高三數(shù)學二輪復習 專題限時集訓1 三角函數(shù)問題 理-人教高三數(shù)學試題

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1、專題限時集訓(一)　三角函數(shù)問題 [建議A、B組各用時：45分鐘] [A組　高考達標] 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個單位后關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值為(　　) A．－　 　B．－　 　C.　 　D. A　[函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移個單位得y＝sin ＝sin ，又其為奇函數(shù)，故＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－， ∴f(x)＝sin . 又∵x∈， ∴2x－∈，∴sin∈， 當x＝0時，f(x)min＝－，故選A.] 2．(2016·河南八市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin x

2、－cos x，且f′(x)＝f(x)，則tan 2x的值是(　　) A．－　　　 B．－　　　 C.　　　 D. D　[因為f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故選D.] 3．(2016·廣州二模)已知函數(shù)f(x)＝sin，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2π B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱 C．由函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)y＝sin 2x的圖象 D．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增 C　[函數(shù)f(x)＝sin的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y＝sin2x－＋

3、＝sin 2x的圖象，故選C.] 4．(2016·鄭州模擬)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖1-6所示，則f(0)＋f的值為(　　) 圖1-6 A．2－ B．2＋ C．1－ D．1＋ A　[由函數(shù)f(x)的圖象得函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝＝4＝π，解得ω＝2，則f(x)＝2sin(2x＋φ)．又因為函數(shù)圖象經(jīng)過點－，－2，所以f－＝2sin＝－2，則2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因為|φ|＜，所以φ＝－，則f(x)＝2sin，所以f(0)＋f＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－＋2，故選A.] 5．(2016·石

4、家莊二模)設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sin αcos β－cos αsin β＝1，則sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍為(　　) A．[－1,1] B．[－1，] C．[－，1] D．[1，] A　[由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α－∈[0，π]?α∈，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝sin，α∈?α＋∈?sin∈?sin∈[－1,1]，故選A.] 二、填空題 6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，則sin2－sin(

5、3π＋α)cos(2π－α)＝________. 導學號：85952011】 　[∵tan α＝2， ∴sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α) ＝cos2α＋sin αcos α ＝ ＝ ＝ ＝.] 7．(2016·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖1-7所示，△EFG(點G在圖象的最高點)是邊長為2的等邊三角形，則f(1)＝________. 圖1-7 －　[由函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函數(shù)可得φ＝，則f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A

6、＞0，ω＞0)．又由△EFG是邊長為2的等邊三角形可得A＝，最小正周期T＝4＝，ω＝，則f(x)＝－sinx，f(1)＝－.] 8．(2015·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝ω對稱，則ω的值為________． 　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋， 因為f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝ω對稱， 所以f(ω)必為一個周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z， 所以ω2＝＋2kπ，k∈Z. 又ω－(－ω)≤，

7、即ω2≤，所以ω2＝， 所以ω＝.] 三、解答題 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當x∈時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的對稱軸方程． [解]　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin＋1＋a， 2分 則f(x)的最小正周期T＝＝π， 3分 且當2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)時，f(x)單調(diào)遞增，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以(k∈Z)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 5分 (2)當x∈時?≤2x

8、＋≤， 7分 當2x＋＝，即x＝時，sin＝1. 所以f(x)max＝＋1＋a＝2?a＝1－. 10分 由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)，故y＝f(x)的對稱軸方程為x＝＋，k∈Z. 12分 10．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜的部分圖象如圖1-8所示，P是圖象的最高點，Q為圖象與x軸的交點，O為坐標原點．若OQ＝4，OP＝，PQ＝. 圖1-8 (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，當x∈(－1,2)時，求函數(shù)h(x)＝f(x)·g(x)的值域． [解]　(1

9、)由條件知cos ∠POQ＝＝. 2分 又cos ∠POQ＝，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P(1,2). 3分 由此可得振幅A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，則ω＝. 4分 將點P(1,2)代入f(x)＝2sin， 得sin＝1. ∵0＜φ＜，∴φ＝，于是f(x)＝2sin. 6分 (2)由題意可得g(x)＝2sin＝2sin x. 7分 ∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sin x ＝2sin2x＋2sin x·cos x ＝1－cos x＋sin x＝1＋2sin. 9分 當x∈(－1,2)時，x－∈， 10分 ∴sin∈(－1,1)， 即1＋2

10、sin∈(－1,3)，于是函數(shù)h(x)的值域為(－1,3). 12分 [B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點P，若角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點P，則sin2α－sin 2α的值為(　　) A.　　　B．－　　　C.　　　D．－ D　[根據(jù)已知可得點P的坐標為(2,3)，根據(jù)三角函數(shù)定義，可得sin α＝，cos α＝，所以sin2α－sin 2α＝sin2α－2sin αcos α＝－2××＝－.] 2．(2016·東北三省四市第二次聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個

11、單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f(x)在上的最小值為(　　) A. B. C．－ D．－ D　[f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移個單位得到函數(shù)g(x)＝sin＝sin2x－＋φ，此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝sin.因為0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值為sin＝－，故選D.] 3．(2016·湖北七市四月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝asin x－bcos x(a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R)在x＝處取得最大值，則函數(shù)y＝f是(　　) A．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(π，0)對稱

12、B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱 C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱 D．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(π，0)對稱 B　[由題意可知f′＝0， 即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0， ∴f(x)＝a(sin x＋cos x)＝asin. ∴f＝asin＝acos x. 易知f是偶函數(shù)且圖象關(guān)于點對稱，故選B.] 4．(2016·陜西省第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分圖象如圖1-9所示，且f(α)＝1，α∈，則cos＝(　　) 圖1-9 A．± B. C．－ D. C　[由圖易得A＝3，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝

13、＝4×，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)．又因為點在函數(shù)圖象上，所以f＝3sin＝－3，解得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又因為0＜φ＜π，所以φ＝，則f(x)＝3sin，當α∈時，2α＋∈.又因為f(α)＝3sin＝1，所以sin＝＞0，所以2α＋∈，則cos＝－＝－，故選C.] 二、填空題 5．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________． 【導學號：85952012】 　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sinωx＋，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈

14、Z)． 由題意，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，故為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的一個子區(qū)間，故有 解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)． 由4k＋＜2k＋，解得k＜. 由ω＞0，可知k≥0， 因為k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范圍為.] 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為________． π　[∵f(x)在上具有單調(diào)性， ∴≥－，∴T≥. ∵f＝f， ∴f(x)的一條對稱軸為x＝＝. 又∵f＝－f， ∴f(x)的一個對稱中心的橫坐標為＝， ∴T＝－＝，∴T＝π.] 三、解

15、答題 7．(2015·湖北高考)某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式； (2)將y＝f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ＞0)個單位長度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個對稱中心為，求θ的最小值． [解]　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，數(shù)據(jù)補全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x

16、 π Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 4分 且函數(shù)解析式為f(x)＝5sin. 6分 (2)由(1)知f(x)＝5sin， 則g(x)＝5sin. 7分 因為函數(shù)y＝sin x圖象的對稱中心為(kπ，0)，k∈Z， 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z. 8分 由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點成中心對稱， 所以令＋－θ＝， 解得θ＝－，k∈Z. 10分 由θ＞0可知，當k＝1時，θ取得最小值. 12分 8．已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x－sin2x＋cos 2x＋，x∈R. (1)求函數(shù)f(x)在上的最值；

17、(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到g(x)的圖象．已知g(α)＝－，α∈，求cos的值． [解]　(1)f(x)＝2sin xcos x－sin2x＋cos 2x＋ ＝sin 2x－＋cos 2x＋ ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 2分 ∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤， 3分 ∴當2x＋＝－，即x＝－時，f(x)的最小值為2×＝－. 4分 當2x＋＝，即x＝時，f(x)的最大值為2×1＝2. 5分 (2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到g(x)＝2sin . 7分 由g(α)＝2sin＝－，得sin ＝－. 8分 ∵＜α＜，∴π＜α－＜， ∴cos＝－. 10分 ∵＜－＜， 11分 ∴cos＝－＝－ ＝－. 12分