《高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第10講 高考中的三角函數(shù)專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第10講 高考中的三角函數(shù)專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題(5頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十一) 高考中的三角函數(shù)
(建議用時(shí):45分鐘)
1.(2014·江蘇高考)已知α∈,sin α=.
(1)求sin的值;
(2)求cos的值.
[解] (1)因?yàn)棣痢?,sin α=,
所以cos α=-=-. 4分
故sin=sincos α+cossin α
=×+×=-. 6分
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=,
2、 10分
所以cos=coscos 2α+sinsin 2α
=×+×=-. 14分
2.(2016·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研二)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知向量m=(cos B,cos C),n=(4a-b,c),且m∥n.
(1)求cos C的值;
(2)若c=,△ABC的面積S=,求a,b的值.
[解] (1)∵m∥n,∴ccos B=(4a-b)cos C,
由正弦定理,得sin Ccos B=(4sin A-sin B)cos C,
化簡(jiǎn),得sin(B+C)=4sin Acos C.
3、 4分
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C).
又∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴cos C=. 6分
(2)∵C∈(0,π),cos C=,∴sin C===. 10分
∵S=absin C=,∴ab=2.①
∵c=,由余弦定理得3=a2+b2-ab, 12分
∴a2+b2=4,②
由①②,得a4-4a2+4=0,從而a2=2,a=±(舍負(fù)),所以b=,
∴a=b=. 14分
4、
3.(2016·南通二調(diào))在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan Atan B=1.
(1)求C的值;
(2)若A=15°,AB=,求△ABC的周長(zhǎng).
[解] (1)因?yàn)閠an A+tan B+tan Atan B=1,即tan A+tan B=1-tan Atan B,
2分
因?yàn)樵谛比切蜛BC中,1-tan Atan B≠0,
所以tan(A+B)==1, 4分
即tan(180°-C)=1,亦即tan C=-1,
因?yàn)?°<C<180°,所以C=135°.
5、 6分
(2)在△ABC中,A=15°,C=135°,則B=180°-A-C=30°,7分
由正弦定理==,得
===2, 10分
故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=,CA=2sin 30°=1. 12分
所以△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+CA=+1+=. 14分
4.(2016·鎮(zhèn)江期中)廣告公司為某游樂場(chǎng)設(shè)計(jì)某項(xiàng)設(shè)施的宣傳畫,根據(jù)該設(shè)施
6、的外觀,設(shè)計(jì)成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構(gòu)成,其中C,O,A在一條直線上,∠ACB=,記該設(shè)施平面圖的面積為S(x) m2,∠AOB=x rad,其中<x<π.
圖10-4
(1)寫出S(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如何設(shè)計(jì)∠AOB,使得S(x)有最大值?
[解] (1)由已知可得∠CBO=x-,S扇形AOB=lr=2x, 2分
在△BCO中,由正弦定理可得:
=,所以CO=2(sin x-cos x),
從而S△CBO=BO·CO·sin∠BOC=2sin2x-2sin xcos x, 4分
所以S(x)=2sin2x
7、-2sin xcos x+2x=2sin x(sin x-cos x)+2x. 6分
(2)S′(x)=2(sin 2x-cos 2x)+2=2sin+2, 7分
由S′(x)=0,解得x=,
令S′(x)>0,解得<x<,所以增區(qū)間是; 9分
令S′(x)<0,解得<x<π,所以減區(qū)間是; 11分
所以S(x)在x=處取得最大值是2+ m2. 13分
答:設(shè)計(jì)成∠AOB=時(shí),該設(shè)施的平面圖面積最大是2+ m2. 14分
5.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2(tan A+tan
8、 B)=+.
(1)證明a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):19592034】
[解] (1)證明:由2(tan A+tan B)=+得
=+, 3分
∴2sin C=sin A+sin B, 4分
由正弦定理得
a+b=2c. 6分
(2)由cos C==
=-1≥-1
=-1=. 13分
∴cos C的最小值為.
9、 14分
6.如圖10-5,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是9 m和15 m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=45°.
圖10-5
(1)求BC的長(zhǎng)度;
(2)在線段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最???
[解] (1)作AE⊥CD,垂足E,則CE=9,DE=6,設(shè)BC=x, 2分
則tan∠CAD=tan(∠CAE+∠DAE)===1,
10、 4分
化簡(jiǎn)得x2-15x-54=0,
解得x=18或x=-3(舍). 6分
(2)設(shè)BP=t,則CP=18-t(00,f(t)是增函數(shù), 10分
所以,當(dāng)t=15-27時(shí),f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,
因?yàn)椋璽2+18t-135<0恒成立,所以f(t)<0,
所以tan(α+β)<0,α+β∈, 12分
因?yàn)閥=tan x在上是增函數(shù),所以當(dāng)t=15-27時(shí),α+β取得最小值.
答:當(dāng)BP為(15-27)m時(shí),α+β取得最小值. 14分