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1、2021年北京市西城區(qū)高考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．（4分）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，則A∩B＝（ ?。?
A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{x|x≥﹣1}
【分析】根據(jù)題意，由集合交集的定義，分析兩個集合的公共元素可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，
則A∩B＝{1，2}，
故選：B．
【點評】本題考查集合交集的計算，注意集合交集的定義，屬于基礎題．
2．（4分）已知復數(shù)z
2、滿足﹣z＝2i，則z的虛部是（ ?。?
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【分析】利用待定系數(shù)法設z＝a+bi，然后利用復數(shù)相等，求出b的值即可得到答案．
【解答】解：設z＝a+bi，
因為﹣z＝2i，則有a﹣bi﹣（a+bi）＝2i，即﹣2bi＝2i，所以b＝﹣1，
故復數(shù)z的虛部為﹣1．
故選：A．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解復數(shù)的應用，考查了復數(shù)相等的定義，屬于基礎題．
3．（4分）在的展開式中，常數(shù)項為（ ?。?
A．15 B．﹣15 C．30 D．﹣30
【分析】求出展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為0，由此即可求解．
【解答】解：展開式的通項公式為T＝C，
3、
令6﹣3r＝0，解得r＝2，
所以展開式的常數(shù)項為C＝15，
故選：A．
【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．
4．（4分）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（ ）
A．12 B． C．16 D．
【分析】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，由此求出四棱錐的表面積．
【解答】解：由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，
畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：
則該四棱錐的表面積為：
S＝S正方形ABCD+S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD
＝22+×2×2+×2×2+×2×2+
4、×2×2＝8+4．
故選：D．
【點評】本題考查了利用三視圖求幾何體表面積，是基礎題．
5．（4分）已知函數(shù)，則不等式f（x）＞0的解集是（ ?。?
A．（0，1） B．（﹣∞，2） C．（2，+∞） D．（0，2）
【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的定義域，分析可得在（0，+∞）上是減函數(shù)，結合f（2）＝0分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為（0，+∞），
又由y＝和函數(shù)y＝﹣log2x都是區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)，則在（0，+∞）上也是減函數(shù)，
又由f（2）＝1﹣1＝0，則不等式f（x）＞0的解集是（0，2），
故選：D．
【點評】本題考查不等式的解法，
5、涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應用，屬于基礎題．
6．（4分）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，點P是AB的中點，則＝（ ）
A． B．4 C． D．6
【分析】利用向量的數(shù)量積以及向量的線性運算即可求解．
【解答】解：在△ABC中，C＝90°，則?＝0，
因為點P是AB的中點，
所以＝（+），
所以＝?[（+）]＝2+?＝2＝||2＝．
故選：C．
【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，屬于基礎題．
7．（4分）在△ABC中，C＝60°，a+2b＝8，sinA＝6sinB，則c＝（ ）
A． B． C．6 D．5
【分析】直接利用正弦定
6、理和余弦定理的應用求出結果．
【解答】解：在△ABC中，sinA＝6sinB，
利用正弦定理得：a＝6b，
所以，解得，
利用余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC＝，
故c＝．
故選：B．
【點評】本題考查的知識要點：正弦定理，余弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．
8．（4分）拋物線具有以下光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸．該性質(zhì)在實際生產(chǎn)中應用非常廣泛．如圖，從拋物線y2＝4x的焦點F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°，則兩條反射光線a'和b'之間的距離為（
7、 ?。?
A． B． C． D．
【分析】由拋物線的方程得F（1，0），又∠OFA＝60°，寫出直線AF的方程，并聯(lián)立拋物線的方程，解得yA，同理解得yB，再計算|yA﹣yB|即可得出答案．
【解答】解：由y2＝4x，得F（1，0），
又∠OFA＝60°，
所以直線AF的方程為y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+，
聯(lián)立，得（y+）2＝，
所以y1＝或y2＝﹣2（舍去），
即yA＝，
同理直線BF的方程為y﹣0＝（x﹣1），即y＝x﹣，
聯(lián)立，得（y﹣）2＝，
所以y3＝2或y4＝﹣（舍去），即yB＝2，
所以|yA﹣yB|＝|2﹣|＝，
即兩條反射光線的距離為，
8、故選：C．
【點評】本題考查拋物線的應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
9．（4分）在無窮等差數(shù)列{an}中，記Tn＝a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣…+（﹣1）n+1an（n＝1，2，…），則“存在m∈N*，使得Tm＜Tm+2”是“{an}為遞增數(shù)列”的（ ?。?
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【解答】解：①若{an}為遞增數(shù)列，又Tm+2＝Tm+（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2，
當m為奇數(shù)時，Tm+2＝Tm﹣am+1+am+2，
9、
∵{an}遞增數(shù)列，∴am+2＞am+1，∴Tm+2＞Tm，
即?m∈N+，使Tm+2＞Tm，
②若?m∈N+，使Tm+2＞Tm，
由Tm+2＝Tm+（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2，
即（﹣1）m+2am+1+（﹣1）m+3am+2＞0，
當為m奇數(shù)時，﹣am+1+am+2＞0，am+2＞am+1，∴{an}遞增數(shù)列，
當為偶數(shù)時，am+1﹣am+2＞0，am+1＞am+2，∴{an}遞減數(shù)列，
綜上所述，?m∈N+，使Tm+2＞Tm是{an}為遞增數(shù)列必要不充分條件，
故選：B．
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷和等差數(shù)學的性質(zhì)，屬于基礎題．
10、
10．（4分）若非空實數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，則記△（X）＝M﹣m．下列命題中正確的是（ ?。?
A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且△（X）＝△（Y），則b＝2
B．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，則存在實數(shù)a，使得△（Y）＜1
C．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若△（X）＝2，則對任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x）
D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，則對任意的實數(shù)a，總存在實數(shù)b，使得△（X∪Y）≤3
【分析】A舉反例判斷；B用反證法，分類討論判斷；C舉反例判斷；D對任意的實數(shù)a，求
11、出b滿足條件即可．
【解答】解：對于A，因為△（X）＝2，△（X）＝△（Y），所以△（Y）＝2，于是b＝2或﹣2，未必b＝2，所以A錯；
對于B，假設存在實數(shù)a，使△（Y）＜1，
若a≥0，△（Y）＝（a+2）2﹣a2＝4（a+1）≥4，矛盾，
若a+2≤0，△（Y）＝a2﹣（a+2）2＝﹣4（a+1）≥4，矛盾，
若﹣1＜a＜0，△（Y）＝（a+2）2＞1，矛盾，
若﹣2＜a＜﹣1，△（Y）＝a2＞1，矛盾，
若a＝﹣1，△（Y）＝1﹣0＝1，矛盾，
所以B錯；
對于C，取f（x）＝|x|，g（x）＝1，則△（X）＝2，但對任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥g（x）不成立，所
12、以C錯；
對于D，對任意的實數(shù)a，只須b滿足[a，a+2]?[b，b+3]，就有X∪Y＝Y，從而△（X∪Y）＝△（Y）＝3≤3，所以D對．
故選：D．
【點評】本題以命題真假判斷為載體，考查了集合的基本概念，考查了不等式性質(zhì)，屬于中檔題．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．（5分）函數(shù)f（x）＝lnx+的定義域是 {x|0＜x≤1}?。?
【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出f（x）的定義域．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝lnx+，
∴，
解得0＜x≤1；
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|0＜x≤1}．
故答案為：{x|0＜
13、x≤1}．
【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出定義域，是基礎題．
12．（5分）已知雙曲線C：，則C的漸近線方程是 ??；過C的左焦點且與x軸垂直的直線交其漸近線于M，N兩點，O為坐標原點，則△OMN的面積是 ?。?
【分析】利用雙曲線的標準方程，求解漸近線方程得到第一空；求出M坐標，然后求解三角形的面積解答第二空．
【解答】解：雙曲線C：，可得a＝2，b＝2，
故C的漸近線方程為y＝±＝，
則C的漸近線方程雙曲線的左焦點坐標（﹣2，0），
過C的左焦點且與x軸垂直的直線交其漸近線于M，N兩點，
則M（﹣2，），N
14、（﹣2，﹣），
所以△OMN的面積：＝6．
故答案為：y＝±；6．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎題．
13．（5分）在等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，則公比q＝ ??；若an＞1，則n的最大值為 3?。?
【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項公式可得q＝，即可得第一空答案，進而求出a1的值，即可得{an}的通項公式，解an＞1可得第二空答案．
【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，
則q＝＝＝﹣．
若a1+a3＝10，即a1+a1＝10，解可得a1＝8，
則an＝a1qn﹣1
15、＝8×（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1×24﹣n，
若an＞1，即（﹣1）n﹣1×24﹣n＞1，
必有n＝1或3，即n的最大值為3，
故答案為：﹣，3．
【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．
14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，若對任意x∈R都有f（x）+f（x+m）＝c（c為常數(shù)），則常數(shù)m的一個取值為 π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）?。?
【分析】先對三角函數(shù)恒等變形，要使2sin（x+）cos（）＝c（c為常數(shù)），必有cos（）＝0，再解三角函數(shù)方程求解即可．
【解答】解：f（x）+f（x+m）＝sinx+sin（x+m）＝2s
16、in（x+）cos（﹣）＝2sin（x+）cos（）＝c（c為常數(shù)），
所以cos（）＝0，于是＝+kπ，m＝（2k+1）π，
所以常數(shù)m的一個取值為π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）．
故答案為：π（答案不唯一，只要是（2k+1）π即可）．
【點評】本題考查了正弦函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．
15．（5分）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：
（?。┱{(diào)度后每
17、座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0，100]；
（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；
（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．
記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關于x的函數(shù)解析式：
①；②y＝10；③；④．
則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是 ?、冖堋。?
【分析】根據(jù)題意得到，y的定義域為[0，100]，值域為[0，100]，y≥x對任意的x∈[0，100]成立且在[0，100]上單調(diào)遞增，由此對四個選項進行逐一的分析判斷即可．
【解答】解：由聯(lián)合調(diào)度要求可知，y的定義域為[0，100]，值域為[0，100]，
y≥x對任
18、意的x∈[0，100]恒成立且在[0，100]上單調(diào)遞增．
①在[0，100]上不是單調(diào)函數(shù)，故選項①錯誤；
②在[0，100]上單調(diào)遞增，值域為[0，100]，
又因為對任意的x∈[0，100]恒成立，
所以y≥x對任意的x∈[0，100]恒成立，故選項②正確；
③對任意的x∈[0，100]不恒成立，比如，故選項③錯誤；
④在[0，100]上單調(diào)遞增，值域為[0，100]，
令，則，
令f'（x）＝0，解得x＝x0，
則當x∈（0，x0）時，f'（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增，
當x∈（x0，100）時，f'（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減，
又f（0）＝0，f（100）
19、＝0，
所以f（x）≥0在[0，100]上恒成立，
故y≥x對任意的x∈[0，100]恒成立，故選項④正確．
故答案為：②④．
【點評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，涉及了利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的運用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．
三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．（13分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為DD1的中點．
（Ⅰ）求證：BD1∥平面ACE；
（Ⅱ）求直線AD與平面ACE所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）連接BD交AC于點O，連接OE，證明OE∥BD1.然后證明BD1∥平面ACE．
（
20、Ⅱ）不妨設正方體的棱長為2，建立空間直角坐標系A﹣xyz．求出平面ACE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線AD與平面ACE所成角的正弦值即可．
【解答】（Ⅰ）證明：連接BD交AC于點O，連接OE，
在正方形ABCD中，OB＝OD．
因為E為DD1的中點，
所以OE∥BD1.………………（3分）
因為BD1?平面ACE，OE?平面ACE，
所以BD1∥平面ACE． ………………（5分）
（Ⅱ）解：不妨設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz．
則A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，2，1），
所以，，． ………………（
21、8分）
設平面ACE的法向量為＝（x，y，z），
所以所以即………………（10分）
令y＝﹣1，則x＝1，z＝2，
于是＝（1，﹣1，2）．………………（11分）
設直線AD與平面ACE所成角為θ，
則．………………（13分）
所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值為．
【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
17．（13分）已知函數(shù)，且f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件．
（Ⅰ）確定f（x）的解析式：
（Ⅱ）若f（x）圖象的
22、對稱軸只有一條落在區(qū)間[0，a]上，求a的取值范圍．
條件①：f（x）的最小值為﹣2；
條件②：f（x）圖象的一個對稱中心為（，0）；
條件③：f（x）的圖象經(jīng)過點（，﹣1）．
【分析】（Ⅰ）先根據(jù)已知求出f（x）的最小正周期，即可求解ω，再根據(jù)所選條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解A和φ的值，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得關于a的不等式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，
所以f（x）的最小正周期，．
此時f（x）＝Asin（2x+φ）．
選條件①②：
因為f（x）的最小值為﹣A，所以A＝2．
因為f（
23、x）圖象的一個對稱中心為，
所以，
所以，
因為，所以，此時k＝1，
所以．
選條件①③：
因為f（x）的最小值為﹣A，所以A＝2．
因為函數(shù)f（x）的圖象過點，
則，即，．
因為，所以，
所以，，
所以．
選條件②③：
因為函數(shù)f（x）的一個對稱中心為，
所以，
所以．
因為，所以，此時k＝1．
所以．
因為函數(shù)f（x）的圖象過點，
所以，即，，
所以A＝2，
所以．
（Ⅱ）因為x∈[0，a]，所以，
因為f（x）圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間[0，a]上，
所以，
得，
所以a的取值范圍為．
【點評】本題主要考查由y＝Asin（ωx+φ）
24、的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
18．（14分）天文學上用星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小、星體越亮．視星等是指觀測者用肉眼所看到的星體亮度；絕對星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方測得的恒星的亮度，反映恒星的真實發(fā)光本領．
如表列出了（除太陽外）視星等數(shù)值最小的10顆最充恒星的相關數(shù)據(jù)，其中a∈[0，1.3]．
星名
天狼星
老人星
南門二
大角星
織女一
五車二
參宿七
南河三
水委一
參宿四*
視星等
﹣1.47
﹣0.72
﹣0.27
﹣0.04
0.03
0.08
0.12
0.38
25、
0.46
a
絕對星等
1.42
﹣5.53
4.4
﹣0.38
0.6
0.1
﹣6.98
2.67
﹣2.78
﹣5.85
赤緯
﹣16.7°
﹣52.7°
﹣60.8°
19.2°
38.8°
46°
﹣8.2°
5.2°
﹣57.2°
7.4°
（Ⅰ）從表中隨機選擇一顆恒星，求它的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值的概率；
（Ⅱ）已知北京的緯度是北緯40°，當且僅當一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于﹣50°時，能在北京的夜空中看到它，現(xiàn)從這10顆恒星中隨機選擇4顆，記其中能在北京的夜空中看到的數(shù)量為X顆，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）記a＝0
26、時10顆恒星的視星等的方差為s12，記a＝1.3時10顆恒星的視星等的方差為s22，判斷s12與s22之間的大小關系．（結論不需要證明）
【分析】（Ⅰ）由圖表中的數(shù)據(jù)可知有5顆恒星絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值，由古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）首先確定X的所有可能取值，利用超幾何分布的概率公式計算得到每個取值對應的概率，列出分布列，由數(shù)學期望的計算公式求解期望即可；
（Ⅲ）根據(jù)數(shù)據(jù)的波動程度可得方差的大小關系．
【解答】解：（Ⅰ）設一顆星的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值為事件A．，
由圖表可知，10顆恒星有5顆恒星絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值，
所以；
（Ⅱ）由圖表知，有
27、7顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于﹣50°，有3顆恒星的“赤緯”數(shù)值小于﹣50°．，
所以隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，
所以，
，
，
，
所以隨機變量X的分布列為：
X
1
2
3
4
P
所以X的數(shù)學期望為；
（Ⅲ）結論：．
【點評】本題考查了古典概型的概率公式的應用，離散型隨機變量及其分布列的求解，數(shù)學期望公式的運用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．
19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝ex（lnx﹣a）．
（Ⅰ）若a＝1，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞1，求證：函數(shù)f（x）存在極
28、小值；
（Ⅲ）若對任意的實數(shù)x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）當a＝1時，f（x）＝ex（lnx﹣1），求導得f′（x），由導數(shù)的幾何意義可得k切＝f′（1），進而可得切線方程．
（Ⅱ）由f（x）＝ex（lnx﹣a），求導得，令，根據(jù)h（x）的正負，得到f（x）的單調(diào)性，再確定f（x）的極小值．
（Ⅲ）對任意的實數(shù)x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立等價于f（x）的最小值大于或等于﹣1，分a≤1和a＞1，兩種情況討論，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）當a＝1時，f（x）＝ex（lnx﹣1），
所以，
所以f（1）＝﹣e，f'（1）＝0
29、，
曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y＝﹣e．
（Ⅱ）由f（x）＝ex（lnx﹣a），得，
令，則，
當0＜x＜1時，h'（x）＜0，當x＞1時，h'（x）＞0，
所以h（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
所以h（x）的最小值為h（1）＝1﹣a，
當a＞1時，h（1）＝1﹣a＜0，h（ea）＝e﹣a＞0，
又h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
故存在，使得h（x0）＝0，
所以在區(qū)間（1，x0）上h（x）＜0，在區(qū)間（x0，+∞）上h（x）＞0，
所以在區(qū)間（1，x0）上f'（x）＜0，在區(qū)間（x0，+∞）上f'（x）＞0，
30、
所以在區(qū)間（1，x0）上f（x）單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，+∞）上f（x）單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）存在極小值．
（Ⅲ）對任意的實數(shù)x∈[1，+∞），f（x）≥﹣1恒成立
等價于f（x）的最小值大于或等于﹣1．
①當a≤1時，h（1）＝1﹣a≥0，由（Ⅱ）得h（x）≥0，所以f'（x）≥0．
所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（1）＝﹣ae，
由﹣ae≥﹣1，得，滿足題意，
②當a＞1時，由（Ⅱ）知，f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，
所以在（1，x0）上f（x）≤f（1）＝﹣ae＜﹣e，不滿足題意．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．
【點評】
31、本題考查導數(shù)的綜合應用，導數(shù)的幾何意義，考查了分類討論思想，屬于中檔題．
20．（15分）已知橢圓C：（a＞0）的焦點在x軸上，且經(jīng)過點E（1，），左頂點為D，右焦點為F．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率和△DEF的面積；
（Ⅱ）已知直線y＝kx+1與橢圓C交于A，B兩點．過點B作直線y＝t（t＞）的垂線，垂足為G．判斷是否存在常數(shù)t，使得直線AG經(jīng)過y軸上的定點？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（Ⅰ）由橢圓C經(jīng)過點E（1，），得，解得a，由c2＝a2﹣b2，解得c，進而可得離心率e，△DEF的面積．
（Ⅱ）根據(jù)題意直線DE的方程為，G（1，t）時，直線AG的方程為，進而可
32、得與y軸交點，若直線AG經(jīng)過y軸上定點，則，解得t＝3，下面證明存在實數(shù)t＝3，使得直線AG經(jīng)過y軸上定點（0，2），即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）依題意，，解得a＝2．
因為c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，即c＝1，
所以D（﹣2，0），F(xiàn)（1，0），
所以離心率，
所以△DEF的面積．
（Ⅱ）由已知，直線DE的方程為，
當A（﹣2，0），，G（1，t）時，
直線AG的方程為，交y軸于點，
當，B（﹣2，0），G（﹣2，t）時，
直線AG的方程為，交y軸于點，
若直線AG經(jīng)過y軸上定點，則，
即t＝3，直線AG交y軸于點（0，2）．
下面證明存在實數(shù)t＝3，使得直
33、線AG經(jīng)過y軸上定點（0，2），
聯(lián)立消y整理，得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則，，
設點G（x2，3），所以直線AG的方程：，
令x＝0，得＝，
因為kx1x2＝x1+x2，
所以，
所以直線AG過定點（0，2），
綜上，存在實數(shù)t＝3，使得直線AG經(jīng)過y軸上定點（0，2）．
【點評】本題考查直線與橢圓的相交問題，解題中需要易得計算能力，屬于中檔題．
21．（15分）已知數(shù)列A：a1，a2，…，aN（N≥3）的各項均為正整數(shù)，設集合T＝{x|x＝aj﹣ai，1≤i＜j≤N}，記T的元素個數(shù)為P（T）．
（Ⅰ）若數(shù)列A：
34、1，2，4，3，求集合T，并寫出P（T）的值；
（Ⅱ）若A是遞增數(shù)列，求證：“P（T）＝N﹣1”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；
（Ⅲ）若N＝2n+1，數(shù)列A由1．，2，3，…，n，2n這n+1個數(shù)組成，且這n+1個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求P（T）的取值個數(shù)．
【分析】（Ⅰ）利用集合T的定義直接求解即可；
（Ⅱ）分充分性和必要性兩個方面分別證明，利用題中給出的集合T的定義分析即可；
（Ⅲ）通過分析可知P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n，設數(shù)列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此時T＝{0，1，2，…，2n﹣1}，P（T）＝2n．
然后對數(shù)列A0分別作變
35、換進行分析求解，即可得到答案．
【解答】（Ⅰ）解：因為a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3，
所以T＝{1，2，3，﹣1}，P（T）＝4；
（Ⅱ）證明：充分性：若A是等差數(shù)列，設公差為d．
因為數(shù)列A是遞增數(shù)列，所以d＞0．
則當j＞i時，aj﹣ai＝（j﹣i）d．
所以T＝{d，2d，…，（N﹣1）d}，P（T）＝N﹣1，
必要性：若P（T）＝N﹣1．
因為A是遞增數(shù)列，所以a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜aN﹣a1，
所以a2﹣a1，a3﹣a1，…，aN﹣a1∈T，且互不相等．
所以T＝{a2﹣a1，a3﹣a1，…，aN﹣a1}．
又a3﹣a2＜a4﹣a2＜…＜aN﹣1
36、﹣a2＜aN﹣a2＜aN﹣a1，
所以a3﹣a2，a4﹣a2，…，aN﹣a2，aN﹣a1∈T，且互不相等．
所以a3﹣a2＝a2﹣a1，a4﹣a2＝a3﹣a1，…，aN﹣a2＝aN﹣1﹣a1．
所以a2﹣a1＝a3﹣a2＝…＝aN﹣aN﹣1，
所以A為等差數(shù)列；
（Ⅲ）解：因為數(shù)列A由1，2，3，…，n，2n這n+1個數(shù)組成，任意兩個不同的數(shù)作差，
差值只可能為±1，±2，±3，…，±（n﹣1）和±（2n﹣1），±（2n﹣2），…，±n．
共2（n﹣1）+2n＝4n﹣2個不同的值；且對任意的m＝1，2，3，…，n﹣1，n，…，2n﹣1，m和﹣m這兩個數(shù)中至少有一個在集合T中，
37、又因為1，2，3，…，n，2n這n+1個數(shù)在數(shù)列A中共出現(xiàn)N＝2n+1次，所以數(shù)列A中存在ai＝aj（i≠j），所以0∈T．
綜上，P（T）≤4n﹣1，且P（T）≥2n．
設數(shù)列A0：1，1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，此時T＝{0，1，2，…，2n﹣1}，P（T）＝2n．
現(xiàn)對數(shù)列A0分別作如下變換：
把一個1移動到2，3之間，得到數(shù)列：1，2，2，1，3，3，4，4，…，n，n，2n，
此時T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1}，P（T）＝2n+1．
把一個1移動到3，4之間，得到數(shù)列：1，2，2，3，3，1，4，4，…，n，n，2n，
此時T＝{0，1
38、，2，3，…，（2n﹣1），﹣1，﹣2}，P（T）＝2n+2．
……
把一個1移動到n﹣1，n之間，得到數(shù)列：1，2，2，3，3，4，4，…，n﹣1，n﹣1，1，n，n，2n，
此時T＝{0，1，2，3，…，（2n﹣1），﹣1，﹣2，…，2﹣n}，P（T）＝2n+n﹣2＝3n﹣2．
把一個1移動到n，2n之間，得到數(shù)列：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，1，2n，
此時T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n}，P（T）＝2n+n﹣1＝3n﹣1．
再對數(shù)列A0依次作如下變換：
把一個1移為2n的后一項，得到數(shù)列A1：1，2，2，3，3，4，4，…，n，n，
39、2n，1，
此時T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n}，P（T）＝3n；
再把一個2移為2n的后一項：得到數(shù)列A2：1，2，3，3，4，4，…，n，n，2n，2，1，
此時T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n，2﹣2n}，P（T）＝3n+1；
依此類推……，
最后把一個n移為2n的后一項：得到數(shù)列An：1，2，3，4，…，n，2n，n，n﹣1，…，2，1，
此時T＝{0，1，2，3，…，2n﹣1，﹣1，﹣2，…，1﹣n，1﹣2n，2﹣2n，…，﹣n}，P（T）＝4n﹣1．
綜上所述，P（T）可以取到從2n到4n﹣1的所有2n個整數(shù)值，所以P（T）的取值個數(shù)為2n．
【點評】本題以數(shù)列知識為背景考查了新定義問題，解決此類問題，關鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學背景中，運用相關的數(shù)學公式、定理、性質(zhì)進行解答，屬于難題．
2021年北京市西城區(qū)高考數(shù)學一模試卷【含答案】
