（江蘇專用）高考數(shù)學二輪復習 專題檢測25 ?？嫉倪f推公式問題的破解方略

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1、25　常考的遞推公式問題的破解方略 1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則的值是________． 答案　 解析　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2， ∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝， ∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3， ∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝， ∴＝×＝. 2．學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇．調查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會有30%改選A種菜．用an，bn分別表示在第n個星期的星期一選A種菜和選B種菜的人數(shù)，如果

2、a1＝300，則a10＝________. 答案　300 解析　依題意，得消去bn， 得an＋1＝an＋150. 由a1＝300，得a2＝300； 由a2＝300，得a3＝300； …… 從而得a10＝300. 3．已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n為正整數(shù)，則a2 015＝________. 答案　2 014 解析　因為f(x)＝log2＋1， 所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2. 所以f()＋f()＝2， f()＋f()＝2，…， f()＋f()＝2， 由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，

3、所以a2 015＝2 015－1＝2 014. 4．在正項數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 答案　an＝5n－3×2n－1 解析　在遞推公式an＋1＝2an＋3×5n的兩邊同時除以5n＋1， 得＝×＋，① 令＝bn，則①式變?yōu)閎n＋1＝bn＋， 即bn＋1－1＝(bn－1)， 所以數(shù)列{bn－1}是等比數(shù)列， 其首項為b1－1＝－1＝－， 公比為. 所以bn－1＝(－)×()n－1， 即bn＝1－×()n－1＝， 故an＝5n－3×2n－1. 5．數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2SnSn－1＝an(n≥

4、2，n∈N*)，且a1＝1，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 答案　an＝ 解析　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1， 則2SnSn－1＝Sn－Sn－1， 即－＝－2， 又＝＝1， 故{}是首項為1，公差為－2的等差數(shù)列， 則＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3， 所以Sn＝. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－ ＝， 驗證a1＝1不滿足， 故所求通項公式an＝ 6．設函數(shù)f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，數(shù)列{an}滿足f(1)＝n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項an＝________. 答案　 解析　由f(0)

5、＝，得a1＝， 由f(1)＝n2an(n∈N*)， 得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2an. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1， 整理得＝， 所以an＝a1×××…× ＝××××…× ＝， 顯然a1＝也符合． 即{an}的通項為an＝. 7．若f(n)為n2＋1(n∈N*)的各位數(shù)字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，則f2 014(4)＝________. 答案　8 解析　因為42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8， 則f1(

6、4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11， f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5， f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…， 所以fk＋1(n)＝f(fk(n))為周期數(shù)列． 可得f2 014(4)＝8. 8．數(shù)列{an}，{bn}滿足an＝ln n，bn＝，則數(shù)列{an·bn}中第________項最大． 答案　3 解析　設函數(shù)f(x)＝ln x，則f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝e. 分析知函數(shù)f(x)在(0，e]上是增函數(shù)，在[e，＋∞)上是減函數(shù)， 又f(2)＝ln 2＝ln

7、·bn＝ln n(n∈N*)在n＝3時取得最大值， 即數(shù)列{an·bn}中第3項最大． 9．對于正項數(shù)列{an}，定義Hn＝為{an}的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn＝，則數(shù)列{an}的通項公式為________． 答案　an＝ 解析　由Hn＝可得 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，① a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝② ①－②得nan＝－＝， 所以an＝. 10．(2014·課標全國Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝________. 答案　 解析　∵an＋1＝， ∴an＋1＝＝＝ ＝＝1－ ＝1－＝1－(1－an－2)

8、＝an－2， ∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝，∴a1＝. 11．(2014·大綱全國)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)設bn＝an＋1－an，證明{bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}的通項公式． (1)證明　由an＋2＝2an＋1－an＋2， 得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． (2)解　由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即an＋1－an＝2n－1. 于是

9、(ak＋1－ak)＝(2k－1)， 所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1. 又a1＝1，所以{an}的通項公式為an＝n2－2n＋2. 12．(2014·湖南)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*. (1)若{an}是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值； (2)若p＝，且{a2n－1}是遞增數(shù)列，{a2n}是遞減數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式． 解　(1)因為{an}是遞增數(shù)列， 所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn. 而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1. 又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4

10、a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝，p＝0. 當p＝0時，an＋1＝an，這與{an}是遞增數(shù)列矛盾． 故p＝. (2)由于{a2n－1}是遞增數(shù)列，因而a2n＋1－a2n－1>0， 于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.① 但<， 所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.② 由①②知，a2n－a2n－1>0，因此 a2n－a2n－1＝()2n－1＝.③ 因為{a2n}是遞減數(shù)列，同理可得a2n＋1－a2n<0， 故a2n＋1－a2n＝－()2n＝.④ 由③④可知，an＋1－an＝. 于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋－＋…＋＝1＋· ＝＋·. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝＋·.