《復變函數(shù)》考試試題與答案各種總結-

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1、《復變函數(shù)》考試試題（一） 一、 判斷題（20分）： 1.若f(z)在z0的某個鄰域內可導，則函數(shù)f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函數(shù)必在整個復平面為常數(shù). ( ) 3.若收斂，則與都收斂. ( ) 4.若f(z)在區(qū)域D內解析，且，則（常數(shù)）. ( ) 5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內可以展開為冪級數(shù). ( ) 6.若z0是的m階

2、零點，則z0是1/的m階極點. ( ) 7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點. ( ) 8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內的單葉函數(shù)，則. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內解析, 則對D內任一簡單閉曲線C. ( ) 10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內的某個圓內恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內恒等于常數(shù).（ ） 二.填空題（20分） 1、 __________.（為自然數(shù)） 2

3、. _________. 3.函數(shù)的周期為___________. 4.設，則的孤立奇點有__________. 5.冪級數(shù)的收斂半徑為__________. 6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是__________. 7.若，則______________. 8.________，其中n為自然數(shù). 9. 的孤立奇點為________ . 10.若是的極點，則. 三.計算題（40分）： 1. 設，求在內的羅朗展式. 2. 3. 設，其中，試求 4. 求復數(shù)的實部與虛部. 四. 證明題.(20分) 1. 函數(shù)在區(qū)域內解析. 證明：如果在內為常數(shù)，那么

4、它在內為常數(shù). 2. 試證: 在割去線段的平面內能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值. 《復變函數(shù)》考試試題（一）參考答案 一． 判斷題 1．2．√?。常獭。矗獭。担?　6．√　７．８．９．10． 二．填空題 1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 1 6. 整函數(shù)； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. . 三．計算題. 1. 解 因為 所以 . 2. 解 因為 , . 所以. 3. 解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有

5、在內, . 所以. 4. 解 令, 則 . 故 , . 四. 證明題. 1. 證明 設在內. 令. 兩邊分別對求偏導數(shù), 得 因為函數(shù)在內解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? . 消去得, . 1) 若, 則 為常數(shù). 2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , . 所以. (為常數(shù)). 所以為常數(shù). 2. 證明的支點為. 于是割去線段的平面內變點就不可能單繞0或1轉一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到 時, 只有的幅角增加. 所以 的幅角共增

6、加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故. 《復變函數(shù)》考試試題（二） 一. 判斷題.（20分） 1. 若函數(shù)在D內連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內連續(xù). ( ) 2. cos z與sin z在復平面內有界. ( ) 3. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 有界整函數(shù)必為常數(shù).

7、 ( ) 5. 如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在. ( ) 6. 若函數(shù)f(z)在z0可導，則f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在區(qū)域D內解析, 則對D內任一簡單閉曲線C. ( ) 8. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內解析，則|f(z)|也在D內解析. ( ) 10. 存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且. (

8、 ) 二. 填空題. (20分) 1. 設，則 2.設，則________. 3. _________.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為__________ . 5. 若z0是f(z)的m階零點且m>0，則z0是的_____零點. 6. 函數(shù)ez的周期為__________. 7. 方程在單位圓內的零點個數(shù)為________. 8. 設，則的孤立奇點有_________. 9. 函數(shù)的不解析點之集為________. 10. . 三. 計算題. (40分) 1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式. 2. 在復平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內

9、取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值. 3. 計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓. 4. 求 . 四. 證明題. (20分) 1. 設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內解析，試證：f(z)在D內為常數(shù)的充要條件是在D內解析. 2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理. 《復變函數(shù)》考試試題（二）參考答案 一. 判斷題. 1．√ ２．３．√ ４．√ ５．6．７．８．√ ９．10．. 二. 填空題 1.1，， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. . 6. ，. 7. 0； 8.

10、 ； 9. ； 10. 0. 三. 計算題 1. 解 . 2. 解 令. 則. 又因為在正實軸去正實值，所以. 所以. 3. 單位圓的右半圓周為, . 所以. 4. 解 =0. 四. 證明題. 1. 證明 (必要性) 令,則. (為實常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內解析. (充分性) 令, 則 , 因為與在內解析, 所以 , 且. 比較等式兩邊得 . 從而在內均為常數(shù),故在內為常數(shù). 2. 即要證“任一 次方程 有且只有 個根”. 證明 令, 取, 當在上

11、時, 有 . . 由儒歇定理知在圓 內, 方程 與 有相 同個數(shù)的根. 而 在 內有一個 重根 . 因此次方程在 內有 個根. 《復變函數(shù)》考試試題（三） 一. 判斷題. (20分). 1. cos z與sin z的周期均為. ( ) 2. 若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù). ( )

12、 4. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( ) 5. 若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內解析且在D內的某個圓內恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內為常數(shù). ( ) 6. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內可導. ( ) 7. 如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則 . （ ） 8. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的

13、某個鄰域內可以展開為冪級數(shù). ( ) 9. 若z0是的m階零點, 則z0是1/的m階極點. ( ) 10. 若是的可去奇點，則. ( ) 二. 填空題. (20分) 1. 設，則f(z)的定義域為___________. 2. 函數(shù)ez的周期為_________. 3. 若，則__________. 4. ___________. 5. _________.（為自然數(shù)） 6. 冪級數(shù)的收斂半徑為__________. 7. 設，則f(z)的孤立奇點有__________. 8. 設，則. 9.

14、 若是的極點，則. 10. . 三. 計算題. (40分) 1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內展為Laurent級數(shù). 2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑. 3. 算下列積分：，其中是. 4. 求在|z|<1內根的個數(shù). 四. 證明題. (20分) 1. 函數(shù)在區(qū)域內解析. 證明：如果在內為常數(shù)，那么它在內為常數(shù). 2. 設是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當時 ， 證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。 《復變函數(shù)》考試試題（三）參考答案 一. 判斷題 1． ２．３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√. 二.填

15、空題. 1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ; 6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. . 三. 計算題. 1. 解 . 2. 解 . 所以收斂半徑為. 3. 解 令 , 則 . 故原式. 4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內, 方程只有一個根. 四. 證明題. 1. 證明 證明 設在內. 令. 兩邊分別對求偏導數(shù), 得 因為函數(shù)在內解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)?

16、. 消去得, . 1) , 則 為常數(shù). 2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , . 所以. (為常數(shù)). 所以為常數(shù). 2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù). 《復變函數(shù)》考試試題（四） 一、 判斷題（24分） 1. 若函數(shù)在解析，則在的某個領域內可導.（ ） 2. 若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（ ） 3. 如果是的可去奇點，則一定存在且等于零.（ ） 4. 若函數(shù)是區(qū)域內的單葉函數(shù)，則.（ ） 5. 若函數(shù)是區(qū)域內的

17、解析函數(shù)，則它在內有任意階導數(shù).（ ） 6. 若函數(shù)在區(qū)域內的解析，且在內某個圓內恒為常數(shù)，則在區(qū)域內恒等于常數(shù).（ ） 7. 若是的階零點，則是的階極點.（ ） 二、 填空題（20分） 1. 若，則___________. 2. 設，則的定義域為____________________________. 3. 函數(shù)的周期為______________. 4. _______________. 5. 冪級數(shù)的收斂半徑為________________. 6. 若是的階零點且，則是的____________零點. 7. 若函數(shù)在整個復平面處處解析，則稱它是_______

18、_______. 8. 函數(shù)的不解析點之集為__________. 9. 方程在單位圓內的零點個數(shù)為___________. 10. _________________. 三、 計算題（30分） 1、 求. 2、 設，其中，試求. 3、設，求. 4、求函數(shù)在內的羅朗展式. 5、求復數(shù)的實部與虛部. 6、利用留數(shù)定理計算積分：，. 四、 證明題（20分） 1、方程在單位圓內的根的個數(shù)為7. 2、若函數(shù)在區(qū)域內解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù). 3、 若是的階零點，則是的階極點. 五、 計算題（10分） 求一個單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤

19、 《復變函數(shù)》考試試題（四）參考答案 一、判斷題：1.√ 2. √ 3. 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計算題： 1. 解： 2. 解： 因此 故 . 3. 解： 因此 4. 解： 由于，從而.

20、 因此在內 有 5．解：設, 則. 6.解：設，則， ，故奇點為 . 四、證明題： 1. 證明：設 則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理知在內與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而在內的零點個數(shù)為7，故在單位圓內的根的個數(shù)為7. 2.證明：設，則 已知在區(qū)域內解析，從而有 將此代入上上述兩式得 因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù). 3.證明：由于是的階零點，從而可設 ， 其中在的某鄰域內解析且， 于是 由可

21、知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點. 五、計算題 解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關于實軸的對稱點應該變到關于圓周的對稱點，故可設 《復變函數(shù)》考試試題（五） 一、判斷題（20分） 1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（ ） 2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（ ） 3、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ） 4、若函數(shù)是區(qū)域內解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（ ） 5、若函數(shù)是區(qū)域內的解析函數(shù)，則它在內有任意階導數(shù).（ ） 6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內的每一點均可導，則它在內有任意階導數(shù).（ ） 7、若函數(shù)在區(qū)域內解析且

22、，則在內恒為常數(shù).（ ） 1. 存在一個在零點解析的函數(shù)使且.（ ） 2. 如果函數(shù)在上解析，且，則.（ ） 3. 是一個有界函數(shù).（ ） 二、填空題（20分） 1、若，則___________. 2、設，則的定義域為____________________________. 3、函數(shù)的周期為______________. 4、若，則_______________. 5、冪級數(shù)的收斂半徑為________________. 6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為______________________________. 7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則____________

23、__. 8、函數(shù)的不解析點之集為__________. 9、方程在單位圓內的零點個數(shù)為___________. 10、若，則的孤立奇點有_________________. 三、計算題（30分） 1、求 2、設，其中，試求. 3、設，求. 4、求函數(shù)在內的羅朗展式. 5、求復數(shù)的實部與虛部. 四、證明題（20分） 1、方程在單位圓內的根的個數(shù)為7. 2、若函數(shù)在區(qū)域內連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內連續(xù). 1、 若是的階零點，則是的階極點. 一、 計算題（10分） 求一個單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤. 《復變函數(shù)》考試試題（五）參考答案 一、判斷

24、題：1.√ 2. 3. √ 4. 5.√ 6.√ 7. √ 8. 9. √ 10. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、計算題： 1. 解：由于在解析， 所以 而 因此. 2. 解： 因此 故 . 3. 解： 因此 4.解： 由于，從而 因此在內有 5．解：設, 則.

25、 6．解：設, 則 在內只有一個一級極點 因此 . 四、證明： 1. 證明：設 則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理知在內與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而在內的零點個數(shù)為7，故在單位圓內的根的個數(shù)為7 2. 證明：因為，在內連續(xù), 所以, 當時有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內連續(xù) 3.證明：由于是的階零點，從而可設 ， 其中在的某鄰域內解析且， 于是 由可知存在的某鄰域，在內恒有，

26、因此在內解析，故為的階極點. 五、解：1.設，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域 2.設, 則將上半平面保形變換為單位圓. 因此所求的單葉函數(shù)為 《復變函數(shù)》考試試題（六） 一、判斷題（40分）： 1、若函數(shù)在解析，則在的某個鄰域內可導.（ ） 2、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ） 3、若函數(shù)在內連續(xù)，則與都在內連續(xù).（ ） 4、與在復平面內有界.（ ） 5、若是的階零點，則是的階極點.（ ） 6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（ ） 7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點.（ ） 8、若在單連通區(qū)域內解析，則對內任一簡單閉曲線都有.（ ） 9、若

27、函數(shù)是單連通區(qū)域內的解析函數(shù)，則它在內有任意階導數(shù).（ ） 10、若函數(shù)在區(qū)域內解析，且在內某個圓內恒為常數(shù)，則在區(qū)域內恒等于常數(shù).（ ） 二、填空題（20分）： 1、函數(shù)的周期為_________________. 2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_________________. 3、設，則的定義域為_________________. 4、的收斂半徑為_________________. 5、=_________________. 三、計算題（40分）： 1、 2、求 3、 4、設 求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復平面內的區(qū)域）. 5、求，在內根的個數(shù) 《復變

28、函數(shù)》考試試題（六）參考答案 一、判斷題（40分）： 1.√ 2. √ 3.√ 4. 5. √ 6. 7. √ 8. √ 9. √ 10. √ 二、填空題（20分）： 1. 2. 3. 4. 5. 三、計算題（40分） 1. 解：在上解析，由積分公式，有 2. 解：設，有 3. 解： 4. 解：， 故， 5. 解：令， 則，在內均解析，且當時 由定理知根的個數(shù)與根的個數(shù)相同. 故在內僅有一個根. 《復變

29、函數(shù)》考試試題（七） 一、 判斷題。（正確者在括號內打√，錯誤者在括號內打，每題2分） 1．設復數(shù)及，若或，則稱與是相等的復數(shù)。（ ） 2．函數(shù)在復平面上處處可微。 （ ） 3．且。 （ ） 4．設函數(shù)是有界區(qū)域內的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對任意的，有。 （ ） 5．若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（ ） 二、填空題。（每題2分） 1． _____________________。 2．設，且，當時，________________。 3．若已知，則其關于變量的表達式為__________。 4．以__

30、______________為支點。 5．若，則_______________。 6．________________。 7．級數(shù)的收斂半徑為________________。 8．在（為正整數(shù)）內零點的個數(shù)為_______________。 9．若為函數(shù)的一個本質奇點，且在點的充分小的鄰域內不為零，則是的________________奇點。 10．設為函數(shù)的階極點，則_____________________。 三、計算題（50分） 1．設區(qū)域是沿正實軸割開的平面，求函數(shù)在內滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。 （10分） 2．求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指

31、出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分） （1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點，并求這些點的留數(shù) （10分） （2）求。 （5分） 3．計算下列積分。（15分） （1） （8分）， （2） （7分）。 4．敘述儒歇定理并討論方程在內根的個數(shù)。（10分） 四、證明題（20分） 1．討論函數(shù)在復平面上的解析性。 （10分） 2．證明： 。 此處是圍繞原點的一條簡單曲線。（10分） 《復變函數(shù)》考試試題（七）參考答案 一、判斷題. 1. 2. 3. 4.

32、 √ 5. 二、填空題. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.本性 10. 三、計算題. 1.解： 由 得 從而有 2.解：（1）的各解析分支為，. 為的可去奇點，為的一階極點。 （2） 3.計算下列積分 解：（1） （2）設 令， 則 4.儒歇定理：設是一條圍線，及滿足條件： （1）它們在的內部均解析，且連續(xù)到； （2）在上， 則與在的內部有同樣多零點， 即 有 由儒歇定理知在沒有根。 四、證明題 1證明：.設 有 易知，在任意點都不滿足條件，故在復平面上處處不解析。 2.證明：于高階導數(shù)公式得 即 故 從而