電磁場(chǎng)第五章時(shí)變電磁場(chǎng)

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1、第五章第五章 時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng) Electromagnetic field equations5.1法拉弟電磁感應(yīng)定律和全電流定律法拉弟電磁感應(yīng)定律和全電流定律5.2麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組5.3電磁場(chǎng)的邊界條件電磁場(chǎng)的邊界條件5.4坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量5.5時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng) 時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)變電磁場(chǎng) 在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)與磁場(chǎng)都是時(shí)間和空間的函數(shù)；在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)與磁場(chǎng)都是時(shí)間和空間的函數(shù)；變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生變化的磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生磁磁場(chǎng)場(chǎng)，電場(chǎng)與磁，電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。場(chǎng)相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)。英國(guó)

2、科學(xué)家英國(guó)科學(xué)家麥克斯韋麥克斯韋提出位移電流假說(shuō)，將靜態(tài)場(chǎng)、恒定提出位移電流假說(shuō)，將靜態(tài)場(chǎng)、恒定場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場(chǎng)基本方程組概括。場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場(chǎng)基本方程組概括。電磁場(chǎng)基本方程組是研究宏觀電磁現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。電磁場(chǎng)基本方程組是研究宏觀電磁現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。靜電場(chǎng)和恒定電流的磁場(chǎng)各自獨(dú)立存在，可以分開(kāi)靜電場(chǎng)和恒定電流的磁場(chǎng)各自獨(dú)立存在，可以分開(kāi)討論討論。5.1.1 法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律(Faradays Law of Induction)靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng):場(chǎng)大小不隨時(shí)間發(fā)生改變場(chǎng)大小不隨時(shí)間發(fā)生改變(靜電場(chǎng)靜電場(chǎng),恒定電、磁場(chǎng)恒定電、磁場(chǎng))時(shí)變

3、場(chǎng)時(shí)變場(chǎng):場(chǎng)的大小隨時(shí)間發(fā)生改變。場(chǎng)的大小隨時(shí)間發(fā)生改變。特特性性：電電場(chǎng)場(chǎng)和和磁磁場(chǎng)場(chǎng)相相互互激激勵(lì)勵(lì)，從從而而形形成成不不可可分分隔隔的的統(tǒng)統(tǒng)一一的的整整體，稱為電磁場(chǎng)。體，稱為電磁場(chǎng)。特性：電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互獨(dú)立，互不影響。特性：電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互獨(dú)立，互不影響。一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律q電電磁磁感感應(yīng)應(yīng)現(xiàn)現(xiàn)象象實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)表表明明：當(dāng)當(dāng)穿穿過(guò)過(guò)導(dǎo)導(dǎo)體體回回路路的的磁磁通通量量發(fā)發(fā)生生變化時(shí)，回路中會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流。變化時(shí)，回路中會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流。q 楞楞次次定定律律：回回路路總總是是企企圖圖以以感感應(yīng)應(yīng)電電流流產(chǎn)產(chǎn)生生的的穿穿過(guò)過(guò)回回路路自自身身的磁通，去的磁通，去反抗反抗

4、引起感應(yīng)電流的磁通量的改變。引起感應(yīng)電流的磁通量的改變。5.1 Time-varying Electromagnetic Fields法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律q 法法拉拉第第電電磁磁感感應(yīng)應(yīng)定定律律：當(dāng)當(dāng)穿穿過(guò)過(guò)導(dǎo)導(dǎo)體體回回路路的的磁磁通通量量發(fā)發(fā)生生改改變變時(shí)時(shí)，回回路路中中產(chǎn)產(chǎn)生生的的感感應(yīng)應(yīng)電電動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)與與回回路路磁磁通通量量的的時(shí)時(shí)間間變變化化率率成成正正比關(guān)系。數(shù)學(xué)表示：比關(guān)系。數(shù)學(xué)表示：說(shuō)說(shuō)明明：“-”號(hào)號(hào)表表示示回回路路中中產(chǎn)產(chǎn)生生的的感感應(yīng)應(yīng)電電動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)的的作作用用總總是是要要阻阻止止回路磁通量的改變。回路磁通量的改變。二、法拉第電磁感應(yīng)定律

5、 當(dāng)回路以速度當(dāng)回路以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，斯托克斯定理斯托克斯定理法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式物物理理意意義義：1 1、某某點(diǎn)點(diǎn)磁磁感感應(yīng)應(yīng)強(qiáng)強(qiáng)度度的的時(shí)時(shí)間間變變化化率率的的負(fù)負(fù)值值等等于于該該點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)變變電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。2 2、感感應(yīng)應(yīng)電電場(chǎng)場(chǎng)是是有有旋旋場(chǎng)場(chǎng)，其其旋旋渦渦源源為為 ，即即磁磁場(chǎng)場(chǎng)隨隨時(shí)時(shí)間間變變化化的的地方一定會(huì)激發(fā)起電場(chǎng)，并形成旋渦狀的電場(chǎng)分布。地方一定會(huì)激發(fā)起電場(chǎng)，并形成旋渦狀的電場(chǎng)分布。說(shuō)明：說(shuō)明：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)由兩部分組成，第一部分是磁場(chǎng)隨時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)由兩部分組成，第一部分是磁場(chǎng)隨時(shí)間變化在回路中間變化在回路中“感生感生”的電

6、動(dòng)勢(shì)的電動(dòng)勢(shì);第二部分是導(dǎo)體回路第二部分是導(dǎo)體回路以速度以速度v對(duì)磁場(chǎng)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)所引起的對(duì)磁場(chǎng)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)所引起的“動(dòng)生動(dòng)生”電動(dòng)勢(shì)電動(dòng)勢(shì)當(dāng)回路靜止時(shí)，當(dāng)回路靜止時(shí)，變化的磁場(chǎng)變化的磁場(chǎng)能產(chǎn)生電場(chǎng)能產(chǎn)生電場(chǎng)q電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程 時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，V V內(nèi)流出內(nèi)流出S S的電荷量為的電荷量為電荷守恒定律：電荷守恒定律：時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，V V內(nèi)電荷改內(nèi)電荷改變量為變量為由電流強(qiáng)度定義：由電流強(qiáng)度定義：電流連續(xù)性方電流連續(xù)性方程的微分形式程的微分形式電流連續(xù)性方程積分形式電流連續(xù)性方程積分形式5.2.2 位移電流和全電流定律在時(shí)變情況下在時(shí)變情況下 另一方面，由另一方面，由 得到了兩個(gè)相互矛盾

7、的結(jié)果。得到了兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果。q 位移電流位移電流 在在 的右端加一修正項(xiàng)的右端加一修正項(xiàng)則則是電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率，具有電流密度的量綱，稱是電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率，具有電流密度的量綱，稱為為位移電流密度位移電流密度:q 全電流定律全電流定律 由積分形式：積分形式：物理意義：物理意義：該定律包含了隨時(shí)間變化的電場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁該定律包含了隨時(shí)間變化的電場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁場(chǎng)這樣一個(gè)重要概念，也是電磁場(chǎng)的基本方程之一。場(chǎng)這樣一個(gè)重要概念，也是電磁場(chǎng)的基本方程之一。磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面上的全電流。上的全電流。推廣的安培環(huán)推廣

8、的安培環(huán)路定理路定理全電流定律全電流定律全電流全電流變化的電場(chǎng)變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)對(duì)任意封閉面對(duì)任意封閉面S有有 全電流連續(xù)性原理 物理意義：物理意義：穿穿過(guò)過(guò)任任一一封封閉閉面面的的各各類類電電流流之之和和恒恒為為零零。這這就就是是全全電電流流連連續(xù)續(xù)性性原理。原理。將將它它應(yīng)應(yīng)用用于于只只有有傳傳導(dǎo)導(dǎo)電電流流的的回回路路中中,得得知知節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)處處傳傳導(dǎo)導(dǎo)電電流流的的代代數(shù)數(shù)和和為為零零(流流出出的的電電流流取取正正號(hào)號(hào),流流入入取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào))。這這就就是是基基爾爾霍霍夫夫(G.R.Kirchhoff,德德)電流定律電流定律:I=0。例例：在在z=0和和z=d位位置置有有兩兩個(gè)個(gè)無(wú)

9、無(wú)限限大大理理想想導(dǎo)導(dǎo)體體板板，在在極極板板間間存存在在時(shí)時(shí)變變電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)，其其電場(chǎng)強(qiáng)度為電場(chǎng)強(qiáng)度為求求：(1)(1)該時(shí)變場(chǎng)相伴的磁場(chǎng)強(qiáng)度該時(shí)變場(chǎng)相伴的磁場(chǎng)強(qiáng)度 ；例題解：解：(1)(1)由由法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式設(shè)設(shè)平平板板電電容容器器兩兩端端加加有有時(shí)時(shí)變變電電壓壓U,試試推推導(dǎo)導(dǎo)通通過(guò)過(guò)電電容容器器的的電電流流I與與U的的關(guān)系。關(guān)系。圖 平板電容器 例 5.2解：解：設(shè)平板尺寸遠(yuǎn)大于其間距設(shè)平板尺寸遠(yuǎn)大于其間距,則板間電場(chǎng)可視為均勻則板間電場(chǎng)可視為均勻,即即E=U/d,從而得從而得 式中式中C=A/d為平板電容器的電容。為平板電容器的電容。5.3.1 麥

10、克斯韋方程組的微分形式與積分形式麥克斯韋方程組的微分形式與積分形式 5.3 麥克斯韋方程組Maxwells Equations（推廣的安培環(huán)路定律）（推廣的安培環(huán)路定律）（法拉第電磁感應(yīng)定律）（法拉第電磁感應(yīng)定律）（磁通連續(xù)性定律）（磁通連續(xù)性定律）（高斯定律）（高斯定律）一、麥克斯韋方程組的微分形式 時(shí)變電磁場(chǎng)的源：時(shí)變電磁場(chǎng)的源：1 1、真實(shí)源（變化的電流和電荷）；、真實(shí)源（變化的電流和電荷）；2 2、變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)。、變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)。時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直。時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直。物理意義：物理意義：時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是

11、有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。在電荷及電流均不存在的無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有在電荷及電流均不存在的無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。旋無(wú)散的。電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。電磁波。麥麥克克斯斯韋韋方方程程組組的的地地位位：揭揭示示了了電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量與與源源之之間間的的基基本本關(guān)關(guān)系，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，是系，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，

12、是電磁場(chǎng)理論的基礎(chǔ)電磁場(chǎng)理論的基礎(chǔ)。二、麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律，靜電場(chǎng)麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律，靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基本方程都是麥克斯韋方程組的特殊情況。和恒定磁場(chǎng)的基本方程都是麥克斯韋方程組的特殊情況。電流連續(xù)性方程也可以由麥克斯韋方程組導(dǎo)出。電流連續(xù)性方程也可以由麥克斯韋方程組導(dǎo)出。在麥克斯韋方程組中，沒(méi)有限定場(chǎng)矢量在麥克斯韋方程組中，沒(méi)有限定場(chǎng)矢量D、E、H、B之之間的關(guān)系，它們適用于任何媒質(zhì)，通常稱為麥克斯韋方間的關(guān)系，它們適用于任何媒質(zhì)，通常稱為麥克斯韋方程組的非限定形式程組的非限定形式 本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系 將本構(gòu)關(guān)系代入麥克

13、斯韋方程組，則得將本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，則得麥克斯韋方程組限定形式與媒質(zhì)特性相關(guān)。麥克斯韋方程組限定形式與媒質(zhì)特性相關(guān)。三、麥克斯韋方程組的限定形式麥克斯韋方程麥克斯韋方程組限定形式組限定形式Constitutive equations 若若媒媒質(zhì)質(zhì)參參數(shù)數(shù)與與位位置置無(wú)無(wú)關(guān)關(guān),稱稱為為均均勻勻(homogeneous)媒媒質(zhì)質(zhì);若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無(wú)關(guān)若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無(wú)關(guān),稱為稱為線性線性(linear)媒質(zhì)媒質(zhì);若若媒媒質(zhì)質(zhì)參參數(shù)數(shù)與與場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)強(qiáng)方方向向無(wú)無(wú)關(guān)關(guān),稱稱為為各各向向同同性性(isotropic)媒媒質(zhì)質(zhì);若若媒媒質(zhì)質(zhì)參參數(shù)數(shù)與與場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)強(qiáng)頻頻率率無(wú)無(wú)關(guān)關(guān),稱稱為為非非色

14、色散散媒媒質(zhì)質(zhì);反反之之稱稱為為色色散散(dispersive)媒質(zhì)。媒質(zhì)。四、媒質(zhì)的分類在在無(wú)無(wú)源源區(qū)區(qū)域域中中充充滿滿均均勻勻、線線性性、各各向向同同性性的的無(wú)無(wú)耗耗媒媒質(zhì)質(zhì)空空間間中中,由由麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組,=0,J=0=0,J=0無(wú)無(wú)源源區(qū)區(qū)電電場(chǎng)場(chǎng)波動(dòng)方程波動(dòng)方程同理，可以推得無(wú)源區(qū)磁場(chǎng)波動(dòng)方程為：同理，可以推得無(wú)源區(qū)磁場(chǎng)波動(dòng)方程為：5.3.2 無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程wave equations for source-free medium時(shí)時(shí)變變電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)的的電電場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量和和磁磁場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量在在空空間間中中是是以以波波動(dòng)動(dòng)形形式式變變化化的，因此稱時(shí)變電磁場(chǎng)為電磁波。的

15、，因此稱時(shí)變電磁場(chǎng)為電磁波。建建立立波波動(dòng)動(dòng)方方程程的的意意義義：通通過(guò)過(guò)解解波波動(dòng)動(dòng)方方程程，可可以以求求出出空空間間中中電電場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量和和磁磁場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量的的分分布布情情況況。但但需需要要注注意意的的是是：只只有有少少數(shù)數(shù)特特殊殊情況可以通過(guò)直接求解波動(dòng)方程求解。情況可以通過(guò)直接求解波動(dòng)方程求解。一、定義一、定義令：令：，故：故：5.3.3 動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位 dynamic Vector potential scalar potentialq 時(shí)時(shí)變變場(chǎng)場(chǎng)電電場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量和和磁磁場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量均均為為時(shí)時(shí)間間和和空空間間位位置置的的函函數(shù)數(shù)，因因此此動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)矢矢量量位位和和動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)標(biāo)標(biāo)量

16、量位位也也為為時(shí)時(shí)間間和和空空間間位置的函數(shù)位置的函數(shù)。q 由由于于時(shí)時(shí)變變場(chǎng)場(chǎng)電電場(chǎng)場(chǎng)和和磁磁場(chǎng)場(chǎng)為為統(tǒng)統(tǒng)一一整整體體，因因此此動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)標(biāo)標(biāo)量量位和動(dòng)態(tài)矢量位也是一個(gè)統(tǒng)一的整體。位和動(dòng)態(tài)矢量位也是一個(gè)統(tǒng)一的整體。為為了了使使時(shí)時(shí)變變電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)場(chǎng)量量和和動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)位位之之間間滿滿足足一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系，須引入額外的限定條件應(yīng)關(guān)系，須引入額外的限定條件規(guī)范條件。規(guī)范條件。洛倫茲規(guī)范條件洛倫茲規(guī)范條件二、洛倫茲規(guī)范條件二、洛倫茲規(guī)范條件三、動(dòng)態(tài)位滿足的方程三、動(dòng)態(tài)位滿足的方程引入洛倫茲規(guī)范條件，則方程簡(jiǎn)化為引入洛倫茲規(guī)范條件，則方程簡(jiǎn)化為達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程從達(dá)朗貝爾方程可以看出：從達(dá)朗貝爾

17、方程可以看出：試試用用麥麥克克斯斯韋韋方方程程組組導(dǎo)導(dǎo)出出圖圖2-6所所示示的的RLC串串聯(lián)聯(lián)電電路路的的電電壓壓方方程程(電路電路全長(zhǎng)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)全長(zhǎng)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng))。圖 2-6 RLC串聯(lián)電路 例例5.3解解:沿沿導(dǎo)導(dǎo)線線回回路路l作作電電場(chǎng)場(chǎng)E的的閉閉合合路路徑徑積積分分,根根據(jù)據(jù)麥麥?zhǔn)鲜戏椒匠坛淌绞?a)有有 上上式式左左端端就就是是沿沿回回路路的的電電壓壓降降,而而是是回回路路所所包包圍圍的的磁磁通通。將將回路電壓分段表回路電壓分段表示示,得得 設(shè)電阻段導(dǎo)體長(zhǎng)為設(shè)電阻段導(dǎo)體長(zhǎng)為l1,截面積為截面積為A,電導(dǎo)率為電導(dǎo)率為,其中電場(chǎng)為其中電場(chǎng)為J/,故故 電感電感L定義為定義為m/I,m是通過(guò)

18、電感線圈的全磁通是通過(guò)電感線圈的全磁通,得得 通過(guò)電容通過(guò)電容C的電流已由例的電流已由例2.2得出得出:設(shè)外加電場(chǎng)為設(shè)外加電場(chǎng)為Ee,則有則有 因?yàn)榛芈分械碾s散磁通可略因?yàn)榛芈分械碾s散磁通可略,d/dt0,從而得從而得 這這就就是是大大家家所所熟熟知知的的基基爾爾霍霍夫夫電電壓壓定定律律。對(duì)對(duì)于于場(chǎng)場(chǎng)源源隨隨時(shí)時(shí)間間作作簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧變化的情形諧變化的情形,設(shè)角設(shè)角頻率為頻率為,上式可化為上式可化為 5.4 證明導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部證明導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部v=0。;解解 利用電流連續(xù)性方程利用電流連續(xù)性方程,并考慮到并考慮到J=E,有有 其解為其解為 例導(dǎo)體內(nèi)的電荷極快地衰減導(dǎo)體內(nèi)的電荷極快地衰減,使得其中的使得其中

19、的v可看作零。可看作零。銅銅=5.8107S/m=0=1.510-19sv隨時(shí)間按指數(shù)減小隨時(shí)間按指數(shù)減小馳豫時(shí)間馳豫時(shí)間:衰減至衰減至v0的的1/e即即36.8%的時(shí)間的時(shí)間,=/(s)一、一般媒質(zhì)分界面上的邊界條件一、一般媒質(zhì)分界面上的邊界條件()()2-4 電磁場(chǎng)的邊界條件v在不同媒質(zhì)的分界面上，媒質(zhì)的電磁參數(shù)在不同媒質(zhì)的分界面上，媒質(zhì)的電磁參數(shù)、發(fā)生突變，發(fā)生突變，因而分界面處的場(chǎng)矢量因而分界面處的場(chǎng)矢量E、H、D、B也會(huì)突變，麥克斯韋方程也會(huì)突變，麥克斯韋方程組的微分形式失去意義。此時(shí)，有限空間中場(chǎng)量之間的關(guān)系是組的微分形式失去意義。此時(shí)，有限空間中場(chǎng)量之間的關(guān)系是由積分形式的麥克斯

20、韋方程組制約的，邊界條件就由它導(dǎo)出。由積分形式的麥克斯韋方程組制約的，邊界條件就由它導(dǎo)出。1 1、的邊界條件的邊界條件The boundary conditions for time-varying fields 為表面?zhèn)鲗?dǎo)電流密度。為表面?zhèn)鲗?dǎo)電流密度。式中：式中：為由媒質(zhì)為由媒質(zhì)2 211的法向。的法向。r 特殊地，若介質(zhì)分界面上不存在傳導(dǎo)電流，則特殊地，若介質(zhì)分界面上不存在傳導(dǎo)電流，則結(jié)結(jié)論論：當(dāng)當(dāng)分分界界面面上上存存在在傳傳導(dǎo)導(dǎo)面面電電流流時(shí)時(shí)，切切向向不不連連續(xù)續(xù)，其其不不連續(xù)量等于分界面上面電流密度。連續(xù)量等于分界面上面電流密度。當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在傳導(dǎo)面電流時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不

21、存在傳導(dǎo)面電流時(shí)，切向連續(xù)。切向連續(xù)。2 2、的邊界條件的邊界條件結(jié)論：結(jié)論：只要磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率是有限只要磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率是有限的，的，切向連續(xù)。切向連續(xù)。3 3、的邊界條件的邊界條件結(jié)論：在邊界面上，結(jié)論：在邊界面上，法向連續(xù)。法向連續(xù)。4 4、的邊界條件的邊界條件q 為分界面上自由電荷面密度。為分界面上自由電荷面密度。特殊地：若媒質(zhì)為理想介質(zhì)，則特殊地：若媒質(zhì)為理想介質(zhì)，則 ,此時(shí)有此時(shí)有q 當(dāng)當(dāng)分分界界面面上上存存在在自自由由電電荷荷時(shí)時(shí)，切切向向不不連連續(xù)續(xù)，其其不不連連續(xù)量等于分界面上面電荷密度。續(xù)量等于分界面上面電荷密度。q 當(dāng)且僅當(dāng)分界面上當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在不存

22、在自由電荷時(shí)，自由電荷時(shí)，切向連續(xù)切向連續(xù)。5 5、J J的邊界條件的邊界條件 在理想介質(zhì)分界面上，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。在理想介質(zhì)分界面上，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。二、理想介質(zhì)分界面上的邊界條件q 在理想介質(zhì)分界面上，在理想介質(zhì)分界面上，矢量切向連續(xù)矢量切向連續(xù) 在理想介質(zhì)分界面上，在理想介質(zhì)分界面上，矢量法向連續(xù)矢量法向連續(xù)Boundary conditions Between two Perfect dielectrics 在在理理想想導(dǎo)導(dǎo)體體內(nèi)內(nèi)部部 ，在在導(dǎo)導(dǎo)體體分分界界面面上上，一般存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。一般存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。式中：式中：為導(dǎo)體外法向。為導(dǎo)體外法向。三

23、、理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件q 對(duì)于時(shí)變場(chǎng)中的理想導(dǎo)體，電場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相垂直，磁對(duì)于時(shí)變場(chǎng)中的理想導(dǎo)體，電場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相垂直，磁場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相切。場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相切。Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric 時(shí)變場(chǎng)的邊界條件包括四個(gè)關(guān)系式?？梢宰C明它們并不是時(shí)變場(chǎng)的邊界條件包括四個(gè)關(guān)系式?？梢宰C明它們并不是相互獨(dú)立的，當(dāng)滿足兩個(gè)切向分量的邊界條件的，必定滿足兩相互獨(dú)立的，當(dāng)滿足兩個(gè)切向分量的邊界條件的，必定滿足兩個(gè)法向分量的邊界條件。個(gè)法向分量的邊界條件。說(shuō)明：說(shuō)明：在理想介質(zhì)的分界

24、面上，用于定解的邊界條件為在理想介質(zhì)的分界面上，用于定解的邊界條件為 ，分析電磁波在理想介質(zhì)分界面上的反射和透射時(shí)就要使用，分析電磁波在理想介質(zhì)分界面上的反射和透射時(shí)就要使用這個(gè)邊界條件。這個(gè)邊界條件。理理想想介介質(zhì)質(zhì)和和理理想想導(dǎo)導(dǎo)體體只只是是理理論論上上存存在在。在在實(shí)實(shí)際際應(yīng)應(yīng)用用中中，某某些些媒媒質(zhì)質(zhì)導(dǎo)導(dǎo)電電率率極極小小或或者者極極大大，則則可可視視作作理理想想介介質(zhì)質(zhì)或或理理想想導(dǎo)導(dǎo)體體進(jìn)行處理。進(jìn)行處理。在理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的分界面上，用于定解的邊界條件在理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的分界面上，用于定解的邊界條件為為 或或 。分析電磁波在理想導(dǎo)體表面上。分析電磁波在理想導(dǎo)體表面上的反射時(shí)就要

25、使用這個(gè)邊界條件。的反射時(shí)就要使用這個(gè)邊界條件。例例 5.6 設(shè)設(shè)平平板板電電容容器器二二極極板板間間的的電電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)強(qiáng)度度為為3 V/m,板板間間媒媒質(zhì)質(zhì)是云母是云母,r=7.4,求二導(dǎo)體極板上的面電荷密度。求二導(dǎo)體極板上的面電荷密度。解解 參參看看圖圖5-9(b),把把極極板板看看作作理理想想導(dǎo)導(dǎo)體體,在在A,B板板表表面面分分別有別有 例例：在在z=0和和z=d位位置置有有兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)限限大大理理想想導(dǎo)導(dǎo)體體板板，在在極極板板間間存存在在時(shí)時(shí)變變電電磁磁場(chǎng)場(chǎng)，其其電場(chǎng)強(qiáng)度為電場(chǎng)強(qiáng)度為求求：導(dǎo)體板上的電流分布。導(dǎo)體板上的電流分布。例題由邊界條件由邊界條件在下極板上：在下極板上：解：解：在上極

26、板上：在上極板上：q 時(shí)時(shí)變變場(chǎng)場(chǎng)中中，電電場(chǎng)場(chǎng)和和磁磁場(chǎng)場(chǎng)相相互互激激勵(lì)勵(lì)，能能量量不不斷斷轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換，在在這這個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)程程中，電磁能量從一個(gè)地方傳遞到另外的地方。中，電磁能量從一個(gè)地方傳遞到另外的地方。一、坡印廷定理一、坡印廷定理q 坡印廷定理描述了空間中坡印廷定理描述了空間中電磁能量守恒關(guān)系電磁能量守恒關(guān)系。5-5 坡印廷定理和坡印廷矢量Poyntings theorem the Poyntings vectorThe energy and flow of energy in the time-varying fields 利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式，利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式，在線性、均勻、各向同性

27、的媒質(zhì)中，有在線性、均勻、各向同性的媒質(zhì)中，有坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式說(shuō)明：說(shuō)明：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位體積內(nèi)流出的電磁能量；單位時(shí)間單位體積內(nèi)流出的電磁能量；單位時(shí)間單位體積內(nèi)電場(chǎng)能量減少量；單位時(shí)間單位體積內(nèi)電場(chǎng)能量減少量；單位時(shí)間單位體積內(nèi)單位時(shí)間單位體積內(nèi)磁磁場(chǎng)能量減少量；場(chǎng)能量減少量；單位體積內(nèi)轉(zhuǎn)化為焦耳熱能的電磁功率；單位體積內(nèi)轉(zhuǎn)化為焦耳熱能的電磁功率；將坡印廷定理微分形式在一定體積內(nèi)進(jìn)行積分，得將坡印廷定理微分形式在一定體積內(nèi)進(jìn)行積分，得坡印廷定理積分形式坡印廷定理積分形式說(shuō)明：說(shuō)明：表流表流出出閉合面閉合面S S的電磁功率；的電磁功率；單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V V內(nèi)電場(chǎng)

28、能量增加量；內(nèi)電場(chǎng)能量增加量；坡印廷定理物理意義：坡印廷定理物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，體積單位時(shí)間內(nèi)，體積V V中減少的電磁能量等中減少的電磁能量等于于流流出出體積體積V V的電磁能量與的電磁能量與體積體積V V內(nèi)損耗的電內(nèi)損耗的電場(chǎng)能量場(chǎng)能量之和。之和。單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V V內(nèi)磁場(chǎng)能量增加量；內(nèi)磁場(chǎng)能量增加量；單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V V內(nèi)損耗的電場(chǎng)能量?jī)?nèi)損耗的電場(chǎng)能量 表示流表示流出出閉合面閉合面S S的電磁功率，因此的電磁功率，因此 為一為一與通過(guò)單位面積的功率相關(guān)與通過(guò)單位面積的功率相關(guān)的矢量。的矢量。定義：坡印廷矢量（用符號(hào)定義：坡印廷矢量（用符號(hào) 表示）表示）注：坡印

29、廷矢量也稱注：坡印廷矢量也稱能流密度矢量能流密度矢量。二、坡印廷矢量 坡印廷矢量的大小坡印廷矢量的大小表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于能量表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量。傳輸方向的單位面積的電磁能量。坡印廷矢量的方向坡印廷矢量的方向即為電磁能量傳播方向即為電磁能量傳播方向。討論討論:1 1、若、若 為與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)為與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)(瞬時(shí)形式瞬時(shí)形式),),則則稱為坡印廷矢量的稱為坡印廷矢量的瞬時(shí)形式瞬時(shí)形式。2 2、對(duì)某些時(shí)變場(chǎng)，、對(duì)某些時(shí)變場(chǎng)，呈周期性變化。則將瞬呈周期性變化。則將瞬時(shí)形式坡印廷矢量在一個(gè)周期內(nèi)取平均，得平均坡印時(shí)形式坡印廷矢量在一個(gè)周期內(nèi)取平均，得平均

30、坡印廷矢量（平均能流密度矢量），即廷矢量（平均能流密度矢量），即注：注：與與時(shí)間時(shí)間t t無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。圖 2-10 坡印廷矢量 一一段段長(zhǎng)長(zhǎng)直直導(dǎo)導(dǎo)線線l,半半徑徑為為a,電電導(dǎo)導(dǎo)率率為為。設(shè)設(shè)沿沿線線通通過(guò)過(guò)直直流流I,試試求求其其表面處的坡印廷矢量表面處的坡印廷矢量,并證明坡印廷定理。并證明坡印廷定理。圖圖 2-12 直流導(dǎo)線段直流導(dǎo)線段 例故表面處坡印廷矢量為故表面處坡印廷矢量為 它的方向垂直于導(dǎo)體表面它的方向垂直于導(dǎo)體表面,指向?qū)w里面。指向?qū)w里面。為證明坡印廷定理為證明坡印廷定理,需將需將S沿圓柱表面積分沿圓柱表面積分:解：導(dǎo)體內(nèi)的熱損耗功率為導(dǎo)體內(nèi)的熱損耗功率為 電路理論中的焦耳定

31、理電路理論中的焦耳定理.其微分形式為其微分形式為 此式代表場(chǎng)點(diǎn)處各單位體積的熱損耗功率此式代表場(chǎng)點(diǎn)處各單位體積的熱損耗功率。例：例：已知無(wú)源的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為已知無(wú)源的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為求：求：(1)(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度；（磁場(chǎng)強(qiáng)度；（2 2）瞬時(shí)坡印廷矢量；（）瞬時(shí)坡印廷矢量；（3 3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量解：解：(1)(1)(2)(2)(3)(3)惟一性定理 The uniqueness theoremS唯一性定理是電磁場(chǎng)的基本定理之一，指出在什么唯一性定理是電磁場(chǎng)的基本定理之一，指出在什么時(shí)間、時(shí)間、空間空間范圍，什么范圍，什么初始、邊界初始、邊界條

32、件下，麥克斯韋方程組的條件下，麥克斯韋方程組的解是唯一的解是唯一的。q在一有限區(qū)域在一有限區(qū)域V內(nèi)，如果同時(shí)給定場(chǎng)源、任一點(diǎn)處內(nèi)，如果同時(shí)給定場(chǎng)源、任一點(diǎn)處E和和H在在t=t0時(shí)刻的初始初始值，以及時(shí)刻的初始初始值，以及tt0時(shí)邊時(shí)邊界上界上電場(chǎng)電場(chǎng)和磁和磁場(chǎng)場(chǎng)的切的切向分量，向分量，則則在在tt0時(shí)時(shí)，區(qū)域，區(qū)域V中的解就被唯一確定了。中的解就被唯一確定了。v同時(shí)滿足場(chǎng)方程、初始條件和邊界條件的解是唯一的。同時(shí)滿足場(chǎng)方程、初始條件和邊界條件的解是唯一的。v對(duì)于周期性的源，初始條件將被場(chǎng)量的周期性取代，對(duì)于周期性的源，初始條件將被場(chǎng)量的周期性取代，只需邊界條件就可保證解的唯一性。只需邊界條件就

33、可保證解的唯一性。5.5 5.5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng)一、時(shí)諧量的復(fù)數(shù)表示一、時(shí)諧量的復(fù)數(shù)表示電磁場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量可用電磁場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量可用余弦函數(shù)表示余弦函數(shù)表示用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示式中式中稱為稱為時(shí)諧電場(chǎng)的時(shí)諧電場(chǎng)的分量分量復(fù)復(fù)數(shù)振幅數(shù)振幅式中式中稱為稱為時(shí)諧電場(chǎng)的時(shí)諧電場(chǎng)的矢量矢量復(fù)數(shù)振幅復(fù)數(shù)振幅故故 時(shí)諧場(chǎng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)時(shí)諧場(chǎng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠潭?fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠逃甥準(zhǔn)系谝环匠逃甥準(zhǔn)系谝环匠淘O(shè)為時(shí)諧場(chǎng)設(shè)為時(shí)諧場(chǎng)將對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算和取實(shí)部運(yùn)算順序交換將對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算和取實(shí)部運(yùn)算順序交換約定不寫(xiě)出時(shí)間因子約定不寫(xiě)出時(shí)間

34、因子 ，去掉場(chǎng)量的下標(biāo)和點(diǎn)，即得麥?zhǔn)戏?，去掉?chǎng)量的下標(biāo)和點(diǎn)，即得麥?zhǔn)戏匠痰膹?fù)數(shù)形式程的復(fù)數(shù)形式同理其他三個(gè)麥?zhǔn)戏匠掏砥渌齻€(gè)麥?zhǔn)戏匠倘?、?fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程三、復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程波動(dòng)方程波動(dòng)方程設(shè)為時(shí)諧場(chǎng)設(shè)為時(shí)諧場(chǎng)得得同理同理亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程式中式中 用復(fù)數(shù)形式研究時(shí)諧場(chǎng)稱為頻域問(wèn)題。用復(fù)數(shù)形式研究時(shí)諧場(chǎng)稱為頻域問(wèn)題。復(fù)數(shù)公式與瞬時(shí)值公式有明顯的區(qū)別，復(fù)數(shù)表示不再加點(diǎn)。復(fù)數(shù)公式與瞬時(shí)值公式有明顯的區(qū)別，復(fù)數(shù)表示不再加點(diǎn)。1.1.復(fù)數(shù)式復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表達(dá)式，不代表真實(shí)的場(chǎng)，沒(méi)有明確物理只是數(shù)學(xué)表達(dá)式，不代表真實(shí)的場(chǎng)，沒(méi)有明確物理意義意義,2.2.實(shí)數(shù)形式實(shí)數(shù)形式代

35、表真實(shí)場(chǎng)，具有明確物理意義；代表真實(shí)場(chǎng)，具有明確物理意義；3.3.在某些應(yīng)用條件下，如能量密度、能流密度等含有場(chǎng)量的在某些應(yīng)用條件下，如能量密度、能流密度等含有場(chǎng)量的平方平方關(guān)系的物理量關(guān)系的物理量采用復(fù)數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場(chǎng)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化；采用復(fù)數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場(chǎng)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化；（稱為二次式（稱為二次式 ），只能用場(chǎng)量的），只能用場(chǎng)量的瞬時(shí)形式瞬時(shí)形式表示。表示。說(shuō)明說(shuō)明:四四.復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率復(fù)電容率 （歐姆損耗）（歐姆損耗）若媒質(zhì)還存在極化損耗若媒質(zhì)還存在極化損耗 兩者同時(shí)存在：兩者同時(shí)存在：2.2.損耗角損耗角 1.1.表征電介質(zhì)的損耗特性表征電

36、介質(zhì)的損耗特性3.3.磁化損耗磁化損耗導(dǎo)電媒質(zhì)：導(dǎo)電媒質(zhì)：弱導(dǎo)電媒質(zhì)（良絕緣體）弱導(dǎo)電媒質(zhì)（良絕緣體）良導(dǎo)體良導(dǎo)體五五.時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式 ：洛侖茲條件：洛侖茲條件：達(dá)朗貝爾方程：達(dá)朗貝爾方程：六六.平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量由前一章定義的坡印廷矢量由前一章定義的坡印廷矢量坡印廷矢量的坡印廷矢量的瞬時(shí)值瞬時(shí)值對(duì)正弦電磁場(chǎng)，需討論該量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值對(duì)正弦電磁場(chǎng)，需討論該量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值平均平均坡印廷矢量坡印廷矢量正弦變化矢量正弦變化矢量式中式中 為相應(yīng)的復(fù)矢量為相應(yīng)的復(fù)矢量虛虛部部實(shí)實(shí)部部于是于是故故其平均值其平均值平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 與時(shí)間無(wú)

37、關(guān)。與時(shí)間無(wú)關(guān)。P107 例5.5理解法拉第電磁感應(yīng)定律及其推廣理解位移電流的概念及全電流定律掌握麥克斯韋方程組及其物理意義，熟悉邊界條件理解坡印亭定理，會(huì)計(jì)算坡印亭矢量掌握?qǐng)隽康南嗔勘硎痉私獠▌?dòng)方程的推導(dǎo)過(guò)程本章內(nèi)容小結(jié)q法拉第電磁感應(yīng)定律法拉第電磁感應(yīng)定律回路中產(chǎn)生的回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與回路與回路磁通量的時(shí)間變化率磁通量的時(shí)間變化率成正比成正比關(guān)系關(guān)系微分形式微分形式q位移電流全電流定律全電流定律q麥克斯韋方程組微分形式微分形式積分形式積分形式本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系限定形式的麥克斯韋方程限定形式的麥克斯韋方程q時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件矢量形式矢量形式標(biāo)量形式標(biāo)量形式q理想介質(zhì)分界面上的邊界條件q理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件q動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位動(dòng)態(tài)位的引出動(dòng)態(tài)位的引出洛倫茲規(guī)范洛倫茲規(guī)范動(dòng)態(tài)位滿足的微分方程動(dòng)態(tài)位滿足的微分方程q坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷矢量坡印廷矢量瞬時(shí)形式瞬時(shí)形式平均形式平均形式q波動(dòng)方程