《新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)41 空間幾何體的表面積與體積(含解析)-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課時(shí)作業(yè)41 空間幾何體的表面積與體積(含解析)-人教版高三數(shù)學(xué)試題(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時(shí)作業(yè)41 空間幾何體的表面積與體積
一、選擇題
1.一個(gè)球的表面積是16π,那么這個(gè)球的體積為( B )
A.π B.π
C.16π D.24π
解析:設(shè)球的半徑為R,則S=4πR2=16π,解得R=2,則球的體積V=πR3=π.
2.已知圓錐的表面積等于12π cm2,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則底面圓的半徑為( B )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D. cm
解析:由題意,得S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,解得r2=4,所以r=2(cm).
3.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為
2、8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為( B )
A. B.
C.2 D.3
解析:設(shè)新的底面半徑為r,由題意得πr2·4+πr2·8=π×52×4+π×22×8,解得r=.
4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,該三棱柱的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同,若球O的表面積為20π,則三棱柱的體積為( A )
A.6 B.12
C.12 D.18
解析:設(shè)球O的半徑為R,則由4πR2=20π得R2=5,由題意知,此三棱柱為正三棱柱,且底面三角形的外接圓與側(cè)面的外接圓
3、大小相同,故設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高為h,如圖,取三角形ABC的中心O1,四邊形BCC1B1的中心O2,連接OO1,OA,O2B,O1A,由題意可知,在Rt△AOO1中,OO+AO=AO2=R2,即2+2=R2=5?、?,又AO1=BO2,所以AO=BO,即2=2+2 ②,由①②可得a2=12,h=2,所以三棱柱的體積V=h=6.故選A.
5.已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切)的表面積為16π,則其底面邊長(zhǎng)為( B )
A.18 B.12
C.6 D.4
解析:如圖,由題意知,球心在三棱錐的高PE上,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則S球=4πR2=16π,所以R=2,
4、所以O(shè)E=OF=2,OP=4.在Rt△OPF中,PF==2.因?yàn)椤鱋PF∽△DPE,所以=,得DE=2,AD=3DE=6,AB=AD=12.故選B.
6.(多選題)已知A,B,C三點(diǎn)均在球O的表面上,AB=BC=CA=2,且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的,則下列結(jié)論正確的是( AD )
A.球O的表面積為6π
B.球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為1
C.球O的外切正方體的棱長(zhǎng)為
D.球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為2
解析:設(shè)球O的半徑為r,△ABC的外接圓圓心為O′,半徑為R.易得R=.因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的,所以r2-r2=,得r2=.所以球O的表面積S=4
5、πr2=4π×=6π,選項(xiàng)A正確;球O的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)a滿足a=2r,顯然選項(xiàng)B不正確;球O的外切正方體的棱長(zhǎng)b滿足b=2r,顯然選項(xiàng)C不正確;球O的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)c滿足c=r=×=2,選項(xiàng)D正確.
二、填空題
7.(2019·江蘇卷)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是10.
解析:因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,
所以CC1·S四邊形ABCD=120,又E是CC1的中點(diǎn),
所以三棱錐E-BCD的體積VE-BCD=EC·S△BCD
=×CC1×S四邊形ABCD=×120=10.
8.如圖
6、所示,一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球,水面高度恰好升高r,則=.
解析:由水面高度升高r,得圓柱體積增加了πR2r,恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積,因此有πr3=πR2r.故=.
9.一個(gè)六棱錐的體積為2,其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為12.
解析:設(shè)六棱錐的高為h,則V=Sh,
所以××4×6h=2,解得h=1.
設(shè)六棱錐的斜高為h′,則h2+()2=h′2,故h′=2.
所以該六棱錐的側(cè)面積為×2×2×6=12.
10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PB⊥底面ABCD,O為對(duì)角線
7、AC與BD的交點(diǎn),若PB=1,∠APB=∠BAD=,則三棱錐P-AOB的外接球的體積是.
解析:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即OA⊥OB.∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥AO,又OB∩PB=B,
∴AO⊥平面PBO,∴AO⊥PO,即△PAO是以PA為斜邊的直角三角形.∵PB⊥AB,∴△PAB是以PA為斜邊的直角三角形,∴三棱錐P-AOB的外接球的直徑為PA.
∵PB=1,∠APB=,∴PA=2,∴三棱錐P-AOB的外接球的半徑為1,∴三棱錐P-AOB的外接球的體積為.
三、解答題
11.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部
8、的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?
解:由PO1=2 m知,O1O=4PO1=8 m.因?yàn)锳1B1=AB=6 m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積
V錐=·A1B·PO1=×62×2=24(m3);
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),
所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).
故倉(cāng)庫(kù)的容積是312 m3.
12.如圖①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F(xiàn)分別為AB,
9、CD的中點(diǎn),CD=2AB=2EF=4,M為DF的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形BEFC沿EF折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如圖②所示的多面體.在圖②中,
(1)證明:EF⊥MC;
(2)求三棱錐M-ABD的體積.
解:(1)證明:由題意,可知在等腰梯形ABCD中,
AB∥CD,
∵E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn),∴EF⊥CD.
折疊后,EF⊥DF,EF⊥CF.
∵DF∩CF=F,∴EF⊥平面DCF.
又MC?平面DCF,∴EF⊥MC.
(2)易知AE=BE=1,DF=CF=2,DM=1,
∴MF=1=AE.又AE∥MF,∴四邊形AEFM為平行四邊形.∴AM∥EF,故AM⊥DF
10、.
∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且BE⊥EF,∴BE⊥平面AEFD.
∴VM-ABD=VB-AMD=×S△AMD×BE=××1×2×1=.
即三棱錐M-ABD的體積為.
13.已知在四面體ABCD中,AD=DB=AC=CB=1,則該四面體的體積的最大值為.
解析:如圖,設(shè)AB的中點(diǎn)為P,連接PC,PD,因?yàn)锳D=DB,AC=CB,所以AB⊥PD,AB⊥PC,又PC∩PD=P,所以AB⊥平面PCD.設(shè)AB=2x(0
11、CD·BP
=·S△PCD·AB=·2x·()2sin∠CPD
≤x·()2.
設(shè)函數(shù)f(x)=x·()2
=(x-x3),00;當(dāng)
12、⊥PB;
(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時(shí),求點(diǎn)C到平面PAB的距離.
解:(1)證明:在等腰梯形ABCD中,連接BD,交AE于點(diǎn)O.
∵AB∥CE,AB=CE,∴四邊形ABCE為平行四邊形,
∴AE=BC=AD=DE,∴△ADE為等邊三角形,
∴在等腰梯形ABCD中,∠C=∠ADE=,BD⊥BC,
∴BD⊥AE.如圖,翻折后可得,OP⊥AE,OB⊥AE,
又OP?平面POB,OB?平面POB,OP∩OB=O,
∴AE⊥平面POB,
∵PB?平面POB,∴AE⊥PB.
(2)當(dāng)四棱錐P-ABCE的體積最大時(shí),平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE=AE,PO?平面PAE,PO⊥AE,∴OP⊥平面ABCE.
∵OP=OB=,∴PB=,∵AP=AB=1,
∴S△PAB=××=,
連接AC,則VP-ABC=OP·S△ABC=××=,
設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為d,
∵VP-ABC=VC-PAB=S△PAB·d,
∴d===.