2017全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)高考真題及答案-

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1、2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則 A． B． C． D． 2．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 3．設(shè)有下面四個(gè)命題 ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)，則. 其中的真命題為 A．

2、 B． C． D． 4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 5．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是 A． B． C． D． 6．展開式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為 A．10 B．12 C．14 D．16 8．右面程序框圖是為了求出滿足3n?2n>1000

3、的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入 A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2 9．已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是 A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 D．把C1上各點(diǎn)

4、的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2 10．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 A．16 B．14 C．12 D．10 11．設(shè)xyz為正數(shù)，且，則 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)

5、問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 14．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為 . 15．已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半

6、徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若∠MAN=60，則C的離心率為________。 16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第

7、22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng). 18.（12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 19．（12分） 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)

8、線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得，

9、，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． 20.（12分） 已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn). 21.（12分） 已知函數(shù)ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）討論的單調(diào)性； （2

10、）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a. 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值

11、范圍. 2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13． 14．-5 15． 16． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）△ABC的內(nèi)角A

12、，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng). 解：（1） 由題意可得， 化簡(jiǎn)可得， 根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得：。 （2） 由， 因此可得， 將之代入中可得：， 化簡(jiǎn)可得， 利用正弦定理可得， 同理可得， 故而三角形的周長(zhǎng)為。 18.（12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. （1）證明： , 又,PA、PD都在平面PAD內(nèi)， 故而可得。

13、 又AB在平面PAB內(nèi)，故而平面PAB⊥平面PAD。 （2）解： 不妨設(shè)， 以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA為x軸，OP為z軸建立平面直角坐標(biāo)系。 故而可得各點(diǎn)坐標(biāo)：， 因此可得， 假設(shè)平面的法向量，平面的法向量， 故而可得，即， 同理可得，即。 因此法向量的夾角余弦值：。 很明顯，這是一個(gè)鈍角，故而可得余弦為。 19．（12分） 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其

14、尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是

15、否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． 解：（1） 由題意可得，X滿足二項(xiàng)分布， 因此可得 （2） 由（1）可得，屬于小概率事件， 故而如果出現(xiàn)的零件，需要進(jìn)行檢查。 由題意可得， 故而在范圍外存在9.22這一個(gè)數(shù)據(jù)，因此需要進(jìn)行檢查。 此時(shí)：， 。 20.（12分） 已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的

16、斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn). 解：（1） 根據(jù)橢圓對(duì)稱性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同時(shí)在橢圓上， P3（–1，），P4（1，）一定同時(shí)在橢圓上， 因此可得橢圓經(jīng)過(guò)P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）， 代入橢圓方程可得：， 故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。 （2）由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在， 不妨設(shè)直線P2A為：,P2B為：. 聯(lián)立， 假設(shè)，此時(shí)可得： ， 此時(shí)可求得直線的斜率為：， 化簡(jiǎn)可得，此時(shí)滿足。 當(dāng)時(shí)，AB兩點(diǎn)重合，不合題意。 當(dāng)時(shí)，直線方程為：， 即，當(dāng)時(shí)，，因此直線恒過(guò)定點(diǎn)。 21.（12分） 已知函數(shù)a

17、e2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 解： （1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得。 當(dāng)時(shí)，恒成立，故而函數(shù)恒遞減 當(dāng)時(shí)，，故而可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 （2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故而可得，此時(shí)函數(shù)有極小值， 要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，亦即極小值小于0， 故而可得，令， 對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即可得到，故而函數(shù)恒遞增， 又，， 因此可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的范圍為。 （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲

18、線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a. 解： 將曲線C 的參數(shù)方程化為直角方程為，直線化為直角方程為 （1）當(dāng)時(shí)，代入可得直線為，聯(lián)立曲線方程可得：， 解得或，故而交點(diǎn)為或 （2）點(diǎn)到直線的距離為， 即：， 化簡(jiǎn)可得， 根據(jù)輔助角公式可得， 又，解得或者。 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍. 解： 將函數(shù)化簡(jiǎn)可得 （1） 當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)圖像可得的范圍在F和G點(diǎn)中間， 聯(lián)立可得點(diǎn)，因此可得解集為。 （2） 即在內(nèi)恒成立，故而可得恒成立， 根據(jù)圖像可得：函數(shù)必須在之間，故而可得。