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1、第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 【 重、難點 】 重點 ：基本初等函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，由復 習高中所學的五類函數(shù)引出 . 難點 ：復合函數(shù)的復合過程，由實例講解方法 . 【 授課時數(shù) 】 總時數(shù) ： 4學時 . 【 學習目標 】 1、會求初等函數(shù)和分段函數(shù)的定義域、值域， 會判斷函數(shù)的特性； 2、會建立簡單實際問題的函數(shù)關系 . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 一、函數(shù)的基本概念 引例 求圓內(nèi)接正多邊形的周長 nnrS n s i n2 ,5,4,3n 3S 5 S4S 6S 圓內(nèi)接正 n 邊形 O r n 解 第一章 極限與連續(xù)
2、 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) .)(, 000 函數(shù)值處的為函數(shù)在點稱時當 xxfDx .),( 值域稱為該函數(shù)的 函數(shù)值全體組成的數(shù)集 DxxfyyM 按照 某 一 法則 變量 y 總有 確定的數(shù)值和它對應，則稱 y 是 x 的 函數(shù) ，記作 定義 設 x 和 y 是兩個變量 , D 是一個給定的數(shù)集， 數(shù)集 D叫做這個函數(shù)的 定義域 如果對于每個數(shù) Dx , 因變量 自變量 )( xfy 對應法則 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 函數(shù)的兩要素 : 定義域 與 對應法則 . 定義域的求法 : 21 xy 例如， 1,1D 21: tStS 滿足和時
3、間又如，位移 1,0D 法則分別相同 . (數(shù)學意義 ) (實際意義 ) 兩個函數(shù)相等的充要條件 : 它們的定義域和對應 函數(shù)的定義域是指自變量所能取的 使算式有數(shù)學 (或?qū)嶋H )意義的一切實數(shù)值 . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 定義 : .)( ),(),( 的圖形函數(shù) 稱為點集 xfy DxxfyyxC o x y ),( yx x y D 如果自變量在定義 域內(nèi)任取一個數(shù)值時， 對應的函數(shù)值總是只有 一個，這種函數(shù)叫做單 值函數(shù)，否則叫與多值 函數(shù) 例如， 222 ayx M )( xfy 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 二
4、、函數(shù)的特性 M -M y x o y=f(x) X 有界 無界 M -M y x o X 0 x ,)(,0, 成立有若 MxfXxMDX 1.函數(shù)的有界性 .)( 否則稱無界上有界在則稱函數(shù) Xxf 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 2.函數(shù)的單調(diào)性 ,)( DIDxf 區(qū)間的定義域為設函數(shù) , 2121 時當及上任意兩點如果對于區(qū)間 xxxxI ;)( 上是單調(diào)增加的在區(qū)間則稱函數(shù) Ixf ),()()1( 21 xfxf 恒有 )(xfy )( 1xf )( 2xf x y o I 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) )(xfy )
5、( 1xf )( 2xf x y o I ;)( 上是單調(diào)減少的在區(qū)間則稱函數(shù) Ixf ,)( DIDxf 區(qū)間的定義域為設函數(shù) , 2121 時當及上任意兩點如果對于區(qū)間 xxxxI ),()()2( 21 xfxf 恒有 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 3.函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 有對于關于原點對稱設 , DxD )()( xfxf y x )( xf )( xfy o x -x )(xf ;)( 為偶函數(shù)稱 xf 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 有對于關于原點對稱設 , DxD )()( xfxf ;)( 為奇函數(shù)稱 xf 奇函數(shù)
6、 )( xf y x )(xf o x -x )( xfy 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 4.函數(shù)的周期性 （通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正 周期 ） . 2l 2l23l 23l ,)( Dxf 的定義域為設函數(shù) 如果存在一個不為零的 )()( xflxf 且 為周則稱 )( xf .)(, DlxDxl 使得對于任一數(shù) .)(, 的周期稱為期函數(shù) xfl.恒成立 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 三、反函數(shù) 0 x 0y 0 x 0y x y D M )( xfy 函數(shù) o x y D M )( yx 反函數(shù) o 第一章 極限與
7、連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) )( xfy 正函數(shù) x y o ),( abQ ),( baP )(1 xfy 反函數(shù) 正 函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線 對稱 . xy 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 四、基本初等函數(shù) 1、 冪函數(shù) )( 是常數(shù) xy o x y )1,1( 1 12yx xy xy 1 xy 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 2、指數(shù)函數(shù) )1,0( aaay x xay x ay ) 1( )1( a )1,0( xye 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 3、對數(shù)函數(shù) )
8、1,0(l o g aaxy a xy alo g xy a 1lo g )1( a)0,1( xy ln 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 4、三角函數(shù) 正弦函數(shù) xy sin xy si n 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) xy cos xy c o s余弦函數(shù) 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 正切函數(shù) xy ta n xy tan 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) xy co t余切函數(shù) xy co t 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 正割函數(shù)
9、 xy s e c xy se c 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) xy c s c余割函數(shù) xy csc 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 5、 反三角函數(shù) xy a r c si n xy a r c s i n反正弦函數(shù) 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) xy a r c c o s xy a r c c o s反余弦函數(shù) 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) xy a r ct a n xy a r c t a n反正切函數(shù) 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題
10、一 函數(shù) 冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù) 和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為 基本初等函數(shù) 。 xy c o t反余切函數(shù) arc xy co tarc 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 0,1 0,12)(, 2 xx xxxf例如 12 xy12 xy 在自變量的不同變化范圍中 , 對應法則用不同的 式子來表示的一個函數(shù)，稱為分段函數(shù)。 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 例 1 脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖 ,其波形如圖 所示 ,寫出電壓 U與時間 的函數(shù)關系式 . )0( tt 解 U to E ),2( E )0,( 2 ,2,0 時當 t
11、 tEU 2 ;2 tE 單三角脈沖信號的電壓 ,2( 時當 t ),( 2 00 tEU )(2 tEU即 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) ,),( 時當 t .0U 其表達式為 是一個分段函數(shù) ,)( tUU ),(,0 , 2 (),( 2 2 ,0, 2 )( t tt E tt E tU U to E ),2( E )0,( 2 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 例 2 .)3(,212 101)( 的定義域求函數(shù)設 xf x xxf 解 2312 1301)3( x xxf 212 101)( x xxf 122 231 x
12、 x 1,3 fD 故 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 思考題 設 0 x ，函數(shù)值 21) 1 ( xx x f ， 求函數(shù) )0()( xxfy 的解析表達式 . )11(1)(: 2x x xf 答案 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 練 習 題 填空題 : 1 、 若 2 2 51 t tt f , 則 _ _ _ _ _)( tf , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1( 2 tf . 2 、 若 3 ,s i n3 3 ,c os1 )( xx xx x , 則 ) 6 ( =_ _ _ _ ， ) 3 2
13、( =_ _ _ _ . 2 25 tt 22 2 )1( 2)1(5 tt 2 31 233 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 五、復合函數(shù) 1、復合函數(shù)的定義 ,uy 設 21 xu 21 xy 定義 : 設函數(shù) )( ufy 的定義域 fD , 而函數(shù) )( xu 的值域為 M , 若 MD f , 則稱函數(shù) )( xfy 是由 )( ufy 和 )( xu 復合 而 成 的 函數(shù) ， 簡 稱 為 x 的 復合函數(shù) . ,自變量x ,中間變量u ,因變量y 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 例 3 解 MD f 且 ),21,1 M
14、D f 判斷下列兩個函數(shù)能否復合成一個復合 函數(shù) 22,a r c s i n.1 xuuy 22,a r c s i n xuuy 不能復合 為一個復合函數(shù)。 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 例 3 解 1,0(MD f 且 ,1,(),0( MD f 判斷下列兩個函數(shù)能否復合成一個復合 函數(shù) 21,ln.2 xuuy 21,ln xuuy 復合為一個復 合函數(shù) )1l n ( 2xy ，定義域是 )1,1( . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 思考題 判斷下列兩個函數(shù)能否復合成一個復 合函數(shù) 1,ln.1 2 xuuy xvy u
15、 a r c t a n2,2.2 ( ) ( ) 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 注意 : 1. 不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個 復合函數(shù)的 ; 是由例如 2c o t xy ,yu c o t ,uv .2 xv 3.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過 復合構成 . 2 復合函數(shù) )( xfy 的定義域是它 的簡單函數(shù) )( xu 定義域的子集； 復合而成 . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 1.解 uy s in是由2s in xy 例 4 指出下列復合函數(shù)的復合過程 ,并求 它的定義域 2s in.1 xy 2xu 和 ，復合
16、而成的 .),( 定義域是 xy 2s in.2 2.解 2uy 是由xy 2s in xu s in和 ，復合而成的 .),( 定義域是 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 3.解 uey 是由 例 4 指出下列復合函數(shù)的復合過程 ,并求 它的定義域 xxey 2s i n3 2.3 ,s in3, vu xxw 22 和 ).,20,( 定義域是 xxey 2s i n 2 wv ，復合而成的 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 1. 復合函數(shù)分解為常數(shù)與基本初等函數(shù) 的簡單四則運算式（稱為簡單函數(shù)）時，不 用再分解了 , 復合函數(shù)分解到
17、何時才結束呢 ? 應該注意 : 2. 簡單函數(shù)與復合函數(shù)之間并沒有明確 的劃分界限 . xy ln例如 ，是復合函數(shù) .ln21 是簡單函數(shù)但 xy ;22 xxw 如 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 填空題 : 1 、 xxy t a n3 是由 y 和 u 復合 而成 . 2 、 )1s i n2(l o g3 5 xy 是 由 y , u 和 v 復合而成 . 練習題 1 、 xxy t a n3 是由 uy 3 和 xxu t a n 復合而 成 . 2 、 )1s i n2(l o g3 5 xy 是 uy 5l o g3 , 1s i n2 vu 和
18、xv 復合而成 . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 六、初等函數(shù) 1、初等函數(shù)的定義 定義 : 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四 則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可 用 一個式子表示 的函數(shù) ,稱為 初等函數(shù) . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 例 5 判斷下列函數(shù)是否是初等函數(shù) 2.1 y ( ) xy s in.2 ( ) )3(c o s2.3 23 xy ( ) xxexy c o ss in2.4 ( ) |.5 xy ( ) 2xy 0,c o s 0,s in .6 2 xxx xxx y ( ) )0(.7 s i
19、 n xxy x (冪指函數(shù) ) ( ) 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) (1)分段函數(shù)不一定是初等函數(shù) ; 2、說明 (2)今后一般在初等函數(shù)范圍內(nèi)研究函數(shù) . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 七、建立函數(shù)關系 函數(shù)關系可以說是一種變量相依關系的數(shù)學 模型數(shù)學模型方法是處理科學理論問題的一種經(jīng) 典方法，也是處理各類實際問題的一般方法掌握 數(shù)學模型方法是非常必要的在此，對數(shù)學模型方 法作一簡述 數(shù)學模型方法（ M athem atic al Mo del ing) 稱為 MM 方法它是針對所考察的問題構造出相應的數(shù) 學模型，通過對數(shù)學
20、模型的研究，使問題得以解決 的一種數(shù)學方法 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 數(shù)學模型是針對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了一 個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化和 假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，采用形式化語言，概括或近 似地表述出來的一種數(shù)學結構它或者能解釋特定對象的 現(xiàn)實性態(tài)，或者能預測對象的未來狀態(tài)，或者能提供處理 對象的最優(yōu)決策或控制數(shù)學模型既源于現(xiàn)實又高于現(xiàn)實， 不是實際原形，而是一種模擬，在數(shù)值上可以作為公式應 用，可以推廣到與原物相近的一類問題，可以作為某事物 的數(shù)學語言，可譯成算法語言，編寫程序 使用 計算機 計算 . 1.數(shù)學模型的含義 第
21、一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 建立一個實際問題的數(shù)學模型，需要一定的洞察力和想像 力，篩選、拋棄次要因素，突出主要因素，做出適當?shù)某橄蠛?簡化全過程一般分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，并 且通過這些階段完成從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型，再從數(shù)學模型到 現(xiàn)實對象的循環(huán)可用流程圖表示如下： 2.數(shù)學模型的建立過程 數(shù)學模型的解答 數(shù)學模型 表達 （歸納） 驗證 （檢驗） 解釋 （實際解答） （演繹） 求解 現(xiàn)實對象 現(xiàn)實對象的信息 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 表述 根據(jù)建立數(shù)學模型的目的和掌握的信息，將實際 問題翻譯成數(shù)學問題，用數(shù)學語言
22、確切地表述出來 . 這是一個關鍵的過程，需要對實際問題進行分析，甚至 要做調(diào)查研究，查找資料，對問題進行簡化、假設、數(shù)學抽 象，運用有關的數(shù)學概念、數(shù)學符號和數(shù)學表達式去表現(xiàn)客 觀對象及其關系如果現(xiàn)有的數(shù)學工具不夠用時，可根據(jù)實 際情況，大膽創(chuàng)造新的數(shù)學概念和方法去表現(xiàn)模型 求 解 選擇適當?shù)姆椒ǎ蟮脭?shù)學模型的解答 解釋 數(shù)學解答翻譯回現(xiàn)實對象，給實際問題的解答 驗證 檢驗解答的正確性 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 例 6 某罐頭廠要生產(chǎn)容積為 V （ cm 3 ）的圓柱 形罐頭盒，將它的表面積表示成底半徑的函數(shù)， 并確定它的定義域 . 解 設圓柱的底半徑為
23、r ，高為 h ，表面積為 A . 因為 hrV 2 ，于是 2r V h ，根據(jù)圓柱表面積公 式有 rhrA 22 2 ，所以有 r V rA 2 2 2 . 其定 義域為 ,0 . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 例 7 曲柄連桿機構如圖所示，當曲柄 OC （定長 為 r ）繞 O 點以等角速度 旋轉(zhuǎn)時，連桿 BC （定長 為 l ) 繞滑塊 B 擺動，帶動滑塊 B 作往復直線運動， 求： （ 1 ）擺角 的運動規(guī)律 （ 2 ）滑塊 B 作往復直線運動的運動規(guī)律 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 解 假定曲柄 O C 開始作旋轉(zhuǎn)運動
24、時， C 在 D 處 . 設 連桿 BC 擺動規(guī)律為 )( t ， 滑塊 B 的運動規(guī)律為 )( tss . 如 圖， 在 B C O 中，由正弦定理得 t lr s i ns i n ，于是有 )s i na r c s i n ( t l r ， ),0 t . 又 S = O E + E B trOE c o s , trCE s i n . 在 B C ERt 中 , trlEB 222 s i n ，從而可得滑塊 B 的運動規(guī)律為 trltrS 222 s i nc o s ， ),0 t . 第一章 極限與連續(xù) 四川職業(yè)技術學院數(shù)學教研室 課題一 函數(shù) 通過本課題學習，學生應該達到： 1. 會求函數(shù)的函數(shù)值、定義域、值域； 2. 會判斷函數(shù)的特性和作簡單函數(shù)圖象； 3. 會寫出復合函數(shù)的復合過程； 4. 會建立一些簡單實際問題的函數(shù)關系 . 【 課后練習 】 1 P001 習題 1-1(一 )； 2 P001 習題 1-1(二 )。 【 授課小結 】
重難點重點基本初等函數(shù)的定義圖象和性質(zhì)由復
