電磁場與電磁波理論第1章

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1、1-1 第 1章 矢 量 分 析 與 場 論I 1.1 矢 量 的 代 數(shù) 運 算I 1.2 場 的 微 分 運 算I 1.3 矢 量 的 恒 等 式 和 基 本 定 理I 1.4 常 用 正 交 曲 線 坐 標 系I 三 種 常 用 的 正 交 坐 標 系I 物 理 量 的 分 類I 主 要 內(nèi) 容 I 基 本 要 求 1-2 主 要 內(nèi) 容 電 磁 理 論 的 一 個 重 要 的 概 念 就 是 關(guān) 于 場 的 概 念 。 此外 ， 有 很 多 物 理 量 都 是 矢 量 ， 一 些 用 來 描 述 電 磁 現(xiàn) 象 基本 規(guī) 律 的 方 程 也 都 是 矢 量 函 數(shù) 的 微 分 方 程

2、或 積 分 方 程 。因 此 ， 矢 量 分 析 和 場 論 是 電 磁 理 論 的 重 要 的 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ) 。本 章 僅 討 論 在 電 磁 理 論 中 所 需 要 的 矢 量 分 析 與 場 論 中 的基 本 內(nèi) 容 ， 包 括 矢 量 的 基 本 代 數(shù) 運 算 和 場 量 的 梯 度 、 散度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 運 算 以 及 矢 量 場 的 恒 等 式 和 基 本 定理 。 最 后 ， 還 給 出 了 三 種 常 用 坐 標 系 及 其 梯 度 、 散 度 、旋 度 等 算 子 在 這 三 種 坐 標 系 中 的 表 示 式 。 1-3 基 本 要 求 掌 握 矢

3、量 和 場 的 基 本 概 念 ； 掌 握 矢 量 的 代 數(shù) 運 算 和 場 量 的 梯 度 、 散 度 、 旋 度以 及 拉 普 拉 斯 運 算 ； 了 解 矢 量 分 析 過 程 中 所 需 的 恒 等 式 和 基 本 定 理 。 1-4 I 直 角 坐 標 系I 圓 柱 坐 標 系 I 球 面 坐 標 系I 幾 點 說 明三 種 常 用 的 正 交 坐 標 系 1-5 直 角 坐 標 系 直 角 坐 標 系 的 坐 標 直 角 坐 標 系 的 方 向 矢 量 1-6 圓 柱 坐 標 系 圓 柱 坐 標 系 的 坐 標 圓 柱 坐 標 系 的 方 向 矢 量 1-7 球 面 坐 標 系

4、球 面 坐 標 系 的 坐 標 球 面 坐 標 系 的 方 向 矢 量 1-8 幾 點 說 明 ： 廣 義 坐 標 系 （ 方 向 單 位 矢 量 ） 廣 義 柱 坐 標 系 （ 方 向 單 位 矢 量 ） 不 同 坐 標 系 中 的 長 度 元 、 面 積 元 和 體 積 元 。 線 積 分 或 、 面 積 分 或 和 體 積 分 。 不 隨 位 置 坐 標 而 改 變 。 隨 著 位 置 坐 標 的 改 變 而 改 變 。 三 種 常 用 的 正 交 坐 標 系 的 相 互 轉(zhuǎn) 換 （ 坐 標 的 轉(zhuǎn) 換 和 方 向 矢 量 的 轉(zhuǎn) 換 ） 。 1-9 物 理 量 的 分 類物 理 量與

5、位 置 無 關(guān) 的 量 與 位 置 有 關(guān) 的 量（ 場 量 ）時 間 、 長 度 、重 量 標 量 場（ 只 有 大 小 ） 矢 量 場（ 大 小 +方 向 ） 溫 度 、 濕 度 、電 位 速 度 、 電 場 、磁 場 標 量 場 矢 量 場 1-10 1.1 矢 量 的 代 數(shù) 運 算I 1.1.1 矢 量 與 矢 量 的 表 示 法I 1.1.2 矢 量 的 代 數(shù) 運 算 1-11 1.1.1 矢 量 與 矢 量 的 表 示 法 I 1. 矢 量 與 單 位 矢 量I 2. 矢 量 表 示 法I 3. 位 置 矢 量 與 距 離 矢 量 1-12 1.矢 量 與 單 位 矢 量（ 1

6、.1.1） 單 位 矢 量 模 等 于 1的 矢 量 叫 做 單 位 矢 量 。 （ 1.1.2） 矢 量 在 三 維 空 間 中 的 一 根 有 方 向 的 線 段 。 該 線 段 的 長 度 代 表 該 矢 量 的 模 ， 該 線 段 的 方 向 代 表 該 矢 量 的 方 向 矢 量 的 大 小矢 量 的 方 向 的 單 位 矢 量 矢 量 的 三 個 分 量 ， 即 矢 量 在 三 個 坐 標 上 的 投 影1-13 在 直 角 坐 標 系 中 矢 量 的 表 示 （ 1.1.3）（ 1.1.4）2.矢 量 表 示 法 1-14 矢 量 的 方 向 余 弦 矢 量 的 方 向 的 單

7、位 矢 量 矢 量 與 三 個 坐 標 軸 之 間 的 夾 角 。 （ 1.1.5） 一 般 情 況 下 均 采 用 矢 量 的 方 向 的 單 位 矢 量 （ 方 向 余 弦 ） 來表 示 矢 量 的 方 向 ， 只 有 需 要 時 ， 才 需 要 用 到 矢 量 與 坐 標 軸的 夾 角 。 2.矢 量 表 示 法 1-15 例 如 ： 在 直 角 坐 標 系 中 有 一 個 矢 量矢 量 的 大 小矢 量 的 方 向與 三 個 坐 標 軸 的 夾 角 1-16 場 點 源 點 場 點 矢 徑 （ 位 置 矢 量 ） 源 點 矢 徑 （ 位 置 矢 量 ） 3. 位 置 矢 量 與 距 離

8、 矢 量 1-17 位 置 矢 量 由 坐 標 原 點 出 發(fā) 引 向 空 間 某 一 點 的 有 方 向線 段 ， 稱 為 該 點 的 位 置 矢 量 或 矢 徑 。 場 點 源 點 3. 位 置 矢 量 與 距 離 矢 量 1-18 距 離 矢 量 由 源 點 出 發(fā) 引 向 場 點 的 矢 量 稱 為 距 離 矢 量 。 距 離 距 離 的 方 向 矢 量 （ 1.1.13）3. 位 置 矢 量 與 距 離 矢 量 （ 1.1.15） 1-19 1.1.2 矢 量 的 代 數(shù) 運 算I 矢 量 與 矢 量 相 等I 1. 矢 量 與 標 量 的 乘 積I 2. 矢 量 加 法 和 減 法

9、I 3. 矢 量 的 標 量 積 和 矢 量 積I 直 角 坐 標 系 中 矢 量 的 代 數(shù) 運 算 1-20 矢 量 與 矢 量 相 等 一 個 矢 量 經(jīng) 平 移 后 所 得 到 的 新 矢 量 與 原 矢 量 相 等 。 在 直 角 坐 標 系 下 ， 兩 個 相 等 的 矢 量 必 有 相 等 的 坐 標 分 量 。 1-21 1. 矢 量 與 標 量 的 乘 積 （ 1.1.18）（ 1.1.19） 負 矢 量 與 原 矢 量 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 的 矢 量 。 已 給 矢 量 與 標 量 ， 若 矢 量 的 各 分 量 分 別 等 于矢 量 的 相 應(yīng) 分 量 與

10、 標 量 的 乘 積 ， 則 矢 量 稱 為矢 量 與 標 量 的 乘 積 ， 記 為 或 。 在 直 角 坐 標 系 下 1-22（ 1.1.20）（ 1.1.21） 2.矢 量 加 法 和 減 法 1-23 矢 量 加 法 滿 足 交 換 律 和 結(jié) 合 律 ， 矢 量 減 法 不 滿 足 交 換 律 。2.矢 量 加 法 和 減 法 1-24 直 角 坐 標 系 中 矢 量 加 法 和 減 法 只 有 矢 量 和 矢 量 之 間 才 能 進 行 相 加 減 。 （ 1.1.24）（ 1.1.25）2.矢 量 加 法 和 減 法 1-25 I 矢 量 的 標 量 積I 矢 量 的 矢 量

11、積I “ 右 手 法 則 ” 和 “ 右 手 螺 旋 法 則 ”I 標 量 積 和 矢 量 積 的 特 點I 標 量 積 和 矢 量 積 在 直 角 坐 標 系 中 的 計 算3.矢 量 的 標 量 積 和 矢 量 積 1-26 矢 量 的 標 量 積（ the dot product） 兩 個 矢 量 的 標 量 積 （ 點 積 ） 定 義 為 這 兩 個 矢 量 的 模 以 及 這兩 個 矢 量 之 間 夾 角 的 余 弦 三 者 的 乘 積 。 （ 1.1.26） 1-27 標 量 積 滿 足 交 換 律 和 分 配 律 。矢 量 的 標 量 積 1-28 矢 量 的 矢 量 積（ th

12、e cross product） 兩 個 矢 量 的 矢 量 積 （ 叉 積 ） 的 模 等 于 這 兩 個 矢 量 的 模 以及 這 兩 個 矢 量 之 間 夾 角 的 正 弦 三 者 的 乘 積 ， 而 方 向 垂 直于 兩 矢 量 所 構(gòu) 成 的 平 面 ， 其 指 向 按 “ 右 手 法 則 ” 來 確 定 。（ 1.1.29） 1-29 矢 量 積 只 滿 足 分 配 律 ， 不 滿 足 交 換 律 。矢 量 的 矢 量 積 1-30 “ 右 手 法 則 ” 和 “ 右 手 螺 旋 法 則 ” 1-31 標 量 積 和 矢 量 積 的 特 點 若 兩 個 矢 量 垂 直 ， 即 它

13、們 之 間 的 夾 角 為 90o ， 則 它 們 的 標量 積 等 于 零 ， 而 矢 量 積 最 大 ， 等 于 這 兩 個 矢 量 的 模 的 乘 積 ； 若 兩 個 矢 量 平 行 ， 即 它 們 之 間 的 夾 角 為 零 ， 則 矢 量 積 等 于零 ， 而 標 量 積 最 大 ， 等 于 這 兩 個 矢 量 的 模 的 乘 積 。 若 兩 個 非 零 矢 量 的 標 量 積 等 于 零 ， 則 這 兩 個 矢 量 必 相 互 垂直 ； 若 兩 個 非 零 矢 量 矢 量 積 等 于 零 ， 則 這 兩 個 矢 量 必 相 互 平 行 。 1-32 標 量 積 和 矢 量 積 在

14、直 角 坐 標 系 中 的 計 算 （ 1.1.33）（ 1.1.35） 標 量 積 和 矢 量 積 在 直 角 坐 標 系 中 的 計 算 可 以 利 用 分 配 率以 及 單 位 矢 量 的 關(guān) 系 直 接 計 算 1-33 1.2 場 的 微 分 運 算I 1.2.1 場 的 基 本 概 念I(lǐng) 1.2.2 標 量 場 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度I 1.2.3 矢 量 場 的 通 量 和 散 度I 1.2.4 矢 量 場 的 環(huán) 量 和 旋 度 1-34 1.2.1 場 的 基 本 概 念 若 某 空 間 中 的 每 一 個 點 都 對 應(yīng) 著 某 個 物 理 量 的 一 個 確 定

15、值 ， 就稱 在 該 空 間 中 定 義 了 這 個 物 理 量 的 場 或 函 數(shù) 。 若 這 個 物 理 量 是 標 量 ， 則 這 個 場 或 函 數(shù) 稱 為 標 量 場 或 標 量 函 數(shù) 。例 如 ， 一 幢 建 筑 物 內(nèi) 的 溫 度 分 布 、 一 個 區(qū) 域 內(nèi) 的 電 位 分 布 等 等 。 若 這 個 物 理 量 是 矢 量 ， 則 這 個 場 或 函 數(shù) 稱 為 矢 量 場 或 矢 量 函 數(shù) 。例 如 ， 某 河 流 區(qū) 段 內(nèi) 水 流 的 速 度 分 布 、 一 個 區(qū) 域 內(nèi) 電 場 強 度 的分 布 等 等 。 若 標 量 場 中 各 點 標 量 值 的 大 小

16、都 相 同 ， 則 稱 場 中 的 物 理 量 是 常數(shù) ； 若 矢 量 場 中 各 點 矢 量 的 大 小 和 方 向 都 相 同 ， 則 稱 場 中 的 物 理 量為 常 矢 。 若 場 中 的 物 理 量 在 各 點 所 對 應(yīng) 的 值 不 隨 時 間 而 變 化 ， 則 這 個 場稱 為 靜 態(tài) 場 或 恒 定 場 ； 否 則 ， 就 稱 為 時 變 場 。 1-35 標 量 場 的 等 值 面 函 數(shù) 均 取 相 同 值 的 曲 面 。 例 如 ， 靜 電場 中 的 等 位 面 。 在 三 維 空 間 中 ， 每 一 點 對 應(yīng) 著 也 僅 對應(yīng) 著 一 個 確 定 的 函 數(shù) 值

17、， 因 此 它 必 屬于 也 僅 屬 于 一 個 等 值 面 。 空 間 中 所 有 的 點 均 有 等 值 面 通 過 ， 所有 的 等 值 面 均 互 不 相 交 。 但 是 對 于 同 一 個 常 數(shù) 值 ， 可 以 有 多個 互 不 相 交 的 等 值 面 。 如 果 是 在 二 維 空 間 ， 函 數(shù) 均 取 相 同 值的 點 構(gòu) 成 就 是 一 條 條 的 等 值 線 ， 例 如山 體 的 等 高 線 就 是 一 種 常 用 的 等 值 線 。1.2.1 場 的 基 本 概 念 1-36 矢 量 場 的 矢 量 線 （ 通 量 線 ） 一 系 列 有 方 向 曲 線 。 線 上每

18、一 點 的 切 線 方 向 代 表 該 點 矢 量 場 方 向 ， 而 橫 向 的 矢 量 線密 度 代 表 該 點 矢 量 場 大 小 。 例 如 ， 電 場 中 的 電 力 線 、 磁 場中 的 磁 力 線 。 一 般 來 說 ， 矢 量 場 中 的 每 一 點 均 有一 條 矢 量 線 通 過 ， 所 以 矢 量 線 是 充滿 了 整 個 矢 量 場 所 在 的 空 間 。 矢 量 線 可 以 匯 聚 于 某 一 點 ， 但 是 不能 相 互 交 叉 。 矢 量 場 的 矢 量 線 所 滿 足 的 微 分 方 程 通 常 畫 的 是 矢 量 線 的 示 意 圖1.2.1 場 的 基 本

19、概 念 1-37 1.2.2 標 量 場 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 和 梯 度I 1. 標 量 場 的 方 向 導(dǎo) 數(shù)I 2. 標 量 場 的 梯 度I 3. 梯 度 的 基 本 公 式I 例 1.2.1 1-38 1. 標 量 場 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) （ 1.2.1） 其 中 方 向 導(dǎo) 數(shù) 空 間 某 一 點 的 標 量 場 沿 某 一 方 向 的 變 化 率 定義 為 該 標 量 場 在 該 點 沿 該 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) ， 即 1-39 根 據(jù) 求 導(dǎo) 法 則 ， 方 向 導(dǎo) 數(shù) 可 以 表 示 成 （ 1.2.2） 方 向 余 弦 該 方 向 上 的 單 位 矢 量 （ 1.2.

20、3）1. 標 量 場 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 1-40 對 比 兩 個 矢 量 的 標 量 積 （ 1.1.36） 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 另 一 種 表 示 形 式1. 標 量 場 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 標 量 函 數(shù) 在 空 間 給 定 點 沿 方 向 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 等于 該 點 的 梯 度 矢 量 在 該 方 向 上 的 投 影 。 1-412. 標 量 場 的 梯 度 （ 1.2.5）（ 1.2.6） 標 量 場 的 梯 度 大 小 等 于 標 量 函 數(shù)在 該 點 的 最 大 方 向 的 導(dǎo) 數(shù) 值 ， 方 向 指 向 使 函 數(shù) 值 增 加 最 快 的方 向 。 梯 度 的 表 示 哈

21、 密 頓 （ H amilton） 算 子 （ 讀 作 del） 1-42 直 角 坐 標 系 中 的 哈 密 頓 算 子 （ 1.2.7） 直 角 坐 標 系 中 的 梯 度 表 示 式 （ 1.2.8）2. 標 量 場 的 梯 度 算 子 具 有 類 似 于 矢 量 和 微 分 的 性 質(zhì) ， 通 常 稱 其 矢 量 微 分算 子 。 1-433. 梯 度 的 基 本 公 式 （ 1.2.9）（ 1.2.10）（ 1.2.11）（ 1.2.12）（ 1.2.13） 其 中 ， 為 常 數(shù) ； ， 為 標 量 函 數(shù) 。 例 1.2.1 試 證 明 ： （ 1） ； （ 2） 。式 中 ，

22、和 分 別 表 示 對 場 點 坐 標 和 源 點 坐 標 的 哈 密 頓 算 子 。 1-44 證 明 ： （ 1） 1-45 （ 2） 依 梯 度 的 基 本 公 式 1-46 1.2.3 矢 量 場 的 通 量 和 散 度I 1. 矢 量 場 的 通 量 (flux) I 2. 矢 量 場 的 散 度 (divergence)I 3.直 角 坐 標 系 中 的 散 度 表 示 式I 4.散 度 的 基 本 公 式I 例 1.2.2 1-47 1. 矢 量 場 的 通 量 (flux)（ 1.2.16）（ 1.2.17） 通 量 線 或 矢 量 線 一 系 列 有 方 向 的 曲 線 ，

23、該 線 上 每 一點 的 切 線 方 向 代 表 該 點 矢 量 場 方 向 ， 而 橫 向 的 通 量 線 密 度代 表 該 點 矢 量 場 的 大 小 。 通 量 矢 量 場 穿 過 曲 面 的 通 量 線 的 總 數(shù) ， 它 可 表示 為 矢 量 沿 該 曲 面 的 面 積 分 。 1-48 幾 點 說 明 開 口 曲 面 的 正 法 線 方 向 需 要 事 先 設(shè) 定 。 通 量 的 正 、 負 與 面積 元 矢 量 的 方 向 選 取 有 關(guān) 。 閉 合 曲 面 的 正 法 線 方 向 規(guī) 定 為 由 的 內(nèi) 部 指 向 外 部 ， 即 外 法線 方 向 。 通 量 可 以 用 來

24、描 述 矢 量 場 在 空 間 的 分 布 。 借 助 于 通 量 的 概念 ， 矢 量 又 稱 為 通 量 密 度 。 例 如 ， 電 位 移 也 常 常 稱 為 電 通量 密 度 。 發(fā) 出 通 量 線 的 點 稱 為 “ 源 ” ， 吸 收 通 量 線 的 點 稱 為 “ 溝 ” 。例 如 ， 靜 電 場 中 的 正 電 荷 是 發(fā) 出 電 力 線 的 “ 源 ” ， 負 電 荷是 吸 收 電 力 線 的 “ 溝 ” 。 穿 過 整 個 閉 合 曲 面 的 總 通 量 等 于 “ 源 ” 發(fā) 出 的 通 量 線 減 去“ 溝 ” 吸 收 的 通 量 線 。1. 矢 量 場 的 通 量 (

25、flux) 1-49 2. 矢 量 場 的 散 度 (divergence) （ 1.2.18） 一 個 矢 量 場 的 散 度 是 一 個 標 量 ， 可 理 解 為 穿 過 包 圍 單 位 體積 的 閉 合 表 面 的 通 量 。 因 此 ， 人 們 也 習(xí) 慣 地 將 散 度 稱 為 通量 源 密 度 。 通 量 概 念 描 述 了 空 間 一 個 較 大 范 圍 內(nèi) 場 與 源 之 間 的 關(guān) 系 。而 散 度 概 念 將 描 述 空 間 每 一 點 場 與 源 之 間 的 關(guān) 系 。 矢 量 場 的 散 度 矢 量 穿 過 閉 合 曲 面 的 通 量 與 該閉 合 曲 面 所 包 圍

26、 的 小 體 積 之 比 的 極 限 。 1-50 三 種 典 型 的 散 度 值 對 靜 電 場 而 言 ， 在 有 電 荷 存 在 的 點 上 ， 散 度 不 為 零 。 并 且散 度 大 于 零 處 具 有 正 電 荷 ， 散 度 小 于 零 處 具 有 負 電 荷 。 而對 恒 定 磁 場 而 言 ， 因 為 不 存 在 磁 荷 ， 散 度 必 處 處 為 零 。2. 矢 量 場 的 散 度 (divergence) 1-51 3. 直 角 坐 標 系 中 的 散 度 表 示 式 （ 1.2.22） 1-52 4. 散 度 的 基 本 公 式 （ 1.2.23）（ 1.2.24）（ 1

27、.2.25）（ 1.2.26） 值 得 注 意 的 是 ： 這 些 基 本 公 式 均 與 坐 標 系 的 類 型 無 關(guān) 。 它們 不 但 在 直 角 坐 標 系 中 成 立 ， 在 其 它 坐 標 系 中 仍 然 成 立 。 其 中 ， 為 常 矢 ； 為 常 數(shù) ； 為 標 量 函 數(shù) ， 為 矢 量 函 數(shù) 。 例 1.2.2 設(shè) 表 示 空 間 兩 點 與 之 間距 離 ， 試 求 。 1-53 解 ： 1-54 值 得 提 醒 注 意 的 一 點 是 ： 在 上 述 計 算 中 ， 需 假 設(shè) 距 離 不 等 于 零 。 否 則 ， 函 數(shù) 將 出 現(xiàn) 奇 異 點 。 在 第 3章

28、 討 論 鏡 像 法 時 （ 3.7節(jié) ） 將 會 證 明 ： （ 1.2.27）（ 1.2.28） 1-55 1.2.4. 矢 量 場 的 環(huán) 量 和 旋 度I 1. 矢 量 場 的 環(huán) 量 （ circulation）I 2. 矢 量 場 的 旋 度 （ rotation或 curl）I 3. 直 角 坐 標 系 中 的 旋 度 表 示 式I 4. 旋 度 的 基 本 公 式I 例 1.2.3 環(huán) 量 矢 量 場 沿 空 間 一 條 閉 合 曲 線 的 線 積 分 。 1-56 1. 矢 量 場 的 環(huán) 量 （ circulation） （ 1.2.29） 矢 量 場 的 環(huán) 量 是 一

29、個 標 量 ，用 來 描 述 一 個 矢 量 場 的 旋 渦特 性 。 大 小 和 正 負 取 決 于 矢量 場 的 分 布 以 及 該 閉 合 曲 線積 分 的 環(huán) 繞 方 向 。 1-57 旋 度 在 某 一 方 向 上 的 投 影 矢 量 場 的 旋 度 或 大 小 等 于 該 點 最 大 的 環(huán) 量 密度 ， 方 向 為 取 得 最 大 環(huán) 量 密 度 的 那 塊 小 面 積 的 法 線 方 向 。 2. 矢 量 場 的 旋 度 （ rotation或 curl） （ 1.2.30） 環(huán) 量 密 度 矢 量 沿 閉 合 曲 線 的 環(huán) 量 與 小 面 積 之 比 的 極限 ， 其 大

30、小 與 矢 量 的 分 布 和 閉 合 曲 線 的 方 向 有 關(guān) 。 1-58 不 同 閉 合 路 徑 位 置 情 況 下 的 環(huán) 量2. 矢 量 場 的 旋 度 （ rotation或 curl） 1-59 3. 直 角 坐 標 系 中 的 旋 度 表 示 式 1-60（ 1.2.34）（ 1.2.35） 3. 直 角 坐 標 系 中 的 旋 度 表 示 式 1-61 4. 旋 度 的 基 本 公 式 值 得 注 意 的 是 ： 這 些 基 本 公 式 均 與 坐 標 系 的 類 型 無 關(guān) 。 它們 不 但 在 直 角 坐 標 系 中 成 立 ， 在 其 它 坐 標 系 中 仍 然 成

31、立 。（ 1.2.36）（ 1.2.37）（ 1.2.38）（ 1.2.39） 其 中 ， 為 常 矢 ； 為 常 數(shù) ； 為 標 量 函 數(shù) ， 為 矢 量 函 數(shù) 。 例 1.2.3 試 證 明 ： 。 1-62 證 明 ： 1-63 1.2.5 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 比 較I 表 1.2.1 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 比 較I 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 特 點I 矢 量 場 的 “ 源 ”I 有 源 場 和 無 源 場 1-64 表 1.2.1 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 比 較 1-65 一 個 標 量 函 數(shù) 的 梯 度 是 一 個 矢 量

32、函 數(shù) ， 它 描 述 了 空 間 各 點標 量 位 的 最 大 變 化 率 及 其 方 向 ； 一 個 矢 量 函 數(shù) 的 散 度 是 一 個 標 量 函 數(shù) ， 它 描 述 了 空 間 各 點場 矢 量 與 通 量 源 之 間 的 關(guān) 系 ； 一 個 矢 量 函 數(shù) 的 旋 度 是 一 個 矢 量 函 數(shù) ， 它 描 述 了 空 間 各 點場 矢 量 與 旋 渦 源 之 間 的 關(guān) 系 ； 只 有 當 場 函 數(shù) 具 有 連 續(xù) 的 一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 時 ， 梯 度 、 散 度 、 旋度 的 定 義 才 是 有 意 義 的 。 在 某 些 場 量 不 連 續(xù) 的 交 界 面 上 ，就 不

33、 可 能 定 義 梯 度 、 散 度 和 旋 度 。梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 特 點 1-66 矢 量 場 的 “ 源 ” 有 兩 種 ， 建 立 散 度 的 通 量 源 和建 立 旋 度 的 旋 渦 源 。 若 要 使 一 個 矢 量 場 是 非 零 場 ， 則 必 須 存 在 產(chǎn) 生這 種 場 的 一 種 源 。 一 個 非 零 的 矢 量 場 不 可 能 既 是 無 源 場 （ 通 量 源 ）又 是 無 旋 場 （ 旋 渦 源 ） 。矢 量 場 的 “源 ” 1-67 若 一 個 矢 量 場 的 散 度 處 處 為 零 ， 就 不 存 在 通 量 源 ， 則該 矢 量 場 稱

34、為 無 源 場 （ 例 如 ： 恒 定 磁 場 ） 。 若 一 個 矢 量 場 的 旋 度 處 處 為 零 ， 就 不 存 在 旋 渦 源 ， 則該 矢 量 場 稱 為 無 旋 場 （ 例 如 ： 靜 電 場 ） 。 存 在 通 量 源 的 矢 量 場 稱 有 源 場 。 在 源 區(qū) ， 該 矢 量 場 的散 度 不 為 零 ； 而 在 非 源 區(qū) ， 該 矢 量 場 的 散 度 仍 然 可 以為 零 。 存 在 旋 渦 源 的 矢 量 場 稱 為 有 旋 場 ， 但 這 個 場 的 旋 度 僅在 存 在 旋 渦 源 的 空 間 點 上 不 為 零 ， 在 其 它 的 點 上 仍 然可 以 為

35、 零 。 有 源 場 和 無 源 場 1-68 1.3 矢 量 的 恒 等 式 和 基 本 定 理 大 部 分 矢 量 恒 等 式 和 矢 量 基 本 定 理 都 可 以 通過 直 接 計 算 加 以 證 明 。 為 了 簡 單 起 見 ， 可 以在 直 角 坐 標 系 中 證 明 。 對 于 其 它 的 正 交 坐 標系 ， 也 都 是 成 立 的 。I 1.3.1 三 個 重 要 的 恒 等 式I 1.3.2 矢 量 場 的 基 本 定 理 1-69 1.3.1 三 個 重 要 的 恒 等 式I 1. 三 個 重 要 的 恒 等 式I 2. 拉 普 拉 斯 （ Laplace） 算 子I

36、3. 恒 等 式 的 意 義 1-70 1. 三 個 重 要 的 恒 等 式 （ 1.3.1）（ 1.3.2）（ 1.3.3）（ 1.3.9） 1-71 拉 普 拉 斯 算 子 直 角 坐 標 系 中 的 拉 普 拉 斯 算 子 直 角 坐 標 系 中 標 量 場 的 拉 普 拉 斯 運 算 （ 1.3.4）拉 普 拉 斯 （ Laplace） 算 子 1-72 直 角 坐 標 系 中 矢 量 場 的 拉 普 拉 斯 運 算 其 中 對 于 其 他 坐 標 系 （ 1.3.9）拉 普 拉 斯 （ Laplace） 算 子 1-73 恒 等 式 的 意 義 任 何 一 個 標 量 函 數(shù) 的 梯

37、 度 的 旋 度 必 等 于 零 。 任 何 一 個 梯 度 場 （ 可 以 表 示 成 某 一 標 量 函 數(shù) 的 梯 度 的 矢 量場 ） 必 然 為 無 旋 場 ， 而 任 何 一 個 無 旋 場 （ 旋 度 為 零 的 矢 量場 ） 也 必 為 有 位 場 。 例 如 靜 電 場 。3. 恒 等 式 的 意 義 1-74 恒 等 式 的 意 義 任 何 一 個 矢 量 函 數(shù) 的 旋 度 的 散 度 必 等 于 零 。 任 何 一 個 旋 度 場 （ 可 以 表 示 成 某 一 矢 量 函 數(shù) 的 旋 度 的 矢 量場 ） 必 為 無 源 場 ， 而 任 何 一 個 無 源 場 （ 散

38、 度 為 零 的 矢 量 場 ）必 為 有 旋 場 。 例 如 恒 定 磁 場 。3. 恒 等 式 的 意 義 1-75 1.3.2 矢 量 場 的 基 本 定 理I 高 斯 （ G auss） 散 度 定 理I 斯 托 克 斯 （ Stokes） 定 理I 格 林 （ G reen） 第 一 定 理 或 格 林 第 一 恒 等 式I 格 林 （ G reen） 第 二 定 理 或 格 林 第 二 恒 等 式I 唯 一 性 定 理I 亥 姆 霍 茲 （ H elmholtz） 定 理 1-76 高 斯 散 度 定 理證 明 ： 將 體 積 分 割 成 N 個 的 小 體 積 （ 1.3.10）

39、 矢 量 場 穿 過 空 間 任 一 閉 合 曲 面 的 通 量 等 于 該 矢 量 的 散 度 在曲 面 所 包 圍 體 積 內(nèi) 的 體 積 分 。 1-77 斯 托 克 斯 定 理 證 明 ： 將 該 曲 面 剖 分 為 N 個 小 面 積 （ 1.3.11） 矢 量 場 沿 空 間 任 一 閉 合 曲 線 的 環(huán) 量 等 于 該 矢 量 場 的 旋 度 穿過 以 閉 合 曲 線 作 為 邊 界 曲 線 的 任 一 開 放 曲 面 的 通 量 。 1-78 格 林 第 一 定 理 或 格 林 第 一 恒 等 式 格 林 第 一 定 理 也 可 以 利 用 （ 1.2.5） 式 改 寫 成

40、這 個 定 理 可 以 通 過 令 ， 利 用 高 斯 散 度 定 理 證 明 。（ 1.3.13）（ 1.3.12） 1-79 格 林 第 二 定 理 也 可 借 助 方 向 導(dǎo) 數(shù) 改 寫 成 改 寫 成 格 林 第 二 定 理 是 由 格 林 第 一 定 理 直 接 得 到 的 。 格 林 第 二 定 理 或 格 林 第 二 恒 等 式 （ 1.3.14）（ 1.3.15） 1-80證 明 ： 采 用 反 證 法 。 假 設(shè) 同 時 存 在 兩 個 矢 量 場 和 。 它們 具 有 相 同 的 散 度 和 旋 度 以 及 邊 界 條 件 ， 即 令 ， 則 有 若 在 區(qū) 域 內(nèi) 矢 量

41、 場 的 散 度 、 旋 度 以 及在 邊 界 面 上 的 切 向 分 量 （ 或 法 向 分 量 ） 已 經(jīng) 給定 ， 則 矢 量 場 在 該 區(qū) 域 內(nèi) 的 解 是 唯 一 的 。利 用 矢 量 恒 等 式 和 格 林 定 理 ， 可 以 證 明 要 滿 足 上 述 兩 式 ， 必 有由 此 得 證 。 唯 一 性 定 理 1-81 亥 姆 霍 茲 定 理 （ 1.3.24） 空 間 有 限 區(qū) 域 內(nèi) 的 任 一 矢 量 場 均 可 以 表 示 為 一 個 無源 場 （ 即 或 ） 和 一 個 無 旋 場 （ 即 或 ） 之 和 ， 即 1-82 亥 姆 霍 茲 定 理 的 一 個 特

42、例空 間 區(qū) 域 為 無 限 大 ， 而 場 源 卻 分 布 在 一 個 有 限 的 區(qū) 域 內(nèi)（ 1.3.27）則 有 （ 1.3.28） 在 無 限 大 空 間 中 ， 只 要 知 道 矢 量 場 的 散 度 和 旋 度 ， 就 能 將其 定 量 地 確 定 下 來 。 既 無 源 又 無 旋 的 場 是 不 存 在 的 。 在 這 種 情 況 下 ， 如 果 假 設(shè) 矢 量 場 在 無 限 遠 處 以 足 夠 快 的 速度 減 弱 至 零 ， 即 1-83 1.4 常 用 正 交 曲 線 坐 標 系I 正 交 曲 線 坐 標 系 以 及 種 類I 1.4.1 三 種 常 用 的 正 交

43、坐 標 系I 1.4.2 三 種 常 用 坐 標 系 的 轉(zhuǎn) 換I 1.4.3 三 種 坐 標 系 中 的 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式 1-84 正 交 曲 線 坐 標 系 以 及 種 類 正 交 曲 線 坐 標 系 三 個 坐 標 面 均 為 一 般 的 曲 面 。 任 意 兩坐 標 面 的 交 線 為 第 三 個 坐 標 變 量 的 坐 標 軸 ， 它 們 一 般 為 曲線 。 空 間 任 一 點 有 三 個 坐 標 軸 通 過 ， 坐 標 軸 上 的 單 位 矢 量相 互 正 交 且 符 合 右 手 螺 旋 法 則 。 這 三 個 單 位 矢 量 的

44、方 向 隨空 間 點 位 置 的 不 同 而 變 化 。 正 交 曲 線 坐 標 系 的 類 型 很 多 ， 已 經(jīng) 出 現(xiàn) 的 有 10 種 以 上 。除 了 直 角 坐 標 系 這 種 特 殊 的 正 交 曲 線 坐 標 系 以 外 ， 其 它 的還 有 圓 柱 、 球 面 、 橢 圓 柱 、 拋 物 柱 等 等 正 交 曲 線 坐 標 系 。常 用 的 就 是 直 角 坐 標 系 ， 圓 柱 坐 標 系 和 球 面 坐 標 系 。 1-85 1.4.1 三 種 常 用 的 正 交 坐 標 系I 直 角 坐 標 系I 圓 柱 坐 標 系I 球 面 坐 標 系I 三 種 常 用 坐 標 系

45、中 單 位 矢 量 的 關(guān) 系 式 直 角 坐 標 系 的 坐 標 直 角 坐 標 系 的 方 向 矢 量 直 角 坐 標 系 中 的 標 量 場 直 角 坐 標 系 中 的 矢 量 場 1-86 直 角 坐 標 系 1-87 直 角 坐 標 系 中 的 長 度 元 、 面 積 元 和 體 積 元 （ 1.4. 1）（ 1.4. 2）（ 1.4. 3）直 角 坐 標 系 圓 柱 坐 標 系 的 坐 標 圓 柱 坐 標 系 的 方 向 矢 量 圓 柱 坐 標 系 中 的 標 量 場 圓 柱 坐 標 系 中 的 矢 量 場 1-88 圓 柱 坐 標 系 1-89 圓 柱 坐 標 系 中 的 長 度

46、 元 、 面 積 元 和 體 積 元 （ 1.4. 5）（ 1.4. 6）（ 1.4. 7）圓 柱 坐 標 系 球 面 坐 標 系 的 坐 標 球 面 坐 標 系 的 方 向 矢 量 球 面 坐 標 系 中 的 標 量 場 球 面 坐 標 系 中 的 矢 量 場 1-90 球 面 坐 標 系 1-91 球 面 坐 標 系 中 的 長 度 元 、 面 積 元 和 體 積 元球 面 坐 標 系 1-92 三 種 常 用 坐 標 系 中 單 位 矢 量 的 關(guān) 系 式 1-93 1.4.2 三 種 常 用 坐 標 系 的 轉(zhuǎn) 換I 直 角 坐 標 系 與 圓 柱 坐 標 系 之 間 的 關(guān) 系I 直

47、 角 坐 標 系 與 球 面 坐 標 系 之 間 的 關(guān) 系I 圓 柱 坐 標 系 與 球 面 坐 標 系 之 間 的 關(guān) 系 1-94 直 角 坐 標 系 與 圓 柱 坐 標 系 之 間 的 關(guān) 系 1-95 直 角 坐 標 系 與 球 面 坐 標 系 之 間 的 關(guān) 系 1-96 圓 柱 坐 標 系 與 球 面 坐 標 系 之 間 的 關(guān) 系 1-97 1.4.3 三 種 坐 標 系 中 的 梯 度 、散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式I直 角 坐 標 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式I圓 柱 坐 標 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋

48、 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式I球 面 坐 標 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式 1-98 直 角 坐 標 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式 1-99 只 有 在 直 角 坐 標 系 中 ， 拉 普 拉 斯 算 子 代 表 著 一 個 矢 量算 子 ， 即 在 圓 柱 坐 標 系 和 球 面 坐 標 系 中 ， 不 再 像 在 直 角 坐 標 系 中那 樣 代 表 著 一 個 矢 量 算 子 ， 而 僅 僅 代 表 著 一 個 用 來 記 述 梯 度 、散 度 和 旋 度 的 符 號 。 拉 普 拉 斯 算 子

49、也 不 再 像 在 直 角 坐 標中 那 樣 代 表 兩 個 矢 量 算 子 的 點 積 之 后 再 乘 以 標 量 函 數(shù) ，而 是 作 為 一 個 符 號 用 來 記 述 對 求 梯 度 后 再 求 散 度 這 一 運 算 。且直 角 坐 標 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式 1-100 圓 柱 坐 標 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式（ 1.4.34）（ 1.4.32）（ 1.4.33）（ 1.4.35） 1-101 球 面 坐 標 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 開 式（ 1.4.38）（ 1.4.36）（ 1.4.37）（ 1.4.39）