（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第二章第7課時 函數(shù)的圖象及函數(shù)與方程隨堂檢測（含解析）

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1、 1．(2010·高考湖南卷改編)函數(shù)y＝ax2＋bx與y＝log||x(ab≠0，|a|≠|(zhì)b|)在同一直角坐標系中的圖象可能是________． 解析：對于①、②由對數(shù)函數(shù)圖象得||＞1，而拋物線對稱軸|－|＜，∴||＜1，∴①②不正確；對于③中對稱軸－＜－，則||＞1，而對數(shù)底數(shù)||＜1，∴③不成立．而④中，由圖象知a>0，－＞－，∴||∈(0,1)，滿足y＝log||x為減函數(shù)． 答案：④ 2. 如圖是兩個函數(shù)在定義域[－2,3]上的圖象，給出下列函數(shù)及其相應的圖象，則其中正確的是________． ①y＝；②y＝[g(x)]2；③y＝f(x)－g(

2、x)． 解析：根據(jù)f(x)，g(x)的定義域、值域、單調(diào)性可知②③錯誤． 答案：① 3．方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為________． 解析： 方程變形為3－x2＝2－x＝()x，令y＝3－x2，y＝()x. 由圖象可知有2個交點． 答案：2 4．設x0是方程2x＋x－8＝0的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝________. 解析：設y1＝2x，y2＝8－x，在同一坐標系內(nèi)作出它們的圖象，可見這兩圖象有且只有一個交點且這個交點橫坐標在2和3之間，故k＝2. 答案：2 5．作出下列函數(shù)的簡圖． (1)y＝|2x－1|；(2)y＝2－|x|； (3

3、)y＝e|lnx|；(4)y＝|(lg(1－x)|. 解：(1)先作出函數(shù)y＝2x的圖象，將其圖象向下平移一個單長度，得到y(tǒng)＝2x－1的圖象，然后再將x軸下方的部分沿x軸翻折到上方，得到函數(shù)y＝|2x－1|的圖象，如圖(1)． (2)y＝2－|x|＝， 分別作出y＝2x(x≤0)及y＝()x的圖象，如圖(2)． (3)y＝e|lnx|＝，所以圖象如圖(3)． (4)首先作出y＝lgx的圖象，將其沿y軸翻折得到y(tǒng)＝lg(－x)的圖象，再將所得圖象沿x軸向右平移一個單位長度，得到y(tǒng)＝lg(1－x)的圖象，再將該圖象沿x軸將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，得到y(tǒng)＝|lg(1－x)|的圖象，如

4、圖(4)． [A級　雙基鞏固] 一、填空題 1．若函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(1,1)，則函數(shù)y＝f(4－x)的圖象經(jīng)過點________． 解析：令4－x＝1， 則函數(shù)y＝f(4－x)的圖象過點(3,1)． 答案：(3,1) 2. 已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則b的范圍為________． 解析：法一：(定性法) 根據(jù)解一元高次不等式的“數(shù)軸標根法”可知，圖象從右上端起，應有a＞0； 又由圖象知f(x)＝0的三個實根為非負數(shù)， 據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知 －＝x1＋x2＋x3＞0，即b＜0. 法二：(定量法) 據(jù)圖象知

5、f(0)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0， ∴?， ∴f(x)＝－x3＋bx2－x＝－x(x－1)(x－2)， 當x＞2時，有f(x)＞0，∴b＜0. 法三：(模型函數(shù)法) 構(gòu)造函數(shù)f(x)＝a(x－0)(x－1)(x－2)＝ax3＋bx2＋cx＋d， 即ax3－3ax2＋2ax＝ax3＋bx2＋cx＋d， ∴，又由圖象知x＞2時，f(x)＞0即a＞0. ∴b＝－3a＜0，∴b∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 3．(2010·高考天津卷改編)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間可以是以下區(qū)間中的________． ①(－2，－1)，②(－1,0)，③(0,1)，

6、④(1,2) 解析：因為f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有一個零點，其他三個區(qū)間均不符合條件． 答案：③ 4．(2010·高考福建卷改編)函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為________． 解析：由f(x)＝0，得或解得x＝－3或x＝e2，故零點個數(shù)為2. 答案：2 5．已知函數(shù)f(x)＝x是奇函數(shù)，g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x>0時，g(x)＝lnx，則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象大致為________． 解析：∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴f(x)·g(x)是奇函數(shù)，故y＝f(x)

7、·g(x)圖象關(guān)于原點對稱． 排除②④， 當自變量x從正的趨向零時f(x)>0，g(x)<0，故f(x)·g(x)<0，故①正確． 答案：① 6．(2010·高考浙江卷改編)已知x0是函數(shù)f(x)＝2x＋的一個零點，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則f(x1)，f(x2)的符號為________． 解析： 設y1＝2x，y2＝，在同一坐標系中作出其圖象，如圖，在(1，x0)內(nèi)y2＝的圖象在y1＝2x圖象的上方，即＞2x1，所以2x1＋＜0，即f(x1)＜0，同理f(x2)＞0. 答案：f(x1)＜0，f(x2)＞0 7．(2011·高考課標全國卷改編)已知函數(shù)y

8、＝f(x)的周期為2，當x∈[－1,1]時f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lg x|的圖象的交點個數(shù)為________． 解析：如圖，作出圖象可知y＝f(x)與y＝|lg x|的圖象共有10個交點． 答案：10 8．命題甲：已知函數(shù)f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱． 命題乙：函數(shù)f(1＋x)與函數(shù)f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．則甲、乙命題正確的是________． 解析：可舉實例說明如f(x)＝2x，依次作出函數(shù)f(1＋x)與函數(shù)f(1－x)的圖象判斷． 答案：甲 二、解答題 9．設函數(shù)f(x)＝|x2

9、－4x－5|. (1)畫出f(x)圖象； (2)設A＝{x|f(x)≥5}，B＝(－∞，－2)∪[0,4]∪[6，＋∞)，試判斷集合A、B間關(guān)系； (3)若在區(qū)間[－1,5]上直線y＝kx＋3k(k≠0)位于f(x)圖象的上方，求k的取值范圍． 解： (1)f(x)＝ .畫出f(x)圖象如圖所示． (2)不等式f(x)≥5為|x2－4x－5|≥5， 故有x2－4x－5≥5或x2－4x－5≤－5， 即x2－4x－10≥0]14)或x≥2＋，解*2得0≤x≤4， 故A＝(－∞，2－]∪[0,4]∪[2＋，＋∞)， ∵2－>－2,2＋<6， 故BA. (3)∵x∈[－1

10、,5]時，x2－4x－5≤0，故|x2－4x－5|＝－x2＋4x＋5， 據(jù)題意kx＋3k>－x2＋4x＋5，當x∈[－1,5]時恒成立， 即k>在[－1,5]上恒成立， 設g(x)＝，只要求出g(x)在[－1,5]上的最大值， 設t＝x＋3，則t∈[2,8]，且x＝t－3， ∴g(t)＝＝－(t＋)＋10. 故當t＝4時，g(t)max＝2. ∴k>2. 10．設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b. (1)求證：a>0且－3<<－； (2)求證：f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點； (3)若函數(shù)f(x)的兩個零點在區(qū)間[m，n]內(nèi)，求n

11、－m的最小值． 解：(1)證明：∵f(1)＝－，∴a＋b＋c＝－，故3a＋2b＋2c＝0.　* 又∵3a>2c>2b，∴3a>0即a>0. 又由*得2c＝－3a－2b，而3a>2c， 故3a>－3a－2b，∴>－3. 又2c>2b，∴－3a－2b>2b，∴<－. 故有－3<<－. (2)證明：∵f(0)＝c，f(1)＝－， ∴①若c>0，則f(0)f(1)＝－<0，可知f(x)在(0,1)內(nèi)有零點，從而f(x)在(0,2)內(nèi)有零點； ②若c<0，f(2)＝4a＋2b＋c＝4a－3a－2c＋c＝a－c>0而f(1)＝－<0，故f(1)f(2)<0，可知f(x)在(1,2)內(nèi)至少

12、有一個零點． (3)設x1，x2是f(x)的兩個零點，則x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝()2－＝()2－＝()2＋4()＋6. 令t＝，由(1)可知t∈(－3，－)， 于是|x1－x2|2＝t2＋4t＋6＝(t＋2)2＋2， ∴|x1－x2|2<. 于是n－m≥|x1－x2|≥， ∴n－m的最小值為. [B級　能力提升] 一、填空題 1．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析： 函數(shù)f(x)＝ 的圖象如圖所示， 該函數(shù)的圖象與直線y＝m有三個交點時m

13、∈(0,1)，此時函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點． 答案：(0,1) 2．若二次函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的兩個零點均在(0,1)內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：若拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0,1)內(nèi)， 則? 所以－

14、＝2sin πt的圖象． 由圖可知兩函數(shù)圖象在上共有8個交點，且這8個交點兩兩關(guān)于原點對稱． 因此這8個交點的橫坐標的和為0，即t1＋t2＋…＋t8＝0. 也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0， 因此x1＋x2＋…＋x8＝8. 答案：8 4．設m，k為整數(shù)，方程mx2－kx＋2＝0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，則m＋k的最小值為________． 解析：方程mx2－kx＋2＝0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f＝mx2－kx＋2在區(qū)間上有兩個不同的零點． ∵f＝2，故需滿足? 將k看做函數(shù)值，m看做自變量，畫出可行域如圖陰影部分所示，因為m，k均為整數(shù)，結(jié)合可行域可

15、知k＝7，m＝6時，m＋k最小，最小值為13. 答案：13 二、解答題 5．已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在[－1,4]上最大值為12. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在m∈N，使函數(shù)g(x)＝f(x)＋，在(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個零點，若存在，求出m之值，若不存在，說明理由． 解：(1)設f(x)＝ax(x－5)(a>0)， 對稱軸為x＝，故f(x)在[－1,4]上最大值為f(－1)＝6a， ∴a＝2，故f(x)＝2x2－10x. (2)據(jù)題意，方程2x2－10x＋＝0在(m，m＋1)內(nèi)有兩個不同實根(m∈N)，

16、 即方程2x3－10x2＋37＝0在(m，m＋1)(m∈N)內(nèi)有兩個不同實根． 設h(x)＝2x3－10x2＋37， 則h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)， 令h′(x)＝0，則x1＝0，x2＝. x (－∞，0) 0 h′(x) ＋ － ＋ h(x) ↗ ↘ ↗ 又h＝－<0，h(3)＝1>0，h(4)＝5>0 故h(x)在和內(nèi)各有一零點， ∴g(x)在(3,4)內(nèi)有且只有兩個零點， 故存在滿足條件的m＝3. 6．m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. (1)有且僅有一個零點； (2)有兩個零點且均比－

17、1大； (3)若f(x)有一個零點x∈(0,1), 求m的取值范圍． 解：(1)若函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點，則等價于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0， 即4m2－12m－16＝0，即m2－3m－4＝0. 解得m＝4或m＝－1. (2)法一：方程思想． 若f(x)有兩個零點且均比－1大， 設兩個零點分別為x1，x2， 則x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4， 故只需 ?? 故－5＜m＜－1，∴m的取值范圍是{m|－5＜m＜－1}． 法二：函數(shù)思想． 若f(x)有兩個零點且均比－1大，結(jié)合二次函數(shù)圖象可知只需滿足? ?故－5＜m＜－1， ∴m的取值范圍是{m|－5＜m＜－1}． (3)若f(x)只有一個零點x∈(0,1)， 則，即，方程無解． 若f(x)有兩個零點，其中有一個零點x∈(0,1)， 則f(0)f(1)＜0，即(3m＋4)(5m＋5)＜0， ∴－＜m＜－1. ∴m的取值范圍為{m|－＜m＜－1}．