（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第14練 高考對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會(huì)題型 理

《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第14練 高考對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會(huì)題型 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第14練 高考對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會(huì)題型 理（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第14練　高考對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的必會(huì)題型 題型一　直接求切線或切線斜率問(wèn)題 例1　已知f(x)＝x3＋f′()x2－x，則f(x)的圖象在點(diǎn)(，f())處的切線斜率是________． 破題切入點(diǎn)　先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將x＝代入求得f′()的值即是． 答案　－1 解析　f′(x)＝3x2＋2f′()x－1，令x＝， 可得f′()＝3×()2＋2f′()×－1， 解得f′()＝－1， 所以f(x)的圖象在點(diǎn)(，f())處的切線斜率是－1. 題型二　轉(zhuǎn)化為切線問(wèn)題 例2　設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝ex上，點(diǎn)Q在曲線y＝ln(2x)上，則PQ的最小值為_(kāi)_______． 破題切入點(diǎn)　結(jié)合圖

2、形，將求PQ的最小值轉(zhuǎn)化為函數(shù)切線問(wèn)題． 答案　(1－ln 2) 解析　由題意知函數(shù)y＝ex與y＝ln(2x)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是y＝x與y＝ex上點(diǎn)的最小距離的2倍．設(shè)y＝ex上點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行．則ex0＝1，∴x0＝ln 2，y0＝1， ∴點(diǎn)(x0，y0)到y(tǒng)＝x的距離為＝(1－ln 2)， 則PQ的最小值為(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)． 題型三　綜合性問(wèn)題 例3　(2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.

3、 (1)求a，b的值； (2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值． 破題切入點(diǎn)　先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和已知的切線方程列出關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值；然后確定函數(shù)f(x)的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值． 解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4 ＝ex(ax＋a＋b)－2x－4， ∵y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4， ∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4， ∴a＝4，b＝4. (2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2) ＝2(x＋2)(2ex－1)

4、， 令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln ， 列表： x (－∞，－2) －2 ln f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  ∴y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－2)，； 單調(diào)減區(qū)間為. f(x)極大值＝f(－2)＝4－4e－2. 總結(jié)提高　(1)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，審準(zhǔn)題目，求出導(dǎo)數(shù)，有時(shí)需要設(shè)切點(diǎn)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式形式寫出切線方程． (2)一般兩曲線上點(diǎn)的距離的最小值或一曲線上點(diǎn)到一直線上點(diǎn)的距離的最小值的求法都是轉(zhuǎn)化為求曲線的切線，找出平行線然后求出最小值． (3)已知切線方程求參數(shù)的值

5、或范圍時(shí)要驗(yàn)證． 1．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為_(kāi)_______． 答案　2 解析　設(shè)直線y＝x＋1切曲線y＝ln(x＋a)于點(diǎn)(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)， 又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)， 從而y0＝0，x0＝－1，∴a＝2. 2．(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a＝________. 答案　3 解析　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，則f′(x)＝a－.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)(0,0)處的切線的

6、斜率為f′(0)＝a－1.又切線方程為y＝2x，則有a－1＝2，∴a＝3. 3．曲線y＝在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為_(kāi)_______． 答案　2x－y＋1＝0 解析　易知點(diǎn)(－1，－1)在曲線上，且y′＝＝， 所以切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝－1＝＝2. 由點(diǎn)斜式得切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0. 4．曲線y＝xln x在點(diǎn)(e，e)處的切線與直線x＋ay＝1垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 答案　2 解析　依題意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2， 所以－×2＝－1，a＝2. 5．(2014·大綱全國(guó)改編)曲線y＝xex－1在點(diǎn)(

7、1,1)處切線的斜率等于________． 答案　2 解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1， 故曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為y′|x＝1＝2. 6．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若過(guò)點(diǎn)A(0，16)且與曲線y＝f(x)相切的切線方程為y＝ax＋16，則實(shí)數(shù)a的值是________． 答案　9 解析　先設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則切點(diǎn)在曲線y0＝x－3x0上，① 求導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率k＝f′(x0)＝3x－3， 又切線過(guò)A、M兩點(diǎn)，所以k＝， 則3x－3＝.② 聯(lián)立①②可解得x0＝－2，y0＝－2， 從而實(shí)數(shù)a的值為a＝k＝＝9. 7．(2013·廣東

8、)若曲線y＝ax2－ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________. 答案　 解析　y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝. 8．(2013·江西)若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則α＝________. 答案　2 解析　y′＝αxα－1，∴y′|x＝1＝α. 曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y－2＝α(x－1)，將點(diǎn)(0,0)代入得α＝2. 9．(2014·江西)若曲線y＝e－x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 答案　(－ln 2,2) 解析　設(shè)P(x0，y0)，∵

9、y＝e－x，∴y′＝－e－x， ∴點(diǎn)P處的切線斜率為k＝－e－x0＝－2， ∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2， ∴y0＝eln 2＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－ln 2,2)． 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． (1)解　方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3. 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝. 又f′(x)＝a＋，于是 解得故f(x)＝x－. (2)證明　設(shè)P(x0，y0)為曲線

10、上任一點(diǎn)，由y′＝1＋知曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(x－x0)， 即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)． 令x＝0得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)． 令y＝x得y＝x＝2x0， 從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6. 11．(2014·北京)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值； (2

11、)若過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍； (3)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結(jié)論) 解　(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3. 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝. 因?yàn)閒(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1， 所以f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值為f＝. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1，t)的直線與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)， 則y0＝2x－3x0，且切線斜率為k＝6x－3， 所以切線方程為y－y0＝(6x－3)(x－x0)， 因此t－y0＝

12、(6x－3)(1－x0)， 整理得4x－6x＋t＋3＝0. 設(shè)g(x)＝4x3－6x2＋t＋3， 則“過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)”． g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)． 當(dāng)x變化時(shí)，g(x)與g′(x)的變化情況如下： x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  t＋3  t＋1  所以，g(0)＝t＋3是g(x)的極大值， g(1)＝t＋1是g(x)的極小值． 當(dāng)g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3時(shí)， g(x)在

13、區(qū)間(－∞，1]和(1，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)， 所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1時(shí)， g(x)在區(qū)間(－∞，0)和[0，＋∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)， 所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)g(0)>0且g(1)<0，即－30， 所以g(x)分別在區(qū)間[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1個(gè)零點(diǎn)． 由于g(x)在區(qū)間(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)， 所以g(x)分別在區(qū)間(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn)． 綜上可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相

14、切時(shí)，t的取值范圍是(－3，－1)． (3)過(guò)點(diǎn)A(－1,2)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切； 過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線y＝f(x)相切； 過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線y＝f(x)相切． 12．(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝aexln x＋，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)證明：f(x)>1. (1)解　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1. 由題意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2. (2)證明　由(1)知

15、，f(x)＝exln x＋ex－1， 從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xe－x－. 設(shè)函數(shù)g(x)＝xln x，則g′(x)＝1＋ln x. 所以當(dāng)x∈(0，)時(shí)，g′(x)<0； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，g′(x)>0. 故g(x)在(0，)上單調(diào)遞減， 在(，＋∞)上單調(diào)遞增， 從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g()＝－. 設(shè)函數(shù)h(x)＝xe－x－， 則h′(x)＝e－x(1－x)． 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)<0. 故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增， 在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－. 綜上，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>h(x)，即f(x)>1.