高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù) 分層限時(shí)跟蹤練57-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、分層限時(shí)跟蹤練(五十七) (限時(shí)40分鐘) 一、選擇題 1.(2015·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理(  ) A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 【解析】 因?yàn)閒(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),所以小前提不正確. 【答案】 C 2.[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如:[π]=3. S1=[]+[]+[]=3, S2=[]+[]+[]+[]+[]=10, S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21, …, 依此規(guī)律,那么S10等于(

2、  ) A.210   B.230 C.220   D.240 【解析】 ∵[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù), ∴S1=[]+[]+[]=1×3=3, S2=[]+[]+[]+[]+[]=2×5=10, S3=[]+[]+…+[]=3×7=21 …, Sn=[]+[]+[]+…+[]=n(2n+1), ∴S10=10×21=210. 【答案】 A 3.在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論:已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則=(  ) A. B. C. D. 【解析

3、】 正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3,故=. 【答案】 D 4. (2015·上海模擬)如圖11-2-3所示,有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣,它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層),第2層每邊有2個(gè)點(diǎn),第3層每邊有3個(gè)點(diǎn),…,依此類推,如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn),那么它的層數(shù)為(  ) 圖11-2-3 A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 由題意知,第1層的點(diǎn)數(shù)為1,第2層的點(diǎn)數(shù)為6,第3層的點(diǎn)數(shù)為2×6,第4層的點(diǎn)數(shù)為3×6,第5層的點(diǎn)數(shù)為4×6,…,第n(n≥2,n∈N*)層的點(diǎn)數(shù)為6(n-1).設(shè)一個(gè)點(diǎn)陣有n(n≥2,n∈N*)層,則共有的點(diǎn)數(shù)為1+6+6×2+…+6(n-

4、1)=1+×(n-1)=3n2-3n+1,由題意得3n2-3n+1=169,即(n+7)·(n-8)=0,所以n=8,故共有8層. 【答案】 C 5.我們知道,在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值a,類比上述結(jié)論,在邊長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值(  ) A.a B.a C.a D.a 【解析】 正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面組成四個(gè)三棱錐,它們的體積之和為正四面體的體積,設(shè)點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為h1,h2,h3,h4,每個(gè)面的面積為a2,正四面體的體積為a3, 則有×a2(h1+h2+h3+h4)=a3, 得h1+h2+h3+h4=a.

5、【答案】 A 二、填空題 6.(2015·棗莊模擬)在△ABC中,不等式++≥成立;在凸四邊形ABCD中,不等式+++≥成立;在凸五邊形ABCDE中,不等式++++≥成立,…,依此類推,在凸n邊形A1A2…An中,不等式++…+≥____________成立. 【解析】 ∵++≥=,+++≥=,++++≥=,…,∴++…+≥(n∈N*,n≥3). 【答案】 (n∈N*,n≥3) 7.在平面幾何中:△ABC中∠C的平分線CE分AB所成的線段的比為=(如圖11-2-4(1)).把這個(gè)結(jié)論類比到空間:在三棱錐A-BCD中(如圖11-2-4(2)),面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交

6、于E,則類比得到的結(jié)論是______________. 圖11-2-4 【解析】 由平面中線段的類比空間中面積的比可得=. 【答案】 = 8.(2015·陜西高考)觀察下列等式 1-=, 1-+-=+, 1-+-+-=++, …, 據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為______________. 【解析】 等式的左邊的通項(xiàng)為-,前n項(xiàng)和為1-+-+…+-;右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng)為,共有n項(xiàng),故為++…+. 【答案】 1-+-+…+-=++… 三、解答題 9.觀察下表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, … 問(wèn):(1)

7、此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少? (2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少? (3)2 016是第幾行的第幾個(gè)數(shù)? 【解】 (1)∵第n+1行的第1個(gè)數(shù)是2n, ∴第n行的最后一個(gè)數(shù)是2n-1. (2)2n-1+(2n-1+1)+(2n-1+2)+…+(2n-1) ==3·22n-3-2n-2. (3)∵210=1 024,211=2 048,1 024<2 016<2 048, ∴2 016在第11行,該行第1個(gè)數(shù)是210=1 024, 由2 016-1 024+1=993,知2 016是第11行的第993個(gè)數(shù). 10.(2015·沈陽(yáng)二模)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)

8、于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線-=1寫出類似的性質(zhì). 【解】 類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線-=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值. 證明:設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m,n)、(x,y), 則N(-m,-n). 因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)在已知雙曲線上, 所以n2=m2-b2. 同理,y2=x2-b2. 則kPM·kPN=·== =(定值). 1

9、.(2015·南昌模擬)如圖11-2-5所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b(a>b). 圖11-2-5 若EF∥AB,EF到CD與AB的距離之比為m∶n,則可推算出:EF=.用類比的方法,推想出下面問(wèn)題的結(jié)果.在上面的梯形ABCD中,分別延長(zhǎng)梯形的兩腰AD和BC交于O點(diǎn),設(shè)△OAB,△ODC的面積分別為S1,S2,則△OEF的面積S0與S1,S2的關(guān)系是(  ) A.S0=      B.S0= C.= D.= 【解析】 在平面幾何中類比幾何性質(zhì)時(shí),一般是由平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì);由平面幾何中線段的性質(zhì)類比推理面積的性質(zhì).故由EF=類比到關(guān)于△

10、OEF的面積S0與S1,S2的關(guān)系是=. 【答案】 C 2.(2015·杭州模擬)設(shè)f為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù).已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述: f(x)-20=0 1 f(x)+10=0 1 f(x)-10=0 3 f(x)+20=0 1 f(x)=0 3 關(guān)于f的極小值α,試問(wèn)下列選項(xiàng)中正確的是(  ) A.0<α<10 B.-20<α<-10 C.-10<α<0 D.α不存在 【解析】 f(x)分別向上向下平移10個(gè)單位和20個(gè)單位分別得到f(x)+10,f(x)+20,f(x)-10,f(x)-20,由題意可近似畫出f(x)的草圖,由圖可知

11、f(x)極小值α∈(-10,0). 【答案】 C 3.(2015·長(zhǎng)沙一模)如圖11-2-6所示,小正六邊形沿著大正六邊形的邊按順時(shí)針方向滾動(dòng),小正六邊形的邊長(zhǎng)是大正六邊形的邊長(zhǎng)的一半.如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動(dòng)一周后返回出發(fā)時(shí)的位置,在這個(gè)過(guò)程中,向量圍繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了θ角,其中O為小正六邊形的中心,則sin +cos =________. 圖11-2-6 【解析】 從題圖可得,向量轉(zhuǎn)了6個(gè)60°的角,6個(gè)120°的角,∴θ=6×60°+6×120°=1 080°,所以sin +cos =sin 180°+cos 180°=-1. 【答案】?。? 4.已知“整數(shù)對(duì)

12、”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是________. 【解析】 依題意,把“整數(shù)對(duì)”的和相同的分為一組,不難得知第n組中每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和均為n+1,且第n組共有n個(gè)“整數(shù)對(duì)”,這樣的前n組一共有個(gè)“整數(shù)對(duì)”,注意到<60<,因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”處于第11組(每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組)的第5個(gè)位置,結(jié)合題意可知每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和12的組中的各對(duì)數(shù)依次為:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(5,7)

13、. 【答案】 (5,7) 5.(2015·陜西第二次質(zhì)量檢測(cè))如圖11-2-7,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,E為棱CC1的中點(diǎn). 圖11-2-7 (1)求證:B1D⊥AE; (2)求證:AC∥平面B1DE. 【證明】 (1)如圖,連接BD,則BD∥B1D1. ∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面ABCD,∴CE⊥BD. 又AC∩CE=C,∴BD⊥平面ACE. ∵AE?平面ACE,∴BD⊥AE,∴B1D1⊥AE. (2)取BB1的中點(diǎn)F,連接AF,CF,EF, 則FC∥B1E, ∴CF∥平面B1DE. ∵E,F(xiàn)分別是CC

14、1,BB1的中點(diǎn),∴EFBC. 又BCAD,∴EFAD, ∴四邊形ADEF是平行四邊形,∴AF∥ED. ∵AF?平面B1DE,ED?平面B1DE, ∴AF∥平面B1DE. ∵AF∩CF=F,∴平面ACF∥平面B1DE. 又AC?平面ACF,∴AC∥平面B1DE. 6.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:=+,那么在四面體ABCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想,并說(shuō)明理由. 【證明】  如圖所示,由射影定理,得 AD2=BD·DC,AB2=BD·BC, AC2=BC·DC,∴= ==. 又BC2=AB2+AC2,∴==+. 猜想,在四面體ABCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD,則=++. 證明:如圖,連接BE并延長(zhǎng)交CD于F,連接AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面ACD, 又AF?平面ACD,∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中,AE⊥BF, ∴=+. 在Rt△ACD中,AF⊥CD, ∴=+,∴=++.

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