《函數的極值》PPT課件

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1、4.3 函 數 的 極 值 定 義 4.1 設 函 數 在 點 的 某個 領 域 內 有 定 義 . )(xfy 0 x (1)如 果 對 于 該 領 域 內 任 意 的 總 有 ， 則 稱 為 函 數 的極 大 值 ， 并 且 稱 點 是 的 極 大 值 點 . )( 0 xxx )()( 0 xfxf )( 0 xf )(xf)(xf0 x總 有 ， 則 稱 為 函 數 的 極 小 值 ， 并 且 稱 點 是 的 極 小 值 點 .)( 0 xxx )()( 0 xfxf )( 0 xf )(xf)(xf0 x(2)如 果 對 于 該 領 域 內 任 意 的 函 數 的 極 大 值 與 極

2、 小 值 統(tǒng) 稱 為 函 數 的極 值 ， 極 大 值 與 極 小 值 值 點 統(tǒng) 稱 為 極 值 點 .o xya b)(xfy 1x 2x 3x 4x 5x 6x 定 理 4.7(極 值 存 在 的 必 要 條 件 )如 果 在 點 處 取 得 極 值 且 在 點 處 可 導 ,則 . )(xf0 x 0)( 0 xf 0 x 說 明 (1) 只 是 在 點 處 取極 值 的 必 要 條 件 ， 而 不 是 充 分 條 件 .事 實 上 ， 函 數 在 時 ， 導 數 等 于 零 ， 但 在 該 點并 不 取 得 極 值 。3y x 0 x0( ) 0 f x ( )f x0 x 通 常

3、把 使 得 的 點 稱 為 駐 點 .駐 點 可 能 是 函 數 的 極 值 點 ， 也 可 能 不 極 值 點0 x( ) 0 f x (2)定 理 的 條 件 之 一 是 函 數 在 點 可 導 ，而 導 數 不 存 在 的 點 也 有 可 能 取 得 極 值 。0 x 例 如 ， 在 不 可 導 ， 但 卻 取 得 極 小 值 ，( )f x x 0)0( f0 x (1) 由 正 變 負 ， 則 是 極 大 值 點 ；)(xf 0 x (2) 由 負 變 正 ， 則 是 極 小 值 點 ；)(xf 0 x (3) 不 改 變 符 號 ， 則 不 是 極 值 點 .)(xf 0 x 定

4、理 4.8 (極 值 判 別 法 )設 函 數 在 點 的 鄰 域 內 連 續(xù) 且 可 導 (允 許 不存 在 )， 當 由 小 增 大 經 過 點 時 ， 若0 x x )( 0 xf0 x )(xfxyo xyo0 x 0 x 找 出 在 定 義 域 內 兩 類 點 ， 即 找 出使 的 點 及 所 有 導 數 不 存 在 的 點 ；)(xf0)( xf 確 定 函 數 的 定 義 域 ， 求 出 導 數 ；)(xf)(xf 用 兩 類 點 將 定 義 域 分 成 若 干 個 部 分 區(qū) 間 ，并 確 定 在 每 一 個 部 分 區(qū) 間 上 的 符 號 ；( )f x 由 定 理 ， 確

5、定 在 兩 類 點 處 是 否 有 極值 ， 是 極 大 值 還 是 極 小 值 。( )f x求 函 數 極 值 的 步 驟 ： 例 1 求 函 數 的 極 值 32 )1()1()( xxxf 解 223 )1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf )3322()1)(1( 2 xxxx )15()1)(1( 2 xxx ，令 ， 解 得 ， ， .得 到 三 個 駐 點 ， 沒 有 導 數 不 存 在 的 點 .0)( xf 1x 51x 1x x 1x 15 x )(xf )(xf )1,( )51,1(1 )32,0( 1 ),1( 510 00 000無 極 值 1253456

6、3極 大 值 0極 小 值 由 表 可 見 函 數 的 極 大 值 為 ，極 小 值 為 12534563)51( f0)1( f 例 2 求 函 數 的 極 值 32)1(32)( xxxf 解 )111(32)1(3232)( 331 xxxf 33 11132 xx ， 當 時 ， 不 存 在 1x )(xf0)( xf 2x 令 ， 解 得 . x3 1x 113 x )(xf )(xf )1,( )2,1(1 ),2( 2 0032極 大 值 31極 小 值 0 函 數 極 大 值 為 ， 極 小 值 為 32)1( f31)2( f 練 習 一 求 下 列 函 數 的 極 值12

7、1 ( ) (1) 43 ( ) (3) 0 x f x fx f x f 在 處 ， 有 極 大 值 ；在 處 ， 有 極 小 值3 21. ( ) 6 9 f x x x x3 22. (2 5) y x x1 (1) 30 (0) 0 x fx f 在 處 ， 函 數 有 極 小 值 ；在 處 ， 函 數 有 極 大 值 (1)若 ， 則 函 數 在 點 處取 得 極 大 值 ； 0)( 0 xf )(xf 0 x (2)若 ， 則 函 數 在 點 處取 得 極 小 值 ； 0)( 0 xf )(xf 0 x (3)若 ， 則 不 能 判 斷 是 否是 極 值 . 0)( 0 xf )(

8、 0 xf 定 理 4.9(極 值 判 別 法 ) 設 函 數 在點 處 有 二 階 導 數 ， 且 ， 存 在 ， )(xf0 x 0)( 0 xf 0)( 0 xf 因 此 ， 當 時 ， 第 二 判 別 法 失 效 ，只 能 用 第 一 判 別 法 判 斷 .0)( 0 xf 0)( 0 xf )(xf 對 于 的 情 形 ： 可 能 是 極 大 值 ，可 能 是 極 小 值 ， 也 可 能 不 是 極 值 例 如 4)( xxf 0)( xf 0)0( f ， ， 是 極 大 值 ；4)( xxg 0)0( g 0)0( g ， ， 是 極 小 值 ；3)( xx 0)0( 0)0(

9、， ， 但 不 是 極 值 例 3 求 函 數 的 極 值 193)( 23 xxxxf 解 ，)3)(1(3963)( 2 xxxxxf 令 ， 解 得 ， .0)( xf 1x 3x66)( xxf ， ， 所 以 是 極 大 值點 . 的 極 大 值 為 .012)1( f 1x)(xf 6)1( f ， 所 以 是 極 小 值 點 .的 極 小 值 為 .012)3( f 3x26)3( f 練 習 二 求 函 數 的 極 值0 ( ) (0) 0 x f x f 在 處 ， 有 極 小 值2 3 ( ) ( 1) 1 f x x 對 于 一 個 閉 區(qū) 間 上 的 連 續(xù) 函 數 ,

10、它 的最 大 值 、 最 小 值 只 能 在 極 值 點 或 端 點 上 取 得 因 此 ,只 要 求 出 函 數 的 所 有 極 值 和 端 點 值 ，它 們 之 中 最 大 的 就 是 最 大 值 ， 最 小 的 就 是 最 小值 . )(xf )(xf 如 果 函 數 在 閉 區(qū) 間 a,b上 連 續(xù) ， 則 在 a,b必 能 取 得 最 大 值 和 最 小 值 .函 數的 最 大 值 與 最 小 值 統(tǒng) 稱 為 函 數 的 最 值 。)(xf)(xf 求 出 在 內 的 所 有 駐 點 和 一 階導 數 不 存 在 的 連 續(xù) 點 ， 并 計 算 各 點 的 函 數 值 . )(xf

11、),( ba )(af )(bf 求 出 端 點 的 函 數 值 和 .求 最 大 值 和 最 小 值 的 方 法 如 下 ： 比 較 前 面 求 出 的 所 有 函 數 值 ， 其 中 最大 的 就 是 在 上 的 最 大 值 , 最 小 的就 是 在 上 的 最 小 值 .)(xf M)(xf , ba, ba m 例 4 求 函 數 在 上 的 最 大 值 與 最 小 值 . 11243)( 234 xxxxf3,3 令 ， 解 得 ， ， ，0)( xf 1x 0 x 2x解 xxxxf 241212)( 23 0)2)(1(12 xxx 計 算 出 ， ， ，4)1( f 1)0(

12、f 31)2( f 再 算 出 ， ，244)3( f 28)3( f 比 較 這 五 個 函 數 值 ， 得 出 在 上 的 最 大 值 為 ， 最 小 值 為 . )(xf 3,3244)3( f31 )2(f 比 較 這 五 個 函 數 值 ， 得 出 在 上的 最 大 值 為 ， 最 小 值 為 .)(xf 2,211)2( f 2)1( f 解 )1)(1(444)( 3 xxxxxxf ， 令 ， 解 得 ， ， ，0)( xf 1x 0 x 1x 計 算 出 ， ，3)0( f 2)1( f 再 算 出 ，11)2( f 例 5 求 函 數 在 上 的 最 大 值 與 最 小 值

13、 . 32)( 24 xxxf 2,2 例 6 求 函 數 在 上 的 最 大 值 與 最 小 值 . 1)( 3 xxf 3,1 令 ， 解 得 ，0)( xf 0 x 計 算 出 ，1)0( f 再 計 算 出 ， ，0)1( f 28)3( f 解 23)( xxf ， 比 較 以 上 三 個 函 數 值 得 出 在 上 的 最 大 值 為 ， 最 小 值 為 .)(xf 3,128)3( f 0)1( f 事 實 上 ， 有 ， 故 是 單調 增 加 的 ， 單 調 函 數 的 最 大 值 和 最 小 值 都 發(fā)生 在 區(qū) 間 的 端 點 處 . 03)( 2 xxf )(xf 練 習

14、 三 ( ) 0,4 (4) 6(0) 0f x ff 函 數 在 的 最 大 值 為最 小 值 為求 函 數 ， 在 閉 區(qū) 間 0,4上 的 最大 值 和 最 小 值 .( ) f x x x 特 別 值 得 指 出 的 是 ： 在 一 個 區(qū) 間 (有限 或 無 界 ， 開 或 閉 )內 可 導 且 只 有 一 個 駐 點 ， 并 且 這 個 駐 點 是 的 唯 一 極 值 點 ， 那)(xf0 x )(xf么 ， 當 是 極 大 值 時 ， 就 是 在 該區(qū) 間 上 的 最 大 值 ； 當 是 極 小 值 時 ， 就 是 在 該 區(qū) 間 上 的 最 小 值 在 應 用 問 題中 往 往

15、 遇 到 這 樣 的 情 形 這 時 可 以 當 作 極 值問 題 來 解 決 ， 不 必 與 區(qū) 間 的 端 點 值 相 比 較 )( 0 xf )( 0 xf)(xf )( 0 xf )( 0 xf)(xf 解 設 窗 框 的 寬 為 ， 則 長 為 . m xm)36(21 x xxx 例 7 欲 用 長 的 鋁 合 金 料 加 工 一 日 字形 窗 框 ， 問 它 的 長 和 寬 分 別 為 多 少 時 ， 才 能 使窗 戶 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？m6 )2,0(,233)36(21 2 xxxxxy 于 是 窗 戶 的 面 積 令 ， 求 得 駐 點 ，0

16、y 1xxy 33 因 為 ， 所 以 是 極 大 值 點 .由 于 在 區(qū) 間 (0， 2)內 有 唯 一 的 極 大 值 ， 則這 個 極 大 值 就 是 最 大 值 . 03y 1xy 于 是 得 到 ， 窗 戶 的 寬 為 ， 長 為 時 ， 窗 戶 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 為m1 m23)m(23)1( 2y 例 8 某 廠 生 產 某 種 產 品 ， 其 固 定 成 本 為3萬 元 ， 每 生 產 一 百 件 產 品 ， 成 本 增 加 2萬 元 R q 其 總 收 入 (單 位 ： 萬 元 )是 產 量 (單位 ： 百 件 )的 函 數 . 2215 qqR ，

17、求 達 到 最 大 利 潤 時 的 產 量 解 利 潤 函 數 為 22133 qqCRL qL 3 ，令 ， 得 (百 件 ).0L 3q ， 所 以 當 時 ， 函 數 取得 極 大 值 ， 因 為 是 唯 一 的 極 值 點 ， 所 以 就 是 最大 值 點 . 01)3( L 3q 即 產 量 為 300件 時 取 得 最 大 利 潤 . 例 9 已 知 某 個 企 業(yè) 的 成 本 函 數 為25309 23 qqqC ， 其 中 成 本 (單 元 ： 千 元 )， 產 量(單 位 ： 噸 )， 求 平 均 可 變 成 本 (單 位 ： 千元 )的 最 小 值 C qy 解 平 均 可

18、 變 成 本 30925 2 qqqCy ，92 qy ，令 ， 得 (噸 ).0y 5.4q 75.930)5.4(9)5.4( 25.4 qy (千 元 ). 即 產 量 為 4.5噸 時 ， 平 均 可 變 成 本 取 得 最小 值 9750元 . ， 所 以 時 ， 取 得極 小 值 ， 由 于 是 唯 一 的 極 值 ， 所 以 就 是 最 小值 y025.4 qy 5.4q 1.某 農 廠 要 用 圍 墻 圍 成 面 積 為 的 一 塊矩 形 土 地 ， 并 在 正 中 用 一 堵 墻 將 它 隔 成 兩 塊 ，問 這 塊 土 地 的 長 和 寬 選 取 多 大 的 尺 寸 ， 才

19、 能 使所 用 的 建 筑 材 料 最 省 ？ 2216m練 習 四 解 設 土 地 的 長 為 ， 則 寬 為 m x216mx 因 此 圍 墻 和 隔 墻 的 總 長 度 為( )f x216( ) 2 3 f x x x6482 , (0 ) x xx2648( ) 2 f x x ( ) 0, f x令 1 218, 18( ) x x解 得 舍 去1 ( ) (0,+ ) =18f x x因 此 在 有 唯 一 駐 點 3 3648 1296 ( ) 2 0, (0 ) f x xx x又 因 為所 以 是 唯 一 極 值 點 ，因 而 也 是 最 小 值 點 .1 18x ( )f

20、 x 216 1218 因 此 ， 當 這 塊 土 地 的 長 為 18米 ， 寬 為 米 時 ，圍 墻 和 隔 墻 的 總 長 度 最 短 ， 所 用 建 筑 材 料 最 省 . 2.某 工 廠 生 產 電 視 機 ， 固 定 成 本 為 元 ，每 生 產 一 臺 電 視 機 ， 成 本 增 加 元 ， 已 知 總 收益 是 年 產 量 的 函 數問 每 年 生 產 多 少 臺 電 視 機 時 ， 總 利 潤 最 大 ？ 此時 總 利 潤 是 多 少 ？ C x根 據 題 意 總 成 本 是 年 產 量 的 函 數 ， 得解 ( )C C x a bx 21( ) 4 ,(0 4 )2 R

21、R x bx x x b abR x ( ) ( ) ( )L L x R x C x 總 利 潤 213 , (0 4 )2 bx x a x b ( ) 3 , (0 4 )L x b x x b 因 為 ( ) 3L x x b所 以 有 唯 一 駐 點2 3(4.5 )( )bb a因 此 ， 當 年 產 量 為 時 ， 總 利 潤 最 大 ，此 時 總 利 潤 為 元 3.設 成 本 函 數 ， 問產 量 等 于 多 少 時 平 均 成 本 達 到 最 小 ？ 2( ) 54 18 6C x x x 解 由 于 平 均 成 本 為 ( ) 54( ) 18 6C xC x xx x 254( ) 6C x x ( ) 3,C x x 令 ， 解 得 又 因 為3108( ) 0, ( 0 ) C x xx 當 時3x 所 以 唯 一 極 小 值 點3因 此 ， 當 產 量 為 個 單 位 時 ， 平 均 成 本 達 到 最 小 。