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1、1.5 定 積 分 的 概 念1.5.1 曲 邊 梯 形 的 面 積1.5.2 汽 車 行 駛 的 路 程 這 些 圖 形 的 面 積 該 怎 樣 計(jì) 算 ？ 例 題 （ 阿 基 米 德 問(wèn) 題 ） ： 求 由 拋 物 線y=x2與 直 線 x=1,y=0所 圍 成 的 平 面 圖 形 的 面 積 Archimedes， 約 公 元 前287年 約 公 元 前 212年問(wèn) 題 1： 我 們 是 怎 樣 計(jì)算 圓 的 面 積 的 ？ 圓 周 率是 如 何 確 定 的 ？問(wèn) 題 2： “ 割 圓 術(shù) ” 是怎 樣 操 作 的 ？ 對(duì) 我 們 有何 啟 示 ？ xy 1.了 解 定 積 分 的 基
2、本 思 想 “ 以 直 代 曲 ” “ 逼 近 ” 的 思想 .（ 重 點(diǎn) ）2.“ 以 直 代 曲 ” “ 逼 近 ” 的 思 想 的 形 成 與 求 和 符 號(hào) .（ 難 點(diǎn) ） 曲 邊 梯 形 的 概 念 ： 如 圖 所 示 ， 我 們 把 由 直 線x=a,x=b(a b),y=0和 曲 線 y=f(x)所 圍 成 的 圖 形 稱為 曲 邊 梯 形 如 何 求 曲 邊 梯形 的 面 積 ？a bf(a)f(b) y=f(x)xyO 對(duì) 任 意 一 個(gè) 小 曲 邊 梯 形 ， 用 “ 直 邊 ” 代 替 “ 曲 邊 ” （ 即 在 很 小 范 圍 內(nèi) 以 直 代 曲 )探 究 點(diǎn) 1 曲
3、 邊 梯 形 的 面 積 直 線 x1， y0及 曲 線 yx2所 圍 成 的 圖 形 （ 曲 邊梯 形 ） 面 積 S是 多 少 ？為 了 計(jì) 算 曲 邊 梯 形 的 面 積 S， 將 它 分 割 成 許 多 小 曲 邊 梯 形 ，x yO 1 方 案 1 方 案 2 方 案 3y=x2 解 題 思 想“ 細(xì) 分 割 、 近 似 和 、 漸 逼 近” 下 面 用 第 一 種 方 案 “ 以 直 代 曲 ” 的 具 體 操 作 過(guò) 程 xoy 1 圖 中 ， 所 有 小 矩 形 面 積 之 和 顯 然 小 于 所求 曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 我 們 稱 為 S 的 不 足 估 計(jì) 值 ，
4、則 有 1s1s 24.02.0)8.06.04.02.00( 222221 s 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ， 矩形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 .
5、2 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積
6、 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ，
7、 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . 觀 察 以 下 演 示 ， 注 意 當(dāng) 分 割 加 細(xì) 時(shí) ，矩 形 面 積 的 和 與 曲 邊 梯 形 面 積 的 關(guān) 系 . （ 1） 分 割把 區(qū) 間 0， 1等 分 成 n個(gè) 小 區(qū) 間 ：1 1 2 i 1 i n 1 n0, , , , , , , , , ,n n n n n n n i i 1 1 x n n n 過(guò) 各 區(qū) 間 端 點(diǎn) 作 x軸 的 垂 線 ，從 而 得 到 n個(gè) 小 曲 邊 梯 形 ， 它們 的 面 積 分 別 記 作 1 2 i nS, S , , S,
8、 , S . 每 個(gè) 區(qū) 間 長(zhǎng) 度 為 1n iiS S （ 2） 近 似 代 替 2i i 1 i 1 1S f( ) x ( )n n n （ 3） 求 和 n1 2 n i i 1n n 2i 1 i 12 2 2 23S S S S S ,i-1 1 i-1 1 f( ) ( )n n n n1 0 1 2 (n 1) n (i=1,2, ,n) （ 4） 取 極 限 n 當(dāng) 分 割 無(wú) 限 變 細(xì) ， 即 x 0(亦 即 n + )時(shí) ，1 1 1 1S =lim 1- 1- =3 n 2n 31即 所 求 曲 邊 梯 形 的 面 積 為 .331 (n 1)n(2n 1)n 61
9、 1 1(1 )(1 )3 n 2n 演 示 區(qū) 間 0,1的 等 分 數(shù) n S的 近 似 值 Sn2 0.125 000 004 0.218 750 008 0.273 437 5016 0.302 734 3832 0.317 871 0964 0.325 561 52128 0.329 437 26256 0.331 382 75 512 0.332 357 411024 0.332 845 21 我 們 還 可 以 從 數(shù) 值 上 看 出 這 一 變 化 趨 勢(shì) 思 考 1： 已 知 物 體 運(yùn) 動(dòng) 路 程 與 時(shí) 間 的 關(guān) 系 ,怎 樣 求 物 體 的運(yùn) 動(dòng) 速 度 ？探 究 點(diǎn)
10、 2 汽 車 行 駛 的 路 程思 考 2： 已 知 物 體 運(yùn) 動(dòng) 速 度 為 v(常 量 )及 時(shí) 間 t， 怎 么求 路 程 ？ 1SD 2SD 2( ) 2v t tOv t 12 ggg g g3SD jSD nSD 1n 2n 3n jn n - 1n4SD o tv 1 2tv 2 65.1 圖 , ,( ), ,. v v ta t b一 般 地 如 果 物 體 做 變 速 直 線 運(yùn) 動(dòng) 速度 函 數(shù) 為 那 么 我 們 也 可 采 用 分 割 、近 似 代 替 、 求 和 、 取 極 限 的 方 法 求 出 它 在內(nèi) 的 位 移 s 2lim0, 1, 0 2. nnS S
11、t t v v t 從 而 ， 汽 車 行 駛 的 路 程 在 數(shù) 值 上 等 于由 直 線 和 曲 線 所 圍 成 的 曲邊 梯 形 的 面 積 例 彈 簧 在 拉 伸 過(guò) 程 中 ,力 與 伸 長(zhǎng) 量 成 正 比 ,即 力 F(x)=kx (k是 常 數(shù) ,x是 伸 長(zhǎng) 量 ).求 彈 簧 從 平 衡 位 置拉 長(zhǎng) b所 做 的 功 .將 區(qū) 間 0,b n等 分 :解 ： W=Fx,F(x)=kx bx n 分 點(diǎn) 依 次 為 ： 0 1 21 20, , ,.,( 1) , .n nb bx x xn nn bx x bn ,n i i+1i在 分 段 x ,x 所 用 的 力 約 為
12、 kx， 所 做 的 功 :i i i bW kx x kx n 則 從 0到 b所 做 的 功 W近 似 等 于 : 1 1 10 0 0n n ni ii i i ib bW kx x k n n n + ,得 到 簧 平 衡位 置 拉 b所 做 的 功當(dāng) 彈 從長(zhǎng) 為1 1 10 0 0n n ni ii i i ib bW kx x k n n 222 22 0 1 2 . ( 1)( 1) 1(1 )2 2kb nnkb n n kbn n 210lim 2n in i kbW W 總 結(jié) 提 升 ： 求 由 連 續(xù) 曲 線 y=f(x)對(duì) 應(yīng) 的 曲 邊 梯 形 面 積的 方 法（
13、 1） 分 割 （ 2） 近 似 代 替 （ 3） 求 和 （ 4） 取 極 限 0( )x n 或 2 1. ( ) ,1 2. ( ) . ( ) . ( ) . 0i if x x n nif f f fn n n 1 nA B C D當(dāng) 很 大 時(shí) ， 函 數(shù) 在 區(qū) 間上 的 值 ， 可 以 用 （ ） 近 似 代 替 . C 11 1“ ” ( ) , . ( ). ( ). ( )( , ). 2 f xABCD i iii i i i ix xf xf x f x x .在 近 似 代 替 中 ， 函 數(shù) 在 區(qū) 間上 的 近 似 值 等 于 （ ）只 能 是 左 端 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值只 能 是 右 端 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值可 以 是 該 區(qū) 間 內(nèi) 任 一 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值以 上 答 案 均 不 正 確 C 1.求 曲 邊 梯 形 面 積 的 “ 四 個(gè) 步 驟 ” ：1 分 割 化 整 為 零2 近 似 代 替 以 直 代 曲3 求 和 積 零 為 整4 取 極 限 刨 光 磨 平 不 積 跬 步 ， 無(wú) 以 至 千 里 ； 不 積 小 流 ， 無(wú) 以成 江 海 。 荀 子 勸 學(xué)
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