《高等代數(shù)》線性變換

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1、7.1 線 性 映 射7.2線 性 變 換 的 運(yùn) 算7.3 線 性 變 換 和 矩 陣7.4 不 變 子 空 間7.5 特 征 值 和 特 征 向 量7.6 可 以 對(duì) 角 化 矩 陣課 外 學(xué) 習(xí) 8： 一 類 特 殊 矩 陣 的 特 征 值 當(dāng) 代 數(shù) 和 幾 何 結(jié) 合 成 伴 侶 時(shí) ， 他 們 就 相 互 吸 取對(duì) 方 的 新 鮮 活 力 ， 并 迅 速 地 趨 于 完 美 。-拉 格 朗 日 （ Lagrange,1736-1813）數(shù) 與 形 ， 本 是 相 倚 依 ， 焉 能 分 作 兩 邊 飛 。數(shù) 缺 形 時(shí) 少 知 覺(jué) ， 形 少 數(shù) 時(shí) 難 入 微 。-華 羅 庚 （

2、 1910 1985） 7.1 線 性 映 射一 、 內(nèi) 容 分 布 7.1.1 線 性 映 射 的 定 義 、 例 . 7.1.2 線 性 變 換 的 象 與 核 .二 、 教 學(xué) 目 的 : 1 準(zhǔn) 確 線 性 變 換 （ 線 性 映 射 ） 的 定 義 ， 判 斷 給定 的 法 則 是 否 是 一 個(gè) 線 性 變 換 （ 線 性 映 射 ） 2 正 確 理 解 線 性 變 換 的 象 與 核 的 概 念 及 相 互 間的 聯(lián) 系 ， 并 能 求 給 定 線 性 變 換 的 象 與 核 三 、 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) : 判 斷 給 定 的 法 則 是 否 是 一 個(gè) 線 性變 換 （ 線 性 映

3、 射 ） ， 求 給 定 線 性 變 換 的 象 與 核 7.1.1 線 性 映 射 的 定 義 、 例 設(shè) F是 一 個(gè) 數(shù) 域 ， V和 W是 F上 向 量 空 間 . 定 義 1 設(shè) 是 V 到 W 的 一 個(gè) 映 射 . 如 果 下 列 條件 被 滿 足 ， 就 稱 是 V 到 W 的 一 個(gè) 線 性 映 射 ： 對(duì) 于 任 意 對(duì) 于 任 意容 易 證 明 上 面 的 兩 個(gè) 條 件 等 價(jià) 于 下 面 一 個(gè) 條 件 ： 對(duì) 于 任 意 和 任 意, V ).()()( )()(, aaVFa Fba , , V )()()( baba 在 中 取 ， 對(duì) 進(jìn) 行 數(shù) 學(xué) 歸 納

4、， 可 以 得 到 ：（ 1）（ 2） 0a 0)0( )()()( 1111 nnnn aaaa 例 1 對(duì) 于 的 每 一 向 量 定 義 是 到 的 一 個(gè) 映 射 ， 我 們 證 明 ， 是 一 個(gè) 線性 映 射 . 2R 21,xx 321211 , Rxxxxx 3R2R例 2 令 H是 中 經(jīng) 過(guò) 原 點(diǎn) 的 一 個(gè) 平 面 .對(duì) 于 的 每一 向 量 ， 令 表 示 向 量 在 平 面 H上 的 正 射 影 .根據(jù) 射 影 的 性 質(zhì) ， 是 到 的 一 個(gè) 線 性 映射 . 3V 3V : 3V 3V 例 3 令 A是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) m n矩 陣 ， 對(duì) 于 n元 列

5、 空間 的 每 一 向 量 mF nxxx21規(guī) 定 ： 是 一 個(gè) m 1矩 陣 ， 即 是 空 間 的 一 個(gè) 向 量 ，是 到 的 一 個(gè) 線 性 映 射 . mFmFnF 例 4 令 V 和 W是 數(shù) 域 F 上 向 量 空 間 .對(duì) 于 V 的 每 一 向量 令 W 的 零 向 量 0與 它 對(duì) 應(yīng) ， 容 易 看 出 這 是 V 到 W的 一 個(gè) 線 性 映 射 ， 叫 做 零 映 射 . 例 5 令 V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) 向 量 空 間 ， 取 定 F的 一 個(gè) 數(shù) k，對(duì) 于 任 意 定 義容 易 驗(yàn) 證 ， 是 V 到 自 身 的 一 個(gè) 線 性 映 射 ， 這 樣 一

6、個(gè) 線 性 映 射 叫 做 V 的 一 個(gè) 位 似 . 特 別 ， 取 k = 1， 那 么 對(duì) 于 每 一 都 有 這 時(shí) 就 是 V到 V的 恒 等 映 射 ， 或 者 叫 做 V的 單 位 映射 ， 如 果 取 k = 0， 那 么 就 是 V 到 V的 零 映 射 . ,V k ,V , 例 6 取 定 F的 一 個(gè) n元 數(shù) 列 對(duì) 于 的 每 一 向 量 規(guī) 定 容 易 驗(yàn) 證 ， 是 到 F的 一 個(gè) 線 性 映 射 ， 這 個(gè) 線性 映 射 也 叫 做 F上 一 個(gè) n元 線 性 函 數(shù) 或 上 一 個(gè)線 性 型 . .21 naaa nF .21 nxxx Fxaxaxa n

7、n 2211 nFnF例 7 對(duì) 于 Fx 的 每 一 多 項(xiàng) 式 f（ x） ， 令 它 的 導(dǎo) 數(shù) 與 它 對(duì) 應(yīng) ， 根 據(jù) 導(dǎo) 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) ， 這 樣 定 義的 映 射 是 Fx到 自 身 的 一 個(gè) 線 性 映 射 . xf 例 8 令 Ca, b是 定 義 在 a, b上 一 切 連 續(xù) 實(shí) 函 數(shù)所 成 的 R上 向 量 空 間 ， 對(duì) 于 每 一 規(guī) 定 仍 是 a, b上 一 個(gè) 連 續(xù) 實(shí) 函 數(shù) ， 根 據(jù) 積 分的 基 本 性 質(zhì) ， 是 Ca, b到 自 身 的 一 個(gè) 線 性 映 射 . ,baCxf dttfxf xa xf 定 義 2 設(shè) 是 向 量

8、 空 間 V到 W的 一 個(gè) 線 性 映 射 , (1)如 果 那 么 叫 做 在 之 下 的 象 .(2)設(shè) 那 么 叫 做 在 之 下 的 原 象 .,VV |)()( VV V,WW W)( | V W定 理 7.1.1 設(shè) V 和 W 是 數(shù) 域 F 上 向 量 空 間 ， 而 是 一 個(gè) 線 性 映 射 ， 那 么 V 的 任 意 子 空 間在 之 下 的 象 是 W 的 一 個(gè) 子 空 間 ， 而 W 的 任 意 子 空間 在 之 下 的 原 象 是 V 的 一 個(gè) 子 空 間 . WV : 特 別 ， 向 量 空 間 V 在 之 下 的 象 是 W 的 一 個(gè)子 空 間 ， 叫

9、做 的 象 , 記 為 即另 外 ， W 的 零 子 空 間 0 在 之 下 的 原象 是 V 的 一 個(gè) 子 空 間 ， 叫 做 的 核 ，記 為即 ),Im().()Im( V ),(Ker .0)(|)( VKer 定 理 7.1.2 設(shè) V和 W是 數(shù) 域 F向 量 空 間 ， 而 是 一 個(gè) 線 性 映射 ， 那 么(i) 是 滿 射(ii) 是 單 射證 明 論 斷 (i)是 顯 然 的 ,我 們 只 證 論 斷 (ii)如 果 是 單 射 ,那 么 ker( )只 能 是 含 有 唯 一 的 零 向 量 .反 過(guò) 來(lái) 設(shè) ker( ) = 0. 如 果 那 么 從 而 所 以 即

10、 是 單 射 .WV : W )Im( 0)( Ker ).()(, 而V ,0)()()( .0)ker( , 如 果 線 性 映 射 有 逆 映 射 ， 那 么 是 W 到 V 的 一 個(gè) 線 性 映 射 . 建 議 同 學(xué) 給 出 證 明 . WV : 1 一 、 內(nèi) 容 分 布7.2.1 加 法 和 數(shù) 乘7.2.2線 性 變 換 的 積7.2. 3線 性 變 換 的 多 項(xiàng) 式二 、 教 學(xué) 目 的 :掌 握 線 性 映 射 的 加 法 、 數(shù) 乘 和 積 定 義 ， 會(huì) 做 運(yùn) 算 .掌 握 線 性 變 換 的 多 項(xiàng) 式 , 能 夠 求 出 給 定 線 性 變 換的 多 項(xiàng) 式

11、.三 、 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) : 會(huì) 做 運(yùn) 算 . 令 V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) 向 量 空 間 ， V到 自 身 的 一 個(gè)線 性 映 射 叫 做 V 的 一 個(gè) 線 性 變 換 .我 們 用 L（ V） 表 示 向 量 空 間 和 一 切 線 性 變 換 所 成 的集 合 ， 設(shè)定 義 : 加 法 : 數(shù) 乘 : , 那 么 是 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 .可 以 證 明 : 和 都 是 V 的 一 個(gè) 線 性 變 換 . ,),(, FkvL )()(: )(: kk k令 ， 那 么 對(duì) 于 任 意 和 任 意 Fba , , V 證 明 ).()( )()()()( )()()(

12、)( )()()( ba ba baba bababa 所 以 是 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 k令 ， 那 么 對(duì) 于 任 意 和 任 意 Fba , , V.)()( )()( )()( )()( ba bkak bak bakba 所 以 k 是 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 . 線 性 變 換 的 加 法 滿 足 變 換 律 和 結(jié) 合 律 ,容 易 證 明 ,對(duì)于 任 意 ,以 下 等 式 成 立 : )(, vL(1) ; (2) ).()( 令 表 示 V到 自 身 的 零 映 射 ,稱 為 V的 零 變 換 ,它 顯 然具 有 以 下 性 質(zhì) ： 對(duì) 任 意 有 ： )(vL

13、(3) 設(shè) 的 負(fù) 變 換 指 的 是 V到 V的 映 射容 易 驗(yàn) 證 ， 也 是 V的 線 性 變 換 ， 并 且 ),(vL ).(: （ 4） )( 線 性 變 換 的 數(shù) 乘 滿 足 下 列 算 律 ： ,)()5( kkk ,)()6( lklk ),()()7( lkkl ,1)8( 這 里 k,l是 F中 任 意 數(shù) ， , 是 V的 任 意 線 性 變 換 .定 理 7.2.1 L（ V） 對(duì) 于 加 法 和 數(shù) 乘 來(lái) 說(shuō) 作 成 數(shù) 域F上 一 個(gè) 向 量 空 間 . 設(shè) 容 易 證 明 合 成 映 射 也 是 V上 的 線性 變 換 ， 即 我 們 也 把 合 成 映

14、射 叫做 與 的 積 ， 并 且 簡(jiǎn) 記 作 。 除 上 面 的 性 質(zhì)外 ， 還 有 ： ),(, VL ).(VL ,)()9( ,)()10( ),()()()11( kkk 對(duì) 于 任 意 成 立 。)(, vLFk 證 明 我 們 驗(yàn) 證 一 下 等 式 （ 9） 其 余 等 式 可 以 類 似 地驗(yàn) 證 。 設(shè) 我 們 有.V ),)( )()( )()( )()( )()( 因 而 （ 9） 成 立 。 線 性 變 換 的 乘 法 滿 足 結(jié) 合 律 ：對(duì) 于 任 意 都 有 ),(, vL ).()( 因 此 ,我 們 可 以 合 理 地 定 義 一 個(gè) 線 性 變 換 的 n

15、次 冪 n n 這 里 n是 正 整 數(shù) 。我 們 再 定 義 0這 里 表 示 V到 V的 單 位 映 射 ， 稱 為 V的 單 位 變 換 。這 樣 一 來(lái) ， 一 個(gè) 線 性 變 換 的 任 意 非 負(fù) 整 數(shù) 冪 有 意 義 。 進(jìn) 一 步 ， 設(shè) .)( 10 nnxaxaaxf 是 F上 一 個(gè) 多 項(xiàng) 式 ， 而 以 代 替 x， 以 代 替 ， 得 到 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 ),(VL 0a0a .10 nnaaa 這 個(gè) 線 性 變 換 叫 做 當(dāng) 時(shí) f (x)的 值 ， 并 且記 作 x).(f（ 1） 因 為 對(duì) 于 任 意 我 們 也 可 將 簡(jiǎn) 記 作 ，

16、這 時(shí) 可 以 寫(xiě),)(, 00 aaV 0a0a .)( 10 nnaaaf （ 2） 帶 入 法 ： 如 果 并 且 ,)(),( xFxgxf ).()()( )()()( xgxfx xgxfx 那 么 根 據(jù) L(V )中 運(yùn) 算 所 滿 足 的 性 質(zhì) ,我 們 有 ).()()( )()()( gf gf 一 、 內(nèi) 容 分 布 7.3.1 線 性 變 換 的 矩 陣 7.3.2 坐 標(biāo) 變 換 7.3.3 矩 陣 唯 一 確 定 線 性 變 換 7.3.4 線 性 變 換 在 不 同 基 下 的 矩 陣 相 似 矩 陣二 、 教 學(xué) 目 的 1 熟 練 地 求 出 線 性 變

17、換 關(guān) 于 給 定 基 的 矩 陣 ， 以 及 給 定 n 階 矩 陣 和 基 ， 求 出 關(guān) 于 這 個(gè) 基 矩 陣 為 的 線 性 變 換 2 由 向 量 關(guān) 于 給 定 基 的 坐 標(biāo) ， 求 出 ( )關(guān) 于 這 個(gè) 基的 坐 標(biāo) 3 已 知 線 性 變 換 關(guān) 于 某 個(gè) 基 的 矩 陣 ， 熟 練 地 求 出 關(guān) 于另 一 個(gè) 基 的 矩 陣 。三 、 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) 線 性 變 換 和 矩 陣 之 間 的 相 互 轉(zhuǎn) 換 , 坐 標(biāo) 變 換 , 相 似 矩 陣 。 現(xiàn) 在 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n維 向 量 空 間 ， 令 是 V的 一個(gè) 線 性 變 換 ， 取 定 V

18、的 一 個(gè) 基 令 , 21 n nnaaa 12211111)( nnaaa 22221122)( nnnnnn aaa 2211)( 設(shè) nnnn nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211N 階 矩 陣 A 叫 做 線 性 變 換 關(guān) 于 基 的 矩 陣 . 上 面 的 表 達(dá) 常 常 寫(xiě) 出 更 方 便 的 形 式 : , 21 n (1) A nnn )()(,),(),(),( 212121 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n 維 向 量 空 間 , 是 它 的 一 個(gè) 基 , 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 坐 標(biāo) 是 而 ( )的 坐 標(biāo) 是 問(wèn) : 和 之 間 有 什

19、 么 關(guān) 系 ? , 21 n ),( 21 nxxx ).,( 21 nyyy ),( 21 nyyy ),( 21 nxxx 設(shè) .),( 2121 2211 nn nnxxxxxx 因 為 是 線 性 變 換 ， 所 以 （ 2） .)(,),(),( )()()()( 2121 2211 nn nnxxxxxx 將 （ 1） 代 入 （ 2） 得 .),()( 2121 nn xxxA 最 后 ， 等 式 表 明 ， 的 坐 標(biāo) 所 組 成的 列 是 ),()( 21 n 關(guān)于.21 nxxxA 綜 合 上 面 所 述 , 我 們 得 到 坐 標(biāo) 變 換 公 式 ：定 理 7.3.1

20、令 V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n 維 向 量 空 間 ， 是 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 ， 而 關(guān) 于 V的 一 個(gè) 基 的 矩 陣 是 , 21 n nnnn nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211如 果 V中 向 量 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 坐 標(biāo) 是 ，而 ( )的 坐 標(biāo) 是 ， ),( 21 nxxx ),( 21 nyyy 那 么 nn xxxAyyy 2121 例 1 在 空 間 內(nèi) 取 從 原 點(diǎn) 引 出 的 兩 個(gè) 彼 此 正 交 的單 位 向 量 作 為 的 基 .令 是 將 的 每 一 向量 旋 轉(zhuǎn) 角 的 一 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) . 是 的 一 個(gè) 線

21、 性 變 換 .我 們 有 2V 21, 2V 2V2V .cossin ,sincos 212 211 所 以 關(guān) 于 基 的 矩 陣 是 21, cossin sincos設(shè) ， 它 關(guān) 于 基 的 坐 標(biāo) 是 ,而 的 坐 標(biāo) 是 .那 么 2V 21,xx 21, 21, yy 2121 cossin sincos xxyy 引 理 7.3.2 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n 維 向 量 空 間 ， 是 V的 一 個(gè) 基 ， 那 么 對(duì) 于 V 中 任 意n個(gè) 向 量 ， 有 且 僅 有 V 的 一 個(gè) 線 性 變換 ， 使 得 :, 21 n n , 21 ni ii ,2,1)

22、( 證 設(shè) nnxxx 2211是 V中 任 意 向 量 .我 們 如 下 地 定 義 V到 自 身 的 一 個(gè) 映射 ： nnxxx 2211)( 我 們 證 明 ， 是 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 。 設(shè) Vyyy nn 2211那 么 .)()()( 222111 nnn yxyxyx 于 是 ).()( )()( .)()()()( 22112211 222111 nnnn nnn yyyxxx yxyxyx 設(shè) 那 么 .Fa ).( )( )()( 2211 2211 2211 a xxxa axaxax axaxaxa nn nn nn 這 就 證 明 了 是 V的 一 個(gè) 線

23、 性 變 換 。 線 性 變 換 顯然 滿 足 定 理 所 要 求 的 條 件 ： niii ,2,1)( 如 果 是 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 ， 且 niii ,2,1)( 那 么 對(duì) 于 任 意 .2211 Vxxx nn ),( )()()( )()( 2211 2211 2211 nn nnnnxxx xxx xxx 從 而 . 定 理 7.3.3 設(shè) V 是 數(shù) 域 F 上 一 個(gè) n 維 向 量 空 間 ， 是 V 的 一 個(gè) 基 ， 對(duì) 于 V 的 每 一 個(gè) 線性 變 換 ， 令 關(guān) 于 基 的 矩 陣 A與它 對(duì) 應(yīng) ， 這 樣 就 得 到 V 的 全 體 線 性 變

24、換 所 成 的 集 合L（ V） 到 F上 全 體 n 階 矩 陣 所 成 的 集 合 的 一個(gè) 雙 射 ， 并 且 如 果 ,而 ， 則 (3) (4) , 21 n , 21 n )(FMn)(, vL A B, FaaAaBA AB證 設(shè) 線 性 變 換 關(guān) 于 基 的 矩 陣 是A。 那 么 是 的 一 個(gè) 映 射 。, 21 n A )()( FMVL n到 nnnn nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211是 F上 任 意 一 個(gè) n階 矩 陣 。 令 .,2,1,2211 njaaa nnjjjj 由 引 理 7.3.2， 存 在 唯 一 的 使 )(VL .,

25、2,1,)( njjj 反 過(guò) 來(lái) ， 設(shè) 顯 然 關(guān) 于 基 的 矩 陣 就 是 A. 這 就 證明 了 如 上 建 立 的 映 射 是 的 雙 射 . , 21 n )()( FMVL n到 設(shè) 我 們 有 ).(),( ijij bBaA .),()(,),(),( ),()(,),(),( 2121 2121 BAnn nn 由 于 是 線 性 變 換 , 所 以 ni iijni iij nibb 11 .,2,1),( 因 此 .),()(,),(),( )(,),(),( 2121 21 ABB nn n 所 以 關(guān) 于 基 的 矩 陣 就 是 AB。 （ 7）式 成 立 ， 至

26、 于 （ 6） 式 成 立 ， 是 顯 然 的 。 , 21 n 推 論 7.3.4 設(shè) 數(shù) 域 F上 n 維 向 量 空 間 V 的 一 個(gè) 線 性變 換 關(guān) 于 V 的 一 個(gè) 取 定 的 基 的 矩 陣 是 A， 那 么 可 逆 必 要 且 只 要 A可 逆 ， 并 且 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 矩陣 就 是 . 11A證 設(shè) 可 逆 。 令 關(guān) 于 所 取 定 的 基 的 矩 陣 是 B。由 （ 7） ， 1 .1 AB然 而 單 位 變 換 關(guān) 于 任 意 基 的 矩 陣 都 是 單 位 矩 陣 I .所 以 AB = I. 同 理 BA = I.所 以 . 1 AB 注 意 到 （

27、5） ， 可 以 看 出 同 理 所 以 有 逆 ， 而 . . .1 反 過(guò) 來(lái) ， 設(shè) 而 A可 逆 。 由 定 理 7.3.3， 有 于 是 ,A .)( 1 AvL 使.1 IAA 我 們 需 要 對(duì) 上 面 的 定 理 7.3.1和 定 理 7.3.3的 深 刻 意義 加 以 說(shuō) 明 : 1. 取 定 n 維 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 基 之 后 , 在 映 射 : 之 下 , (作 為 線 性 空 間 )A nnFVL )( 研 究 一 個(gè) 抽 象 的 線 性 變 換 , 就 可 以 轉(zhuǎn) 化 為 研 究 一個(gè) 具 體 的 矩 陣 . 也 就 是 說(shuō) , 線 性 變 換 就 是

28、矩 陣 .以后 ,可 以 通 過(guò) 矩 陣 來(lái) 研 究 線 性 變 換 ,也 可 以 通 過(guò) 線 性變 換 來(lái) 研 究 矩 陣 . 2. 我 們 知 道 , 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n 維 向 量 空 間 V 同 構(gòu)于 , V上 的 線 性 變 換 nF )(: 轉(zhuǎn) 化 為 上 一 個(gè) 具 體 的 變 換 : nF nn xxxAxxx 2121也 就 是 說(shuō) , 線 性 變 換 都 具 有 上 述 形 式 . 定 義 ： 設(shè) A， B 是 數(shù) 域 F 上 兩 個(gè) n 階 矩 陣 . 如 果存 在 F上 一 個(gè) n 階 可 逆 矩 陣 T 使 等 式成 立 ， 那 么 就 說(shuō) B與 A相 似 ，

29、記 作 ： . ATTB 1 BA n階 矩 陣 的 相 似 關(guān) 系 具 有 下 列 性 質(zhì) ：1. 自 反 性 ： 每 一 個(gè) n階 矩 陣 A都 與 它 自 己 相 似 ，因 為2. 對(duì) 稱 性 ： 如 果 ， 那 么 ；因 為 由 . 1AIIA BA AB .)( 11111 BTTTBTAATTB得 BA CB CA 3. 傳 遞 性 ： 如 果 且那 么事 實(shí) 上 ， 由 得BUUCATTB 11 和).()()()( 111 TUATUTUATUC Tnn , 2121 設(shè) 線 性 變 換 關(guān) 于 基 的 矩 陣 是 A , 關(guān) 于 基 的 矩 陣 是 B , 由 基 到 基 的

30、 過(guò) 渡 矩 陣 T, 即 : , 21 n , 21 n , 21 n , 21 n 定 理 7.3.4 在 上 述 假 設(shè) 下 , 有 : ATTB 1即 : 線 性 變 換 在 不 同 基 下 的 矩 陣 是 相 似 的 . 反 過(guò) 來(lái) , 一 對(duì) 相 似 矩 陣 可 以 是 同 一 個(gè) 線 性 變 換 在 不 同 基 下 的矩 陣 . 證 明 留 做 練 習(xí) 一 、 內(nèi) 容 分 布 7.4.1 定 義 與 基 本 例 子 7.4.2 不 變 子 空 間 和 線 性 變 換 的 矩 陣 化 簡(jiǎn) 7.4.3 進(jìn) 一 步 的 例 子二 、 教 學(xué) 目 的 1 掌 握 不 變 子 空 間 的

31、定 義 及 驗(yàn) 證 一 個(gè) 子 空 間 是 否 某線 性 變 換 的 不 變 子 空 間 方 法 2 會(huì) 求 給 定 線 性 變 換 的 一 些 不 變 子 空 間 三 、 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) 驗(yàn) 證 一 個(gè) 子 空 間 是 否 某 線 性 變 換 的 不 變 子 空 間 、 會(huì) 求 給定 線 性 變 換 的 一 些 不 變 子 空 間 。 令 V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) 向 量 空 間 , 是 V的 一 個(gè) 線 性 變換 .定 義 V的 一 個(gè) 子 空 間 W說(shuō) 是 在 線 性 變 換 之 下 不 變 , 如 果 . 如 果 子 空 間 W在 之 下 不 變 ， 那么 W就 叫 做 的 一 個(gè)

32、不 變 子 空 間 . WW )(注 意 :子 空 間 W在 線 性 變 換 之 下 不 變 ,指 , 即 : 并 不 能 說(shuō) : WW )(WW ,)( W ,)( 例 1 V本 身 和 零 空 間 0顯 然 在 任 意 線 性 變 換 之 下不 變 .例 2 令 是 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 ， 那 么 的 核 Ker( )的 像 Im( )之 下 不 變 .例 3 V的 任 意 子 空 間 在 任 意 位 似 變 換 之 下 不 變 . 例 4 令 是 中 以 某 一 過(guò) 原 點(diǎn) 的 直 線 L為 軸 ， 旋 轉(zhuǎn)一 個(gè) 角 的 旋 轉(zhuǎn) ， 那 么 旋 轉(zhuǎn) 軸 L是 的 一 個(gè) 一 維

33、 不變 子 空 間 ， 而 過(guò) 原 點(diǎn) 與 L垂 直 的 平 面 H是 的 一 個(gè) 二維 不 變 子 空 間 . 3V 例 5 令 F x是 數(shù) 域 F上 一 切 一 元 多 項(xiàng) 式 所 成 的 向 量空 間 ， 是 求 導(dǎo) 數(shù) 運(yùn) 對(duì) 于 每 一 自 然 數(shù) n，令 表 示 一 切 次 數(shù) 不 超 過(guò) n的 多 項(xiàng) 式 連 同 零 多 項(xiàng)式 所 成 的 子 空 間 . 那 么 在 不 變 . )()(: xfxf xFx xFx 設(shè) W是 線 性 變 換 的 一 個(gè) 不 變 子 空 間 .只 考 慮 在 W上 的 作 用 ， 就 得 到 子 空 間 E本 身 的 一 個(gè) 線 性 變 換 ，稱

34、 為 在 W上 的 限 制 ， 并 且 記 作 這 樣 ， 對(duì) 于任 意 然 而 如 果 那 么 沒(méi) 有 意 義 。 .| w,W )()(| w ,W )(| w 設(shè) V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n維 向 量 空 間 ， 是 V的 一 個(gè)線 性 變 換 。 假 設(shè) 有 一 個(gè) 非 平 凡 不 變 子 空 間 W， 那么 取 W的 一 個(gè) 基 再 補(bǔ) 充 成 V的 一 個(gè)基 由 于 W在 之 下 不 變 ， 所以 仍 在 W內(nèi) ， 因 而 可 以 由 W的 基 線 性 表 示 。 我 們 有 ： , 21 r ., 121 nrr a )(,),(),( 21 r r , 21 .)( ,)(

35、 ,)( ,)( 1,111 1,11,11,11,11 2211 12211111 nnnrnrrrnnn nrnrrrrrrrr rrrrrr rr aaaa aaaa aaa aaa 因 此 ， 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 矩 陣 有 形 狀 ,231 Ao AAA而 A中 左 下 方 的 O表 示 一 個(gè) 零 矩 陣 .rrn )( r , 21 這 里 rrr raa aaA 1 1111 是 關(guān) 于 W的 基 w|的 矩 陣 ， 由 此 可 見(jiàn) ， 如 果 線 性 變 換 有 一 個(gè) 非 平 凡 不 變 子 空間 ， 那 么 適 當(dāng) 選 取 V的 基 ， 可 以 使 與 對(duì) 應(yīng) 的 矩

36、 陣中 有 一 些 元 素 是 零 。 特 別 ， 如 果 V可 以 寫(xiě) 成 兩 個(gè) 非平 凡 子 空 間 的 直 和 ： 那 么 選 取 的 一 個(gè) 基 和 的 一 個(gè) 基 湊 成 V的 一 個(gè) 基 當(dāng) 都 在 之 下 不 變 時(shí) ， 容 易 看 出 ， 關(guān) 于 這 樣 選 取 的基 的 矩 陣 是 21 WW與,21 WWV 1W r , 21 2W.,1 nr a , 21 n 21 WW與, 21 Ao oAA這 里 是 一 個(gè) r階 矩 陣 ,它 是 關(guān) 于 基1A 1| w r , 21 一 般 地 ， 如 果 向 量 空 間 V可 以 寫(xiě) 成 s個(gè) 子 空 間 的 直 和 ， 并

37、 且 每 一 子 空 間 都 在 線 性 變換 之 下 不 變 ， 那 么 在 每 一 子 空 間 中 取 一 個(gè) 基 ， 湊成 V的 一 個(gè) 基 ， 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 矩 陣 就 有 形 狀SWWW , 21 sAAA0 . 021 這 里 關(guān) 于 所 取 的 的 基 的 矩 陣 .ii WA |是iW 的 矩 陣 ， 而 是 n r階 矩 陣 ， 它 是 關(guān) 于基 的 矩 陣 。 2A 2| wnr a,1 例 6 令 是 例 4所 給 出 的 的 線 性 變 換 . 顯 然 是 一 維 子 空 間 L與 二 維 子 空 間 H的 直 和 ， 而 L與 H在 之 下 不 變 . 取

38、L的 一 個(gè) 非 零 向 量 ， 取 H 的 兩個(gè) 彼 此 正 交 的 單 位 長(zhǎng) 度 向 量 那 么 是 的 一 個(gè) 基 ， 而 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 矩 陣 是3V 3V1, 32 321 , 3V .cossin0 sincos0 001 例 7 如 果 ， 那 么子空間是兩個(gè)21,WW ., 2121子空間仍是一個(gè) WWWW 證 ：1.任 取 ,21 WW 2.任 取 21)()()2,1( WWWiW ii ,21 WW 21)()()2,1( WWWiW ii 例 8 如 果 ， 那 么 對(duì) 任 何 子空間是W Iaaaaf nnnn 011)( 子空間是)(fW證 ： ， 那

39、么 子空間是W WWf nkWW WWWWW k )( ),2,1()( )()()( 2 例 9 判 定 下 列 子 空 間 在 給 定 的 下 是 否 為 不變 子 空 間 （ 1） ,|)0,( ),0,(),(,: 2121 3212132133 FxxxxW xxxxxxxxFF （ 2） ,|)0,( ),0(),(,: 2121 322132133 FxxxxW xxxxxxxFF （ 3） ),()(,: xFWxffDxFxFD n（ 4） ,)()(,: 0 xFWdxxfxfJxRxRJ nx 解 WxxxxWxx )0,()(,)0,( 212121 WW )1,2,0

40、()(,)0,1,1( )(1)()()( xFfnnfnfxFxf nn WxfJ xRxndxxxRxxf nnx nnn )( ,11)( 10即(1) 是 . (2) 否 . (3) 是 . (4) 否 . 例 10 是 V上 一 個(gè) 線 性 變 換 ， W 是 生 成 的 子 空 間 ： . 則 . s , 21 ),2,1()( siWW i 是不變子空間),( 21 sLW 證 ： )(,),(),()( 21 sLW 必 要 性 ： W中 不 變 子 空 間 ， ),2,1()()(,),(),()( 21 siWWLW is 充 分 性 ： 如 果 ,)( WW i )(,)

41、,(),( 21 sL 而是 包 含)(,),(),( 21 s 的 最 小 子 空 間 ， WLW s )(,),(),()( 21 例 11 設(shè) 是 V上 的 線 性 變 換 ， 是 V上 的 非 零 向量 ， 且 )(,),(, 1 k 線 性 無(wú) 關(guān) ， 但)(),(,),(, 1 kk線 性 相 關(guān) . 那 么 是 包 含 的最 小 不 變 子 空 間 . )(,),(,( 1 kL 證 (1) 線 性 表 出 ,因 此 這 樣 ， 的 生 成 元 在 下 的 象 全 部 屬 于 .所 以 是 一 個(gè) 不 變 子 空 間 )(,),(,)( 1 kk 可由)(,),(,()( 1 k

42、k L )(,),(,( 1 kL )(,),(),( 2 k )(,),(,( 1 kL )(,),(,( 1 kL （ 2） 對(duì) 任 何 包 含 的 不 變 子 空 間 W， 故 ， 即 包 含 W的 一 個(gè) 最 小 子 空 間 . WW k )(,),(),( 12 WL k )(,),(,( 1 )(,),(,( 1 kL 例 12 設(shè) 是 V的 一 給 基 , 在 下 的 矩 陣 為 4321 , 4321 , 1221 1132 0010 2111A求 包 含 的 最 小 子 空 間 . 1 解 算 的 坐 標(biāo) 為 （ 用 “ ( )” 表示 取 坐 標(biāo) ） )(),(, 1211

43、 43011201)()( ,1201)()(,0001)( 112 111 AA A 中 線 性 無(wú) 關(guān) 41211 )(),(),( F在 的 坐 標(biāo) 排 成 的 行 列 式 為 ： )(),(),(, 131211 01410 9320 0000 10111 190104301)()( 1213 A 因 此 431123 43112 11 43)( 2)( 321 , L 1是 包 含 的 最 小 子 空 間 . 注 意 到 與 是 等 價(jià) 向 量 組 ， 因 此 321 , 431 , ),(, 431321 LL 7.5.1 引 例 7.5.2 矩 陣 特 征 值 和 特 征 向 量

44、 的 定 義 7.5.3 特 征 值 和 特 征 向 量 的 計(jì) 算 方 法 7.5.4 矩 陣 特 征 值 和 特 征 向 量 的 性 質(zhì) 1.理 解 特 征 值 和 特 征 向 量 的 概 念 2.熟 練 掌 握 求 矩 陣 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 方 法 3.掌 握 特 征 值 與 特 征 向 量 的 一 些 常 用 性 質(zhì) 矩 陣 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 求 法 及 性 質(zhì) 在 經(jīng) 濟(jì) 管 理 的 許 多 定 量 分 析 模 型 中 ， 經(jīng) 常 會(huì) 遇 到 矩 陣 的 特 征 值 和特 征 向 量 的 問(wèn) 題 . 它 們 之 間 的 關(guān) 系 為 )1(2

45、23 001 001 yxy yxx寫(xiě) 成 矩 陣 形 式 ， 就 是 1x是 目 前 的 工 業(yè) 發(fā) 展 水 平 (以 某 種 工 業(yè) 發(fā) 展 指 數(shù) 為 測(cè) 量 單 位 ). 發(fā) 展 與 環(huán) 境 問(wèn) 題 已 成 為 21世 紀(jì) 各 國(guó) 政 府 關(guān) 注 和 重 點(diǎn) ， 為 了 定 量 分析 污 染 與 工 業(yè) 發(fā) 展 水 平 的 關(guān) 系 ， 有 人 提 出 了 以 下 的 工 業(yè) 增 長(zhǎng) 模 型 ： 設(shè) 0 x 是 某 地 區(qū) 目 前 的 污 染 水 平 (以 空 氣 或 河 湖 水 質(zhì) 的 某 種 污 染 指 數(shù) 為 測(cè)量 單 位 )， 0y若 干 年 后 (例 如 5年 后 )的 污 染

46、 水 平 和 工 業(yè) 發(fā) 展 水 平 分 別 為 和.1y )2(22 13 0011 yxyx 記 111 yx， 000 yx， 22 13A， 即 (2)式 可 寫(xiě) 成 )3(01 A設(shè) 當(dāng) 前 的 T)1,1(0 ， 則 .114441122 13111 yx即 00 4 A，由 此 可 以 預(yù) 測(cè) 若 干 年 后 的 污 染 水 平 與 工 業(yè) 發(fā) 展 水 平 。由 上 例 我 們 發(fā) 現(xiàn) ， 矩 陣 A乘 以 向 量 恰 好 等 于 的 4倍 ，倍 數(shù) 4及 向 量 即 是 我 們 本 節(jié) 要 討 論 的 矩 陣 的 特 征 值 和 特征 向 量 . 0 00 定 義 1： 設(shè) A

47、是 一 個(gè) n階 矩 陣 ， 是 F 中 的 一 個(gè) 數(shù) ， 如 果 存 在 V 中 非 零向 量 ， 使 得 A那 么 稱 為 矩 陣 A的 一 個(gè) 特 征 值 ， 稱 為 A屬 于 特 征 值 的 特 征 向 量 .例 22 13A因 114441122 13解 :所 以 4是 22 13A 的 一 個(gè) 特 征 值， 11 是 A的 屬 于 4的 特 征 向 量 . 33412123322 13又 故 33 也 是 A的 屬 于 4的 特 征 向 量 . 注 1： 是 A的 屬 于 的 特 征 向 量 ， 則 )0( cc，c 也 是 A的 屬 于 的 特征 向 量 練習(xí)1(1) 如 果

48、向 量 是 矩 陣 的 特 征 向 量 ，則 k = _11 11 2k (2) 設(shè) ， 下 列 向 量 中 可 以 成 為 A的特 征 向 量 的 是 （ ） 1 32 2A A. 12 B. 32 C. 41 D. 01 2(1) 解 ： 1 1 1 13 21 2 1 3 1k k k (2) 解 ： 1 3 1 7 12 2 2 6 2 A.B. 1 3 3 3 312 2 2 2 2 C. 4 11 6 D. 0 31 2 使 1 是 A的 特 征 值 .0 A.0).(0 AI 0)( XAI有非零解 .0 AI 注2： 是 A的 特 征 值 是 方 程 0 AI的根 .2 是 A

49、屬 于 的 特 征 向 量 0 且 A .0).(0 AI是 0)( XAI的非零解。 注 3： 是 A屬 于 的 特 征 向 量 是 0)( XAI 的 非 零 解 。 定 義 2： nnnn nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211 nnnn nnA aaa aaa aaaAIf 21 22221 11211)(稱 為 A的 特 征 多 項(xiàng) 式 。 0 AI 稱 為 A的 特 征 方 程 ， AI 稱 為 A的 特 征 矩 陣 。 例 1 設(shè) ， 求 A的 全 部 特 征 值 、 特 征 的 量 。 1 32 2A 21 3 3 4 ( 4)( 1) 02 2I A 解

50、： A的 特 征 多 項(xiàng) 式 為1 A的 特 征 值 為 1 24 1 ， 對(duì) 于 解2 1 4, (4 ) 0I A X 由 于 得 基 礎(chǔ) 解 系3 3 1 12 2 0 0 1 11 A的 對(duì) 應(yīng) 于 的 全 部 特 征 向 量 為 1 1 1( 0)c c 1 4 123 3 02 2 xx 即 對(duì) 于 解 2 1, ( ) 0I A x 122 3 02 3 xx 即由 于 32 3 1 22 3 0 0 得 基 礎(chǔ) 解 系 2 321 A的 對(duì) 應(yīng) 于 的 全 部 特 征 向 量 為2 1 2 2 2( 0)c c 注 4： A的 特 征 向 量 有 無(wú) 窮 多 個(gè) ， 分 為 兩

51、 大 類 ： 一 類 為 一 類 為1 11 ( 0)1c c ，2 32c 問(wèn) 題 1： 同 類 的 兩 個(gè) 特 征 向 量 的 線 性 相 關(guān) 性 如 何 ？問(wèn) 題 2： 不 同 類 的 任 兩 個(gè) 特 征 向 量 的 線 性 相 關(guān) 性 如何 ？ 1. 計(jì) 算 特 征 多 項(xiàng) 式 I A 2. 求 特 征 方 程 0 AI 的 所 有 根 ， 即 得 A的 全 部 特 征 值 n , 21 3. 對(duì) 于 A的 每 一 個(gè) 特 征 值 i，求 相 應(yīng) 的 齊 次 線 性 方 程 組 ( ) 0iI A X sisii ccc 21 21（ sccc , 21 不全為零 ） 例 2： 求 矩

52、 陣 001 010 100A 的 特 征 值 和 特 征 向 量 。 的 一 個(gè) 基 礎(chǔ) 解 系 siii , 21 ，則 A的 屬 于 i 的 全 部特 征 向 量 為 解 A的 特 征 多 項(xiàng) 式 )1()1(01 010 10 2 AIA的 特 征 值 為 121 ， .13 對(duì) 于 121 ， 解 0101 000 101 321 xxx1 0 1 1 0 10 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 得 基 礎(chǔ) 解 系 : 101,010 21 A的 屬 于 特 征 值 1的 全 部 特 征 向 量 為 ),( 212211不全為零cccc 對(duì) 于 13 ，解 1 0 1 1 0

53、 10 2 0 0 1 01 0 1 0 0 0 得 基 礎(chǔ) 解 為 1013A的 屬 于 特 征 值 1 的 全 部 特 征 向 量 為 )0( 333 cc 性 質(zhì) 1 AA 與有 相 同 的 特 征 值 分 析 ： 要 證 AA 與有 相 同 的 特 征 值 只 須 證 )()( AA ff 注 意 到 |)(| AIAIAI 性 質(zhì) 3 A的 主 對(duì) 角 線 上 的 元 素 的 和 稱 為 A的 跡 ， 記 作 )(AT r ， 則 n nrA AT 21 21| )( 性 質(zhì) 2 A的 屬 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 線 性 無(wú) 關(guān) 。 注 意 到 1 2211 22

54、11 21 22221 11211 )(|)( nnnn nnnnnn nnA aaa aaa aaa aaa aaaAIf （*） nn nnn nA AIf 21 121 21 )1( )( )()(|)( （*） 在 （ *） 和 （ *） 中 令 = 0 nnn AA 21)1(|)1(| 練 習(xí) ： 求 22 13A 的 特 征 值 ， 特 征 向 量 。 解 ： A的 特 征 多 項(xiàng) 式 為 )4)(1(4522 13|)( 2 AIfA所 以 A的 特 征 值 為 4,1 21 對(duì) 于 11 ，解 121,012 12 121 得xx對(duì) 于 42 ，解 11,022 11 221

55、 xx 1、 定 義 1： 設(shè) A是 一 個(gè) n階 矩 陣 ， 是 F 中 的 一 個(gè) 數(shù) ， 如 果 存 在 V 中非 零 向 量 ， 使 得 A那 么 稱 為 矩 陣 A的 一 個(gè) 特 征 值 ， 稱 為 A屬 于 特 征 值 的 特 征 向 量 .2、 是 A的 特 征 值 是 方 程 0 AI 的 根 .3、 是 A屬 于 的 特 征 向 量 是 0)( XAI 的 非 零 解 。 1. 計(jì) 算 特 征 多 項(xiàng) 式 2. 求 特 征 方 程 0AI 的 所 有 根 ， 即 得 A的 全 部 特 征 值 n , 21 3. 對(duì) 于 A的 每 一 個(gè) 特 征 值 i，求 相 應(yīng) 的 齊 次

56、 線 性 方 程 組 ( ) 0iI A X sisii ccc 21 21（ sccc , 21 不 全 為 零 ） 的 一 個(gè) 基 礎(chǔ) 解 系 siii , 21 ，則 A的 屬 于 i 的 全 部 特 征 向 量為5、 3個(gè) 性 質(zhì) 。 作 業(yè) ： P296 1、 （ i） （ iii）思 考 題 ： 矩 陣 A的 特 征 值 由 特 征 向 量 唯一 確 定 嗎 ？ 為 什 么 ？ 一 、 內(nèi) 容 分 布 7.6.1 什 么 是 可 對(duì) 角 化 7.6.2 本 征 向 量 的 線 性 關(guān) 系 7.6.3 可 對(duì) 角 化 的 判 定 7.6.4 矩 陣 對(duì) 角 化 的 方 法 及 步 驟

57、二 、 教 學(xué) 目 的 1 掌 握 可 對(duì) 角 化 的 定 義 與 判 斷 2 熟 練 掌 握 矩 陣 對(duì) 角 化 的 方 法 步 驟 三 、 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) 可 對(duì) 角 化 的 判 斷 與 計(jì) 算 。 n 000 0000 000)1( 21 設(shè) A是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n階 矩 陣 ， 如 果 存 在 F上 一 個(gè)n階 逆 矩 陣 T， 使 得 具 有 對(duì) 角 形 式 （ 1）ATT 1則 說(shuō) 矩 陣 A可 以 對(duì) 角 化 . 我 們 知 道 , 可 以 通 過(guò) 矩 陣 來(lái) 研 究 線 性 變 換 , 也可 以 通 過(guò) 線 性 變 換 來(lái) 研 究 矩 陣 ， 本 節(jié) 更 多 的 通 過(guò)

58、 線性 變 換 來(lái) 研 究 矩 陣 . 矩 陣 A可 以 對(duì) 角 化 對(duì) 應(yīng) 到 線 性變 換 就 是 : 設(shè) 是 數(shù) 域 F上 維 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線性 變 換 ， 如 果 存 在 V的 一 個(gè) 基 ， 使 得 關(guān) 于 這 個(gè) 基的 矩 陣 具 有 對(duì) 角 形 式 (1), 那 么 說(shuō) ， 可 以 對(duì) 角 化 .)1( nn 很 容 易 證 明 , 可 以 對(duì) 角 化 的 充 分 必 要 條 件 是 有 n個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 本 征 向 量 . 這 n個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的本 征 向 量 顯 然 構(gòu) 成 V的 基 . 因 此 ， 我 們 需 要 進(jìn) 一 步研 究 本 征 向

59、 量 的 線 性 關(guān) 系 ， 需 要 研 究 在 什 么 條 件 下 有 n個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 的 本 征 向 量 . 7.6.2 本 征 向 量 的 線 性 關(guān) 系 定 理 7.6.1 令 是 數(shù) 域 F上 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線 性 變換 .如 果 分 別 是 的 屬 于 互 不 相 同 的 特 征根 的 特 征 向 量 ， 那 么 線 性無(wú) 關(guān) . n , 21 n , 21 n , 21 證 我 們 對(duì) n用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 來(lái) 證 明 這 個(gè) 定 理 當(dāng) n = 1時(shí) ， 定 理 成 立 。 因 為 本 征 向 量 不 等 于零 。 設(shè) n 1并 且 假 設(shè) 對(duì) 于 n

60、 1來(lái) 說(shuō) 定 理 成 立 。 現(xiàn) 在設(shè) 是 的 兩 兩 不 同 的 本 征 值 ， 是 屬 于本 征 值 的 本 征 向 量 ： n , 21 ii .,2,1,)()2( niiii 如 果 等 式 ,.0)3( 2211 Faaaa inn 成 立 ， 那 么 以 乘 （ 3） 的 兩 端 得 n .0)4( 2211 nnnnn aaa 另 一 方 面 ， 對(duì) （ 3） 式 兩 端 施 行 線 性 變 換 ， 注 意到 等 式 （ 2） ， 我 們 有 .0)5( 222111 nnnaaa （ 5） 式 減 （ 4） 式 得 .0)()()( 111222111 nnnnnn aaa

61、 根 據(jù) 歸 納 法 假 設(shè) ， 線 性 無(wú) 關(guān) ， 所 以 121 , n .1,2,1,0)( nia nii 但 兩 兩 不 同 ， 所 以 代入 （ 3） ， 因 為 所 以 這 就 證 明 了 線 性 無(wú) 關(guān) 。 n , 21 .0121 naaa ,0n .0nan , 21 推 論 7.6.2 設(shè) 是 數(shù) 域 F上 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線 性變 換 ， 是 的 互 不 相 同 的 本 征 值 。 又 設(shè) 是 屬 于 本 征 值 的 線 性 無(wú) 關(guān) 的 本 征 向 量 , 那 么 向 量 線 性 無(wú) 關(guān) . n , 21 iisi ,1 i,1 ti ttsts , 11

62、11 1 證 先 注 意 這 樣 一 個(gè) 事 實(shí) ： 的 屬 于 同 一 本 征 值 的 本 征 向 量 的 非 零 線 性 組 合 仍 是 的 屬 于 的 一 個(gè)本 征 向 量 。 由 上 面 所 說(shuō) 的 事 實(shí) ， 如 果 某 一 ， 則 是 的 屬 于 本 征 值 的 本 征 向 量 。 因 為互 不 相 同 ， 所 以 由 定 理 7.6.1， 必 須 所 有 即 0i ii t , 21.,2,1,0 tii .,1,011 tiaa ii isisii 令 .,1,11 tiaa ii isisiii 則 .01 t 現(xiàn) 在 設(shè) 存 在 F中 的 數(shù) 使 得 , 1111 1 tt

63、sts aaaa .011111111 11 tt tststtss aaaa 然 而 線 性 無(wú) 關(guān) ， 所 以 iisi ,1 .,1,01 tiaa iisi 即 線 性 無(wú) 關(guān) 。 ttsts , 1111 1 7.6.3 可 對(duì) 角 化 的 判 定定 理 7.6.3 令 是 數(shù) 域 F上 n維 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線性 變 換 ， 如 果 的 特 征 多 項(xiàng) 式 在 F內(nèi) 有 n個(gè) 單根 ， 那 么 存 在 V的 一 個(gè) 基 ， 使 就 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 矩陣 是 對(duì) 角 形 式 . )(xf證 這 時(shí) 的 特 征 多 項(xiàng) 式 在 F x內(nèi) 可 以 分解 為 線 性

64、因 式 的 乘 積 ： )(xf ),()()( 21 nxxxxf 且 兩 兩 不 同 。 對(duì) 于 每 一 個(gè) 選 取 一 個(gè) 本 征向 量 由 定 理 7.6.1, 線 性 無(wú)關(guān) ， 因 而 構(gòu) 成 V的 一 個(gè) 基 , 關(guān) 于 這 個(gè) 基 的 矩 陣 是Fi ,i.,1, nii n , 21 .000 000 00021 n 將 上 面 的 定 理 轉(zhuǎn) 化 成 矩 陣 的 語(yǔ) 言 , 就 是 : 定 理 7.6.4 令 A是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n階 矩 陣 ， 如 果 A的特 征 多 項(xiàng) 式 在 F內(nèi) 有 n個(gè) 單 根 ， 那 么 存 在 一個(gè) n階 可 逆 矩 陣 T， 使)(x

65、fA nATT 000 0000 000211 注 意 ： 推 論 7.6.4的 條 件 只 是 一 個(gè) n階 矩 陣 可 以 對(duì) 角化 的 充 分 條 件 ， 但 不 是 必 要 條 件 。下 面 將 給 出 一 個(gè) n 階 矩 陣 對(duì) 角 化 的 充 分 必 要 條 件 。定 義 ： 設(shè) 是 數(shù) 域 F上 向 量 空 間 V的 一 個(gè) 線 性 變 換 ， 是 的 一 個(gè) 特 征 根 ， 令 則 有 因 而 是 V的 一 個(gè) 子 空 間 . 這 個(gè) 子 空 間 叫 做 的 屬 于特 征 根 的 特 征 子 空 間 . )(| VV )( KerV 現(xiàn) 在 令 V是 數(shù) 域 F上 一 個(gè) n維

66、 向 量 空 間 ， 而 是 V的一 個(gè) 線 性 變 換 ， 設(shè) 是 的 一 個(gè) 本 征 值 ， 是 的屬 于 本 征 值 的 本 征 子 空 間 ， 取 的 一 個(gè) 基 并 且 將 它 擴(kuò) 充 為 V的 基 ， 由 7.4， 關(guān) 于這 個(gè) 基 的 矩 陣 有 形 如 VVs ,1 21AO AIA s這 里 是 一 個(gè) s階 的 單 位 矩 陣 。 因 此 ， A的 特 征 多項(xiàng) 式 是 sI 由 此 可 見(jiàn) ， 至 少 是 的 一 個(gè) s重 根 。 )(xfA如 果 線 性 變 換 的 本 征 值 是 的 特 征 多 項(xiàng) 式 的 一 個(gè) r 重 根 ， 那 么 就 說(shuō) ， 的 重 數(shù) 是 r 。 設(shè) 是 的 一 個(gè) r 重 本 征 值 ， 而 的 屬 于 本 征 值 的 本 征子 空 間 的 維 數(shù) 是 s 。 由 以 上 的 討 論 可 知 ： , 即 的 屬 于 本 征 值 的 本 征 子 空 間 的 維 數(shù) 不 能 大 于 的 重 數(shù) 。 )(xfrs )()()det()( )()( 221 xgxAxIx AxIO AIxxf sans snsA 定 理 7.6.5 令