第10章 單因素方差分析

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1、第10章 單因素方差分析One-factor analysis of variance 用6種培養(yǎng)液培養(yǎng)紅苜蓿，每一種培養(yǎng)液做5次重復(fù)，測(cè)定5盆苜蓿的含氮量，結(jié)果如下表（單位:mg）問用6種不同培養(yǎng)液培養(yǎng)的紅苜蓿含氮量差異是否顯著？盆號(hào)培養(yǎng)方法1234519.432.627.032.133.017.724.827.925.224.317.019.49.111.915.820.721.020.518.818.614.314.411.811.614.217.319.419.116.920.8方差分析方差分析(analysis of varianceANOVA)是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于

2、1923年提出的。方差分析是一種特殊的假設(shè)檢驗(yàn)，是用來判斷多組數(shù)據(jù)之間平均數(shù)差異顯著性的它不同于t檢驗(yàn)之處在于：它把所有數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對(duì)所有各組間是否有差異做出判斷，如果沒有顯著性差異，則認(rèn)為各組平均數(shù)相同；如果發(fā)現(xiàn)有差異，再進(jìn)一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同 在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時(shí)，可以在平均數(shù)的所有對(duì)之間做t檢驗(yàn)，但這樣做會(huì)提高犯I型錯(cuò)誤的概率，因而是不可取的。方差分析可以防止該問題的出現(xiàn)。如對(duì)5個(gè)平均數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，若做t檢驗(yàn)，則需做10次，假設(shè)每一次檢驗(yàn)接受零假設(shè)的概率為0.95，那么10次都接受零假設(shè)的概率為（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒絕零假設(shè)的概率為0

3、.40，犯I型錯(cuò)誤的概率明顯平加方差分析中常用基本概念方差分析中常用基本概念（一）試驗(yàn)指標(biāo)（一）試驗(yàn)指標(biāo)(experimental index)為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目。（二）試驗(yàn)因素（二）試驗(yàn)因素 (experimental factor)試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素試驗(yàn)；單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)兩因素或多因素試驗(yàn)。按是否可控制因素可分為：固定因素和隨機(jī)因素固定因素：可準(zhǔn)確控制且其水平固定后效應(yīng)也固定，比如：溫度、化學(xué)藥物濃度等

4、隨機(jī)因素：因素水平不能嚴(yán)格控制或者說即使其水平可控制但其效應(yīng)也不固定比如：動(dòng)物的窩別、農(nóng)家肥的效果等 試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、等表示。（三）因素水平（三）因素水平(level of factor)試驗(yàn)因素所處的某些特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱為因素水平因素水平，簡(jiǎn)稱水平水平。比如：不同的溫度；溶液不同濃度等（四）（四）重復(fù)(repeat)在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。第一節(jié)單因素方差分析的基本原理第一節(jié)單因素方差分析的基本原理一、線性模型二、固定線性模型三、隨機(jī)線性模型四、多重比較五、基本假定（一）線性模型 假設(shè)某

5、單因素試驗(yàn)有a個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有na 個(gè)觀測(cè)值。這類試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表7-1所示。一、一、線性模型線性模型表7-1 單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)模式 X1 X2 X3 Xi Xa 合計(jì)1 11 21 31 i1 a12 12 22 32 i2 a23 13 23 33 i3 a3 j 1j 2j 3j ij ajn 1n 2n 3n in an合計(jì)平均數(shù)總體均數(shù)處理效應(yīng)符號(hào)文字表述 a n因素水平數(shù)每一水平的重復(fù)數(shù)第i水平的第j次觀察值第i水平所有觀察值的和第i水平均值全部觀察值的和總平均值第i水平上的子樣方差各處理總和、平均數(shù)、大總和、總平均數(shù)是計(jì)算的一一級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，在本章我

6、們采用了黑黑點(diǎn)點(diǎn)符符號(hào)號(hào)體體系系法法表示，要注意熟悉和掌握。可以分解為 表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將 再進(jìn)行分解，其中表示全試驗(yàn)觀測(cè)值的總體平均數(shù)(overall mean)，是第i個(gè)處理的效應(yīng)(treatment effect),表示處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，2）。上式就稱為單因素試驗(yàn)的線性統(tǒng)計(jì)模型（linear statistical model）亦稱數(shù)學(xué)模型。方差分析的目的就是要檢驗(yàn)處理效應(yīng)的大小和有無。（二）方差分析的基本思路（二）方差分析的基本思路將總的變差分解為構(gòu)成總變差的各個(gè)部分。即將a個(gè)處理的觀測(cè)值

7、作為一個(gè)整體看待，把觀察值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源的總體方差估計(jì)值；通過這些估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體均值是否相等。方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析。二固定模型fixed model:因素固定、效應(yīng)也固定反應(yīng)到線性模型中即為常數(shù)可要求1.假設(shè)固定模型的零假設(shè)為：的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：備擇假設(shè)為：故an個(gè)觀察值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。全部觀察值的總變異可以用總均方來度量，處理間變異和處理內(nèi)變異分別用處理間均方和處理內(nèi)均方來度量。2.平方和與自由度的剖分 總均方的拆分是通過將總均方的分

8、子稱為總離均差平方和，簡(jiǎn)稱為總平方和(total sum of squares，SST)，剖分成處理間平方和(sum of squares between treatments，SSA)與處理內(nèi)平方和(sum of squares within treatment，SSe)兩部分；將總均方的分母稱為總自由度 ，剖分成處理間自由度 與處理內(nèi)自由度 兩部分來實(shí)現(xiàn)的。處理間均方（處理均方，MSA）處理內(nèi)均方（誤差均方，MSe）總平方和的拆分總平方和的拆分總平方和的拆分總平方和的拆分三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式如下：等重復(fù)時(shí)：不等重復(fù)時(shí)：在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀察值要受 這

9、一條件約束，總自由度等于資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減1，即an-1。總自由度記為dfT，則 dfT=an-1。在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受 這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即a-1。處理間自由度記為dfA，則dfA=a-1。總總總總自由度的拆分自由度的拆分自由度的拆分自由度的拆分在計(jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，要受a個(gè)條件的約束，即 ，i=1,2,.a。故處理內(nèi)自由度為資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減a，即an-a。處理內(nèi)自由度記為dfe，則dfe=an-a=a(n-1)。因?yàn)?na-1=(a-1)+(na-a)=(a-1)+a(n-1)所以 dfT=dfA+dfe綜合以上各式得：各部分平方和除以各

10、自的自由度便得到總總均均方方、處處理理間間均均方方和處理內(nèi)均方（誤差均方）和處理內(nèi)均方（誤差均方）,分別記為：MST(或ST2)、MSA(或SA2)和MSe(或Se2),即 MST=ST2=SST/dfT;MSt=St2=SSt/dft;MSe=Se2=SSe/dfe 注注意意：在在方方差差分分析析中中不不涉涉及及總總均均方方的的數(shù)數(shù)值值，所所以以一一般般不不必計(jì)算；必計(jì)算；總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方?？偩揭话悴坏扔谔幚黹g均方加處理內(nèi)均方。3.期望均方(expected mean squares EMS）若A A是B B的無偏估計(jì)，則稱B B是A A的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望。處理內(nèi)均方

11、MSMSe e是誤差方差 2 2的無偏估計(jì)值，即 2 2稱為稱為MSMSe e 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望。4.統(tǒng)計(jì)量當(dāng)零假設(shè)成立時(shí)，處理效應(yīng)的方差為為零零，亦即各處理觀察值總體均數(shù)i(i=1，2，a)相等時(shí)，處理間均方MSA與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差 2 2的估計(jì)值。方差分析就是通過MSA 與MSe的比較來推斷各處理平均數(shù) 間差異的大小 F=MSA/MSeF具有兩個(gè)自由度：df1=dfA=a-1;df2=dfe=a(n-1)。查附表7:若F ，即P0.05，不能否定H0，可認(rèn)為各處理間差異不顯著；若 F ，即0.01P0.05,否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異顯著，標(biāo)記“*”;若F ，即P

12、0.01，否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異極顯著，標(biāo)記“*”。【例例10.2】某試驗(yàn)研究不同藥物對(duì)腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機(jī)分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對(duì)照，A2、A3為兩個(gè)不同的用中藥組，A4、A5為兩個(gè)不同的西藥組。各組小白鼠的存活天數(shù)如表72所示。表102 用不同藥物治療腹水癌小白鼠的結(jié)果藥物藥物各各小鼠存活天數(shù)（小鼠存活天數(shù)（xij）合計(jì)合計(jì)xi.平均平均A115 16 15 17 18816561 1319A245 42 50 38 3921445796 9254A330 35 29 31 3516025600 5152A431 28 20 25

13、3013417956 3670A540 35 31 32 3016828224 5710合計(jì)合計(jì)x.=75712413725105這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)a=5,重復(fù)數(shù)n=5。第一步：計(jì)算一級(jí)數(shù)據(jù)（見表）；第二步：計(jì)算SS e、SSA、dfe、dfA 矯正項(xiàng) C=x2./an總平方和處理間平方和 =248274-2291.96=1905.44處理內(nèi)平方和 SS e=SST-SSA=2183.04-1905.44=277.60總自由度 dfT=an-1=25-1=24處理間自由度 dfA=a-1=5-1=4處理內(nèi)自由度 dfe=dfT-dfA=24-4=20 處理間均方 MSA=SSt/dfA

14、=1905.44/4=476.36 處理內(nèi)均方 MSe=SSe/dfe=277.60/20=13.88 第三步：提出假設(shè) 零假設(shè)為：零假設(shè)為：H0:各處理組小鼠存活天數(shù)差異不顯著 備擇假設(shè)為：備擇假設(shè)為：HA:各處理組小鼠存活天數(shù)差異顯著第四步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量第四步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32*第五步：查表根據(jù)df1=dft=4，df2=dfe=20 查附表7，得F0.01(4,20)=4.43第六步：做出推斷及生物學(xué)解釋：FF0.01(4,20)=4.43，P0.01。說明五個(gè)處理小白鼠存活天數(shù)差異極顯著，用不同藥物治療小白鼠腹水癌的療效是不同的。在方差

15、分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表方差分析表。表103 例10.2資料的方差分析表變異來源變異來源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值處理間處理間SSA 1905.44dfA 4MSA 476.3634.22*處理內(nèi)處理內(nèi)SSe 277.60dfe 20MSe 13.88總總變異變異SST 2183.04 dfT 24F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗(yàn)因素齊行;在表的左下方注出顯著水平。應(yīng)用舉例：例例4 調(diào)查了5個(gè)不同小麥品系的株高，結(jié)果見下表，問該5個(gè)小麥品系株高間的差異是否顯著？株號(hào)品 系IIIIIIIVV164.6 64.5 67.8 71.8 69.2265

16、.3 65.3 66.3 72.1 68.2364.8 64.6 67.1 70.0 69.8466.0 63.7 66.8 69.1 68.3565.8 63.9 68.5 71.0 67.5平均數(shù)65.3 64.4 67.3 70.8 68.6為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將每一個(gè)原始數(shù)據(jù)均減去為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將每一個(gè)原始數(shù)據(jù)均減去6565，列成下表，列成下表 株號(hào)品 系IIIIIIIVV1-0.4-0.52.86.84.220.30.31.37.13.23-0.2-0.42.15.04.841.0-1.31.84.13.350.8-1.13.56.02.5總和xi1.5-3.011.529.018.057

17、.0 xi22.259.00132.25841.00324.001308.5xij21.933.429.43174.4668.06277.281.提出假設(shè)：H0：HA：2計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F：=147.32 =131.74SSe SSTSSA 15.58MSASSA(a-1)32.72MSeSSe(an-a)0.78FMSAMSe41.953查附表3得：F4,20,0.052.87，F(xiàn)4,20,0.014.43。FF4,20,0.01，拒絕H0，說明5個(gè)不同小麥品系的株高差異極顯著。將以上結(jié)果列為方差分析表：將以上結(jié)果列為方差分析表：變差來源平方和自由度均方F處理間131.74432.7241.9

18、5*誤差15.58200.78總和147.3224三、隨機(jī)模型Random model:因素隨機(jī)、效應(yīng)不固定是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布不再為常數(shù)，且服從正態(tài)分布1.假設(shè)隨機(jī)模型的零假設(shè)為：的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：備擇假設(shè)為：2.總平方和與總自由度的剖分：同固定模型3.數(shù)學(xué)期望：4.統(tǒng)計(jì)量F:注 意：在 做 生 物 學(xué) 解 釋 時(shí)，固 定 模 型 中 的 結(jié) 論 只 適 用 于 檢查的那幾個(gè)因素水平；隨機(jī)模型中的結(jié)論可推廣到這一因素的各個(gè)水平四、多重比較四、多重比較(multiple comparisons)（一）為什么要進(jìn)行多重比較？F值顯著或極顯著值顯著或極顯著，否定了無效假Ho，

19、表明試驗(yàn)的總變異主要來源于處理間的變異，試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異。但并不意味著但并不意味著每?jī)蓚€(gè)處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些沒有顯著差異。因而，有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。（二）概念 統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較多重比較。（三）常用的多重比較方法 多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法最小顯著差數(shù)法(LSD法法)和最小顯著極差法和最小顯著極差法(LSR法法)。1、最小顯著差數(shù)法最小顯著差數(shù)法(LSD法，Least significant differe

20、nce)此法的基本原理基本原理是：在處理間F檢驗(yàn)顯著的前提下,先計(jì)算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)LSD,然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值 與其比較，作出結(jié)論。最小顯著差數(shù)由下式計(jì)算：式中 為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為的臨界t 值,均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤 則下式算得。其中MSe為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理內(nèi)的重復(fù)數(shù)。顯著水平取0.05和0.01時(shí)，從t 值表查出 代入 ，即可求得LSD0.05和LSD0.01利用利用LSD法進(jìn)行多重比較時(shí)，步驟如下法進(jìn)行多重比較時(shí)，步驟如下:列出平數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從 大到小自上而下排列；計(jì)算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.0

21、1;將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與計(jì)算出的LSD0.05、LSD0.01 比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷?！纠?0.210.2】dfe=20,n=5,MSe=13.88查t值表得 t0.05(dfe)=t0.05(20)=2.086，t0.01(dfe)=t 0.01(20)=2.845 所以顯著水平為0.05與0.01的最小的顯著差數(shù)為：表表10-4 10-4 五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(LSD(LSD法法)處處 理理平均數(shù) -16.2 -26.8 -32.0 -33.6A542.826.6*16.0*10.8*9.2*A433.617.4*6.8*1

22、.6A332.015.8*5.2*A226.810.6*A116.2將表104中的10個(gè)差數(shù)與LSDLSD0.050.05、LSDLSD0.010.01比較：小于LSDLSD0.050.05者不顯著；介于LSDLSD0.050.05與LSDLSD0.010.01之間者顯著，標(biāo)記“*”；大于LSDLSD0.010.01者極顯著，標(biāo)記“*”。檢驗(yàn)結(jié)果除差數(shù)1.6不顯著、5.2顯著外，其余各差數(shù)極顯著。表明所用的藥物不論中西藥對(duì)小白鼠腹水癌都有一定療效，除中藥A3與西藥A4的療效差異不顯著外，其余藥物間的療效都有顯著或極顯著差異。說明：LSDLSD實(shí)質(zhì)上就是t檢驗(yàn)法：它是將t檢驗(yàn)中由所求得的t的絕對(duì)

23、值 與臨界值 的比較轉(zhuǎn)化為將各對(duì)均數(shù)差值的絕對(duì)值 與最小顯著差數(shù)的比較，從而做出統(tǒng)計(jì)推斷的2 2、最小顯著極差法、最小顯著極差法(LSR(LSR法，法，Least significant ranges)Least significant ranges)LSR 法法的的特特點(diǎn)點(diǎn)：把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩秩次次距距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差最小顯著極差。因此，若有k個(gè)平均數(shù)相互比較，就有k-1種種秩秩次次距距(k,k-1,k-2,2)，因而需求得k-1 個(gè)

24、最小顯著極差R(,k），以作為判斷各秩次距(k)平均數(shù)的極差是否顯著的標(biāo)準(zhǔn)。常用的LSR法為Duncan法。檢驗(yàn)步驟：檢驗(yàn)步驟：列出平均數(shù)多重比較表；由自由度dfe、秩次距k查“多重比較中的Duncan表”（附表7），計(jì)算最小顯著極差R0.05,k 和 R0.01,k；將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差R0.05,k 和 R0.01,k比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。對(duì)于【例10.1】，已算出 =1.67，依dfe=20,k=2,3,4,5，由附表6查臨界r0.05(20,k)和 r0.01(20,k)值，乘以 ，求得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表105。表表105 105 r值與值與R值值

25、dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012022.954.024.96.733.104.225.27.043.184.335.37.253.254.405.47.3處處 理理平均數(shù)-16.2 -26.8 -32.0 -33.6A542.826.0*16.0*10.8*9.2*A433.617.4*6.8*1.6nsA332.015.8*5.2*A226.810.6*A116.2 表表10-6 10-6 五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(Duncan 法法)五、基本假定效應(yīng)的可加性效應(yīng)的可加性（additivity）分布的正態(tài)性（分布的正態(tài)性（n

26、ormality）方差的同質(zhì)性（方差的同質(zhì)性（homogeneity）方差分析的基本步驟1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度。2.列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)。3.若F 檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。第二節(jié)單因素方差分析的基本步驟第二節(jié)單因素方差分析的基本步驟一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析【例例10.210.2】為了研究小白鼠患白血病后脾組織中 DNA含量的變化，測(cè)定四組，每組各8只（即a=4,n=8）小白鼠脾組織中DNA的含量；第1組為正常脾，第2組為患自發(fā)性白血病的脾；第3組為患移植性白血病 AK4的脾；第4組為患移植性白血病9421

27、的脾。測(cè)定結(jié)果見表107。試檢驗(yàn)各組DNA含量差異是否顯著。表表107 四組小白鼠脾組織中四組小白鼠脾組織中DNA含量含量1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 C=x2./an=398.12/(48)=4952.61組別DNA含量（mg/g）xi.xi.2112.3 13.2 13.7 15.2 15.8 16.9 17.3 15.4119.814.981815.9614352.04210.8 11.6 12.3 12.7 13.5 13.5 14.8 13.6102.812.851332.2810567.843 9.3 10.3 11.1 11.7 11.7 12.0 12.3 12.490.811.

28、351038.628244.644 9.5 10.3 10.5 10.5 10.5 10.9 11.0 11.584.710.59899.157174.09合計(jì)x.=398.1 5086.0140338.61 SSe=SST SSA=133.40-89.72=43.68 dfT=an-1=4 8-1=31 dfA=a-1=4-1=3 dfe=dfT-dfA=31-3=28 2.列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)，見表(108)。表表108 四組小白鼠脾中四組小白鼠脾中DNA含量方差分析表含量方差分析表變異來源變異來源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值組組 間間89.72329.9119.17*

29、組組 內(nèi)內(nèi)43.68281.56總總變異變異133.4031 根據(jù)df1=dfA=3,df2=dfe=28查臨界F值得：F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57 因?yàn)镕F0.01(3,28),即P0.01，表明處理間DNA含量的差異達(dá)到1顯著水平。3.多重比較 采用Duncan法。各處理平均數(shù)多重比較表，見表109。因?yàn)镸Se=1.56,n=8,所以 根據(jù)dfe=28，秩次距k=2,3,4由附表9 查出=0.05和=0.01的各臨界r值,各r值乘以 ,即得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表109。表表109 r值及值及LSR值值表表1010 各組各組DNA含量平均數(shù)多重比

30、較表含量平均數(shù)多重比較表(Duncun法法)dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012822.903.911.2821.72833.044.081.34421.80343.134.181.38331.848組別組別平均數(shù)平均數(shù) -10.59 -11.35 -12.85114.984.39*3.63*2.13*212.852.26*1.50*311.350.76410.59檢驗(yàn)結(jié)果表明：檢驗(yàn)結(jié)果表明：正常脾中DNA含量極顯著高于患有各類白血病脾中DNA含量；患自發(fā)性白血病脾中DNA含量極顯著高于患移植性白血病9421，顯著高于患移植性白血病AK4；第三組第四組之間差異不顯著。四組中

31、以正常脾DNA含量最高，第二組次之，第三、四組最低。也就是說各各類類白白血血病病都都將將導(dǎo)導(dǎo)致致小白鼠脾中小白鼠脾中DNA含量明顯降低。含量明顯降低。組別組別平均數(shù)平均數(shù) 4 3 2114.984.39*3.63*2.13*212.852.26*1.50*311.350.76410.59二、各處理重復(fù)數(shù)不相等的方差分析 這種情況下方差分析步驟與各處理重復(fù)數(shù)相等的情況相同，只是在有關(guān)計(jì)算公式上略有差異。設(shè)處理數(shù)為a；各處理重復(fù)數(shù)為n1,n2,na；試驗(yàn)觀察值總數(shù)為N=ni。則【例例10.3】五個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，30天后增重(kg)如表1011所示。試比較品種間增重有無差異。表表1011 五

32、個(gè)品種豬五個(gè)品種豬30天增重天增重品種增重（kg）nixi.xi.2/niB121.519.520.022.018.020.06121.02440.1720.22450.5B216.018.517.015.520.016.06103.01768.1717.21783.5B319.017.520.018.017.0591.51674.4518.31680.25B421.018.519.020.0478.51540.5619.61544.25B515.518.017.016.0466.51105.5616.61109.25合計(jì)25460.58528.91=8567.85此例處理數(shù)a=5，各處理重復(fù)

33、數(shù)不等?，F(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析：1.計(jì)算各項(xiàng)平方和及其自由度計(jì)算各項(xiàng)平方和及其自由度2、列出方差分析表，進(jìn)行列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)檢驗(yàn)表表1012 五品種育肥豬增重方差分析表五品種育肥豬增重方差分析表 臨界F值為F 0.05（4，20）=2.87，F(xiàn) 0.01（4，20）=4.43,因?yàn)?.994.43，故P0.01，表明品種間差異極顯著。3.多重比較多重比較 采用Duncan法，各處理平均數(shù)多重比較表見表1012。變異來源變異來源平方和平方和自由度自由度均均 方方F 值值品種間品種間46.50411.635.99*品種內(nèi)品種內(nèi)(誤差誤差)38.84201.94總總變異變異85.342

34、4因 各各處處理理重重復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)不不等等，應(yīng)先計(jì)算出平均重復(fù)次數(shù)no,此例中：于是，標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤為：根據(jù)dfe=20,秩次距k=2,3,4,5從附表6中查出=0.05及=0.01的臨界r值，并計(jì)算出最小顯極差，所得結(jié)果列于表1013。表表1013 r值及值及R值表值表表表1014 五品種育肥豬平均增重多重比較表五品種育肥豬平均增重多重比較表(Duncan法法)dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012022.954.021.862.5333.104.221.952.6643.184.332.002.7353.254.402.052.77秩次處處 理理平均數(shù) 5 4 3 21B120

35、.23.6*3.0*1.90.62B419.63.0*2.4*1.33B318.31.71.14B217.20.65B516.6 多重比較結(jié)果表明:B1、B4品種的平均增重極顯著或顯著地高于B2、B5品種的平均增重，其余不同品種之間差異不顯著?？梢哉J(rèn)為B1、B4品種增重最快，B2、B5品種增重較差，B3品種居中。秩次處處 理理平均數(shù) 5 4 3 21B120.23.6*3.0*1.90.62B419.63.0*2.4*1.33B318.31.71.14B217.20.65B516.6方差分析與兩樣本平均數(shù)方差分析與兩樣本平均數(shù)t-testt-test有何異同？有何異同？t-test方差分析相同點(diǎn) 平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn) 平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)不同點(diǎn) 兩個(gè)平均數(shù)差異檢驗(yàn)；利用平均數(shù)的差；利用統(tǒng)計(jì)量t多個(gè)平均數(shù)差異檢驗(yàn)；利用平均數(shù)的方差；利用統(tǒng)計(jì)量F