專題五勒貝格積分(tou)

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1、專 題 五 勒 貝 格 積 分勒 貝 格 積 分 思 想 的 產(chǎn) 生積 分 極 限 定 理勒 貝 格 積 分 的 概 念 和 性 質(zhì) 一 、 勒 貝 格 積 分 思 想 的 產(chǎn) 生1. 黎 曼 （ Riemann)積 分 (即 定 積 分 )的 基 本 思 想設(shè) f(x)在 a,b上 有 界 ， 分 割 a,b， 作 乘 積 ， 求 和 ， 取 極限 ni iiba n xfdxxfR 1)( 0 )(lim)()( 2.達(dá) 布 (Darbour)大 和 與 達(dá) 布 小 和 設(shè) xi(i=1,2,.n)為 區(qū) 間 a,b的 任 一 分 點(diǎn) 組 , 記 : =M i-mi稱 為 f(x)在 xi

2、-1,xi上 的 振 幅S=Mixi為 f(x)的 D大 和 s=mixi為 f(x)的 D小 和 )(inf),(sup , 11 xfmxfM iiii xxxixxxi f(x)在 a,b上 R可 積 lim f(i)xi存 在注 ： lim (S-s)=0 lim ixi=0這 表 明 : f(x)在 a,b上 R可 積 時(shí) , =maxxi充 分 小 時(shí) , 每 個(gè) 振 幅 i(i=1,2,)都 很 小 或 振 幅 i不 能 任 意 小 的 子區(qū) 間 的 長(zhǎng) 度 之 和 (即 測(cè) 度 )很 小 . （ 1） 對(duì) 被 積 函 數(shù) 和 積 分 域 要 求 過 于 嚴(yán) 格 . 要 求 積

3、分域 為 區(qū) 間 , 對(duì) 一 般 點(diǎn) 集 而 言 , R積 分 無 法 定 義 ;并 要 求 被 積 函數(shù) f(x)在 積 分 區(qū) 間 a,b上 的 變 化 不 能 太 快 ,至 少 急 劇 變 化 的點(diǎn) 不 能 太 多 (一 般 f(x)在 a,b上 應(yīng) 是 連 續(xù) 或 分 段 連 續(xù) , 即 幾 乎處 處 連 續(xù) ). 象 0,1上 的 狄 里 克 來 函 數(shù) 就 不 R可 積 .（ 2） 另 一 方 面 , R積 分 理 論 上 存 在 弊 端 . R可 積 函 數(shù)序 列 的 極 限 函 數(shù) (逐 點(diǎn) 收 斂 )未 必 可 積 ;極 限 運(yùn) 算 與 積 分 運(yùn) 算只 有 在 很 強(qiáng) 的

4、條 件 下 (一 致 收 斂 )才 能 交 換 積 分 次 序 ; 由 R可積 函 數(shù) 類 構(gòu) 成 的 某 些 空 間 不 具 有 完 備 性 . 4 L積 分 的 產(chǎn) 生 為 克 服 R積 分 的 缺 陷 , 法 國 數(shù) 學(xué) 家 勒 貝 格 1902年 建 立 了 一 套新 的 積 分 理 論 (L積 分 理 論 ), 對(duì) 函 數(shù) 限 制 較 少 , 適 用 范 圍 更 大 。 L積分 與 極 限 交 換 次 序 所 要 求 的 條 件 較 之 R積 分 要 弱 得 多 .,而 切 使 用起 來 也 比 較 靈 活 .3. R積 分 的 局 限 性 二 、 勒 貝 格 積 分 的 概 念 與

5、 性 質(zhì)1. 測(cè) 度 有 限 集 上 有 界 函 數(shù) L積 分定 義 1 (L積 分 ) 設(shè) m(E), f (x)是 E上 的 有 界 可 測(cè) 函 數(shù) ,且f (x) . 分 割 ： =y1y2.yn=則 函 數(shù) f (x)在 E上 的 L積 分 定 義 取 極 限 ： ni ii Em1 )()( ni iiniii yyEm1 110)( )(max)()(lim ni iiE EmdmxfL 10)( )(lim)()( (i yi-1,yi , Ei=E( yi-1 f yi )=x | yi-1 f(x) yi 作 乘 積 和 式 ： 0 a bxycdiyiyi-1 Ei1 Ei

6、2 Ei3Ei4也 稱 f (x)在 E上 L可 積 定 理 1 (L積 分 存 在 定 理 ) m(E), f (x)在 E上 是 有 界 可 測(cè) 函 數(shù) f (x)在 E上 L可 積定 理 2 (L積 分 與 R積 分 的 關(guān) 系 ) f (x)在 E=a,b上 R可 積 f (x)在 E=a,b上 L可 積 ， 且 baba dxxfRdmxfL )()()()( ,定 理 3 (L積 分 基 本 性 質(zhì) ) 設(shè) m(E), f (x)及 g(x)都 是 E上 的 有 界 可 測(cè) 函 數(shù) ， 與 是 常 數(shù) 。 E EE dmxgdmxfdmxgxf )()()()( E Emdmxfx

7、f )()()()( 常 數(shù)1)2) 線 性性 質(zhì) E dmxfEm 0)(0)(3) 零 測(cè) 集 上 的 積 分 性 質(zhì) E E dmxgdmxfeaxgxf )()(.).)()(4) m(E(fg)=0 inijii EEjiEEE 1),( 可 測(cè) ，8) E ni Ei dmxfdmxf 1 )()( 有 限 可 加 性 不 等 式性 質(zhì) E E dmxgdmxfeaxgxf )()(.).)()( E EmdmxfEmxf )()()()( E dmxfxf 0)(0)(5)6)7) m(E(fg)=0 注 ： 在 零 測(cè) 集 上 任 意 改 變 被 積 函 數(shù) 的 值 ， 或 被

8、 積 函 數(shù) 無定 義 ， 都 不 影 響 函 數(shù) 的 可 積 性 及 積 分 值 。 （ L積 分 與 R積 分 的 顯 著 區(qū) 別 ）例 ： 在 0,1,dirichlet函 數(shù) D(x)=0(a.e.), 從 而 有 : E dmxD 0)( 2. 無 界 函 數(shù) 及 測(cè) 度 無 限 集 上 的 L積 分 (1) 設(shè) m(E)+, f (x)是 E上 的 非 負(fù) 無 界 可 測(cè) 函 數(shù) .作 函 數(shù) nxfn nxfxfxf n )( )()()(f (x)n是 一 非 負(fù) 有 界 可 測(cè) 函 數(shù) 列 .)(.)()( 21 nxfxfxf E ndmxf )( 。n, 都 存 在 E

9、nnE dmxfdmxf )(lim)( 存 在注 ： 當(dāng) 極 限 值 有 限 時(shí) ， 稱 f(x)在 E上 L可 積 ; 當(dāng) 極 限 值 無 限 時(shí) ， 則 稱 f(x)在 E上 有 積 分 。稱 f (x)n 為 f (x)的 第 n截 斷 函 數(shù) . ,0)(0 0)()()( xf xfxfxf 0)(0 0)()()( xf xfxfxf)()()( xfxfxf 其 中f+(x)0稱 為 f (x) 的 正 部 , f-(x) 0稱 為 f (x)的 負(fù) 部 , E EE dmxfdmxfdmxf )()()(注 ： 若 上 述 兩 個(gè) 積 分 都 為 有 限 數(shù) ， 則 稱 f(

10、x)在 E上 L可 積 ; 若 一 個(gè) 積 分 有 限 ,另 一 個(gè) 積 分 無 限 ,則 稱 f(x)在 E上 有 積 分 ； 若 兩 個(gè) 積 分 均 無 限 ,則 稱 積 分 無 意 義 。 (2) 設(shè) m(E)+, f (x)是 E上 的 一 般 無 界 可 測(cè) 函 數(shù) .則 有)()()( xfxfxf (3) 設(shè) E為 任 意 可 測(cè) 集 (m(E)可 以 為 +), f (x)是 E上 的任 意 可 測(cè) 函 數(shù) (可 以 無 界 ).則 定 義 ),( )()(lim)()()( nnR nEE dmxxfdmxxfdmxf 其 中 E(x)是 E的 特 征 函 數(shù) , 并 且 )

11、,( )()(lim nn En dmxxf 3.L積 分 的 幾 個(gè) 重 要 性 質(zhì) 定 理 4 (絕 對(duì) 可 積 性 ) 設(shè) ER可 測(cè) ， f (x)是 E上 的 可 測(cè) 函數(shù) ， 則 f (x)在 E上 可 積 |f (x)|在 E上 可 積 ， 且 EE dmxfdmxf )()(證 : 不 妨 設(shè) m(E)+.“” f (x)在 E上 可 積 EE dmxfdmxf )(,)( EEEE dmxfdmxfdmxfxfdmxf )()()()()( |f (x)|在 E上 可 積“” 設(shè) |f (x)|在 E上 可 積 , 0f+(x)|f(x)|,0f-(x)|f(x)|f+ (x

12、)n|f(x)|n, f-(x)n|f(x)|n, (n=1,2,) E f+ (x) dmE |f(x)|dm+, Ef-(x)dm E|f(x)|dm+ E f(x)dm E f+ (x) dm- Ef-(x)dm+f(x)在 E上 可 積 , |E f(x)dm| E f+ (x) dm+Ef-(x)dm =E|f(x)dm|0, 0, 對(duì) E0E, m(E0)0,N, 使 E nnE dmxfdmxf )(lim)( 存 在 2)()( E N dmxgxg取 =/2N, 則 對(duì) 于 E0E, m(E0) ,有 00 )()( EE dmxgdmxf )(2)()()( 000 EmN

13、dmxgdmxgxg E NE N 注 :定 理 5反 映 了 L 積 分 值 與 積 分 域 之 間 的 一 種 以 依 賴 關(guān) 系 ：0)(0)( 00 E dmxfEm 定 理 6(可 列 可 加 性 ) 設(shè) E, Ei R可 測(cè) ， f (x)在 E上 可 積 ,則 iiji EEEE 1, E i Ei dmxfdmxf 1 )()(證 : 令 inin EER 1 ni in nEmEmRm 1 )0)()()( (測(cè) 度 的 可 列 可 加 性 )(0)()()( 1 ndmxfdmxfdmxf ni RE ni E (積 分 的 有 限 可 加 性 及 絕 對(duì) 連 續(xù) 性 )

14、E i E i dmxfdmxf 1 )()( 5.積 分 序 列 的 極 限 定 理定 理 7 (勒 貝 格 控 制 收 斂 定 理 ) 設(shè) m(E) + ， fn(x)是 E上 的 可 測(cè) 函 數(shù) 列 ， 如 果 在 E上 滿 足 :.).)()(lim eaxfxfnn ,.)2,1.)(.)()( neaxgxfn(1)(2) 存 在 L可 積 函 數(shù) g(x), 使 得則 f(x)在 E上 L可 積 ,且 E nE n dmxfdmxf )(lim)( 推 論 1 (勒 貝 格 有 界 收 斂 定 理 ) 設(shè) m(E) + ， fn(x)是 E上 的 可 測(cè) 函 數(shù) 列 ， 如 果

15、E上 滿 足 :.).)()(lim eaxfxfnn ,.)2,1.)(.()( neaMxfn(1)(2) 存 在 常 數(shù) M, 使 得則 f(x)在 E上 L可 積 ,且 E nE n dmxfdmxf )(lim)( 定 理 7中 取 g(x)=M即 可注 :定 理 7及 其 推 論 表 明 : L積 分 與 極 限 可 以 交 換 次 序 推 論 2 (含 參 變 量 積 分 的 連 續(xù) 定 理 ) 設(shè) m(E) + ，f(x)(I)是 E上 的 可 測(cè) 函 數(shù) 族 ， 如 果 E上 滿 足 :的 一 個(gè) 極 限 點(diǎn) ）是 Ieaxfxf 0.)(.)()(lim0 (1)則 f(x

16、)在 E上 L可 積 ,且 EE dmxfdmxf )(lim)( 0 注 :定 理 7及 其 推 論 表 明 : L積 分 與 極 限 可 以 交 換 次 序 ).)(.)()( Ieaxgxf (2) 存 在 L可 積 函 數(shù) g(x), 使 得 定 理 8 (劉 維 (Levl)引 理 ) 設(shè) m(E) + ， fn(x)是 E上 的 非 負(fù) 可 測(cè) 函 數(shù) ， 并 且 在 E上 有 .).)()(lim .)(.)()( 21 eaxfxf xfxfxf nn n 則 dmxfdmxf E nE n )(lim)( 注 :定 理 9表 明 : L積 分 與 極 限 可 以 交 換 次

17、序 定 理 9 設(shè) m(E) + ， f(x)與 un(x)(1,2,)都 是 E上 的 非 負(fù).),()()( 1 eaxuxf n n , 則 有 E n E nE n n dmxudmxudmxf 11 )()()(可 測(cè) 函 數(shù) ， 并 且 在 E上 有注 : 1)定 理 8表 明 : L積 分 與 求 和 可 以 交 換 次 序 ,即 可 以 逐 項(xiàng) 積 分2)若 利 用 R積 分 理 論 來 求 f(x)在 區(qū) 間 a,b上 的 積 分 值 , 應(yīng) 先 將 被 積 函 數(shù) 展 開 成 冪 級(jí) 數(shù) , 再 驗(yàn) 證 級(jí) 數(shù) 在 a,b上的 一 致 收 斂 性 . 若 級(jí) 數(shù) 在 a,b

18、上 不 一 致 收 斂 , 則 R積 分不 能 逐 項(xiàng) 積 分 .3) 利 用 L積 分 與 R積 分 的 關(guān) 系 及 L積 分 理 論 來 求 值 . 解 :當(dāng) 0 x0, 使 tbxaCtxft ,),( )(),(),( tdxtxftdxtxfdtd baba Ch hhtxfth txfhtxfCtxft ),(),(),(),( ),(),(),(lim0 txfth txfhtxfh )(),(),(),(lim ),(),(lim),( 00 ttxftdxh txfhtxf dxh txfhtxfdxtxfdtd baba h bahba 證 明 1) 在 (-,+)上 連

19、續(xù) ; 2)證 : 1)例 4 設(shè) f (t)在 (-,+)上 L可 積 , 其 富 立 葉 變 換 為 dtetfxf jtx)()( dttfjtedxdxf jtx )(1)( )()()(lim)(lim )( 00 xfdtetfdtetfhxf jtxhxjthh dtetfhxf hxjt )()()( ),()(lim )(0 xfetf hxjth )()( )( tfetf hxjt 是 連 續(xù) 函 數(shù) )(xf2) dttf jtejtehdttfjtedxd jtxhxjthjtx )(111lim)(1 )(0)(xf )()(2sin2)(1)(11)( tfhtft thtftetfjtejte jthjtxhxjt f (t)在 (-,+)上 L可 積 , 所 以 有 L控 制 收 斂 定 理 有)()()(1 )(111lim)(1 )(0 xfdtetfdttfjtex dttfjtejtehdttfjtedxd jtxjtx jtxhxjthjtx )()(1)(111lim )(0 tfetfjtextfjtejteh jtxjtxjtxhxjth