《特征值與特征向量》PPT課件

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1、 矩 陣 的 特 征 值 與 特 征 向 量 和 相 似 標(biāo) 準(zhǔn) 形 的理 論 是 矩 陣 理 論 的 重 要 組 成 部 分 ， 它 們 不 只 在數(shù) 學(xué) 的 各 分 支 ， 如 微 分 方 程 、 差 分 方 程 等 中 有重 要 應(yīng) 用 ， 而 且 在 其 他 科 學(xué) 技 術(shù) 領(lǐng) 域 也 有 廣 泛的 應(yīng) 用 ， 如 工 程 技 術(shù) 中 的 振 動 問 題 和 穩(wěn) 定 性 問題 等 。 本 章 將 介 紹 特 征 值 與 特 征 向 量 、 相 似 矩陣 、 實 向 量 的 內(nèi) 積 與 正 交 矩 陣 等 概 念 ， 討 論 方陣 相 似 于 對 角 矩 陣 的 問 題 知 識 脈 絡(luò)

2、圖 解 特 征 值 和 特 征 向 量定 義計 算應(yīng) 用 性質(zhì) A o 求 特 征 值求 特 征 向 量方 陣 的 相 似對 角 化 計 算化 二 次 型 為標(biāo) 準(zhǔn) 型 kA 對 應(yīng) 不 同 特 征 值 的特 征 向 量 線 性 無 關(guān)對 應(yīng) 于 不 同 特 征 值的 特 征 向 量 正 交1E A E P AP ,i itr A A TE A E A A f A f A A可 逆 的 特 征 值 全 部 非 零 重 點 、 難 點 解 讀 首 先 要 理 解 特 征 值 和 特 征 向 量 的 定 義 以 及 特 征 向量 與 相 似 對 角 化 問 題 之 間 的 關(guān) 系 。 理 解 兩

3、個 矩 陣 相 似的 定 義 和 必 要 條 件 。 熟 練 地 掌 握 特 征 值 及 特 征 向 量 的 求 法 以 及 求 一 個 正交 矩 陣 把 一 個 具 體 的 實 對 稱 矩 陣 相 似 對 角 化 的 一 般 步 驟 。 對 于 方 陣 的 對 角 化 問 題 ， 應(yīng) 掌 握 以 下 幾 個 基 本 結(jié)論 ： 階 方 陣 A可 以 相 似 對 角 化 的 充 分 必 要 條 件 是 A有 個 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 ； 方 陣 未 必 總 是 可 以 對角 化 的 ， 但 實 對 稱 矩 陣 一 定 可 以 相 似 對 角 化 ， 而 且 可以 正 交 相 似 對

4、 角 化 。n n 一 、 求 具 體 矩 陣 的 特 征 值 與 特 征 向 量 1、 矩 陣 的 特 征 值 與 特 征 向 量 設(shè) A是 數(shù) 域 F 上 的 一 個 階 方 陣 ， 如 果 存 在 數(shù) 和 數(shù)域 F上 的 維 非 零 向 量 ， 使 得nn A 則 稱 為 A的 特 征 值 ， 為 A的 對 應(yīng) 特 征 值 的 特 征 向 量 ，稱 為 A的 特 征 矩 陣 ； 稱 為 A的 特 征 多 項 式 ；稱 為 A的 特 征 方 程 。 E A E A 0E A 2、 求 具 體 矩 陣 的 特 征 值 與 特 征 向 量 的 步 驟 第 一 步 由 特 征 方 程 求 得 A

5、的 個 特 征 值 ，設(shè) 是 A的 互 異 特 征 值 ， 其 重 數(shù) 分 別 為 ，則 0E A n 1 2, , , t 1 2, , , tr r r1 2 .tr r r n 第 二 步 求 解 齊 次 線 性 方 程 組 ，其 基 礎(chǔ) 解 系 1,2, ,iE A O i t 1 2, , , 1 , 1,2, ,ii i is i is r i t 就 是 A對 應(yīng) 特 征 值 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 ， 而 A對 應(yīng) 特征 值 的 全 部 特 征 向 量 為i i 1 1 2 2 1 2, , ,i i ii i i i is is i i isk k k k k k

6、 不 全 為 零3、 矩 陣 運 算 的 特 征 值 與 特 征 向 量 lAA 1P l kAk 0m iiif A a A 0m iiif a 1A1 A A TA 1P AP 4、 特 征 值 的 重 要 性 質(zhì) 設(shè) 的 個 特 征 值 為 ， 則 ij n nA a n 1 2, , , n 1 2 11 22 1 2,n nn ta a a A 例 1 設(shè) 矩 陣 13 2 2 0 1 02 3 2 , 1 0 1 , ,2 2 3 0 0 1A P B P A P 求 的 特 征 值 與 特 征 向 量 。2B E解 法 1 經(jīng) 計 算 可 得1 15 2 2 0 1 1 7 0

7、02 5 2 , 1 0 0 , 2 5 42 2 5 0 0 1 2 2 3A P B P A P 從 而 29 0 02 2 7 4 9 32 2 5E B E 9 0 02 2 7 4 ,2 2 5B E 1 ,A P A 0A 若 可 逆 ， 則1 1A 1 ,AA A 則故 的 特 征 值 為 9， 9， 3.2B E 當(dāng) 時 ， 對 應(yīng) 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 可 取 為1 2 9 1 21,1,0 , 2,0,1T T 所 以 對 應(yīng) 于 特 征 值 9的 全 部 特 征 向 量 為1 1 2 2k k （ 是 不 全 為 零 的 任 意 常 數(shù) ）1 2,k k 當(dāng)

8、 時 ， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 可 取 為3 3 3 0,1,0 ,T 所 以 對 應(yīng) 于 特 征 值 3的 全 部 特 征 向 量 為3 3k （ 是 不 全 為 零 的 任 意 常 數(shù) ）3k 法 2 設(shè) A的 特 征 值 為 ， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 為 ， 即 .A 由 于 7 0,A 所 以 0. 又 因 為 1,A A A .AA 故 有 于 是 有 1 1 1B P P A P P 1 12 2AB E P P 則因 此 ， 為 的 特 征 值 ， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 為2A 2B E 1 .P 23 2 22 3 2 1 72 2 3E A 由 于故 A的

9、特 征 值 為 。1 2 31, 7. 當(dāng) 時 ， 對 應(yīng) 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 可 取 為 1 2 1 1 21,1,0 , 1,0,1T T 當(dāng) 時 ， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 可 取 為3 7 3 1,1,1 .T 1 0 1 11 0 00 0 1P 由 得 1 1 11 2 31 1 01 , 1 , 10 1 1P P P 故 的 特 征 值 為 9， 9， 3.2B E所 以 對 應(yīng) 于 特 征 值 9的 全 部 特 征 向 量 為1 11 1 2 2k P k P （ 是 不 全 為 零 的 任 意 常 數(shù) ）1 2,k k對 應(yīng) 于 特 征 值 3的 全 部

10、 特 征 向 量 為13 3k P （ 是 不 全 為 零 的 任 意 常 數(shù) ）3k二 、 求 抽 象 矩 陣 的 特 征 值 與 特 征 向 量 對 于 元 素 沒 有 具 體 給 出 的 抽 象 矩 陣 ， 要 根 據(jù) 題 設(shè) 條件 ， 利 用 特 征 值 與 特 征 向 量 的 定 義 ， 即 滿 足 ， 的 和 為 A的 特 征 值 和 相 應(yīng) 的 特 征 向 量 ； 或 利 用 特 征方 程 ， 滿 足 特 征 方 程 的 即 為 A的 特 征 值 ； 或利 用 特 征 值 的 有 關(guān) 性 質(zhì) 和 結(jié) 論 推 導(dǎo) 出 特 征 值 的 取 值 。A o 0E A 例 1 設(shè) 有 4階

11、 方 陣 A滿 足 條 件 2 0, 2 , 0,TE A AA E A 其 中 E 為 4階 單 位 矩 陣 ， 求 A的 伴 隨 矩 陣 的 一 個 特 征 值 。A 分 析 的 特 征 值 為 ， 其 中 是 A的 特 征 值 。 因A A此 ， 本 題 的 關(guān) 鍵 在 于 計 算 以 及 A的 一 個 特 征 值 ， 而 這由 已 知 條 件 均 很 容 易 得 到 。 A 解 由 ， 得 A的 一 個 特 征 值2 2 0E A E A 2. 又 由 條 件 ， 有 42 2 16,TAA E E 即 2 16TA A A 由 于 ， 所 以 ， 故 的 一 個 特 征 值 為0A

12、4A A 2 2. 證 由 題 設(shè) 知 0.A 例 2 證 明 ： 若 A為 階 降 秩 矩 陣 ， 則 A的 伴 隨 矩 陣 的 個 特 征 值 至 少 有 個 為 零 ， 且 另 一 個 非 零 特 征 值（ 如 果 存 在 ） 等 于 nn 1n11 22 .nnA A A A （ 1） 當(dāng) 時 ， ， 所 以 的 特 征 值 為 0，0， ， 0， 結(jié) 論 成 立 。 2r A n A O A （ 2） 當(dāng) 時 ， ， 這 時 有 個 特征 值 為 0， 設(shè) 的 特 征 值 為 ， 且 則 1r A n 1r A A 1nA 1 2, , , n 2 0.n 1 1 2 n 11 22

13、 .nntr A A A A 例 3 設(shè) A是 階 實 對 稱 矩 陣 ， P 是 階 可 逆 矩 陣 ，已 知 是 屬 于 A的 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 則 矩 陣 屬 于 特 征 值 的 特 征 向 量 是n n 1 TP AP 1 1 TTA P B P C P D P 因 為 1 1T TTP AP P PP AP T T TAP P A T TP A P 所 以 ， 選 B 。 例 4 已 知 3階 矩 陣 A的 特 征 值 為 1， -1， 2.設(shè) 矩 陣3 25 .B A A （ 1） 求 矩 陣 B 的 特 征 值 。（ 2） 計 算 行 列 式 及B 5 .A I

14、 解 （ 1） 由 ， 知 ， 故A k kA 3 2 3 2 3 25 5 5B A A A A 因 而 為 B 的 特 征 值 ， 將 A的 特 征 值 代 入 中 ，得 到 B 的 所 有 特 征 值 -4， -6， -12.3 25 3 25 （ 2） 因 1, 1,2 , 4, 6, 12A diag B diag 所 以 1 1 2 2, 4 6 12 288A B 由 ， 得 3 2 25 5B A A A A I 2 2885 724BA I A （ 2） 另 解 因 A的 特 征 值 為 1， -1， 2， 故 1 1 2I A 3 35 1 5 1 5 1 5 1 5 2

15、72A I I A 三 、 方 陣 可 對 角 化 的 判 定 、 計 算 及 應(yīng) 用1、 相 似 矩 陣 的 概 念 設(shè) A,B 為 數(shù) 域 F 上 的 兩 個 階 矩 陣 ， 如 果 存 在 數(shù) 域F 上 階 可 逆 矩 陣 X， 使 得 ， 則 稱 A相 似 于B， 記 為 A B； 并 稱 由 A到 B 的 變 換 稱 為 相 似 變 換 ， 稱矩 陣 X 為 相 似 變 換 矩 陣 。n n 1B X AX2、 相 似 矩 陣 的 性 質(zhì)設(shè) 階 矩 陣 A與 B 相 似 ， 則n（ 1） ;r A r B（ 2） det det ;A B（ 3） ;E A E B （ 4） 1 1,

16、 ,T T k kA B A B A B （ 如 果 可 逆 ） ；（ 5） 若 是 數(shù) 域 F上 任 一 多 項 式 ， 則 f x ;f x f B（ 6） 方 陣 的 相 似 關(guān) 系 是 等 價 關(guān) 系 。 3、 可 對 角 化 矩 陣 的 概 念 如 果 數(shù) 域 F 上 階 矩 陣 A可 相 似 于 對 角 矩 陣 ， 則 稱 A可 對 角 化 。 n4、 可 對 角 化 矩 陣 的 條 件 （ 1） （ 充 分 必 要 條 件 ） A有 個 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 ；n （ 2） （ 充 分 條 件 ） A有 個 互 異 的 特 征 值 ；n （ 3） （ 充 分 必 要

17、 條 件 ） A的 所 有 重 特 征 值 對 應(yīng) 的 線性 無 關(guān) 特 征 向 量 的 個 數(shù) 等 于 其 重 數(shù) ； （ 4） （ 充 分 條 件 ） A是 實 對 稱 矩 陣 。5、 方 陣 可 對 角 化 矩 陣 的 判 定 與 計 算 對 于 階 方 陣 A， 判 斷 A可 否 對 角 化 ， 并 在 可 對 角 化的 情 形 下 求 出 相 似 變 換 矩 陣 和 相 應(yīng) 的 對 角 矩 陣 的 基 本 步驟 如 下 ： n 第 一 步 求 A的 全 部 特 征 值 。 若 A有 個 互 異 的 特 征值 ， 則 A可 對 角 化 。 n 第 二 步 對 每 一 個 特 征 值 ，

18、 解 方 程 組 得 對 應(yīng) 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 （ 即 齊 次 線 性 方 程 組 的 基礎(chǔ) 解 系 ） ii iE A x o 1 2, , , 1,2, ,ii i is i t 若 某 個 ， 即 對 應(yīng) 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 的 個 數(shù) 小于 的 重 數(shù) ， 則 A不 可 對 角 化 ； 若 ，則 A可 對 角 化 。i is r ii 1,2, ,i is r i t 第 三 步 當(dāng) A可 對 角 化 時 ， 令 1 211 1 21 2 1, , , , , , , , tr r t trP 1 21 21 tr r t rE EP AP E 則 例

19、 1 下 列 矩 陣 中 取 何 值 時 ， A可 對 角 化 ？, ,a b c1 0 0 01 0 02 2 02 3 2aA b c 解 由 ， 知 A的 特 征 值 為 1（ 2重 ）和 2（ 2重 ） ， 為 使 A可 對 角 化 ， 則 只 需 對 應(yīng) 的 線 性 無 關(guān)的 特 征 向 量 均 有 兩 個 ， 也 即 。 2 21 2E A 2, 2 2r E A r E A 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0, 22 1 0 2 0 0 2 3 1 2 3 0a aE A E Ab bc c 由 于可 見 為 使 ， 必 須 ， 而 任 意 。 為 使 2r E

20、 A 0a ,b c 2 2,r E A 必 須 ， 而 任 意 。0c ,a b 故 當(dāng) 0,a c 而 任 意 時 ， A可 對 角 化 。b 例 2 設(shè) 向 量 且 1 2 1 2, , , , , , , ,n na a a b b b 1 1 2 2 0T n nab a b a b a 令 ， 證 明 A可 對 角 化 。TA 證 由 題 設(shè) 知 22 TA T T Ta aA 設(shè) ， 即 為 A的 特 征 值 ， 為 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 ，,Ax x x o x則 由 得 ， 即 ， 也 即2A aA 2A x aAx 2x a x .a x o 由 知 ， 所 以 A的

21、 互 異 特 征 值 為 或x o 0a 0 .a 又 因 為 1 2 1 1 2 2n n nab a b a b a 所 以 為 A的 單 特 征 值 ， 為 A的 重 特 征 值 。2 0n 1 a 1n 為 證 A可 對 角 化 ， 只 需 證 對 應(yīng) 于 的 線 性 無 關(guān) 特 征向 量 的 個 數(shù) 為 ， 即 齊 次 線 性 方 程 組 的 基礎(chǔ) 解 系 含 有 個 解 向 量 ， 也 即 即 可 。0 1n 0E A x O 1r A 1n 由 ， 知 不 全 為 零 ， 于 是1 1 2 2 0n nab a b a b a ,i ia b, ,o o 且 ,TA O 從 而

22、1.r A 又 有 min , 1T Tr A r r r ， 故 1.r A 因 此 ， A的 對 應(yīng) 于 特 征 值 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 的 個數(shù) 為 ， 所 以 A可 對 角 化 。 0 1n 例 3 設(shè) 矩 陣 ， 已 知 A有 三 個 線 性 無 關(guān) 的1 1 143 3 5A x y 特 征 向 量 ， 是 A的 二 重 特 征 值 。 試 求 可 逆 矩 陣 P ， 使得 為 對 角 矩 陣 。2 1P AP 解 由 題 設(shè) 知 ， A對 應(yīng) 于 的 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量有 兩 個 ， 故 ， 由 于 2 2 1r E A 也 可 由推 出 1 2

23、3 1 4 5 3 6 1 1 1 1 1 12 2 0 23 3 3 0 0 0E A x y x x y 解 得 2, 2.x y 矩 陣 A的 特 征 多 項 式 為 21 1 12 4 2 2 63 3 5E A 由 此 得 特 征 值 1 2 32, 6. 可 求 得 對 應(yīng) 于 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 為1 2 2 1 21,1,0 , 1,0,1T T 而 對 應(yīng) 于 的 特 征 向 量 為 ， 故 可 逆 矩 陣3 6 3 1, 2,3 T 1 2 3, ,P 使 得 1 2,2,6 .P AP diag 例 4 設(shè) 矩 陣 的 特 征 方 程 有 一 個 二 重1

24、 2 31 4 31 5A a 根 ， 求 的 值 ， 并 討 論 A是 否 可 相 似 對 角 化 。a解 A的 特 征 多 項 式 為 21 2 31 4 3 2 18 18 31 5E A aa 若 是 特 征 方 程 的 二 重 根 ， 則 有2 22 16 18 3 0,a 解 得 2.a 當(dāng) 時 ， A的 特 征 值 為 2， 2， 6.2a 此 時 ， 矩 陣 的 秩 為 1， 故 對 應(yīng) 的1 2 32 1 2 31 2 3E A 2 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 有 兩 個 ， 從 而 A可 相 似 對 角 化 。 若 不 是 特 征 方 程 的 二 重 根 ， 則 為

25、完 全 平 方 ， 從 而 ， 解 得2 2 8 18 3a 18 3 16a 2 .3a 當(dāng) 時 ， A的 特 征 值 為 2， 4， 4。23a 此 時 ， 矩 陣 的 秩 為 2， 故 對 應(yīng) 的3 2 34 1 0 321 13E A 4 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 只 有 一 個 ， 從 而 A不 可 相 似 對 角 化 。 例 5 設(shè) A為 三 階 矩 陣 ， 為 線 性 無 關(guān) 的 三 維 列向 量 。 且 滿 足 1 2 3, , 1 1 2 3 2 2 3 3 2 3, 2 , 2 3A A A （ 1） 求 矩 陣 B ， 使 得 1 2 3 1 2 3, , ,

26、, ;A B （ 2） 求 矩 陣 A的 特 征 值 ；（ 3） 求 可 逆 矩 陣 P ， 使 得 為 對 角 矩 陣 。1P AP 解 （ 1） 由 題 設(shè) 條 件 ， 有 1 2 3 1 2 3 1 0 0, , , , 1 2 21 1 3A 可 知 1 0 01 2 21 1 3B （ 2） 因 為 線 性 無 關(guān) 的 三 維 列 向 量 ， 可 知 矩 陣1 2 3, , 1 2 3, ,C 可 逆 ， 所 以 1 ,C AC B 即 A與 B 相 似 。由 此 可 知 A與 B有 相 同 的 特 征 值 。 且 由 21 0 01 2 2 1 41 1 3E B 得 矩 陣 B的

27、 特 征 值 ， 也 即 矩 陣 A的 特 征 值1 2 31, 4 （ 3） 對 應(yīng) 于 解 齊 次 線 性 方 程 組 ,E B x O 得 基 礎(chǔ) 解 系 1 21,1,0 , 2,0,1T Tp p 1 2 1 得 基 礎(chǔ) 解 系 3 0,1,1 ,Tp 對 應(yīng) 于 解 齊 次 線 性 方 程 組 4 ,E B x O 3 4, 故 可 逆 矩 陣 1 2 3 1 2 0, , 1 0 1 ,0 1 1Q p p p 使 得 1 1 0 00 1 00 0 4Q BQ 因 為 11 1 1 ,Q BQ Q C ACQ CQ A CQ 記 矩 陣 1 2 3 1 2 0, , 1 0 1

28、0 1 1P CQ 1 2 1 3 2 3, 2 , 即 P 即 為 所 求 的 可 逆 矩 陣 。 四 、 由 特 征 值 或 特 征 向 量 反 求 矩 陣 中 的 參 數(shù) 若 已 知 條 件 中 給 出 特 征 向 量 ， 由 定 義 式 可 以求 出 矩 陣 A中 的 參 數(shù) 和 特 征 向 量 對 應(yīng) 的 特 征 值 ； 若 只給 出 特 征 值 而 沒 有 給 出 特 征 向 量 ， 一 般 用 特 征 方 程 求 解 。 Ax xx 0E A 利 用 有 關(guān) 性 質(zhì) ， 如 （ 1） 若 A與 B 相 似 ， 則 ;E A E B （ 2） 相 似 矩 陣 有 相 同 的 特 征

29、 值 ； （ 3） 若 的 個 特 征 值 為 ， 則 ij n nA a n 1 2, , , n 1 2 11 22 ,n nna a a 1 2 n A 等 也 可 確 定 矩 陣 中 的 參 數(shù) 。 例 1 已 知 是 矩 陣 的 一 個 特 征向 量 。 111 2 1 25 31 2A ab （ 1） 試 確 定 參 數(shù) 及 特 征 向 量 所 對 應(yīng) 的 特 征 值 ； ,a b （ 2） 問 A能 否 相 似 于 對 角 陣 ？ 說 明 理 由 。 解 （ 1） 由 ， 得A 2 1 2 1 15 3 1 1 ,1 2 1 1ab 即 2 1 25 31 2ab 解 得 ， 特

30、 征 向 量 對 應(yīng) 的 特 征 值3, 0a b 1. （ 2） 由 知 是 A的 三 重 特 征 值 ， 又1 31E A 3 1 2 1 0 15 2 3 0 1 11 0 0 0 0 0E A 所 以 ， 從 而 3重 特 征 值 -1對 應(yīng) 的 線 性 無 關(guān) 特征 向 量 只 有 1個 ， 故 A不 能 相 似 于 對 角 矩 陣 。 2r E A 例 2 已 知 是 矩 陣 的 逆 矩 陣11k 2 1 11 2 11 1 2A 的 特 征 向 量 ， 試 求 常 數(shù) 的 值 。 1Ak 解 設(shè) 是 所 屬 的 特 征 值 ， 則 ， 即1A A ， 于 是 1 2 1 1 11

31、 2 11 1 1 2 1k k 由 此 得 3 1, 2 2k k k 解 得 1 1 2 211, 2; , 1.4k k 于 是 或 1 時 ， 是 的 特 征 值 。 2k 1A 例 3 已 知 矩 陣 與 相 似 ，1 111 1 1bA b a 0 0 00 1 00 0 4B 求 , .a b 解 法 1 因 為 A與 B 相 似 ， 所 以 ， 得E A E B 3 2 2 2 3 22 1 2 2 1 5 4a b a b b 比 較 兩 邊 同 次 冪 的 系 數(shù) ， 得 2 22 5, 1 2 4, 2 1 0a b a b b 解 得 3, 1.a b 法 2 因 為

32、A相 似 于 B， 而 B 為 對 角 陣 ， 故 知 A的 特 征值 為 0， 1， 4， 可 求 得 3 2 2 22 1 2 2 1E A a b a b b 分 別 令 得0, 1, 4, 2 2 22 22 1 01 2 1 2 2 1 064 16 2 4 1 2 2 1 0b ba b a b ba b a b b 解 得 3, 1.a b 法 3 利 用 1 2 3 11 22 33 1 2 3,a a a A 并 注 意 A的 特 征 值 為 0， 1， 4， 得 21 1 0 1 4, 1 0 1 4 0a A b 解 得 3, 1.a b 五 、 由 特 征 值 或 特

33、征 向 量 反 求 矩 陣 提 供 了 矩 陣 A的 特 征 值 與 特 征 向 量 的 足 夠 多 信 息 ， 確定 A的 元 素 ， 即 為 反 求 矩 陣 的 問 題 。 在 這 類 問 題 中 ， 矩 陣A一 般 是 可 對 角 化 的 。 例 1 設(shè) 三 階 實 對 稱 矩 陣 A的 特 征 值 為 1， -1， 0， 其 中1 31, 0 的 特 征 向 量 分 別 為 1 31, ,1 , , 1,1 ,T Ta a a 求 矩 陣 A。 分 析 這 是 已 知 全 部 特 征 值 與 部 分 特 征 向 量 ， 反 求 另一 部 分 特 征 向 量 及 矩 陣 A的 問 題 ，

34、 這 類 問 題 一 般 是 對 實 對稱 矩 陣 來 討 論 的 ， 主 要 是 利 用 實 對 稱 矩 陣 的 不 同 特 征 值對 應(yīng) 的 特 征 向 量 正 交 的 性 質(zhì) 。 解 由 于 A是 實 對 稱 矩 陣 ， 故 有 1 3, 1 1 0a a a 解 得 ， 從 而1a 1 31, 1,1 , 1,0,1 .T T 2 1 2 3, , Tx x x 設(shè) 是 A對 應(yīng) 特 征 值 的 特 征 向量 ， 它 與 都 正 交 ， 于 是1 3, 2 1 2 1 1 2 32 3 1 3, 0, 0 x x xx x 解 得 其 基 礎(chǔ) 解 系 為 ， 于 是 ， 令 1,2,1

35、 T 2 1,2,1 T 1 2 3 1 1 1, , 1 2 01 1 1P 則 1 1 0 00 1 00 0 0P AP 故 11 0 0 1 4 110 1 0 4 2 460 0 0 1 4 1A P P 例 2 設(shè) 三 階 實 對 稱 矩 陣 A的 秩 為 2， 是 A的二 重 特 征 值 ， 若 都 是A的 屬 于 特 征 值 6的 特 征 向 量 。 1 2 6 1 2 31,1,0 , 2,1,1 , 1,2, 3T T T （ 1） 求 A的 另 一 個 特 征 值 和 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 。 （ 2） 求 矩 陣 A。 解 因 為 是 A的 二 重 特 征 值 ，

36、 故 A屬 于 特 征值 6的 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 有 2個 ， 由 題 設(shè) 可 得 的 一 個 極 大 無 關(guān) 組 為 ， 故 是 A屬 于 特 征 值 6的線 性 無 關(guān) 的 特 征 向 量 。1 2 6 1 2 3, , 1 2, 1 2, 由 可 知 ， ， 所 以 A的 另 一 個 特 征 值 2r A 0A 3 0. 設(shè) 所 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 為 ， 則 有3 0 3 1 2 3, , Tx x x 1 3 2 30, 0T T ， 即 1 21 2 3 02 0 x xx x x 解 此 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 為 ， 即 A屬 于 特 征 值

37、的 特 征 向 量 為 （ 為 不 為 零 的 任 意 常 數(shù) ） 1,1,1 T 3 1,1,1 Tk k k （ 2） 令 矩 陣 ， 則 由 1 2 3, ,P 1 6 0 00 6 00 0 0P AP 4 2 22 4 22 2 4A 六 、 有 關(guān) 特 征 值 與 特 征 向 量 的 證 明 涉 及 矩 陣 A的 特 征 值 與 特 征 向 量 的 證 明 問 題 ， 往 往是 由 定 義 出 發(fā) ， 經(jīng) 恒 等 變 形 推 證 有 關(guān) 結(jié) 論 。Ax x 例 1 設(shè) A和 B 均 是 階 非 零 方 陣 ， 且 滿 足n2 2, ,A A B B AB BA O 證 明 ： （

38、1） 0和 1必 是 A和 B 的 特 征 值 ； （ 2） 若 是 A的 屬 于 特 征 值 1的 特 征 向 量 ，則 必 是 B 的 屬 于 特 征 值 0的 特 征 向 量 。 證 （ 1） 由 ， 得 ， 又 2A A E A A O ,A O所 以 有 非 零 解 ， 從 而 E A x O 0,E A 即 必 是1 A的 特 征 值 。 又 因 為 且 ， 從 而 有 非,AB O B O Ax O零 解 ， 即 ， 故 也 必 是 A的 特 征 值 。A O 0 同 理 可 證 ， 0和 1必 是 B 的 特 征 值 。（ 2） 由 題 設(shè) ， 則 有A 例 2 設(shè) 是 矩 陣

39、 A的 兩 個 不 同 的 特 征 值 ， 對 應(yīng) 的特 征 向 量 分 別 為 ， 則 線 性 無 關(guān) 的 充 分必 要 條 件 是 1 2, 1 2, 1 1 2, A 1 2 1 20 0 0 0A B C D 分 析 設(shè) ， 整 理 得 1 1 2 1 2k k A o 1 2 1 1 2 2 2k k k o 由 于 是 矩 陣 A的 兩 個 不 同 的 特 征 值 ， 所 以 對 應(yīng) 的特 征 向 量 線 性 無 關(guān) ， 從 而1 2, 1 2, 1 2 1 2 20, 0.k k k 上 述 方 程 組 只 有 惟 一 零 解 的 充 分 必 要 條 件 是 ， 這即 是 線 性

40、 無 關(guān) 的 充 分 必 要 條 件 。 2 0 1 1 2, A 應(yīng) 選 （ B） 。 B B A 0BA O o 可 見 是 A的 屬 于 1的 特 征 向 量 時 ， 也 是 B 的 屬 于 0的特 征 向 量 。 例 3 設(shè) 階 方 陣 A可 與 對 角 陣 相 似 ， 是 A的 一 個 特征 值 ， 是 A屬 于 特 征 值 的 特 征 向 量 ， 試 證 ： 元 線性 方 程 組 無 解 。n n000 x 0 0E A x x 證 用 反 證 法 若 線 性 方 程 組 有 解 ， 0 0E A x x 設(shè) 為 ， 即 ， 根 據(jù) 題 設(shè) ， 存 在 可 逆 矩 陣0y 0 0

41、0E A y x 0 1 1, , , nT x x x ， 使 得 1 0 1 1, , , .nT AT diag 0 1 1, , , nx x x 由 于 T 可 逆 ， 所 以 線 性 無 關(guān) ， 從 而 它 們 為 的 一 組 基 。 故 nF 0 0 0 1 1 1 1n ny k x k x k x 于 是 0 0 0 0 0 0 x E A y y Ay 0 0 0 0 1 1 1 1n ny A k x k x k x 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1n n n n nk x k x k x k x k x k x 0 1 0 1 1 1 1

42、0 1 1 1n n n nx k k x k k x 這 與 線 性 無 關(guān) 矛 盾 ， 故 不 存 在 使0 1 1, , , nx x x x 0 0E A x x 七 、 相 似 矩 陣 的 判 斷 與 證 明 已 知 兩 個 具 體 的 階 矩 陣 A和 B ， 判 斷 A與 B 是 否相 似 常 采 用 如 下 方 法 ： n 方 法 1 當(dāng) ， 或 ， 或I A I B A B ,r A r B有 一 個 不 成 立 時 ， A與 B 不 相 似 （ 因 為 上 述 條 件 均 為 A與 B 相 似 的 必 要 條 件 ） 。 方 法 2 當(dāng) A與 B 都 相 似 于 同 一 個

43、 對 角 矩 陣 時 ， A與B 相 似 （ 所 給 的 條 件 僅 是 充 分 的 ） 。 對 于 抽 象 矩 陣 A與B 是 否 相 似 ， 常 用 定 義 判 定 。 例 1 已 知 3階 方 陣 A與 3維 列 向 量 ， 使 得 向 量 組x 2, ,x Ax A x 線 性 無 關(guān) ， 且 滿 足 3 23 2 .A x Ax A x （ 1） 記 ， 求 3階 方 陣 B， 使 2, ,P x Ax A x 1.A PBP（ 2） 計 算 行 列 式 .A E 解 （ 1） 矩 陣 B滿 足 ， 即 。 由 于1A PBP AP PB 2 2 3, , , ,AP A x Ax

44、A x Ax A x A x 2 2, ,3 2Ax A x Ax A x 2 0 0 0, , 1 0 30 1 2x Ax A x PB 所 以 0 0 01 0 30 1 2B （ 2） 1A E PBP E 1P B E P B E 1 0 01 1 3 40 1 1 證 由 于 ， 所 以1 1 2 2,PAQ B PA Q B 1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 2B B PAQ Q A P P A A P 必 要 性 獲 證 ， 下 證 充 分 性 ， 設(shè) ， 則 1 1 11 2 1 2B B Z A A Z 1 11 1 2 2 .B Z A A ZB ,P Q令 1

45、12 2, ,P Z Q A ZB 則 均 為 可 逆 矩 陣 ， 且 例 2 設(shè) 是 階 方 陣 ， 其 中 是 可逆 的 ， 試 證 ： 存 在 可 逆 矩 陣 使1 2 1 2, , ,A A B B n 2 2,A B 1,2i iPAQ B i 成 立 的 充 分 必 要 條 件 是 和 相 似 。11 2A A 11 2B B,P Q 1 11 1 2 2 2 2 2,B PAQ PA Q Z A A ZB B 八 、 正 交 矩 陣 的 判 斷 與 證 明1、 正 交 矩 陣 的 概 念 階 矩 陣 A為 正 交 矩 陣n A A I 1.A A 2、 正 交 矩 陣 的 性 質(zhì)

46、 （ 1） 如 果 A是 正 交 矩 陣 ， 則 1;A （ 2） 如 果 A是 正 交 矩 陣 ， 則 均 為 正 交 矩陣 ； 而 是 正 交 矩 陣 的 充 分 必 要 條 件 是 1, , , kA A A A lA 1;l （ 3） 如 果 A， B 是 階 正 交 矩 陣 ， 則 AB 也 是 正 交 矩 陣 ；n （ 4） 階 實 矩 陣 A是 正 交 矩 陣 的 充 分 必 要 條 件 是 ， A的列 （ 行 ） 向 量 組 是 規(guī) 范 正 交 向 量 組 。n 判 定 一 個 實 方 陣 A是 否 為 正 交 矩 陣 往 往 用 定 義 ， 也 可驗 證 A的 列 （ 行 ）

47、 向 量 組 是 否 是 規(guī) 范 正 交 向 量 組 。 當(dāng) 已 知A是 正 交 矩 陣 求 證 其 他 結(jié) 論 時 ， 要 用 到 正 交 矩 陣 的 定 義 及有 關(guān) 性 質(zhì) 。 例 1 如 果 實 對 稱 矩 陣 A滿 足 ， 證 明 ：2 4 3A A I O 2A I 為 正 交 矩 陣 。 證 一 因 為 A滿 足 和 ， 所 以 2 4 3A A I O TA A 2 2 2 2T T TA I A I A I A I 2 2A I A I 2 4 4A A I 2 4 3A A I I I 2A I 為 正 交 矩 陣 。故 證 二 由 得 ， 所 以 2 4 3A A I O

48、 22A I I 12 2A I A I 2 2 TT TA I A I 2A I 為 正 交 矩 陣 。故 例 2 求 證 ： 不 存 在 正 交 矩 陣 A,B ， 使 2 2.A AB B 證 用 反 證 法 若 存 在 階 正 交 矩 陣 A,B ,使n2 2.A AB B 式 右 乘 得1B 2 1A B A B 式 變 形 為 ， 再 左 乘 得 2A A B B 1A1 2A B A B 由 于 A,B 是 正 交 矩 陣 ， 從 而 是 正 交 矩 陣 ， 此 即A+B是 正 交 矩 陣 ， 類 似 可 知 也 是 正 交 矩 陣 。 故 有1 2A BA B 2 T T TI

49、 A B A B I A B B A 2T T TI A B A B I A B B A 兩 式 相 加 得 ， 矛 盾 ， 即 知 結(jié) 論 。2 4I I 九 、 實 對 稱 矩 陣 正 交 相 似 于 對 角 矩 陣 的 計 算1、 實 對 稱 矩 陣 的 性 質(zhì)（ 1） 實 對 稱 矩 陣 的 特 征 值 皆 為 實 數(shù) ； （ 2） 實 對 稱 矩 陣 的 不 同 特 征 值 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 必 正交 ； （ 3） 實 對 稱 矩 陣 可 正 交 相 似 于 對 角 矩 陣 ， 即 對 于 任意 一 個 階 實 對 稱 矩 陣 A， 都 存 在 一 個 階 正 交 矩 陣

50、使 為 對 角 矩 陣 。n n ,Q 1TQ AQ Q AQ2、 實 對 稱 矩 陣 正 交 相 似 于 對 角 陣 的 計 算 步 驟 化 實 對 稱 矩 陣 正 交 相 似 于 對 角 矩 陣 的步 驟 如 下 ： ij n nA a 第 一 步 求 A的 特 征 值 和 對 應(yīng) 的 線 性 無 關(guān) 特 征 向 量 。設(shè) 是 A的 所 有 互 異 特 征 值 ， 其 重 數(shù) 分 別 為1 2, , , t 1 2, , , tr r r 且 1 2 .tr r r n 1 2, , , 1,2, ,ii i ir i t 又 設(shè) 對 應(yīng) 特 征 值 的 個 線 性 無 關(guān) 的 特 征 向

51、 量 為i ir1ir 第 二 步 當(dāng) 時 ， 將 特 征 向 量 ，用 Schmidt正 交 化 方 法 正 交 化 ： 1 2, , , ii i ir 1 ,1 , 11 1 , , 1, , 1,2, , ,ij i ij i j iij ij i i j ii i i j i i j j r 再 單 位 化 1,2, ,ijij i ij j r 如 果 ， 直 接 將 單 位 化 得1ir ij .ijij ij 第 三 步 構(gòu) 造 正 交 矩 陣 1 211 12 1 21 22 2 1 2, , , , , , , , , , , , tr r t t trQ 1 21 21

52、tr rT t rE EQ AQ Q AQ E 則 例 1 設(shè) 矩 陣 ， 已 知 線 性 方 程組 有 解 但 不 唯 一 ， 試 求 ，1 1 11 1 , 11 1 2aA aa Ax （ 1） 的 值 ；a（ 2） 正 交 矩 陣 ， 使 為 對 角 矩 陣 。Q TQ AQ 解 法 1 （ 1） 對 線 性 方 程 組 的 增 廣 矩 陣作 初 等 行 變 換 ， 有 Ax 1 1 11 1 11 1 2aA aa 1 1 10 1 1 00 0 1 2 2aa aa a a 因 為 方 程 組 有 解 但 不 唯 一 ， 所 以 3,r A r A Ax 故 2.a 法 2 因 為

53、 方 程 組 有 解 但 不 唯 一 ， 所 以Ax 21 11 1 1 2 01 1aA a a aa 當(dāng) 時 ， ， 此 時 方 程 組 無 解 ； r A r A1a 當(dāng) 時 ， ， 此 時 方 程 組 有 解 但 不 唯 一 。2a r A r A （ 2） 由 （ 1） ， 有 ， A 的 特 征 多 項1 1 21 2 12 1 1A 式 為 3 3E A 故 A 的 特 征 值 為 ， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 為1 2 33, 3, 0 1 2 31,0, 1 , 1, 2,1 , 1,1,1T T T 將 單 位 化 得 1 2 3, , 1 2 31 1 1 2 1 1 1 1,0, , , , , , ,2 2 6 6 6 3 3 3T TT 令 1 2 3, , ,Q 則 3 0 00 3 0 .0 0 0TQ AQ