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1、第二章 位理論邊值問題 長安大學(xué) 地質(zhì)工程與測繪學(xué)院 張永志 2. 1 邊值問題的概念 地球外部的重力場的性質(zhì)完全由重力位 決定，所以我們只需要求得重力位。式 中 ,是指整個(gè)地球所占空間， 為地球的 密度函數(shù)， r為體積元 d 到 P點(diǎn)的距離。 w為地球的自轉(zhuǎn)角速率 . 位理論的邊值問題的定義 位理論邊值問題就是根據(jù)某一空間 邊界上的給定條件求出該空間中拉普拉 斯方程的解，當(dāng)空間被包含在邊界內(nèi)部 時(shí)叫內(nèi)部邊值問題，當(dāng)空間位于邊界外 部時(shí)叫外部邊值問題。在地球形狀和外 部重力場理論中，我們求解的是地球外 部的重力場，所以，對(duì)我們有用的是外 部邊值問題。下面我們提出外部邊值問 題的三種形式。 第一
2、邊值問題 求解在邊界外部調(diào)和，在無窮 遠(yuǎn)處正則的函數(shù) V使其在邊界上 滿足邊界條 V=f，其中 f為已知函 數(shù)。該問題也叫狹義利赫外部 問題。 第二邊值問題 : 求解在邊界外部調(diào)和，在無窮遠(yuǎn)處正則 的函數(shù) V,使其在邊界上滿足邊界條件 其中 n為邊界的外法線方向。該問題也 叫牛曼外部問題。 第三邊值問題 : 求解在邊界外部調(diào)和，在無窮遠(yuǎn)處正則 的函數(shù) V，使其在邊界上滿足邊界條件 f為已知函數(shù)。該問題也叫混合邊值問題。 2.2 格林公式 n P,Q,R x y z i j k 2.2 格林公式 格林公式 格林公式 格林公式 格林公式 格林公式 (二 )外部格林公式 以上我們導(dǎo)出的是內(nèi)部的格林公
3、式，它們給出了分塊光 滑曲面 上的面積分與其內(nèi)部區(qū)域 中的體積分之間的關(guān)系。 首先，假設(shè) e是間于兩個(gè)曲面 和 之間的閉區(qū)域，如 圖 2-1所示， 為半徑是 R的球面， 完全被包含在 內(nèi) 部。 將內(nèi)部第一格林公式 (2-2-12)應(yīng)用于閉區(qū)域 e 式及其表面 和 得 ： 外部第二格林公式： 外部第二格林公式 外部第二格林公式 外部第二格林公式 三 .格林公式應(yīng)用例舉 格林公式應(yīng)用例舉 否則，若 內(nèi)部包含有質(zhì)量 m，則 格林公式應(yīng)用例舉 格林公式應(yīng)用例 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 第三格林公式 (四 )將外部位表示成面積分的形 式 外部位表示成面積分的形式 外部位表示成面積分的形式 2.4 泊松積分 2.4 泊松積分 泊松積分 泊松積分 泊松積分 泊松積分 泊松積分 泊松積分 泊松積分 泊松積分 斯托克司定理 斯托克司定理
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