形函數(shù)、剛度矩陣

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1、4.5單 元 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì) 與 物 理 意 義假 設(shè) 單 元 的 結(jié) 點(diǎn) 位 移 如 下 ： Te 000001 ixmy ixmx ixjy ixjx ixiy ixixymxmyjxjyixi KKKKKKFFFFFF ,得 到 結(jié) 點(diǎn) 力 如 下 ： 2.5單 元 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì) 與 物 理 意 義 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 ： 將 寫 成 分 塊 矩 陣 寫 成 普 通 方 程 其 中 表 示 結(jié) 點(diǎn) S(S=i,j,m)產(chǎn) 生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 結(jié) 點(diǎn)r(r=i,j,m)上 所 需 要 施 加 的 結(jié) 點(diǎn) 力 的 大 小 。 mj

2、immmjmi jmjjji imijiimji KKK KKK KKKFFF K K KF K K KF K K KF mmmjmjimii mjmjjjijij mimijijiiii eF rsK i ii i ij j im mj ji i jj j jm mi mi i mj j mm mF K K K F K K K F K K K rsK 2.5單 元 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì) 與 物 理 意 義 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 ： 將 結(jié) 點(diǎn) 力 列 矩 陣 與 結(jié) 點(diǎn) 位 移 列 矩 陣 均 展 開 成(6*1)階 列 矩 陣 ， 單 元 剛 度 矩 陣 相 應(yīng)

3、 地 展 開 成 (6*6)階 方 陣 ： 元 素 K的 腳 碼 ， 標(biāo) 有 “ -” 的 表 示 水 平 方 向 ， 沒 有 標(biāo) “ -”的 表 示 垂 直 方 向 。 eF e mmjjiimmmmmjjmmiim mmmmjmjmimim jmmjjjjjjiij mjmjjjjjijij immiijjiiiii mimijijiiiiimmjjii vuvuvu KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKKVUVUVU eii ii ij ij im imi ii ij im imii iji ji ji jj jj jm jmj ji jj j

4、m jmji jjj mi mj mm mmmi mjm mi mj mm mmmi mjm K K K K K KU K K K K K KV K K K K K KU K K K K K KV K K K K KU K K K K KV e 2.5單 元 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì) 與 物 理 意 義 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 ： 單 元 剛 度 矩 陣 的 每 一 個(gè) 元 素 都 有 明 顯 的 物 理 意 義 。 表 示 結(jié) 點(diǎn) S(S=i,j,m)在 水 平 方 向 、 垂 直 方 向產(chǎn) 生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 結(jié) 點(diǎn) r(r=i,j,m)上 分 別 所 要

5、 施 加 的 水 平 結(jié)點(diǎn) 力 和 垂 直 結(jié) 點(diǎn) 力 的 大 小 。 例 如 表 示 結(jié) 點(diǎn) j在 垂 直 方 向 產(chǎn)生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 結(jié) 點(diǎn) i所 需 要 施 加 的 水 平 結(jié) 點(diǎn) 力 的 大 小 。 mj,i,S ssrssrr m)j,i,)(rvKu(K U r rs s rs sS i,j,mV (K u K v )(r i,j,m) rssrsrsr ， K， K， KK jiK r s srs rsS i,j,mr rs s rs sS i,j,mU (K u K v )(r i,j,m)V (K u K v )(r i,j,m)rs rs rs rsK ， K

6、 ， K ， K ijK 2.5單 元 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì) 與 物 理 意 義 單 元 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì) ： 1)對(duì) 稱 性 ： 是 對(duì) 稱 矩 陣 2)奇 異 性 ： 是 奇 異 矩 陣 ， 單 元 剛 度 矩 陣 所 有 奇 數(shù) 行 的 對(duì) 應(yīng) 元 素 之 和 為 零 ， 所 有 偶 數(shù)行 的 對(duì) 應(yīng) 元 素 之 和 也 為 零 。 由 此 可 見 ， 單 元 剛 度 矩 陣 各 列 元 素的 總 和 為 零 。 由 對(duì) 稱 性 可 知 ， 各 行 元 素 的 總 和 也 為 零 。 eK eK 0 eK eK eK 0 表 示 s結(jié) 點(diǎn) 在 水 平 方 向 產(chǎn) 生 單

7、位 位 移 時(shí) ， 在 結(jié) 點(diǎn) r的垂 直 方 向 上 需 要 施 加 的 結(jié) 點(diǎn) 力 。sxryK ,sxrxK , 表 示 s結(jié) 點(diǎn) 在 水 平 方 向 產(chǎn) 生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 結(jié) 點(diǎn) r的水 平 方 向 上 需 要 施 加 的 結(jié) 點(diǎn) 力 。選 擇 不 同 的 單 元 結(jié) 點(diǎn) 位 移 ， 可 以 得 到 單 元 剛 度 矩陣 中 每 個(gè) 元 素 的 物 理 含 義 ：syrxK , 表 示 s結(jié) 點(diǎn) 在 垂 直 方 向 產(chǎn) 生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 結(jié) 點(diǎn) r的水 平 方 向 上 需 要 施 加 的 結(jié) 點(diǎn) 力 。syryK , 表 示 s結(jié) 點(diǎn) 在 垂 直 方 向 產(chǎn)

8、 生 單 位 位 移 時(shí) ， 在 結(jié) 點(diǎn) r的垂 直 方 向 上 需 要 施 加 的 結(jié) 點(diǎn) 力 。單 元 剛 度 矩 陣 中 每 個(gè) 元 素 都 可 以 理 解 為 剛 度 系 數(shù) ，即 在 結(jié) 點(diǎn) 發(fā) 生 單 位 位 移 時(shí) 所 需 要 施 加 的 結(jié) 點(diǎn) 力 。 單 元 剛 度 矩 陣 的 性 質(zhì) ：1） 對(duì) 稱 性2） 奇 異 性3） 對(duì) 角 線 上 的 主 元 恒 正首 先 證 明 單 元 剛 度 矩 陣 的 對(duì) 稱 性 ， 即 Tee KK )( )( sTTrTrTsTsr BDBBDBK rssTrTsr KBDBK TDD 假 定 單 元 產(chǎn) 生 了 x方 向 的 單 位 位

9、 移 的 剛 體 移 動(dòng) ，Te 010101 再 證 明 單 元 剛 度 矩 陣 是 奇 異 的 ， 即 0eK TeT K 010101000000 對(duì) 應(yīng) 的 單 元 結(jié) 點(diǎn) 力 為 零 ，可 以 得 到 ， 在 單 元 剛 度 矩 陣 中 1， 3， 5列 中 對(duì) 應(yīng)行 的 系 數(shù) 相 加 為 零 ， 由 行 列 式 的 性 質(zhì) 可 知 ， 單 元?jiǎng)?度 矩 陣 是 奇 異 的 。如 何 說 明 單 元 剛 度 矩 陣 對(duì) 角 線 上 的 元 素 恒 正 ？ 4.6整 體 分 析整 體 分 析 包 括 以 下 4個(gè) 步 驟 ：1） 建 立 整 體 剛 度 矩 陣 ，2） 根 據(jù) 約 束

10、 條 件 修 改 整 體 剛 度 矩 陣 ，3） 解 方 程 組 ， 求 出 結(jié) 點(diǎn) 的 位 移 ，4） 根 據(jù) 結(jié) 點(diǎn) 位 移 ， 求 出 單 元 的 應(yīng) 變 和 應(yīng) 力 。建 立 整 體 剛 度 矩 陣 的 基 本 方 法 是 剛 度 集 成 法 ，即 整 體 剛 度 矩 陣 是 單 元 剛 度 矩 陣 的 集 成 。 剛 度 集 成 法 的 物 理 意 義 結(jié) 構(gòu) 中 的 結(jié) 點(diǎn) 力 是 相 關(guān) 單 元 結(jié) 點(diǎn) 力 的 疊 加 ，整 體 剛 度 矩 陣 的 元 素 是 相 關(guān) 單 元 的 單 元 剛 度 矩陣 元 素 的 集 成 。 剛 度 矩 陣 集 成 的 規(guī) 則 ：1） 將 單 元

11、 剛 度 矩 陣 中 的 每 個(gè) 分 塊 放 到 在 整 體剛 度 矩 陣 中 的 對(duì) 應(yīng) 位 置 上 ， 得 到 單 元 的 擴(kuò) 大 剛度 矩 陣 。2） 將 全 部 單 元 的 擴(kuò) 大 矩 陣 相 加 得 到 整 體 剛 度矩 陣 。單 元 剛 度 矩 陣 元 素 取 決 于 單 元 結(jié) 點(diǎn) 的 局 部 編 號(hào)順 序 ， 必 須 知 道 單 元 結(jié) 點(diǎn) 的 局 部 編 號(hào) 與 該 結(jié) 點(diǎn)在 整 體 結(jié) 構(gòu) 中 的 總 體 編 號(hào) 之 間 的 關(guān) 系 。 例 2.7、 圖 示 結(jié) 構(gòu) 的 單 元 結(jié) 點(diǎn) 的 局 部 編 號(hào) 與 整 體 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān)系 如 下 ： 求 結(jié) 構(gòu) 的 整 體 剛

12、 度 矩 陣 。 單 元 （ 2） 的 單 元 擴(kuò) 大 剛 度 矩 陣 的 分 塊 矩 陣 形式 如 下 ， 只 列 出 非 零 的 分 塊 ： 整 體 剛 度 矩 陣 編 程 實(shí) 現(xiàn) 整 體 剛 度 矩 陣 集 成NEC(i,1)， 表 示 單 元 (i)中 I結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) ；NEC(i,2)， 表 示 單 元 (i)中 J結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) ；NEC(i,3)， 表 示 單 元 (i)中 M結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) 。分 塊 矩 陣 Krs中 的 系 數(shù) 按 以 下 地 址 加 入 整 體 剛度 矩 陣 ： 在 編 制 有 限 元 程 序 時(shí) ， 可 以 用 一 個(gè)

13、 二 維 數(shù) 組 來 保存 單 元 結(jié) 點(diǎn) 的 局 部 編 號(hào) 與 該 結(jié) 點(diǎn) 在 整 體 結(jié) 構(gòu) 中 的總 體 編 號(hào) 之 間 的 關(guān) 系 。 假 定 最 大 單 元 數(shù) 目 為NELEM， 用 Fortran語 言 可 以 定 義 以 下 數(shù) 組 ，DIMENSION NEC(NELEM,3)數(shù) 組 的 行 與 單 元 對(duì) 應(yīng) ， 數(shù) 組 的 第 1列 為 單 元 中 I結(jié)點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) ， 第 2列 為 單 元 中 J結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) ，第 一 列 為 單 元 中 M結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) 。 例 如 ，NEC(2,1)=5， 表 示 單 元 (2)中 I結(jié) 點(diǎn) 的

14、 整 體 編 號(hào) 為 5；NEC(2,2)=2， 表 示 單 元 (2)中 J結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) 為 2；NEC(2,3)=4， 表 示 單 元 (2)中 M結(jié) 點(diǎn) 的 整 體 編 號(hào) 為 4。 例 2.8、 對(duì) 于 例 2.6給 出 的 有 限 單 元 網(wǎng) 格 ， 單 元 結(jié) 點(diǎn) 的 局 部編 號(hào) 順 序 如 下 ： e1(1,2,3)， e2(2,4,5)， e3(2,5,3)。試 給 出 整 體 剛 度 矩 陣 。 單 元 1的 擴(kuò) 大 剛 度 矩 陣 ， 00000 00000 00 00 00 )1()1()1( )1()1()1( )1()1()1( mmmjmi jmjj

15、ji imijii KKK KKK KKK 單 元 2， 0ib abj abm aci acj 0mc 2102121021 0110 212321121 211212321 0110 2102121021)1(2 2)2( EtK單 元 2的 單 元?jiǎng)?度 矩 陣單 元 2的 擴(kuò) 大剛 度 矩 陣 ， )2()2()2( )2()2()2( )2()2()2( 00 00 00000 00 00000 mmmjmi jmjjji imijii KKK KKK KKK abi 0jb abm 0ic acj acm單 元 3， 232112121 212321211 1100 2121021

16、210 2121021210 1001)1(2 2)3( EtK單 元 3的 單 元?jiǎng)?度 矩 陣單 元 3的 擴(kuò) 大剛 度 矩 陣 ， )3()3()3( )3()3()3( )3()3()3( 00 00000 00 00 00000 jjjmji mjmmmi ijimii KKK KKK KKK 假 定 彈 性 體 總 共 劃 分 為 m個(gè) 單 元 ， n個(gè) 結(jié) 點(diǎn) 。 單 元 剛 度 矩 陣 ik 總 體 結(jié) 點(diǎn) 位 移 f單 元 結(jié) 點(diǎn) 位 移 總 體 載 荷 if R單 元 結(jié) 點(diǎn) 力 iQ外 力 總 虛 功 等 于 各 單 元 結(jié) 點(diǎn) 力 虛 功 之 合)( 1 iTimiT QfRf )()()( 11 fTkfTfkfRf iiTimiiiTimiT )( 1 fTkTfRf iiTimiTT Ti是 6 x 2n 的 矩 陣 fTf ii