《用公式法求解一元二次方程》教案

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1、 3 用公式法求解一元二次方程 【知識(shí)與技能】 1.理解求根公式的推導(dǎo)過程和判別公式 . 2.使學(xué)生能熟練地運(yùn)用公式法求解一元二次方程 . 【過程與方法】 通過由配方法推導(dǎo)求根公式，培養(yǎng)學(xué)生推理能力和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思 想 . 【情感態(tài)度】 讓學(xué)生體驗(yàn)到所有一元二次方程都能運(yùn)用公式法去解， 形成全面解決問題的 積極情感，感受公式的對稱美、簡潔美，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感 . 【教學(xué)重點(diǎn)】 求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用 . 【教學(xué)難點(diǎn)】 理解求根公式的推導(dǎo)過程及判別公式的應(yīng)用 .

2、 一、情境導(dǎo)入 ,初步認(rèn)識(shí) 用配方法解方程： （1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0 【教學(xué)說明】學(xué)生板演，復(fù)習(xí)舊知 . 二、思考探究，獲取新知 1.探究：用配方法解方程： ax2+bx+c=0（a≠0）. 分析：前面具體數(shù)字已做了很多， 我們現(xiàn)在不妨把 a、b、c 也當(dāng)成具體數(shù)字， 根據(jù)配方法的解題步驟推下去 . 解：移項(xiàng)，得： ax2+bx=-c 因?yàn)?a≠ 0，所以方程兩邊同除以 a，得： x2+ b  x=  c a  a 配

3、方，得： x2+ b x+（ b ） 2= c +（ b ）2 a 2a a 2a 即（ x+ b ）2= b2 4ac 2a 4a2 2 ，當(dāng) 2 ≥ b2 4ac ≥0 ∵a≠0，∴ 4a >0 0 時(shí)， b -4ac 4a2 ∴x+ b = b2

4、 4ac 即 x= b b2 4ac 2a 2a 2a ∴x1 b b2 4ac ， x2 = b b2 4ac = 2a 2a 【歸納總結(jié)】由上可知， 一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠ 0）的根由方程的系數(shù) a、b、 c 而定，因此： （1）解一元二次方程時(shí)， 可以先將方程化為一般形式 ax2+bx+c=0，當(dāng) b2-4ac ≥ 0

5、時(shí)，將 a、 b、 c 代入式子 x= b b2 4ac （b2 ≥ ）， 2a -4ac 0 就可求出方程的根； （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 用公式法解一元二次方程時(shí)，必須注意兩點(diǎn)： （ 1）將 a、b、c 的值代入公式 時(shí)，一定要注意符號(hào)不能出錯(cuò)； （2）式子 b2-4ac≥0 是公式的一部分 . 【教學(xué)說明】讓學(xué)生思考對于一般形式的一元二次方程 ax2 ≠ +bx+c=0(a

6、 0) 能否用配方法求出它的解，通過解方程發(fā)現(xiàn)歸納一元二次方程的求根公式 . 2.用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的情況你有什么結(jié)論？ （1）2x2-3x=0； （2）3x2-2 3 x+1=0； （3）4x2+x+1=0. 【歸納總結(jié)】（1）當(dāng) =b2-4ac>0 時(shí)，一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即 x1 b b2 4ac ， x2 b b2 4ac ； = 2a = 2a （2）當(dāng) =b2 -4ac=0 時(shí)，一元二次方

7、程 2 （ ≠ ）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù) ax +bx+c=0 a 0 b 根即 x1=x2=- ； （3）當(dāng) =b2-4ac<0 時(shí)，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根 . 【教學(xué)說明】進(jìn)一步體會(huì)一元二次方程的根與 b2-4ac 的關(guān)系 . 三、運(yùn)用新知，深化理解 1.用公式法解下列方程 . （1）2x2-x-1=0； （2）x2+1.5=-3x； （3）x2 ； - 2 x+12=0 （4）4x2-3x+2=0. 分析：用公式法解一元二次方程，需先

8、確定 a、b、c 的值，再算出 b2-4ac 的 值，最后代入求根公式求解 . 【教學(xué)說明】（1）一元二次方程 ax2 （ ≠ ）的根是由一元二次方程 +bx+c=0 a 0 的系數(shù) a、b、c 確定的； （2）在解一元二次方程時(shí)，可先把方程化為一般形式，然后在b2 ≥ -4ac 0 的前提下，把 a、b、c 的值代入 x= b b2 4ac 中，可求得方程的兩個(gè)根； 2a （3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 2.不解方程，判定方程根的情況 （1）16x2+8x=-3；

9、 （2）9x2+6x+1=0； （3）2x2-9x+8=0； 2 （4）x -7x-18=0. 分析：不解方程，判定方程根的情況，只需根據(jù) b2-4ac 的值大于 0、小于 0、 等于 0 的情況進(jìn)行分析即可 .b2-4ac 的值是在一元二次方程一般形式下得出的， 所以首先必須將方程化為一般形式 . 3.若關(guān)于 x 的一元二次方程（ a-2） x2-2ax+a+1=0 沒有實(shí)數(shù)解，求 ax+3>0 的 解集（用含 a 的式子表示） . 分析：要求  ax+3>0 的解集，就是求  ax>-3  的解集，那么就轉(zhuǎn)

10、化為要判定  a 的值是正、負(fù)或  0.因?yàn)橐辉畏匠蹋?  a-2） x2-2ax+a+1=0  沒有實(shí)數(shù)根，即 （ -2a） 2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出 a 的取值范圍 . 2 解：∵關(guān)于 x 的一元二次方程（ a-2）x -2ax+a+1=0 沒有實(shí)數(shù)根 . 2 2 2 ∴（ -2a） -4（a-2）（a+1）=4a -4a +4a+8<0 ∴a<-2 ∵ax+3>0 即 ax>-3，∴ x<-3/a， ∴所求不等式的解集為 x<-3/a. 【教學(xué)說明】主體探究利用公式法

11、解一元二次方程的一般方法， 進(jìn)一步理解求根公式 . 四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié) 本節(jié)課通過配方法求解一般形式的一元二次方程的根， 推出了一元二次方程 的求根公式，并掌握利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況 . 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題 2.5”中第 1、2 題. 2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時(shí)“課時(shí)作業(yè)”部分 . 通過復(fù)習(xí)配方法使學(xué)生對一元二次方程的定義及解法有一個(gè)深刻的印象 .然 后讓學(xué)生用配方法推導(dǎo)一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判別式 判斷一元二次方程根的情況，使學(xué)生的推理能力得到加強(qiáng) .