高考數(shù)學一輪總復習 幾何證明選講課時訓練 理（選修4-1）-人教版高三選修4-1數(shù)學試題

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1、選修4－1　幾何證明選講 第1課時　相似三角形的進一步認識(理科專用) 1. 如圖，矩形ABCD中，E是BC上的點，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，求AB的長． 解：根據(jù)題意可以判斷Rt△ABE∽Rt△ECD，則有＝，可得AB＝2. 2. 如圖，在△ABC和△DBE中，＝＝＝，若△ABC與△DBE的周長之差為10 cm，求△ABC的周長． 解：利用相似三角形的相似比等于周長比可得△ABC的周長為25 cm. 3. 在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，且DE∥BC，△ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，求DE∶BC的值． 解：△ADE∽△A

2、BC，利用面積比等于相似比的平方可得DE∶BC＝1∶2. 4. 如圖，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的邊長是6 cm，且四個頂點都在△ABC的各邊上，CE＝3 cm，求BC的長． 解：∵ 四邊形DEFG是正方形，∴ ∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6 cm.∵ ∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴ ∠C＝∠BGD，∴ △BGD∽△FCE，∴ ＝，即BD＝＝12 cm，∴ BC＝BD＋DE＋EC＝21 cm. 5. 如圖，在ABCD中，E是DC邊的中點，AE交BD于O，S△DOE＝9 cm2，求S△AOB. 解：∵ 在ABCD中 ，AB∥D

3、E，∴ △AOB∽△EOD，∴ ＝. ∵ E是CD的中點，∴ DE＝CD＝AB， 則＝2，∴ ＝22＝4， ∴ S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm)2. 6. 如圖，在△ABC中，D為BC邊上中點，延長BA到E，使AE＝EB，連結(jié)DE，交AC于F.求AF∶FC的值． 解：過D點作DP∥AC(如圖)，因為D是BC的中點，所以P為AB的中點，且DP＝AC. 又AE＝EB，所以AE＝AP，所以AF＝DP＝AC，所以AF∶FC＝1∶3. 7. 將三角形紙片ABC按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以點B′

4、、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，求BF的長． 解：設(shè)BF＝x.若△CFB′∽△CBA， 則＝，即＝.∴ 12－3x＝4x，∴ x＝. 若△CFB′∽△CAB，則＝，即＝，得x＝2. 即BF＝2或. 8. 如圖，在△ABC中，D是AC中點，E是BD三等分點，AE的延長線交BC于F.求的值． 解：過D點作DM∥AF交BC于M.因為DM∥AF，所以＝＝.因為EF∥DM，所以＝，即S△BDM＝9S△BEF.又＝，即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，所以S四邊形DEFC＝14S△BEF，因此＝. 9. 如圖所示，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，F(xiàn)為AB上任意一點，

5、CF交AD于點E.求證：AE·BF＝2DE·AF. 證明：過點D作AB的平行線DM交AC于點M，交FC于點N. 在△BCF中，D是BC的中點， DN∥BF，∴ DN＝BF. ∵ DN∥AF，∴ △AFE∽△DNE. ∴ ＝. ∵ DN＝BF，∴ ＝， 即AE·BF＝2DE·AF. 10. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長BC到D，使CD＝BC，CE⊥BD，交AD于E，連結(jié)BE，交AC于點F.求證：AF＝FC. 證明：取BC的中點H，連結(jié)AH. ∵ AB＝AC，∴ AH⊥BC. ∵ CE⊥BD，∴ AH∥EC. ∵ CD＝BC，∴ CD＝2CH. 則

6、DE＝2AE.取ED的中點M，連結(jié)CM.則ME＝AE. ∵ C為BD的中點，∴ CM∥BE. 則F為AC的中點，即AF＝FC. 11. 如圖，AB是圓O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA，交BA的延長線于點F. (1) 求證：∠DEA＝∠DFA； (2) 若∠EBA＝30°，EF＝，EA＝2AC，求AF的長． (1) 證明：連結(jié)AD、BC. 因為AB是圓O的直徑， 所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°， 故A、D、E、F四點共圓， 所以∠DEA＝∠DFA. (2) 解：在Rt△EFA和Rt△BCA中，∠EAF＝∠CAB， 所以△EFA∽△B

7、CA，故＝. 設(shè)AF＝a，又EF＝，∠EBA＝30°，所以BF＝3，則AB＝3－a，AE2＝AF2＋EF2＝a2＋3. 所以a(3－a)＝(3＋a2)，解得a＝1.所以AF的長為1. 第2課時　圓的進一步認識(理科專用) 1. (2014·南京、鹽城期末)如圖，AB、CD是半徑為1的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，若PC＝，OP＝，求PD的長． 解：因為P為AB中點，所以O(shè)P⊥AB，所以PB＝＝.因為PC·PD＝PA·PB＝PB2＝， 由PC＝，得PD＝. 2. 如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，求的值．

8、 解：設(shè)圓的半徑為R，則AD＝＝R，OD＝R－R＝R.又OD2＝OE·OC，所以O(shè)E＝＝R，CE＝R－R＝R，所以＝8. 3. 如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，分別求PD、AB的值． 解：由PD∶DB＝9∶16，可設(shè)PD＝9x，DB＝16x. 因為PA為圓O的切線，所以PA2＝PD·PB， 所以32＝9x·(9x＋16x)，化為x2＝，所以x＝. 所以PD＝9x＝，PB＝25x＝5. 因為AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，所以AB⊥PA. 所以AB＝＝＝4. 4. (2014·蘇北三市期末)如圖，銳角△ABC

9、的內(nèi)心為D，過點A作直線BD的垂線，垂足為F，點E為內(nèi)切圓D與邊AC的切點．若∠C＝50°，求∠DEF的度數(shù)． 解：由圓D與邊AC相切于點E，得∠AED＝90°. 因為DF⊥AF，得∠AFD＝90°，所以A、D、F、E四點共圓， 所以∠DEF＝∠DAF. 又∠ADF＝∠ABD＋∠BAD＝(∠ABC＋∠BAC)＝(180°－∠C)＝90°－∠C， 所以∠DEF＝∠DAF＝90°－∠ADF＝∠C. 由∠C＝50°，得∠DEF＝25°. 5. 自圓O外一點P引切線與圓切于點A，M為PA的中點，過M引割線交圓于B、C兩點．求證：∠MCP＝∠MPB. 證明：∵ PA與圓相切于A，

10、 ∴ MA2＝MB·MC.又M為PA的中點，∴ PM＝MA， ∴ PM2＝MB·MC，∴ ＝.∵ ∠BMP＝∠PMC， ∴ △BMP∽△PMC，∴ ∠MCP＝∠MPB. 6. (2014·鎮(zhèn)江期末)如圖，已知AB是圓O的直徑，圓O交BC于點D，過點D作圓O的切線DE交AC于點E，且DE⊥AC.求證：AC＝2OD. 證明：∵ DE是圓O的切線，∴ OD⊥DE. 又DE⊥AC，∴ OD∥AC. ∵ O是AB的中點，∴ OD是△ABC的中位線， ∴ OD＝AC，即AC＝2OD. 7. (2014·南京、鹽城一模)如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，AB＝AC，BD為圓的弦，且B

11、D∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F. (1) 求證：四邊形ACBE為平行四邊形； (2) 若AE＝6，BD＝5，求線段CF的長． (1) 證明：因為AE與圓相切于點A， 所以∠BAE＝∠ACB. 因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB. 所以∠ABC＝∠BAE. 所以AE∥BC.因為BD∥AC， 所以四邊形ACBE為平行四邊形． (2) 解：因為AE與圓相切于點A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4. 根據(jù)(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6. 設(shè)CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，

12、即CF＝. 8. (2014·鹽城二模)如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝10，ED＝3，求BC的長． 解：∵ AB是圓O的直徑且BC＝CD，∴ AB＝AD＝10. 連結(jié)CO，∵ EC為圓O的切線，∴ EC⊥CO. 記H是AD與圓O的交點，連結(jié)BH， ∴ EC∥BH，∴ HE＝ED＝3，∴ AH＝4， ∴ BD2－62＝AB2－42，∴ BD＝2，∴ BC＝. 9. 如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交CD的延長線于點P，PC＝ED＝1，PA＝2. (1) 求

13、AC的長； (2) 求證：BE＝EF. (1) 解：∵ PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴ PD＝4. 又PC＝ED＝1，∴ CE＝2. ∵ ∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB， ∴ △PAC∽△CBA，∴ ＝， ∴ AC2＝PC·AB＝2，∴ AC＝. (2) 證明：∵ BE＝AC＝，CE＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴ EF＝＝，∴ EF＝BE. 10. (2014·南京二模)已知圓O的內(nèi)接△ABC中，D為BC上一點，且△ADC為正三角形，點E為BC的延長線上一點，AE為圓O的切線，求證：CD2＝BD·EC. 證明：因為AE為圓O的切線，所以∠AB

14、D＝∠CAE. 因為△ACD為等邊三角形，所以∠ADC＝∠ACD， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC. 所以＝，即AD·CA＝BD·EC. 因為△ACD為等邊三角形， 所以AD＝AC＝CD， 所以CD2＝BD·EC. 11. 如圖所示，AB是圓O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是圓O的割線，過點G作AB的垂線交AC的延長線于點E、交AD的延長線于點F，過G作圓O的切線，切點為H.求證： (1) C、D、F、E四點共圓； (2) GH2＝GE·GF. 證明：(1) 如圖，連結(jié)BC. ∵ AB是圓O的直徑，∴ ∠ACB＝90°. ∵ AG⊥FG，∴ ∠AGE＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴ ∠ABC＝∠AEG. 又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC＝∠AEG. ∴ ∠FDC＋∠CEF＝180°. ∴ C、D、F、E四點共圓． (2) ∵ GH為圓O的切線，GCD為割線， ∴ GH2＝GC·GD.由C、D、F、E四點共圓，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴ △GCE∽△GFD. ∴ ＝，即GC·GD＝GE·GF， ∴ GH2＝GE·GF.