電磁場與電磁波基礎第5章

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1、第 5章 靜 態(tài) 場 的 解 靜 態(tài) 場 是 指 場 量 不 隨 時 間 變 化 的 場 。 靜 態(tài) 場 包 括 ： 靜 電場 、 恒 定 電 場 及 恒 定 磁 場 ， 它 們 是 時 變 電 磁 場 的 特 例 。 分 析靜 態(tài) 場 ， 必 須 從 麥 克 斯 韋 方 程 組 這 個 電 磁 場 的 普 遍 規(guī) 律 出 發(fā) ，導 出 靜 態(tài) 場 中 的 麥 克 斯 韋 方 程 組 ， 即 描 述 靜 態(tài) 場 特 性 的 基 本方 程 。 再 根 據(jù) 它 們 的 特 性 ， 聯(lián) 合 物 態(tài) 方 程 推 導 出 位 函 數(shù) 的 泊松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 。 最 后 ， 靜 態(tài)

2、場 問 題 可 歸 結(jié) 為 求 泊 松方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 解 的 問 題 。 通 常 求 解 這 兩 個 方 程 的 方 法有 ： 鏡 像 法 、 分 離 變 量 法 和 復 變 函 數(shù) 法 ， 它 們 屬 于 解 析 法 ，而 在 近 似 計 算 中 常 用 有 限 差 分 法 。 1. 靜 電 場 、 恒 定 電 場 、 恒 定 磁 場 的 基 本 方 程 4. 鏡 像 法 、 分 離 變 量 法 、 格 林 函 數(shù) 法 、 有 限 差 分 法 重 點 ：3. 求 解 靜 態(tài) 場 位 函 數(shù) 方 程 的 方 法 所 依 據(jù) 的 理 論： 對 偶 原 理 、 疊 加 原 理

3、、 唯 一 性 定 理 2. 靜 態(tài) 場 的 位 函 數(shù) 方 程 5.1 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 5.1.1 靜 態(tài) 場 中 的 麥 克 斯 韋 方 程 組 對 于 靜 態(tài) 場 ， 各 場 量 只 是 空 間 坐 標 的 函 數(shù) ， 并 不 隨 時間 而 變 化 ， 即 與 時 間 t無 關(guān) 。 因 此 ， 靜 態(tài) 場 的 麥 克 斯 韋 方程 組 為 ： 0 0DEBH J 00s vlsl sD ds dvE dlB dsH dl J ds 電 流 連 續(xù) 性 方 程 為 ： 0 0J dssJ 由 上 述 方 程 組 可 知 ， 靜 態(tài) 場 與 時 變 場 最 基 本

4、 的 區(qū) 別 在 于 靜態(tài) 場 的 電 場 和 磁 場 是 彼 此 獨 立 存 在 的 ， 即 電 場 只 由 電 荷 產(chǎn)生 ， 磁 場 只 由 電 流 產(chǎn) 生 。 沒 有 變 化 的 磁 場 ， 也 沒 有 變 化 的電 場 。 既 然 如 此 ， 我 們 就 可 以 分 別 寫 出 靜 電 場 、 恒 定 電 場和 恒 定 磁 場 的 基 本 方 程 。 1、 靜 電 場 的 基 本 方 程 靜 電 場 是 靜 止 電 荷 或 靜 止 帶 電 體 產(chǎn) 生 的 場 ， 其 基 本 方程 為 0DE 0s vl D ds dv qE dl 上 式 表 明 ： 靜 電 場 中 的 旋 度 為 0

5、， 即 靜 電 場 中 的 電 場 不 可能 由 旋 渦 源 產(chǎn) 生 ； 電 荷 是 產(chǎn) 生 電 場 的 通 量 源 。 另 外 ： 電 介 質(zhì) 的 物 態(tài) 方 程 為 E 靜 電 場 是 一 個 有 源 無 旋 場 ， 所 以 靜 電 場 可 用 電 位 函 數(shù) 來 描述 ， 即 D E 2、 恒 定 電 場 的 基 本 方 程 載 有 恒 定 電 流 的 導 體 內(nèi) 部 及 其 周 圍 介 質(zhì) 中 產(chǎn) 生 的 電 場 ，即 為 恒 定 電 場 。 當 導 體 中 有 電 流 時 ， 由 于 導 體 電 阻 的 存 在 ，要 在 導 體 中 維 持 恒 定 電 流 ， 必 須 依 靠 外 部

6、 電 源 提 供 能 量 ，其 電 源 內(nèi) 部 的 電 場 也 是 恒 定 的 。 要 想 在 導 線 中 維 持 恒 定 電 流 ， 必 須 依 靠 非 靜 電 力 將 B極板 的 正 電 荷 抵 抗 電 場 力 搬 到 A極 板 。 這 種 提 供 非 靜 電 力 將 其它 形 式 的 能 量 轉(zhuǎn) 為 電 能 裝 置 稱 為 電 源 。 恒 定 電 流 的 形 成+ AB C- 恒 定 電 場 與 靜 電 場 重 要 區(qū) 別 ： （ 1） 恒 定 電 場 可 以 存 在 導 體 內(nèi) 部 。 （ 2） 恒 定 電 場 中 有 電 場 能 量 的 損 耗 ,要 維 持 導 體 中 的 恒 定

7、電流 ， 就 必 須 有 外 加 電 源 來 不 斷 補 充 被 損 耗 的 電 場 能 量 。 若 一 閉 合 路 徑 經(jīng) 過 電 源 ， 則 ： El E dl e 0s J ds 即 電 場 強 度 的 線 積 分 等 于 電 源 的 電 動 勢 E Ee若 閉 合 路 徑 不 經(jīng) 過 電 源 ， 則 ： 0l E dl 這 是 恒 定 電 場 在 無 源 區(qū) 的 基 本 方 程 積 分 形 式 ， 其 微 分 形 式 為 0 0E J J E 從 以 上 分 析 可 知 ， 恒 定 電 場 的 無 源 區(qū) 域 也 是 一 個 位 場 ， 也可 用 一 個 標 量 函 數(shù) 來 描 述 。

8、 另 外 ： 導 體 中 的 物 態(tài) 方 程 為 E 3、 恒 定 磁 場 的 基 本 方 程 0s l sB dsH dl J ds 這 是 恒 定 磁 場 的 基 本 方 程 。 B H 從 以 上 方 程 可 知 ， 恒 定 磁 場 是 一 個 旋 渦 場 ， 電 流 是 這 個 旋渦 場 的 源 ， 磁 力 線 是 閉 合 的 。 另 外 ： 磁 介 質(zhì) 中 的 物 態(tài) 方 程 為 恒 定 電 流 的 導 體 周 圍 或 內(nèi) 部 不 僅 存 在 電 場 ， 而 且 存 在磁 場 ， 但 這 個 磁 場 不 隨 時 間 變 化 ， 是 恒 定 磁 場 。 假 設 導 體中 的 傳 導 電

9、 流 為 I， 電 流 密 度 為 ,則 有 J0BH J 靜 電 場 既 然 是 一 個 位 場 ， 就 可 以 用 一 個 標 量 函 數(shù) 的 梯 度 來 表 示 它 : E 5.1.2 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 1、 靜 電 場 的 位 函 數(shù) 即 式 中 的 標 量 函 數(shù) 稱 為電 位 函 數(shù) 。 0 所 以 有對 于 均 勻 、 線 性 、 各 向 同 性 的 介 質(zhì) ， 為 常 數(shù) , ( )D E E ( ) 即 靜 電 場 的 位 函 數(shù) 滿 足 的泊 松 方 程 。 2 上 式 即 為 在 有 電 荷 分 布 的 區(qū) 域 內(nèi) ， 或 者 說 在 有 “ 源

10、 ” 的 區(qū)域 內(nèi) ， 靜 電 場 的 電 位 函 數(shù) 所 滿 足 的 方 程 ， 我 們 將 這 種 形 式的 方 程 稱 為 泊 松 方 程 。 如 果 場 中 某 處 有 =0， 即 在 無 源 區(qū) 域 ， 則 上 式 變 為2 0 我 們 將 這 種 形 式 的 方 程 稱 為 拉 普 拉 斯 方 程 。 它是 在 不 存 在 電 荷 的 區(qū) 域 內(nèi) ， 電 位 函 數(shù) 應 滿 足 的 方 程 。 2 在 直 角 坐 標 系 中 2 2 22 2 2 2x y z 在 圓 柱 坐 標 系 中 2 22 2 2 21 1( )rr r r r z 在 球 坐 標 系 中 22 22 2

11、2 2 21 1 1( ) (sin )sin sinRR R R R R 2拉 普 拉 斯 算 符 在 不 同 的 坐 標 系 中 有 不 同 的 表 達 形 式 ： 2、 恒 定 電 場 的 位 函 數(shù) 根 據(jù) 電 流 連 續(xù) 性 方 程 及 物 態(tài) 方 程 并 設 電 導 率 為 一 常 數(shù) （ 對 應 于 均 勻 導 電 媒 質(zhì) ） ， 則 有 0J J E 2( ) ( ) 0J E 則 有 2 0 在 無 源 區(qū) 域 ， 恒 定 電 場 是 一 個 位 場 ， 即 有 0E 這 時 同 樣 可 以 引 入 一 個 標 量 位 函 數(shù) 使 得 E 這 說 明 ， 在 無 源 區(qū) 域

12、， 恒 定 電 場 的 位 函 數(shù) 滿 足 拉 普 拉 斯方 程 。 3、 恒 定 磁 場 的 位 函 數(shù) 分 布 2( )A A A J 人 為 規(guī) 定 0A (1) 磁 場 的 矢 量 位 函 數(shù) 這 個 規(guī) 定 被 稱 為 庫 侖 規(guī) 范 2A J 于 是 有此 式 即 為 矢 量 磁 位 的 泊 松 方 程 。 恒 定 磁 場 是 有 旋 場 ， 即 ,但 它 卻 是 無 散 場 ， 即 B J 0B A B A 引 入 一 個 矢 量 磁 位 后 ， 由 于 ， 可 得 2 0A 在 沒 有 電 流 的 區(qū) 域 , 所 以 有 0J 在 沒 有 電 流 分 布 的 區(qū) 域 內(nèi) ， 恒

13、 定 磁 場 的 基 本 方 程 變 為0 0BH (2) 磁 場 的 標 量 位 函 數(shù) m這 樣 ， 在 無 源 區(qū) 域 內(nèi) ， 磁 場 也 成 了 無 旋 場 ， 具 有 位 場 的 性質(zhì) ， 因 此 ， 象 靜 電 場 一 樣 ， 我 們 可 以 引 入 一 個 標 量 函 數(shù) ，即 標 量 磁 位 函 數(shù) 注 意 ： 標 量 磁 位 的 定 義 只 是 在 無 源 區(qū) 才 能 應 用 。H m 即 令 此 式 即 為 矢 量 磁 位的 拉 普 拉 斯 方 程 以 上 所 導 出 的 三 個 靜 態(tài) 場 的 基 本 方 程 表 明 ： 靜 態(tài) 場 可 以 用位 函 數(shù) 表 示 ， 而

14、且 位 函 數(shù) 在 有 源 區(qū) 域 均 滿 足 泊 松 方 程 ， 在無 源 區(qū) 域 均 滿 足 拉 普 拉 斯 方 程 。 因 此 ， 靜 態(tài) 場 的 求 解 問 題就 變 成 了 如 何 求 解 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 的 問 題 。 這 兩個 方 程 是 二 階 偏 微 分 方 程 ， 針 對 具 體 的 電 磁 問 題 ， 不 可 能完 全 用 數(shù) 學 方 法 求 解 。 在 介 紹 具 體 的 求 解 方 法 之 前 ， 我 們要 先 介 紹 幾 個 重 要 的 基 本 原 理 ， 這 些 原 理 將 成 為 以 后 求 解方 程 的 理 論 依 據(jù) 。 當 媒

15、質(zhì) 是 均 勻 、 線 性 和 各 項 同 性 時 ， 由 和 可 得 0B B H 0H H m 由 于 2 0m 5.2 對 偶 原 理 如 果 描 述 兩 種 物 理 現(xiàn) 象 的 方 程 具 有 相 同 的 數(shù) 學 形 式 ，并 且 有 相 似 的 邊 界 條 件 或 對 應 的 邊 界 條 件 ， 那 么 它 們 的 數(shù)學 解 的 形 式 也 將 是 相 同 的 ， 這 就 是 對 偶 原 理 。 具 有 同 樣 數(shù)學 形 式 的 兩 個 方 程 稱 為 對 偶 性 方 程 ， 在 對 偶 性 方 程 中 ， 處于 同 等 地 位 的 量 稱 為 對 偶 量 。 有 了 對 偶 原 理

16、 后 ， 我 們 就 能 把 某 種 場 的 分 析 計 算 結(jié) 果 ，直 接 推 廣 到 其 對 偶 的 場 中 ， 這 也 是 求 解 電 磁 場 的 一 種 方 法 。 1、 =0區(qū) 域 的 靜 電 場 與 電 源 外 區(qū) 域 的 恒 定 電 場 的 對 偶 0E 2 0 q I 對 偶 量恒 定 電 場靜 電 場 0E E E E E 0J 0D D J D E J E 2 0 q D dss I J dss 0E 2 0 m 對 偶 量恒 定 磁 場靜 電 場 0H E H 0B 0D D B D E B H 2 0m qq D dss Bs ds 2、 =0區(qū) 域 的 靜 電 場

17、與 區(qū) 域 的 恒 定 磁 場 的 對 偶 0J 5.3 疊 加 原 理 和 唯 一 性 定 理 在 研 究 具 體 的 工 程 電 磁 場 問 題 時 ， 無 論 是 靜 電 場 、 恒定 電 場 、 還 是 恒 定 磁 場 ， 都 需 要 根 據(jù) 實 際 工 程 中 給 定 的 邊界 條 件 ， 通 過 求 解 泊 松 方 程 或 拉 普 拉 斯 方 程 ， 得 到 標 量 電位 函 數(shù) 或 矢 量 磁 位 函 數(shù) 。 5.3.1 邊 界 條 件 的 分 類 給 定 位 函 數(shù) 的 邊 界 條 件 通 常 有 三 類 ： 第 一 類 邊 界 條 件 直 接 給 定 整 個 場 域 邊 界

18、上 的 位函 數(shù) 值 ( )f s 為 邊 界 點 S的 位 函 數(shù) ， 這 類 問 題 稱 為 第 一 類 邊 界 條 件 。 ( )f s 因 為 ( )f sn 故 上 式 相 當 于 給 定 了 邊 界 表 面 的 面 電 荷 密 度 或 電 場 強 度 的法 向 分 量 ， 這 類 問 題 稱 為 第 二 類 邊 界 條 件 。 s n nD E n 第 二 類 邊 界 條 件 只 給 定 待 求 位 函 數(shù) 在 邊 界 上 的法 向 導 數(shù) 值 第 三 類 邊 界 條 件 給 定 邊 界 上 的 位 函 數(shù) 及 其 法 向?qū)?數(shù) 的 線 性 組 合 ( ) ( )1 2f s f

19、sn 這 是 混 合 邊 界 條 件 ， 稱 為 第 三 類 邊 界 條 件 。 5.3.2 疊 加 原 理 若 和 分 別 滿 足 拉 普 拉 斯 方 程 ， 即 和 ,則 和 的 線 性 組 合 ：必 然 也 滿 足 拉 普 拉 斯 方 程 ：式 中 a、 b均 為 常 系 數(shù) 。1 2 2 1 0 2 2 0 1 2 1 2a b 2 1 2( ) 0a b 5.3.3 唯 一 性 定 理 唯 一 性 定 理 可 敘 述 為 ： 對 于 任 一 靜 態(tài) 場 ， 在 邊 界 條 件 給 定后 ， 空 間 各 處 的 場 也 就 唯 一 地 確 定 了 ， 或 者 說 這 時 拉 普 拉斯

20、方 程 的 解 是 唯 一 的 。 當 有 電 荷 存 在 于 導 體 或 介 質(zhì) 表 面 附 近 時 ， 導 體 和 介 質(zhì) 表 面 會出 現(xiàn) 感 應 電 荷 或 極 化 電 荷 ， 而 感 應 電 荷 或 極 化 電 荷 將 影 響 場 的 分布 。 非 均 勻 感 應 電 荷 產(chǎn) 生 的 電 位 很 難 求解 ， 可 以 用 等 效 電 荷 的 電 位 替 代1. 問 題 的 提 出 幾 個 實 例 接 地 導 體 板 附 近 有一 個 點 電 荷 ， 如 圖 所示 。 qq非 均 勻 感 應 電 荷等 效 電 荷5.4 鏡 象 法 接 地 導 體 球 附 近 有 一 個 點 電 荷 ，

21、 如 圖 。 非 均 勻 感 應 電 荷 產(chǎn) 生 的電 位 很 難 求 解 ， 可 以 用等 效 電 荷 的 電 位 替 代 接 地 導 體 柱 附 近 有 一 個 線 電 荷 。 情 況 與 上 例 類 似 ， 但 等 效 電 荷 為 線 電 荷 。 q非 均 勻 感 應 電 荷q等 效 電 荷 結(jié) 論 ： 所 謂 鏡 像 法 是 將 不 均 勻 電 荷 分 布 的 作 用 等 效 為 點 電 荷 或 線 電 荷 的 作 用 。 問 題 ： 這 種 等 效 電 荷 是 否 存 在 ？ 這 種 等 效 是 否 合 理 ？ 2. 鏡 像 法 的 原 理 用 位 于 場 域 邊 界 外 虛 設 的

22、 較 簡 單 的 鏡 像 電 荷 分 布 來 等 效 替 代該 邊 界 上 未 知 的 較 為 復 雜 的 電 荷 分 布 ， 從 而 將 原 含 該 邊 界 的 非 均勻 媒 質(zhì) 空 間 變 換 成 無 限 大 單 一 均 勻 媒 質(zhì) 的 空 間 ， 使 分 析 計 算 過 程得 以 明 顯 簡 化 的 一 種 間 接 求 解 法 。 在 導 體 形 狀 、 幾 何 尺 寸 、 帶 電 狀 況 和 媒 質(zhì) 幾 何 結(jié) 構(gòu) 、 特 性 不變 的 前 提 條 件 下 ， 根 據(jù) 惟 一 性 定 理 ， 只 要 找 出 的 解 答 滿 足 在 同 一泛 定 方 程 下 問 題 所 給 定 的 邊

23、界 條 件 ， 那 就 是 該 問 題 的 解 答 ， 并 且是 惟 一 的 解 答 。 鏡 像 法 正 是 巧 妙 地 應 用 了 這 一 基 本 原 理 、 面 向 多種 典 型 結(jié) 構(gòu) 的 工 程 電 磁 場 問 題 所 構(gòu) 成 的 一 種 有 效 的 解 析 求 解 法3. 鏡 像 法 的 理 論 基 礎 解 的 惟 一 性 定 理 像 電 荷 的 個 數(shù) 、 位 置 及 其 電 量 大 小 “ 三 要 素 ” ；4. 鏡 像 法 應 用 的 關(guān) 鍵 點5. 確 定 鏡 像 電 荷 的 兩 條 原 則 等 效 求 解 的 “ 有 效 場 域 ” 。 鏡 像 電 荷 的 確 定 像 電

24、荷 必 須 位 于 所 求 解 的 場 區(qū) 域 以 外 的 空 間 中 ； 像 電 荷 的 個 數(shù) 、 位 置 及 電 荷 量 的 大 小 以 滿 足 所 求 解 的 場 區(qū) 域 的 邊 界 條 件 來 確 定 。 1. 點 電 荷 對 無 限 大 接 地 導 體 平 面 的 鏡 像,q q h h 1 1( ) 04q zR R （ ） 0 0zR R 滿 足 原 問 題 的 邊 界 條 件 ， 所 得 的 結(jié) 果 是 正 確 的 。 5.4.1 接 地 導 體 平 面 的 鏡 像鏡 像 電 荷電 位 函 數(shù)因 z = 0時 ， qhh q有 效 區(qū) 域 R Rqh 上 半 空 間 ( z0

25、 ） 的 電 位 函 數(shù) qh2 2 2 2 2 21 1( , , ) 4 ( ) ( )qx y z x y z h x y z h ( 0)z 2 2 2 3 2 0 2 ( )S z qhz x y h 2 2 2 3 2d dd 2 ( )in SS qh x yq S x y h 2 2 2 3 20 0 d d2 ( )qh qh 導 體 平 面 上 的 感 應 電 荷 密 度 為導 體 平 面 上 的 總 感 應 電 荷 為 2. 線 電 荷 對 無 限 大 接 地 導 體 平 面 的 鏡 像鏡 像 線 電 荷 ：滿 足 原 問 題 的 邊 界 條 件 ， 所 得 的 解 是

26、正 確 的 。電 位 函 數(shù) hh l有 效 區(qū) 域 1r 2rl當 z=0時 ， 1 2r r 0 ln ( 0)2 l R zR ,l l h h 3. 點 電 荷 對 相 交 半 無 限 大 接 地 導 體 平 面 的 鏡 像 如 圖 所 示 ， 兩 個 相 互 垂 直 相 連 的 半 無 限 大 接 地 導 體 平 板 ， 點電 荷 q 位 于 (d1, d2 )處 。 顯 然 ， q1 對 平 面 2 以 及 q2 對 平面 1 均 不 能 滿 足 邊 界 條 件 。 1 2 31 1 1 1( )4 q R R R R 對 于 平 面 1， 有 鏡 像 電 荷 q1= q， 位 于

27、 ( d1, d2 )對 于 平 面 2， 有 鏡 像 電 荷 q2= q， 位 于 ( d1, d2 ) 只 有 在 ( d1, d2 )處 再 設 置 一鏡 像 電 荷 q3 = q， 所 有 邊 界 條 件 才 能得 到 滿 足 。電 位 函 數(shù) q d1 d21 2RR1 R2R3q1 d1d2 d2q 2d1q3d2 d1 5.4.2 電 介 質(zhì) 分 界 面 的 鏡 象 電 荷 如 圖 ， 如 果 分 界 面 是 介 電 常 數(shù) 為 1和 2的 兩 種 無 限 大 介 質(zhì) 的 邊 界 平 面 ， 在 介 質(zhì) 1中 距 分 界 面 為 h處 置 有 一 點 電 荷 q ， 則 求解 介

28、 質(zhì) 空 間 中 任 一 點 的 電 場 電 位 分 布 可 以 用鏡 像 法 求 解 。 設 在 介 質(zhì) 1和 2內(nèi) 的 電 位 函 數(shù) 分 別 為 1和 2 。 在 介 質(zhì) 1中 ， 除 q 點 處 以 外 ,均 有 2 1 0 0z （ ） qq 1r 1h1 2rz2 2 是 點 電 荷 q與 介 質(zhì) 分 界 面 上 感 應 束 縛 電 荷 共同 產(chǎn) 生 的 電 位 函 數(shù) 。 介 質(zhì) 分 界 面 上 的 感 應 束 縛 電 荷在 介 質(zhì) 1中 產(chǎn) 生 的 電 場 可 以 用 處 于 z0） 的 格 林 函 數(shù) ， 就 是 求 位 于 上 半 空間 r 處 的 單 位 點 電 荷 以

29、z=0平 面 為 電 位 零 點 時 ， 在 上 半 空間 任 意 一 點 r處 的 電 位 。 這 個 電 位 可 以 用 平 面 鏡 像 法 求 得 ，因 而 上 半 空 間 的 格 林 函 數(shù) 為 1 21 1 1( , ) ( )4G r r R R 2 2 2 1/ 21 2 2 2 1/ 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R x x y y z zR x x y y z z 式 中 3、 球 內(nèi) 、 外 空 間 的 格 林 函 數(shù) 我 們 可 以 由 球 面 鏡 像 法 ， 求 出 球 心 在 坐 標 原 點 、 半 徑為 a的 球 外 空 間 的 格 林 函

30、數(shù) 1 21 1( , ) ( )4 aG r r R r R 2 2 1/ 21 2 2 1/ 22 2( 2 cos )( 2 cos )cos cos cos sin sin cos( )arR r r rrR r r rrr 式 中 5.7 有 限 差 分 法 有 限 差 分 法 是 一 種 近 似 數(shù) 值 計 算 法 ， 在 一 些 工 程 技 術(shù)計 算 中 被 廣 泛 使 用 。 這 種 方 法 是 在 待 求 場 域 內(nèi) 選 取 有 限 個離 散 點 ， 在 各 個 離 散 點 上 以 差 分 方 程 近 似 代 替 各 點 上 的 微分 方 程 ， 從 而 把 以 連 續(xù) 變

31、量 形 式 表 示 的 位 函 數(shù) 方 程 ， 轉(zhuǎn) 化為 以 離 散 點 位 函 數(shù) 值 表 示 的 方 程 組 。 結(jié) 合 具 體 邊 界 條 件 ，求 解 差 分 方 程 組 ， 即 得 到 所 選 的 各 個 離 散 點 上 的 位 函 數(shù) 值 。有 限 差 分 法 不 僅 能 處 理 線 性 問 題 ， 還 能 處 理 非 線 性 問 題 ；不 僅 能 求 解 拉 普 拉 斯 方 程 ， 也 能 求 解 泊 松 方 程 ； 不 僅 能 求解 任 意 靜 態(tài) 場 的 問 題 ， 也 能 求 解 時 變 場 的 問 題 ； 而 且 這 種方 法 不 受 邊 界 形 狀 的 限 制 。 函

32、數(shù) f(x)的 一 階 差 分 定 義 為 f(x)=f(x+h)-f(x) 式 中 h是 自 變 量 x的 增 量 ， 即 x=h,將 下 面 的 式 子 稱 為 f(x)的 一 階 差 商 ： ( ) ( )f f x h f xx h f d fx d x 當 h很 小 時 ， 差 分 f也 很 小 ， 因 此 在 近 似 計 算 中 可 用 一 階差 商 近 似 等 于 一 階 微 分 ， 即 2 ( ) ( )( )2 2f x h f xf xx h 二 階 差 商 為同 樣 可 以 定 義 二 階 差 分 為 2f(x)= f(x+h)- f(x) 令 二 階 差 商 近 似 等

33、 于 二 階 微 商 22 ( ) ( )( ) ( )2 2 2f x h f xd f x f xx x h 差 分 方 程 就 是 在 各 離 散 點 上 ， 用 和 近似 替 代 偏 微 分 方 程 中 的 和 ， 從 而 將拉 普 拉 斯 方 程 或 泊 松 方 程 這 樣 的 偏 微 分 方 程 化 為 一 組 代 數(shù) 方程 ， 即 差 分 方 程 。 2 ( )2f xx 2 ( )2f yy2 ( )2f xx 2 ( )2f yy 本 章 要 點1.靜 電 場 的 基 本 方 程 2.恒 定 電 場 的 基 本 方 程 3.恒 定 磁 場 的 基 本 方 程 4.泊 松 方 程 與 拉 普 拉 斯 方 程 6.鏡 像 法 的 概 念 與 應 用5.對 偶 原 理 、 疊 加 原 理 和 唯 一 性 定 理 7.分 離 變 量 法 的 概 念 與 應 用8.格 林 函 數(shù) 法 9.有 限 差 分 法