF 于點(diǎn) F ,連接 F C 求 證:四邊形 A D C F 是菱形 【點(diǎn)撥】 先證明 AEF CED , 推出四邊形 A D C F 是平行四邊形 , 再證明 AED ABD , 推出 DF AC , 由此即可證明 證明: AF CD , AFE C D E , 在 AFE 和 C D E 中 , AFE C D E , AEF CED , AE CE , AEF CE D AF C D AF C

9、D , 四邊形 A D C F 是 平行四邊形 由題 意知, AE AB , EAD BAD , AD AD , AED AB D AED B 90 , 即 DF A C 四邊形 A D C F 是菱形 方法總結(jié): 對(duì)于菱形的判定 , 若可證出四邊形為平行四邊形 , 則可證一組鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直;若相等的邊 較多 , 則可證四條邊都相等 考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)與判定 例 3 ( 2 0 1 6 威海 ) 如圖,在 ABC 和 BCD 中, BAC BCD 90 , AB AC , CB CD 延長(zhǎng) CA 至點(diǎn) E

10、 ,使 AE AC ;延長(zhǎng) CB 至點(diǎn) F ,使 BF BC 連 接 AD , AF , DF , EF ;延長(zhǎng) DB 交 EF 于點(diǎn) N . ( 1) 求證: AD AF ; ( 2) 求證: BD EF ; ( 3) 試判斷四邊形 AB N E 的形狀 , 并說(shuō)明理由 【點(diǎn)撥】 ( 1) 要想證明 AD AF , 只需要根據(jù)條件 證明 ABF ACD 即可; ( 2) 首先根據(jù) ( 1 ) 中 ABF ACD 得出 F A B D A C , 然后結(jié)合已知 條件證明 AEF ABD , 即可得出結(jié)論; ( 3) 根據(jù)有 三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 ,

11、 證明四邊形 AB N E 是 矩形 , 再結(jié)合一組鄰邊 AE AB , 即可得出結(jié)論 ( 1) 證明: AB AC , BAC 90 , ABC ACB 45 , ABF 135 . BCD 90 , ACD 135 , ABF AC D CB CD , CB BF , BF C D 在 ABF 和 ACD 中 , AB AC , ABF ACD , BF CD , ABF ACD ( S A S ) , AD AF . ( 2) 證明: 由 ( 1) 知 , AF AD , ABF AC

12、D , F A B DA C BAC 90 , EAB BAC 90 , EAF BA D AB AC , AC AE , AB AE . 在 AEF 和 ABD 中 , AE AB , EAF BAD , AF A D AEF ABD ( S A S ) , BD EF . ( 3) 解: 四邊形 AB N E 是正方形 理由: CD CB , BCD 90 , CBD 45 . ABC 45 , ABD 90 , ABN 90 . 由 ( 2) 知 , EAB 9

13、0 , AEF ABD , AEF ABD 90 , 四邊形 AB N E 是矩形 又 AE AB , 矩形 AB N E 是正方形 方法總結(jié): 1 正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形 , 具有矩 形和菱形的所有性質(zhì) 2 證明一個(gè)四邊形是正方形 , 可以先判定為矩形 , 再證鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)互相垂直;也可以先判定為菱 形 , 再證有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€(xiàn)相等 1 ( 20 16 海南 ) 如圖,矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A , C 分 別在直線(xiàn) a , b 上,且 a b , 1 60 ,則 2 的度數(shù) 為 ( ) A 30 B 45

14、 C 60 D 75 【解析】 如圖 , 連接 A C AC 為矩形 ABCD 的 對(duì)角線(xiàn) , BAC DC A 又 a b , 1 BAC D C A 2. 1 60 , 2 1 60 .故選 C 【答案】 C 2 ( 201 6 河南 ) 如圖,已知菱形 O A B C 的頂點(diǎn) O (0 , 0) , B (2 , 2) ,若菱形繞點(diǎn) O 逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn),每秒旋轉(zhuǎn) 45 ,則第 60 秒時(shí),菱形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( ) A (1 , 1) B ( 1 , 1) C ( 2 , 0 )

15、D (0 , 2 ) 【解析】 由題意得點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1 , 1) 菱形 O A B C 每秒旋轉(zhuǎn) 45 , 60 秒旋轉(zhuǎn)的角度為 45 60 2 70 0 , 而 2 70 0 36 0 7. 5 , 因此菱形 O A B C 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)了 7 周半 , 終止位置與原位置關(guān)于原點(diǎn) O 成中心 對(duì)稱(chēng) , 根據(jù)成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得旋轉(zhuǎn)終 止位置時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( 1 , 1) , 故選 B 【答案】 B 3. 如圖 , E 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) BD 上一點(diǎn) , 且 BE BC , P 為 CE 上任意一點(diǎn) ,

16、 PQ BC 于點(diǎn) Q , PR BE 于點(diǎn) R , 則 PQ PR 的值是 ( D ) A 2 3 B 1 2 C 3 2 D 2 2 4 ( 20 16 天津 ) 如圖,把一張 矩形紙片 ABCD 沿對(duì)角線(xiàn) AC 折 疊,點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B , AB 與 DC 相交于點(diǎn) E ,則下列結(jié)論一定 正確的是 ( ) A D A B CAB B ACD B CD C AD AE D AE CE 【解析】 四邊形 ABCD 是矩形 , DC AB , D C A CA B AB C

17、 由 ABC 翻折得到 , ABC AB C , CAB CAB , CAB D C A , AE CE .故選 D 【答案】 D 5 如圖 , 順次連接菱形 ABCD 的各邊中點(diǎn) E , F , G , H .若 AC a , BD b , 則四邊形 E F G H 的面積是 1 4 ab 6 如圖,在四邊形 ABCD 中, AB 6 , ABC 90 ,點(diǎn) E 在 CD 上,連接 AE , BE , D A E 75 , 若四邊形 ABED 是菱形,則 EC 的長(zhǎng)度為 3 3 7 如圖 , 已知點(diǎn) D 在 ABC

18、的 BC 邊上 , DE AC 交 AB 于點(diǎn) E , DF AB 交 AC 于點(diǎn) F . ( 1) 證明: AE DF ; ( 2) 若 AD 平分 BAC , 試 判斷四邊形 A E D F 的形 狀 , 并說(shuō)明理由 ( 1 ) 證明: DE AC , DF AB , 四邊形 A E D F 是平行四邊形 AE DF . ( 2) 解: 若 AD 平分 BAC , 四邊形 A E D F 是菱形理 由如下: AD 平分 BAC , EAD D A F . 又 AB DF , EAD A D F . D A F A D F

19、 . AF DF . 又 四邊形 A E D F 是平行四邊形 , 四邊形 A E D F 是菱形 一、選擇題 ( 每小題 4 分,共 40 分 ) 1 ( 2016 無(wú)錫 ) 下列性質(zhì)中,菱形具有而矩形不一 定具有的是 ( C ) A 對(duì)角線(xiàn)相等 B 對(duì)角線(xiàn)互相平分 C 對(duì)角線(xiàn)互相垂直 D 鄰邊互相垂直 2 ( 2016 舟山 ) 如圖,矩形 ABCD 中, AD 2 , AB 3 ,過(guò)點(diǎn) A , C 作相距為 2 的平行線(xiàn)段 AE , CF ,分 別交 CD , AB 于點(diǎn) E , F ,則 DE 的長(zhǎng)是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280226 】 A

20、 5 B 13 6 C 1 D 5 6 【解析】 如圖 , 過(guò)點(diǎn) F 作 FH AE 于點(diǎn) H , 則 FH 2 , 四邊形 ABCD 是矩形 , AB CD AE CF , 四邊形 AECF 是平行四邊形 , AF CE , DE BF , AF 3 DE , AE AD 2 DE 2 4 DE 2 . F H A D D A F 90 , AFH H A F D A E H A F 90 , D A E A F H .又 AD H F , A D E F H A ( A S A )

21、 , AE AF , 4 DE 2 3 DE , DE 5 6 . 故選 D 【答案】 D 3 ( 2016 荊門(mén) ) 如圖,在 矩形 ABCD 中 ( AD AB ) , 點(diǎn) E 是 BC 上一點(diǎn),且 DE DA , AF DE ,垂足為點(diǎn) F . 在下列結(jié)論中,不一定正確的是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 902802 27 】 A AFD D C E B AF 1 2 AD C AB AF D BE AD DF 【解析】 由矩形 ABCD , AF DE 可得 C AFD 90 . AD BC , A D

22、F DE C 又 DE AD , AFD D C E ( AAS ) , 故選項(xiàng) A 正確; A D F 不一定等于 30 , 直角三角形 A D F 中 , AF 不一定等于 AD 的一半 , 故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤;由 AFD D C E , 可得 AF CD , 由矩形 ABCD , 可 得 AB CD , AB AF , 故選項(xiàng) C 正確; 由 AFD D C E ,可得 CE DF , 由矩形 ABCD , 可得 BC AD , BE BC CE AD DF , 故選項(xiàng) D 正確故選 B 【答案】 B 4 ( 2016 揚(yáng)州

23、) 如圖,矩形紙片 ABCD 中, AB 4 , BC 6. 將該矩形紙片剪去 3 個(gè)等腰直角三角形,所有 剪法中剩余部分面積的最小值是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280228 】 A 6 B 3 C 2. 5 D 2 【解析】 如圖 , 以 BC 為邊作等腰直角三角形 EBC , 延長(zhǎng) BE 交 AD 于點(diǎn) F , 得 ABF 是等腰直 角三角形 , 作 EG CD 于點(diǎn) G , 得 E G C 是等腰直角 三角形 , 在矩形 ABCD 中剪去 ABF , BCE , ECG 得到四 邊形 E F D G , 由等腰直角三角形的性質(zhì)易得 EC B

24、E 3 2 , EG CG 3 , 此時(shí)剩余部分面積的最小值 4 6 1 2 4 4 1 2 3 6 1 2 3 3 2 . 5 . 故選 C 【答案】 C 5 如圖,在菱形 ABCD 中, AB 8 ,點(diǎn) E , F 分別 在 AB , AD 上,且 AE AF , 過(guò)點(diǎn) E 作 EG AD 交 CD 于 點(diǎn) G ,過(guò)點(diǎn) F 作 FH AB 交 BC 于點(diǎn) H , EG 與 FH 交 于點(diǎn) O . 當(dāng)四邊形 A E O F 與四邊形 C G O H 的周長(zhǎng)之差 為 12 時(shí), AE 的值為 ( ) A 6. 5 B 6 C 5. 5

25、 D 5 【解析】 設(shè) AE x , 則 EB 8 x. 四邊形 ABCD 是菱形 , EG AD , FH AB , 四邊形 A E O F 和四邊 形 O H C G 都是菱形 四邊形 A E O F 與四邊形 C G O H 的周長(zhǎng)之差為 12 , 4 x 4( 8 x ) 12 , 解得 x 5 . 5 . 故選 C 【答案】 C 6 如圖,將矩形 ABCD 沿 EF 折疊,使頂點(diǎn) C 恰好落在 AB 邊的中點(diǎn) C 上,若 AB 6 , BC 9 ,則 BF 的長(zhǎng)為 ( ) A 4 B 3 2 C 4. 5 D

26、5 【解析】 設(shè) BF x , 則 C F CF 9 x , C 是 AB 的中點(diǎn) , AB 6 , BC 3 . 在 Rt BFC 中 , BF 2 C B 2 C F 2 , x 2 3 2 (9 x ) 2 , 解得 x 4 .故選 A 【答案】 A 7 ( 2016 淄博 ) 如圖,正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 10 , AG CH 8 , BG DH 6 ,連接 GH ,則線(xiàn)段 GH 的 長(zhǎng)為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280229 】 A 8 3 5 B 2 2 C 14 5 D 10

27、 5 2 【解析】 如圖 , 延長(zhǎng) BG 交 CH 于點(diǎn) E , 在 ABG 和 C D H 中 , AB CD 10 , AG CH 8 , BG DH 6 , ABG C D H ( S S S ) , AG 2 BG 2 AB 2 , 1 5 , 2 6 , A G B C H D 90 , 1 2 90 , 5 6 90 . 又 2 3 90 , 4 5 90 , 1 3 5 , 2 4 6 . 在 ABG 和 BCE 中 , 1 3 , AB BC , 2

28、 4 , ABG BCE ( A S A ) , BE AG 8 , CE BG 6 , BEC A G B 9 0 , GE BE BG 8 6 2 , 同理可得 HE 2 .在 Rt G HE 中 , GH = GE 2 HE 2 2 2 2 2 2 2 . 故選 B 【答案】 B 8 ( 2016 郴州 ) 如圖,在正方形 ABCD 中, ABE 和 C D F 為直角三角形, AEB CFD 90 , AE CF 5 , BE DF 12 ,則 EF 的長(zhǎng)是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280230 】 A

29、 7 B 8 C 7 2 D 7 3 【解析】 四邊形 ABCD 是正方形 , BAD ABC BCD A D C 90 , AB BC CD A D 在 ABE 和 C D F 中 , AB CD , AE CF , BE DF , ABE C D F ( SSS ) , ABE C D F . BAD 90 , BAE D A G 90 . AEB CFD 90 , ABE BAE 90 , ABE D A G C D F . 同理可得 ABE D A G

30、C D F BCH , D A G A D G C D F A D G 90 , 即 DGA 90 , 同理可得 C H B 90 . 在 ABE 和 D A G 中 ABE D A G , AEB DGA 90 , AB DA , ABE D A G ( AAS ) , AE DG , BE AG , 同理可得 AE BH , BE CH , 即 AE DG CF BH 5 , BE AG DF CH 12 , EG GF FH EF 12 5 7 . G E H 180 9

31、0 90 , 四邊形 E G F H 是正方形 , EF 2 EG 7 2 . 故選 C 【答案】 C 9 小明在學(xué) 習(xí)了正方形之后,給同桌小文出了道 題,從下列四個(gè)條件: AB BC ; A B C 90 ; AC BD ; AC BD 中,選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件,使 ABCD 成為正方形 ( 如圖 ) ,現(xiàn)有下列四種選法,你認(rèn) 為其中錯(cuò)誤的是 ( ) A B C D 【解析】 要 使 ABCD 成為正方形 , 即 “ 在 ABCD 的基礎(chǔ)上 , 需要再同時(shí)具備矩形和菱形的特征 ” 是 菱形的特征; 是矩形 的

32、特征; 是矩形的特征; 是菱形的特征而 B 中都是矩形的特征故選 B 【答案】 B 10 如圖,矩形 ABCD 中, AB 8 , BC 4 ,點(diǎn) E 在 AB 上,點(diǎn) F 在 CD 上,點(diǎn) G , H 在對(duì)角線(xiàn) AC 上若 四邊形 E G F H 是菱形,則 AE 的長(zhǎng)是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280231 】 A 2 5 B 3 5 C 5 D 6 【解析】 如圖 , 連接 EF 交 AC 于點(diǎn) O , 根據(jù)菱 形性質(zhì) , 得 FE AC , OG OH , 易證 OA O C 由矩 形 ABCD , 得 B 90 . 根據(jù)勾股定理 , 得

33、AC 4 2 8 2 4 5 , OA 2 5 .易 證 A O E ABC , 進(jìn)而可得 OA AB AE AC , 即 2 5 8 AE 4 5 , AE 5 .故選 C 【答案】 C 二、填空題 ( 每小題 4 分,共 16 分 ) 11 ( 2016 巴中 ) 如圖,延長(zhǎng)矩形 ABCD 的邊 BC 至點(diǎn) E ,使 CE BD ,連接 AE ,如果 A D B 30 , 則 E 【解析】 如圖 , 連接 AC , 四邊形 ABCD 是矩形 , AD BE , AC BD , 且 A D B CAD 30 , E

34、 D A E . 又 BD CE , CE CA , E CAE. CAD CAE D A E 30 , E E 30 , 即 E 15 . 【答案】 15 12 ( 2016 揚(yáng)州 ) 如圖,菱形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) AC , BD 相交于點(diǎn) O , E 為 AD 的中點(diǎn),若 OE 3 ,則菱形 A B C D 的周長(zhǎng)為 【解析】 四邊形 ABCD 為菱形 , AC BD , AB BC CD DA , A O D 為直角三角形 OE 3 , 且點(diǎn) E 為線(xiàn)段 AD 的中點(diǎn) , AD 2 OE 6

35、, C 菱形 A BC D 4 AD 4 6 24 . 【答案】 24 13 ( 2016 天津 ) 如圖,在正方形 ABCD 中,點(diǎn) E , N , P , G 分別在邊 AB , BC , CD , DA 上,點(diǎn) M , F , Q 都在對(duì)角線(xiàn) BD 上,且四邊形 M N P Q 和 AEFG 均為 正方形,則 S 正方形 MN P Q S 正方形 AEFG 的值等于 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280232 】 【解析】 在正方形 ABCD 中 , ABD CBD 45 , 四邊形 M N P Q 和 AEFG 均為正方形 , BEF AEF 90 ,

36、 B M N Q M N 90 , BEF 與 B M N 是等腰直角三角形 , FE BE AE 1 2 AB , BM MN Q M . 同理 DQ MQ , MN 1 3 BD 2 3 AB , S 正方形 MN P Q S 正方形 AEFG 2 3 AB 2 1 2 AB 2 8 9 . 【答案】 8 9 14 ( 2016 襄陽(yáng) ) 如圖,正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2 2 , 對(duì)角線(xiàn) AC , BD 相交于點(diǎn) O , E 是 OC 的中點(diǎn),連接 BE ,過(guò)點(diǎn) A 作 AM BE 于點(diǎn) M ,交 BD 于點(diǎn) F

37、 ,則 FM 的長(zhǎng)為 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280233 】 【解析】 在正方形 ABCD 中 , AO BO , A O F B O E 90 . AM BE , AFO BFM , F A O EBO , AFO BEO ( A S A ) , FO E O . 正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2 2 , E 是 OC 的 中點(diǎn) , FO EO 1 BF , BO 2 , 直角三角形 B O E 中 , BE 1 2 2 2 5 .由 FBM EBO , F M B E O B , 可得 BFM BEO ,

38、FM EO BF BE , 即 FM 1 1 5 , FM 5 5 . 【答案】 5 5 三、解答題 ( 共 44 分 ) 15 ( 10 分 ) 在 ABCD 中,過(guò)點(diǎn) D 作 DE AB 于 點(diǎn) E ,點(diǎn) F 在邊 CD 上, DF BE ,連接 AF , BF . ( 1 ) 求證:四邊形 B F D E 是矩形; 證明: 四邊形 ABCD 是平行四邊形 , AB C D BE DF , BE DF , 四邊形 B F D E 是平行四邊形 DE AB , D E B 90 . 四邊形 B F D E 是矩形 ( 2 ) 若

39、 CF 3 , BF 4 , DF 5 ,求證: AF 平分 DA B 證明: 四邊形 ABCD 是平行四邊形 , AB DC , AD BC D F A FA B 在 Rt BCF 中 , 由勾股定理 , 得 BC FC 2 FB 2 3 2 4 2 5 , AD BC DF 5 , D A F D F A , D A F F A B , 即 AF 平分 D A B 16 ( 10 分 ) 如圖 , ABC 中 , ACB 90 , D , E 分別是 BC , BA 的中點(diǎn) , 連接 DE , F 在 DE 的延長(zhǎng)線(xiàn)上

40、, 且 AF AE .【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280234 】 ( 1 ) 求證:四邊形 ACEF 是平行四邊形; 證明: 如圖 , ACB 90 , E 是 BA 的中點(diǎn) , CE AE BE. AF AE , AF CE. 在 BEC 中 , BE CE 且 D 是 BC 的中點(diǎn) , ED 是等腰 BEC 底邊上的中 線(xiàn)和頂角平分線(xiàn) , 1 2 . AF AE , F 3 . 1 3 , 2 F , CE A F .又 CE AF , 四邊形 ACEF 是平行四邊 形 ( 2 ) 若四邊形 ACEF 是菱形,求

41、B 的度數(shù) 解: 四邊形 ACEF 是菱形 , AC CE. 由 ( 1 ) 知 , AE CE , AC CE AE , AEC 是等邊三角形 , CAE 60 , 在 Rt ABC 中 , B 90 CAE 90 6 0 30 . 17 ( 12 分 ) ( 2016 德州 ) 我們給出如下定義:順次 連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四 邊形 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280235 】 ( 1 ) 如圖 1 ,四邊形 ABCD 中,點(diǎn) E , F , G , H 分別為邊 AB , BC , CD , DA 的中點(diǎn)求證:中點(diǎn)四邊形 E

42、F G H 是平行 四邊形; ( 2 ) 如圖 2 ,點(diǎn) P 是四邊形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn),且滿(mǎn)足 PA PB , PC PD , A PB C PD ,點(diǎn) E , F , G , H 分別為邊 AB , BC , CD , DA 的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形 E F G H 的形狀,并證明你的 猜想; ( 1 ) 證明: 如圖 , 連接 B D 點(diǎn) E , H 分別為邊 AB , AD 的中點(diǎn) , EH BD , EH 1 2 B D 點(diǎn) F , G 分別為邊 BC , CD 的中點(diǎn) , FG BD , FG 1 2 B D EH FG , EH

43、 F G . 中點(diǎn)四邊形 E F G H 是平 行四邊形 ( 2 ) 解: 四邊形 E F G H 是菱形 如圖 , 連接 AC , B D A P B CP D A P B A P D C P D AP D 即 A P C BP D 又 PA PB , PD P C A P C BP D ( S A S ) AC B D 點(diǎn) E , F , G 分別為邊 AB , BC , CD 的中點(diǎn) , EF 1 2 AC , FG 1 2 B D EF F G .又 四邊形 E F G H 是平行四邊 形 , 中點(diǎn)四邊形

44、 E F G H 是菱形 ( 3 ) 若改變 ( 2 ) 中的條件,使 A P B C P D 90 , 其他條件不變,直接寫(xiě)出中點(diǎn)四邊形 E F G H 的形 狀 ( 不必證明 ) 解: 四邊形 E F G H 是正方形證明如下: 如圖 , AC 與 BD 相交于點(diǎn) O , 由 ( 2) 得四邊 形 E F G H 是菱形 , 由 A P C B P D , 得 ACP B D P , 進(jìn) 而可得 C O D C P D 90 , 由 EH BD , AC HG 可得 E H G 90 , 則四邊形 E F G H 是正方形 18 (

45、 12 分 ) ( 2016 棗莊 ) 如圖,把 EFP 放置在菱 形 ABCD 中,使得頂點(diǎn) E , F , P 分別在線(xiàn)段 AB , AD , AC 上, EP FP 6 , EF 6 3 , BAD 60 , AB 6 3 . 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280236 】 ( 1 ) 求 E P F 的大??; 解: 如圖 , 過(guò)點(diǎn) P 作 PG EF 于點(diǎn) G. PE PF 6 , PG EF , FG EG 1 2 EF 3 3 , F P G E P G 1 2 E P F . 在 Rt F P G 中 , s i n F P G

46、FG PF 3 3 6 3 2 . F P G 60 , E P F 2 F P G 120 . ( 2 ) 若 AP 10 ,求 AE AF ; 證明: 如圖 , 作 PM AB 于 M , PN AD 于 N. AC 為菱形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn) , D A C BAC , AM AN , PM P N . 在 Rt P M E 和 Rt P N F 中 , PM P N , PE PF , Rt P M E Rt P N F . ME N F . 又 AP 10 , P A M 1 2 D A B 30 ,

47、 AM A N A P c o s 30 10 3 2 5 3 . AE AF ( AM ME ) ( AN NF ) AM AN 10 3 . ( 3 ) 若 EFP 的三個(gè)頂點(diǎn) E , F , P 分別在線(xiàn)段 AB , AD , AC 上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫(xiě)出 AP 長(zhǎng)的最大值和最小值 證明: 如圖 , 當(dāng) EFP 的三 個(gè)頂點(diǎn) E , F , P 分別在線(xiàn)段 AB , AD , AC 上運(yùn)動(dòng)時(shí) , 點(diǎn) P 在 P 1 , P 2 之間運(yùn)動(dòng) , 易知 P 1 O P 2 O 3 , AO 9 , AP 的最大值為 12 , AP 的最小值為 6 .

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