高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù) 分層限時(shí)跟蹤練59-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、分層限時(shí)跟蹤練(五十九) (限時(shí)40分鐘) 一、選擇題 1.(2015·山東高考)若復(fù)數(shù)z滿足=i,其中i為虛數(shù)單位,則z=(  ) A.1-i  B.1+i C.-1-i D.-1+i 【解析】 由已知得=i(1-i)=1+i,則z=1-i,故選A. 【答案】 A 2.給出下列命題,其中正確的命題是(  ) A.若z∈C,且z2<0,那么z一定是純虛數(shù) B.當(dāng)a≠0時(shí),b≠0時(shí),a+bi一定是虛數(shù) C.若z∈R,則z·=|z|不成立 D.的虛部為-1 【解析】 當(dāng)z是一個(gè)復(fù)數(shù)時(shí),若z2能夠與實(shí)數(shù)比較大小, 則z2是一個(gè)實(shí)數(shù),則z一定是一個(gè)純虛數(shù),故A正確;

2、當(dāng)a是不為0的實(shí)數(shù),b為純虛數(shù)時(shí),a+bi為實(shí)數(shù),故B不正確; 當(dāng)z=1時(shí),選項(xiàng)C不正確, ===2+i, 其虛部為1.故D不正確.故選A. 【答案】 A 3.(2015·東北二模)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=i2 012+i2 015在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 i2 012=i503×4=1,i2 015=i503×4+3=-i,∴復(fù)數(shù)z=1-i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,-1),位于第四象限. 【答案】 D 4.已知f(x)=x3-1,則復(fù)數(shù)的虛部為(  ) A.   B.- C.   D.- 【解析】 

3、∵f(i)=i3-1=-i-1,∴===,其虛部為-. 【答案】 D 5.(2015·南昌二模)設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為,則|(1-z)·|=(  ) A.    B.2 C.    D.1 【解析】 ∵z=-1-i,∴=-1+i,∴(1-z)·=(2+i)(-1+i)=-3+i,∴|(1-z)·|=|-3+i|=. 【答案】 A 二、填空題 6.(2015·天津高考)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______. 【解析】 由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是純虛數(shù)可得a+2=0,1-2a≠0

4、,解得a=-2. 【答案】?。? 7.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為M、N,若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn),則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________. 【解析】 ∵=,=,∴M,N,而P是MN的中點(diǎn),∴P,故點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為. 【答案】  8.(2015·重慶高考)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為,則(a+bi)(a-bi)=________. 【解析】 ∵|a+bi|==,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3. 【答案】 3 三、解答題 9.已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z2的虛部為2,且z1·z2是實(shí)數(shù),求z2. 【解】 ∵(z1-2)(

5、1+i)=1-i,∴z1=2-i. 設(shè)z2=a+2i,a∈R. z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·z2∈R. ∴a=4,∴z2=4+2i. 10.復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn),求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 【解】 如圖,z1、z2、z3分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B、C. ∵=-, ∴所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i, 在正方形ABCD中,=, ∴所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-i, 又=-, ∴=-所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z3-(-3-i)=(-1-2i

6、)-(-3-i)=2-i, ∴第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i. 1.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是(  ) A.若|z1-z2|=0,則1=2 B.若z1=2,則1=z2 C.若|z1|=|z2|,則z1·1=z2·2 D.若|z1|=|z2|,則z=z 【解析】 A,|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?1=2,真命題; B,z1=2?1=2=z2,真命題; C,|z1|=|z2|?|z1|2=|z2|2?z1·1=z2·2,真命題; D,當(dāng)|z1|=|z2|時(shí),可取z1=1,z2=i,顯然z=1,z=-1,即z≠z,假命題. 【答案】 D 2

7、.(2015·河南調(diào)研)復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,則λ的取值范圍是(  ) A.[-1,1] B. C. D. 【解析】 由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得 化簡(jiǎn)得4-4cos2θ=λ+3sin θ,由此可得λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4=4sin2θ-3sin θ=42-,因?yàn)閟in θ∈[-1,1],所以4sin2 θ-3sin θ∈. 【答案】 C 3.(2015·江蘇高考)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則z的模為_(kāi)___

8、__. 【解析】 ∵z2=3+4i,∴|z2|=|z|2=|3+4i|==5, ∴|z|=. 【答案】  4.已知復(fù)數(shù)z=x+yi,且|z-2|=,則的最大值為_(kāi)_____. 【解析】  ∵|z-2| ==, ∴(x-2)2+y2=3. 由圖可知max==. 【答案】  5.復(fù)數(shù)z1=+(a2-10)i,z2=+(2a-5)i,若1+z2是實(shí)數(shù),求實(shí)數(shù)a的值. 【解】 1+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i =+[(a2-10)+(2a-5)]i =+(a2+2a-15)i. ∵1+z2是實(shí)數(shù), ∴a2+2a-15=0, 解得a=-5或a=3.

9、∵a+5≠0,∴a≠-5,故a=3. 6.已知復(fù)數(shù)z,且|z|=2,求|z-i|的最大值,以及取得最大值時(shí)的z. 【解】 法一 設(shè)z=x+yi(x,y∈R), ∵|z|=2,∴x2+y2=4, |z-i|=|x+yi-i| =|x+(y-1)i|= ==. ∵y2=4-x2≤4,∴-2≤y≤2. 故當(dāng)y=-2時(shí),5-2y取最大值9,從而取最大值3,此時(shí)x=0,即|z-i|取最大值3時(shí),z=-2i. 法二  類比實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義,可知方程|z|=2表示以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓,而|z-i|表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)A(0,1)的距離.如圖,連接AO并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)B(0,-2),顯然根據(jù)平面幾何的知識(shí)可知,圓上的點(diǎn)B到A的距離最大,最大值為3,即當(dāng)z=-2i時(shí),|z-i|取最大值3.

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